高中数学专题-集合的概念及其基本运算

高中数学专题-集合的概念及其基本运算【考纲考点剖析】考 点考纲内容5年统计分析预测 1.集合间的基本关系1．了解集合、元素的含义及其关系。

2．理解全集、空集、子集的含义，及集合之间的包含、相等关系。

3．掌握集合的表示法 (列举法、描述法、Venn 图)。

1.集合交、并、补的运算是考查的热点；2.集合间的基本关系很少涉及； 3.题型：选择题 4.备考重点： (1) 集合的交并补的混合运算； (2) 以其他知识为载体考查集合之间的关系；(3) 简单不等式的解法.2.集合的基本运算1．会求简单集合的并集、交集。

2．理解补集的含义，且会求补集。

【知识清单】1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉． (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集 整数集有理数集 实数集符号NN *或N ＋ZQR2．集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集。

记为A B ⊆或B A ⊇． （2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集。

记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 3．集合的运算(1)三种基本运算的概念及表示名称交集并集补集数学 语言 A∩B={x|x ∈A,且x ∈B} A ∪B={x|x∈A,或x ∈B} C U A={x|x ∈U,且x ∉A}图形 语言（2）三种运算的常见性质A A A =， A ∅=∅ ， AB BA = ， A A A =， A A ∅=， AB B A =．(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．A B A A B =⇔⊆, A B A B A =⇔⊆, ()U U U C A B C A C B =,()U U U C A B C A C B =．【重点难点突破】考点1 集合的概念【1-1】【全国卷II 理】已知集合，则中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D. 4 【答案】A【1-2】若集合{}1A x x =-，则（ ）A. 3A -∈B. 2A -∈C. 1A -∈D. 0A ∈ 【答案】D 【解析】{}1A x x =-∴集合A 就是由全体大于1-的数构成的集合，显然01>-，故0A ∈故选D 【领悟技法】与集合元素有关问题的思路：(1)确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【触类旁通】【变式一】【浙江嘉兴一中模拟】若集合{}1,2,3A =， (){},40,,B x y x y x y A =+-∈，则集合B 中的元素个数为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D【解析】,x y A ∈的数对共9对，其中()()()2,3,3,2,3,3满足40x y +->，所以集合B 中的元素个数共3个． 【变式二】设，，集合，那么与集合的关系是（ ） A. B. C. D.【答案】B 【解析】,即，，即a =3，b =π，故x ∈M ，y M ，故选：B.考点2 集合间的基本关系【2-1】【浙江省杭州市第二中学5月仿真】若集合{}2| 2,A x x x x R ==-∈， {}1,B m =，若A B ⊆，则m 的值为（ ）A. 2B. -2C. -1或2D. 2或2 【答案】A【解析】{}2A =，由A B ⊆可知， 2m =，故选A 。

【2-2】【浙江省教育绿色评价联盟5月适应性】已知集合，，若，则（ ）A. B. C. D.【答案】B【领悟技法】1.判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析． 【触类旁通】【变式1】设集合10{|}P m m <<＝－，24{4|0Q m mx mx <＝＋－对任意实数x 恒成立，且}m R ∈，则下列关系中成立的是( )A ．P Q ⊂≠B ．Q P ⊂≠C ．P Q ＝D ．PQ ∅＝【答案】A【解析】10{|}P m m <<＝－，20,:16160,m Q m m <⎧⎨∆=+<⎩或0m ＝．∴10m <≤－．∴10{|}Q m m <≤＝－．∴P Q ⊂≠．【变式2】【辽宁锦州质检（一）】集合{|3,}nM x x n N ==∈，集合{|3,}N x x n n N ==∈，则集合M 与集合N 的关系（ ）A. M N ⊆B. N M ⊆C. M N φ⋂=D. M ⊆N 且N ⊆M 【答案】D【解析】因为1,1;6,6M N N M ∈∉∈∉ ,所以M ⊆N 且N ⊆M ,选D. 考点3 集合的基本运算【3-1】【浙江卷】已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则（ ）A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5} 【答案】C【解析】分析:根据补集的定义可得结果. 详解：因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C.【3-2】【浙江卷】已知}11|{<<-=x x P ，}20{<<=x Q ，则=Q PA ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1(【答案】A【解析】利用数轴，取Q P ,所有元素，得=Q P )2,1(-．【3-3】【新课标1】已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则（ ）A ．AB =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R【答案】A【解析】由320x ->得32x <，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x ⋂=<⋂<=<，选A ． 【领悟技法】1. 集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。

2. 涉及集合（交、并、补）运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3. 有些集合是可以化简的，如果先化简再研究 其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决． 【触类旁通】【变式一】【天津卷理】设全集为R ，集合，，则A. B.C.D.【答案】B【变式2】【浙江杭州二模】设{}1,0,1,2U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ）A. {}0,1,2B. {}1,1,2-C. {}1,0,2-D. {}1,0,1- 【答案】B【解析】由21x < 得： 11x -<< ，所以{}0A = ，因此{}1,1,2UA =- ，故选择B.【易错试题常警惕】易错典例1：设集合{|}1||A x x a x R <∈＝－，，1{}5|B x x x R <<∈＝，，若A B ⊂≠，则a 的取值范围为________． 易错分析：忽视端点．正确解析：由||1x a <－得11x a <<－－，∴11a x a <<－＋，由A B ⊂≠得1115a a ->⎧⎨+<⎩，∴24a <<．又当2a ＝时，{}13|x x <<＝满足A B ⊂≠，4a ＝时，{}35|A x x <<＝也满足A B ⊂≠，∴24a ≤≤.温馨提示：利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．易错典例2：设集合{}{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A =，则实数a 的取值范围是_______.易错分析：遗忘空集．正确解析：由A B A ⋂=⇔A B ⊆，所以当A φ=时，满足A B ⊆，此时不等式2x a <无解，所以0a ≤，当A φ≠即0a >时，{}|,0A x a x a a =-<<>，由A B ⊆可知204a a ≤⇒<≤，综上可知实数a 的取值范围是4a ≤.温馨提示：在A B AB B A B A A B ?⊆，＝，＝，＝中容易忽视集合A φ≠这一情况，预防出现错误的方法是要注意分类讨论．【学科素养提升之思想方法篇】化抽象为具体——数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：(1)利用Venn 图，直观地判断集合的包含或相等关系． (2)利用Venn 图，求解有限集合的交、并、补运算．(3)借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题．【典例】已知集合{||3|}2Ax x ∈R ＝＋＜，集合{|()()}20B x x m x ∈R ＝－－＜，且)1(A B n ＝－，，则m ＝________，n ＝________.【答案】 －1，1.【解析】 由题意，知51{|}A x x ＝－＜＜．因为)1(AB n ＝－，，{|()()}20B x x m x R ＝－－＜，结合数轴，如图．所以11m n ＝－，＝.。