平面向量的坐标运算课件
练一练
(1)a (2, 4), b (5, 2) (2) a (4, 3), b ( 3, 8) (3) a (2, 3), b ( 2, 3) (4) a (3, 0), b (0, 4)
答案：(1)(3,6),(-7,2); (3)(0,0),(4,6); (2)(1,11),(7,-5); (4)(3,4),(3,-4).
' ' ' '
例3.已知□ABCD的三个顶点A(－2, 1)、 B(－1, 3)、C(3, 4)，求顶点D的坐标。
y
C(3,4)
解：设点D的坐标为（x,y）
B(-1,3)
AB (1,3) (2,1) (1, 2) AB DC (1, 2) (3 x, 4 y)
D A(-2,1)
高一数学
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平面向量怎样用坐标表示?
y
(1)取基底: 分别取与x轴方向,y轴方向相同的两个单位 向量 i , j 作为基底. （2）得到实数对:
a
对于平面内的一个向量 a ,由平面向量基本 o 定理，有且只有一对实数x, y 有序实数对(x, y)叫做向量 a 的坐标，记作
j
a xi y j
4a 3b 4(3, 2) 3(0, 1) (12,8) (0, 3) (12, 5)
例2.如图2， 已知A(x1, y1),B( x2 , y2 ),求AB.
AB OB OA ( x2 , y2 ) ( x1, y1 )
(x2 x1, y2 y1).
DC (3, 4) ( x, y ) (3 x, 4 y )
1 3 x 2 4 y
O
x
图3
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
另解：由平行四边形法则可得
B(-1,3) BD BA BC (2 (1),1 3) (3 (1), 4 3) A(-2,1) (3, 1)
' '
求A' , B'及向量 A' B' 的坐标.
3.设a ( x, y), b (1, 1), c (3, 2), 若c a+4b, 求实数 x, y的值.
4.设向量A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且 AD 2 AB 3BC , 求点 D 的坐标；
答案： 2. A （2， 4） , B (3,9), A B （ 5， 5） 3. x 1, y 2. 4. D(2,16)
O
1 1
x
所以D点的坐标是(2, 2).
变式探究
已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1),
B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四 点构成的四边形为平行四边形.
y
D2 C D1
B
解：当平行四边形为ABCD1时， 得D1=(2, 2)
A
O
D3
x
当平行四边形为ABD2C时， 得D2=(4, 6) 当平行四边形为D3BCA时， 得D3=(6, 0)
1.已知向量a, b 的坐标，求a b, a b的坐标.
练一练
2.已知a =(3,2), b (0, 1), 求 2a 4b, 4a 3b 的坐标.
解： 2a +4b 2(3,2) 4(0, 1) (6, 4) (0, 4) (6, 8)
⑴ A (3,5) , B (6,9) ; ⑵ A(－3,4) , B(6,3) ⑶ A (0,3) , B (0,5) ; ⑷ A (3,0), B(8,0) 答案：(1)(3,4) (3)(0,2) 如何求BA？ (2)(9,-1) (4)(5,0)
2.已知点O(0,0), A(1, 2), B(1,3), 且OA 2OA, OB 3OB,
i
x
图1
a ( x, y)
上式叫做向量的坐标表示.
问题引入
平面向量可以用坐标表示，向量的运 算可以用坐标来运算吗？如何计算？
已知a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则a b ? a b ? a ?
如果没有运算,向量只 是一个“路标”.因为 有了运算,向量的力量 无限.
a b x1 x2 , y1 y2
a b x1 x2 , y1 y2
a ( x1i y1 j) x1i y1 j 即 a ( x1 , y1 ).
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
实数与向量的积的坐标等于这学到了哪些内容？ 一：平面向量的坐标运算法则； 二：数学思想方法： 方程，转化，数形结合
作业布置
作业本：教材P101习题2.3,A组2,3,4;
练习：《师说》第19课时
巩固练习
已知□ABCD的两个顶点A(－2, 1)、 B(－1, 3)，平行四边形对角线的交点 1 5 （ ） ，求解点C及点D的坐标。 坐标为 2 ， 2
例1：已知a =(2,1), b (3, 4), 求a + b， a b, 3a 4b的坐标.
