2021届高考数学核按钮【新高考广东版】3.1 函数的概念及其表示

第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ1.函数的概念与性质(1)了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用．(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义．(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质．2.指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．(3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．(4)知道指数函数是一类重要的函数模型．3.对数函数(1)理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)了解对数函数的概念，了解对数函数的单调性，了解对数函数图象通过的特殊点．(3)知道对数函数是一类重要的函数模型．(4)知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，且a≠1)．4.幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律．5.函数与方程(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．(2)结合具体连续函数及其图象的特点，能够用二分法求相应方程的近似解．6.函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．3.1函数的概念及其表示1.函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的．2.函数的表示方法(1)解析法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法．(2)图象法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法．(3)列表法：就是来表示两个变量之间的对应关系的方法．3.构成函数的三要素(1)函数的三要素是：，，.(2)两个函数相等：如果两个函数的相同，并且完全一致，则称这两个函数相等．4.分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．5.补充几个常用概念常数函数：也称常值函数，即值域是只含一个元素的集合的函数．有界函数、无界函数：值域是有界集的函数称为有界函数，否则称为无界函数．抽象函数：没有给出具体解析式的一类函数．复合函数：指按一定次序把有限个函数合成得到的函数．一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做复合函数y＝f(g(x))的内层函数，u称为中间变量．函数的复合是研究函数的一种工具．一方面它提供了构造各式各样新函数的方法；另一方面，为研究复杂的函数，常将它们看成一些简单函数的复合．代数函数、超越函数：如果函数与其自变量的关系能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示，就称这样的函数为代数函数，否则称为超越函数．函数方程：未知量是函数的方程称为函数方程．使函数方程中的等号能够成立的函数，叫做这一函数方程的解．自查自纠1．唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域2．(1)数学表达式(2)图象(3)列出表格3．(1)定义域对应关系值域(2)定义域对应关系1．(2019·湖南雅礼中学月考)下列函数为同一函数的是()A.y＝x2－2x和y＝t2－2tB.y＝x0和y＝1C.y＝（x＋1）2和y＝x＋1D.y＝lg x2和y＝2lg x解：对于A，y＝x2－2x和y＝t2－2t的定义域都是R，对应关系也相同，所以是同一函数；对于B，y＝x0的定义域是{x|x≠0}，而y＝1的定义域是R，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于C，y＝（x＋1）2＝|x＋1|和y＝x＋1的定义域都是R，但对应关系不相同，所以不是同一函数；对于D，y＝lg x2的定义域是{x|x≠0}，而y＝2lg x 的定义域是{x|x>0}，两函数的定义域不同，所以不是同一函数．故选A.2.函数y＝1log2x－2的定义域为() A.(0，4) B.(4，＋∞)C.(0，4)∪(4，＋∞)D.(0，＋∞)解：由题意得log2x－2≠0且x>0，解得x∈(0，4)∪(4，＋∞)．故选C.3.(2018·河南商丘第二次模拟)设函数f(x)＝⎩⎨⎧x2－1，x≥2，log2x，0＜x＜2，若f(m)＝3，则实数m的值为()A.－2B.8C.1D.2解：当m≥2时，由m2－1＝3，得m2＝4，解得m＝2；当0<m<2时，由log2m＝3，解得m＝23＝8(舍去)．综上所述，m＝2.故选D.4．函数f(x)＝x－1x＋1的值域为________．解：由题意得f(x)＝x－1x＋1＝1－2x＋1，因为x ≥0，所以0<2x＋1≤2，所以－2≤－2x＋1<0，所以－1≤1－2x＋1<1，故所求函数的值域为[－1，1)．故填[－1，1)．5．(2018·定远县期末)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧9，x≥3，－x2＋6x，x<3，则不等式f(x2－2x)<f(3x－4)的解集是________．解：当x<3时，f(x)＝－x2＋6x，在(－∞，3)上单调递增，故f(x)<9.由f(x2－2x)<f(3x－4)，可得⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x<3x－4，3x－4<3或⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x<3，3x－4≥3，解得1<x<73或73≤x<3，即有解集为(1，3)．故填(1，3)．类型一求函数的定义域例1(1)(2019·合肥八中期中)函数f(x)＝ln（x＋3）1－2x的定义域是()A.(－3，0)B.(－3，0]C.(－∞，－3)∪(0，＋∞)D.(－∞，－3)∪(－3，0)解：要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x>0，解得－3<x <0，即函数的定义域为(－3，0)．故选A.(2)(2018·江苏常州期中)若函数f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，则函数f log 12x 的定义域为________．解：因为f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，所以f (x )的定义域是[0，2]，则由0≤log 12x ≤2得，f log 12x 的定义域为⎣⎡⎦⎤14，1.故填⎣⎡⎦⎤14，1. (3)(广西南宁三中2019－2020学年高一10月月考)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是 ( )A.[0，4)B.(0，4)C.[4，＋∞)D.[0，4] 解：由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎨⎧m >0，m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上可得0≤m ≤4.故选D.点拨 ①求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助数轴，要特别注意端点值的取舍．②求抽象函数的定义域：若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．③已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．变式1 (1)(2019·衡水调研模拟二)函数f (x )＝14－x2＋ln(2x ＋1)的定义域为________． 