解： a+b (2,1) (3,4) (1,5);
a b (2,1) (3,4) (5, 3);
3a 4b 3(2,1)+4(3, 4) = （6， 3） +( 12， 16） =( 6， 19） .
新课讲授
平面向量的坐标运算
已知a x1 , y1 , b x2 , y2 , 求a+b， a b, a的坐标.
解：a b
x1 x2 i y1 y2 j
即 同理可得
x i y j x i y j
1 1 2 2
y
C(3,4)
D
OD OB BD (1,3) (3, 1) (2, 2) 所以顶点D的坐标为（2，2）
O
x
解：由三角形法则得
OD OA AD
OA BC
B(-1,3) D y
C(3,4)
=(－2,1)+(3,4) －(－1,3) A(-2,1) =(2, 2)
A( x1 , y1 )
y
B( x2 , y2 )
O
x
图2
一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段的终点坐标减去始点的坐标．
A( x1 , y1 )
y
B( x2 , y2 )
o
x
P(x2-x1,y2-y1)
思考：你能在图中标出坐标为 (x2 x1 , y2 y1 )的P点吗?
学了就用
练习：已知A、B两点的坐标，求AB 的坐标。
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平面向量的坐标运算精选教学PPT课件
0
x
1
课本114页练习：1、2
小结 : 1.平面向量的坐标定义 : (1)a xi y j; (2)i, j的含义; (3)( x, y )是a的坐标. 2.平面向量坐标运算.
a b (x1 x2, y1 y2)
a b (x1 x2, y1 y2) a ( x, y)
当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。 我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不
其中x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标，（2）
式叫做向量的坐标表示。
y
A
如：
c
2 -O1
Байду номын сангаас
a
2 bx
B
a OA 2i 2 j (2,2)
-5
C
b OB 2i j (2,1)
c OC 2i 5 j (2,5)
i (1,0), j (0,1),0 (0,0)
授课人：杨大钊
（一）平面向量的坐标运算
y
a
j x
Oi
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相
平面向量的坐标运算 课件
若已知有向线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐标,再进行
向量的坐标运算.另外解题过程中要注意方程思想的运用.
(2)利用向量的坐标运算解题,主要是根据相等的向量坐标相同这
一原则,通过列方程(组)进行求解.
(3)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表
示向量的坐标,再用待定系数法求出待定系数.
分析:由于条件中只给出 a,b,c 的坐标,故可考虑从“数”的角度出
发用 a,b 表示 c.又 a,b 不共线,则一定存在实数 x,y 使 c=xa+yb,然后
用向量坐标建立关于 x,y 的方程组求解.
+ = -1,
解:设 c=xa+yb,则(-1,2)=(x,x)+(y,-y)=(x+y,x-y),∴
个实数乘原来向量的相应坐标
λa=(λx1,λy1)
向量
坐标
一个向量的坐标等于表示此向量
的有向线段的终点的坐标减去始
公式
点的坐标
已知 A(x1,y 1),B(x2,y 2),则
= (2 − 运算规律
剖析:(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有下表:
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两
个向量相应坐标的和
a+b=(x1+x2,y 1+y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两
个向量相应坐标的差
a-b=(x1-x2,y 1-y2)
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这
(4)向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实
向量的坐标运算.另外解题过程中要注意方程思想的运用.
(2)利用向量的坐标运算解题,主要是根据相等的向量坐标相同这
一原则,通过列方程(组)进行求解.
(3)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表
示向量的坐标,再用待定系数法求出待定系数.
分析:由于条件中只给出 a,b,c 的坐标,故可考虑从“数”的角度出
发用 a,b 表示 c.又 a,b 不共线,则一定存在实数 x,y 使 c=xa+yb,然后
用向量坐标建立关于 x,y 的方程组求解.
+ = -1,
解:设 c=xa+yb,则(-1,2)=(x,x)+(y,-y)=(x+y,x-y),∴
个实数乘原来向量的相应坐标
λa=(λx1,λy1)
向量
坐标
一个向量的坐标等于表示此向量
的有向线段的终点的坐标减去始
公式
点的坐标
已知 A(x1,y 1),B(x2,y 2),则
= (2 − 运算规律
剖析:(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有下表:
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两
个向量相应坐标的和
a+b=(x1+x2,y 1+y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两
个向量相应坐标的差
a-b=(x1-x2,y 1-y2)
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这
(4)向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实
2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算ppt课件
a＝b⇔__x_1＝__x_2__且___y1_＝__y_2___；a＋b＝___(_x_1＋__x_2_，__y_1＋__y_2_)__．
设 u，v 是两个实数，那么 ua＋vb＝___(_u_x_1＋__v_x_2_，__u_y_1_＋__v_y_2)____，
ua－vb＝__(_u_x_1_－__v_x_2，__u_y_1_－__v_y_2_) ． 如果向量 a＝(x，y)，则|a|＝__x_2_＋__y2___．
科学课件：./kejian/kexue/ 物理课件：./kejian/wuli/
化学课件：./kejian/huaxue/ 生物课件：./kejian/shengwu/
地理课件：./ke j ia n/dili/
历史课件：./ke j ia n/lishi/
(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位
英语课件：./kejian/y ingy u/ 美术课件：./kejian/meishu/
科学课件：./kejian/kexue/ 物理课件：./kejian/wuli/
化学课件：./kejian/huaxue/ 生物课件：./kejian/shengwu/
地理课件：./ke j ia n/dili/
栏目 导引
第六章 平面向量初步
■名师点拨
P P T模板：./m oba n/
PPT素材：./sucai/
P P T背景：./be ij ing/
PPT图表：./tubiao/
PPT下载：./xiazai/
PPT教程： ./powerpoint/
资料下载：./ziliao/
个人简历：./j ia nli/
量都_垂__直___．
高中数学平面向量的坐标运算全版.ppt
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
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8
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
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15
作业： 课本P101 A组：1，2，3，4，5, 6, 7
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16
y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
a
A(x, y)
两者相同
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y）
Oi
x
3.a b x1 x2且y1 y2
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4
概念应用
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 求它们的坐标．
解：由图可知
A2
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3) 同理， b 2i 3 j (2,3)
且
MP
1 2
MN
,
求P点的坐标；
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)= 1 (-8, 1)=(-4, 2
1
2)
xy32124
∴
x y
1 3
2
∴P点坐标为(-1, - 3 ) 2
2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则 AB 2 BC = (-3,-3)
3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求3 j (2,3)
d 2i 3 j (2,3)
练习:已知O是坐标原点,点A在
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8
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
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15
作业： 课本P101 A组：1，2，3，4，5, 6, 7
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y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
a
A(x, y)
两者相同
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y）
Oi
x
3.a b x1 x2且y1 y2
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4
概念应用
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 求它们的坐标．
解：由图可知
A2
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3) 同理， b 2i 3 j (2,3)
且
MP
1 2
MN
,
求P点的坐标；
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)= 1 (-8, 1)=(-4, 2
1
2)
xy32124
∴
x y
1 3
2
∴P点坐标为(-1, - 3 ) 2
2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则 AB 2 BC = (-3,-3)
3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求3 j (2,3)
d 2i 3 j (2,3)
练习:已知O是坐标原点,点A在
平面向量的坐标运算课件(人教A版必修
向量混合积的应 用：在物理、工 程等领域有广泛 应用
向量的混合积的应用
工程中的应用：结构分析、 应力分析等
物理中的应用：力矩、力偶、 力系等
计算机图形学中的应用：三 维建模、动画制作等
数学中的应用：线性代数、 微分几何等
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：
向量积的坐标运算：两个向量的向量积的坐标可以通过两个向量的坐标进行计算，具体公式为： (x1,y1)×(x2,y2)=(x1y2-x2y1,x2y1-x1y2)。
向量积的性质：向量积的坐标运算具有交换律、结合律和分配律。
向量积的应用：向量积在物理、工程等领域有着广泛的应用，如计算力矩、计算功等。
添加标题
向量的向量积的结果是一个向量
添加标题
向量的向量积的运算法则是：a×b=|a||b|sinθn，其中a和b是向量， θ是向量a和向量b的夹角，n是垂直于向量a和向量b的法向量
向量的向量积的坐标运算
向量积的定义：两个向量的向量积是一个向量，其方向垂直于两个向量所在的平面，其大小等于 两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积。
向量的向量积的应用
物理中的应用： 力矩、力偶、
力场等
工程中的应用： 机械设计、结 构分析、流体
力学等
计算机科学中 的应用：图形 学、计算机视 觉、虚拟现实
等
数学中的应用： 线性代数、微 分几何、拓扑
学等
06
向量的混合积运算
向量的混合积定义
混合积的定义： 向量的混合积 是三个向量的 乘积，其结果
律和分配律
向量的数量积 应用：向量的 数量积在物理、 工程等领域有 广泛应用，如
力矩、功等
向量的数量积的应用
平面向量的坐标运算课件
平面向量的长度表示为其模，用于衡量向量的大小。方向表示为向量与参考轴之间的夹角。
向量长度
向量的长度等于其模。
向量方向
向量的方向表示为向量与参考轴之间的夹角。
向量的加法
向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
1 向量加法原理
2 向量加法表示
将两个向量的对应分量相加 得到一个新的向量。
向量A + 向量B = 向量C
3 几何解释
向量的夹角表示为两个向量间的夹角大小。
判断向量的共线性
向量的共线性是指多个向量在同一条直线上的性质。
1 共线性判断
2 几何解释
当多个向量之间的任意两个向量共线时，它们被 认为是共线的。
共线向量可以表示为在同一条直线上。
向量的正交性
向量的正交性是指两个向量之间的夹角为90度。
1 正交性判断
1 数量积原理
将两个向量的对应分量相乘后相加，得到一个标量。
2 数量积表示
向量A ·向量B = 数量
3 几何解释
数量积可表示为向量A在向量B方向上的投影的长度与向量B的模的乘积。
向量的投影
向量的投影是指一个向量在另一个向量方向上的投影长度。
1 投影原理
将一个向量在另一个向量方向上的投影长度作为新的向量。
3 几何解释
线性组合可以表示为将不同 向量相加得到一个新的向量。
向量的数乘
向量的数乘是将向量的每一个分量乘以一个标量得到一个新的向量。
1 数乘原理
2 数乘表示
将向量的每一个分量乘以一 个标量得到一个新的向量。
数乘k * 向量A = 向量B (k为 标量)
3 几何解释
向量的数乘可表示为将向量 的长度缩放k倍，但方向保 持不变。
向量长度
向量的长度等于其模。
向量方向
向量的方向表示为向量与参考轴之间的夹角。
向量的加法
向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
1 向量加法原理
2 向量加法表示
将两个向量的对应分量相加 得到一个新的向量。
向量A + 向量B = 向量C
3 几何解释
向量的夹角表示为两个向量间的夹角大小。
判断向量的共线性
向量的共线性是指多个向量在同一条直线上的性质。
1 共线性判断
2 几何解释
当多个向量之间的任意两个向量共线时，它们被 认为是共线的。
共线向量可以表示为在同一条直线上。
向量的正交性
向量的正交性是指两个向量之间的夹角为90度。
1 正交性判断
1 数量积原理
将两个向量的对应分量相乘后相加，得到一个标量。
2 数量积表示
向量A ·向量B = 数量
3 几何解释
数量积可表示为向量A在向量B方向上的投影的长度与向量B的模的乘积。
向量的投影
向量的投影是指一个向量在另一个向量方向上的投影长度。
1 投影原理
将一个向量在另一个向量方向上的投影长度作为新的向量。
3 几何解释
线性组合可以表示为将不同 向量相加得到一个新的向量。
向量的数乘
向量的数乘是将向量的每一个分量乘以一个标量得到一个新的向量。
1 数乘原理
2 数乘表示
将向量的每一个分量乘以一 个标量得到一个新的向量。
数乘k * 向量A = 向量B (k为 标量)
3 几何解释
向量的数乘可表示为将向量 的长度缩放k倍，但方向保 持不变。
平面向量的坐标运算_公开课课件
(2)λa＝__(λ_x_1_，__λ_y_1_)__ (λ∈R)，即实数与向量的积的坐标等于
用这个实数乘以原来向量的相应坐标． (3)若 A 点坐标为(x1，y1)，B 点坐标为(x2，y2)，O 为坐标原
点，则O→A＝_(_x_1_，__y_1)__，O→B＝__(_x_2，___y2_)_，A→B＝O→B－O→A＝ (x2，y2)－(x1， y1)＝ _(_x_2_－__x_1_，__y_2－__y_1_)_，即 一 个向 量的坐标
(2)表示形式 如点 A(x，y)，向量 a＝O→A＝(x，y)．当平面向量O→A平行移 动到O→1A1时，向量不变，即O→1A1＝O→A＝(x，y)，但O→1A1的起 点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化．
栏目 导引
2．平面向量的坐标求法 (1)当向量的始点是坐标原点时，向量的终点坐标就是向量的 坐标． (2)当向量的起点和终点是坐标平面内的任意两点时，用向量 终点的坐标减去始点的相应坐标，即得向量的坐标． (3)求形如λa＋μb的坐标，可直接利用向量的坐标运算公式， 即λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)．
等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
栏目 导引
做一做 1.已知a＝(1,2)，b＝(－1,3)，则a＋2b＝________. 解析：∵2b＝(－2,6)，∴a＋2b＝(1,2)＋(－2,6) ＝(1－2,2＋6)＝(－1,8)． 答案：(－1,8)
2．若 A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，则A→B－2B→C＝________. 解析：A→B－2B→C＝(1,1)－2×(2,2)＝(－3，－3)．
∴2λ－μ＝－6， －4λ＋3μ＝－3，
∴λ＝－221， μ＝－15，
平面向量的坐标运算PPT优秀课件6
f(m anb)m(a f)n(fb)成立；
（3）求使 f (c) (p,q)（p，q为常数）的向量 c 的坐标．
解：（3）设 c (x, y),
则 f(c)(y,2yx)(p,q),
yp,x2pq,即c(2pq, p). 小结：⑴从特殊到一般；
⑵面对困难不畏难，勇于探索攀高峰！
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
练且习m :与在n 的A夹BC角中为，m 3 ．(coA 2s， sinA 2)，n(coA 2s， sinA 2)，
⑴ 求角A的大小；
⑵ 设 a、b、c分别为 A、B、C的对边长，且 a 6，
SABC2 3，求 bc的值．
解：⑴ ∵ mnmncos1，
32
又 mnco2A ssi2nAcoAs
注：⑴ 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量．
⑵ 向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的 具体位置无关，只与其相对位置有关．
问问自己，你具备了什么样的 知识储备？
一、知识梳理：
２、平面向量的坐标运算：
⑴ 若 ax1 ， y1， bx2 ， y2，则 a b x 1 x 2,y 1y2. a b x 1 x2,y 1y2
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
（3）求使 f (c) (p,q)（p，q为常数）的向量 c 的坐标．
解：（3）设 c (x, y),
则 f(c)(y,2yx)(p,q),
yp,x2pq,即c(2pq, p). 小结：⑴从特殊到一般；
⑵面对困难不畏难，勇于探索攀高峰！
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
练且习m :与在n 的A夹BC角中为，m 3 ．(coA 2s， sinA 2)，n(coA 2s， sinA 2)，
⑴ 求角A的大小；
⑵ 设 a、b、c分别为 A、B、C的对边长，且 a 6，
SABC2 3，求 bc的值．
解：⑴ ∵ mnmncos1，
32
又 mnco2A ssi2nAcoAs
注：⑴ 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量．
⑵ 向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的 具体位置无关，只与其相对位置有关．
问问自己，你具备了什么样的 知识储备？
一、知识梳理：
２、平面向量的坐标运算：
⑴ 若 ax1 ， y1， bx2 ， y2，则 a b x 1 x 2,y 1y2. a b x 1 x2,y 1y2
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
平面向量坐标运算(1课时)课件
详细描述
分配律是指向量的混合积可以分配到 两个向量的和上，即 a×(b+c)=a×b+a×c。双线性性是指 向量混合积与向量的长度无关，只与 向量的方向有关。
向量的混合积几何意义
总结词
向量混合积的几何意义是表示三个向量构成的平行六面体的体积。
详细描述
向量混合积的几何意义可以通过一个平行六面体来解释。假设三个向量a、b和c分别表示平行六面体 的三个相邻边的方向向量，那么向量混合积a×(b×c)就等于这个平行六面体的体积。这个体积可以通 过三个向量的模长和它们之间的夹角来计算。
为零向量时，|a|=0。
02
向量的加法与数乘运算
向量的加法运算
01
向量的加法定义：若向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_1, y_1)$，向量 $overset{longrightarrow}{CD} = (x_2, y_2)$，则 $overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{CD} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
平面向量坐标运算(1 课时)课件
目录
• 向量的坐标表示 • 向量的加法与数乘运算 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积
01
向量的坐标表示
点的坐标表示
01 点的坐标
在平面直角坐标系中，一个点的坐标由一个有序 数对表示，该数对为该点在x轴和y轴上的投影。
02 原点坐标
平面向量的原点O的坐标为(0,0)。
05
向量的混合积
向量的混合积定义
总结词
向量混合积是三个向量的一种组合方式，表示为三个向 量的乘积。
分配律是指向量的混合积可以分配到 两个向量的和上，即 a×(b+c)=a×b+a×c。双线性性是指 向量混合积与向量的长度无关，只与 向量的方向有关。
向量的混合积几何意义
总结词
向量混合积的几何意义是表示三个向量构成的平行六面体的体积。
详细描述
向量混合积的几何意义可以通过一个平行六面体来解释。假设三个向量a、b和c分别表示平行六面体 的三个相邻边的方向向量，那么向量混合积a×(b×c)就等于这个平行六面体的体积。这个体积可以通 过三个向量的模长和它们之间的夹角来计算。
为零向量时，|a|=0。
02
向量的加法与数乘运算
向量的加法运算
01
向量的加法定义：若向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_1, y_1)$，向量 $overset{longrightarrow}{CD} = (x_2, y_2)$，则 $overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{CD} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
平面向量坐标运算(1 课时)课件
目录
• 向量的坐标表示 • 向量的加法与数乘运算 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积
01
向量的坐标表示
点的坐标表示
01 点的坐标
在平面直角坐标系中，一个点的坐标由一个有序 数对表示，该数对为该点在x轴和y轴上的投影。
02 原点坐标
平面向量的原点O的坐标为(0,0)。
05
向量的混合积
向量的混合积定义
总结词
向量混合积是三个向量的一种组合方式，表示为三个向 量的乘积。
0035数学课件：平面向量坐标运算17页PPT
0035数学课件：平面向量坐标运算
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
v f (u) 表示． （1）设a(1,1),b(1,0) ，求向量 f ( a )及 f (b ) 的坐标； （2）证明：对于任意向量 a , b 及常数m，n恒有：
f(m anb)m(af)n(b f)成立；
（3）求使 f (c) (p,q)（p，q为常数）的向量 c 的坐标．
证明：⑵ 设 a(a1,a2)b ,(b1,b2),则： m a n b (m 1 a n1 ,m b2 a n2)b, 故 f( m a n b ) ( m 2 n 2 a ,2 m b 2 2 n a 2 m b 1 n 1 a )b , 又m(fa)nf(b) m ( a 2 ,2 a 2 a 1 ) n ( b 2 ,2 b 2 b 1 ) ,
( m 2 n a 2 ,2 m b 2 2 n a 2 m b 1 n 1 a )b
f(m anb)m(a f)n(b f).
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
v f (u) 表示． （1）设a(1,1),b(1,0) ，求向量 f ( a )及 f (b ) 的坐标； （2）证明：对于任意向量 a , b 及常数m，n恒有：
f(m anb)m(af)n(b f)成立；
（3）求使 f (c) (p,q)（p，q为常数）的向量 c 的坐标．
证明：⑵ 设 a(a1,a2)b ,(b1,b2),则： m a n b (m 1 a n1 ,m b2 a n2)b, 故 f( m a n b ) ( m 2 n 2 a ,2 m b 2 2 n a 2 m b 1 n 1 a )b , 又m(fa)nf(b) m ( a 2 ,2 a 2 a 1 ) n ( b 2 ,2 b 2 b 1 ) ,
( m 2 n a 2 ,2 m b 2 2 n a 2 m b 1 n 1 a )b
f(m anb)m(a f)n(b f).