解：要使函数f (x )有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2＞0，2x ＋1＞0，解得－12<x <2，即函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，2.故填⎝⎛⎭⎫－12，2. (2)(2019·东北师大附中摸底)已知函数f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫x －12的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎦⎤12，32 D.⎣⎡⎦⎤1，32 解：由题意得⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，所以⎩⎨⎧－12≤x ≤32，12≤x ≤52，所以12≤x ≤32.故选C.(3)若函数y ＝kx 2－6x ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 ( )A.(－∞，－9]∪[0，＋∞)B.[1，＋∞)C.[－9，1]D.(0，1]解：由题意知，kx 2－6x ＋k ＋8≥0对于x ∈R 恒成立，当k ≤0时显然不符合，所以⎩⎨⎧k >0，Δ＝36－4k （k ＋8）≤0，解得k ≥1.故选B.类型二 求函数的值域例2 求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝2x ＋1－x ； (3)y ＝2x ＋1－x 2；(4)y ＝x 2－2x ＋5x －1；(5)f (x )＝||2x ＋1－||x －4；(6)y ＝sin x ＋1x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.解：(1)方法一：(反解) 由y ＝1－x 21＋x 2，解得x 2＝1－y 1＋y，因为x 2≥0，所以1－y 1＋y ≥0，解得－1＜y ≤1，所以函数值域为(－1，1]． 方法二：(分离常数法)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又因为1＋x 2≥1，所以0＜21＋x 2≤2，所以－1＜－1＋2x 2＋1≤1，所以函数的值域为(－1，1]． (2)(代数换元法) 令t ＝1－x (t ≥0)，所以x ＝1－t 2，所以y ＝2(1－t 2)＋t ＝－2t 2＋t ＋2＝－2⎝⎛⎭⎫t －142＋178. 因为t ≥0，所以y ≤178，故函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，178.(3)(三角换元法) 令x ＝cos t (0≤t ≤π)，所以y ＝2cos t ＋sin t ＝5sin(t ＋φ)(其中cos φ＝15，sin φ＝25)． 因为0≤t ≤π，所以φ≤t ＋φ≤π＋φ， 所以sin(π＋φ)≤sin(t ＋φ)≤1. 故函数的值域为[－2，5]． (4)方法一：(不等式法) 因为y ＝x 2－2x ＋5x －1＝（x －1）2＋4x －1＝(x －1)＋4x －1， 又因为x ＞1时，x －1＞0，x ＜1时，x －1＜0，所以当x >1时，y ＝(x －1)＋4x －1≥24＝4，且当x ＝3，等号成立；当x <1时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（x －1）＋4－（x －1）≤－4，且当x ＝－1，等号成立．所以函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 方法二：(判别式法)因为y ＝x 2－2x ＋5x －1，所以x 2－(y ＋2)x ＋(y ＋5)＝0，又因为函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 所以方程x 2－(y ＋2)x ＋(y ＋5)＝0有不等于1的实根．所以Δ＝(y ＋2)2－4(y ＋5)＝y 2－16≥0，解得y ≤－4或y ≥4.当y ＝－4时，x ＝－1；y ＝4时，x ＝3. 故所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．(5)(图象法)f (x )＝⎩⎨⎧－x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ≤4，x ＋5，x ＞4，作出其图象，可知函数f (x )的值域是⎣⎡⎭⎫－92，＋∞.(6)方法一：(数形结合法)函数y ＝sin x ＋1x －1的值域可看作点A (x ，sin x )，B (1，－1)两点连线的斜率，B (1，－1)是定点，A (x ，sin x )在曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上．如图所示，P (π，0)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.所以k BP ≤y ≤k BQ ，即1π－1≤y ≤4π－2.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π－1，4π－2.方法二：(单调性法)因为函数y ＝sin x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，y ＝x －1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增，且均非负，所以函数y ＝sin x ＋1x －1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减．当x＝π2时，取最大值为4π－2；当x ＝π时，取最小值为1π－1.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π－1，4π－2.点拨 求函数值域的常用方法：①单调性法，如题(6)；②配方法；③分离常数法，如题(1)；④数形结合法，如题(6)；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如题(2)与(3)；⑥判别式法，如题(4)；⑦不等式法，如题(4)；⑧导数法，主要是针对在某区间内可导的函数(详见本书4.3节)；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如题(5)．对于二元函数的值域问题，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．变式2 (1)函数f (x )＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]的值域为________．解：由y ＝5x －14x ＋2＝54－74（2x ＋1），又因为－3≤x ≤－1，所以720≤－74（2x ＋1）≤74，所以85≤y ≤3，即y ∈⎣⎡⎦⎤85，3.故填⎣⎡⎦⎤85，3. (2)函数f (x )＝x ＋1－2x 的值域为________．解：函数的定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，12， 令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t 22.所以y ＝1－t 22＋t ＝－12(t －1)2＋1(t ≥0)，故当t ＝1(即x ＝0)时，y 有最大值1，故函数f (x )的值域为(－∞，1]．故填(－∞，1]． (3)函数y ＝2x 2－x ＋2x 2＋x ＋1的值域是________．解：因为x 2＋x ＋1>0恒成立，所以函数的定义域为R .由y ＝2x 2－x ＋2x 2＋x ＋1，得(y －2)x 2＋(y ＋1)x ＋y －2＝0.当y －2＝0，即y ＝2时，上式化为3x ＋0＝0，所以x ＝0∈R .当y －2≠0，即y ≠2时，因为当x ∈R 时，方程(y －2)x 2＋(y ＋1)x ＋y －2＝0恒有实根，所以Δ＝(y ＋1)2－4×(y －2)2≥0，所以1≤y ≤5且y ≠2.故函数的值域为[1，5]．故填[1，5]． (4)(广东省深圳市宝安区2020届高三上期中)设函数y ＝e x ＋1ex －a 的值域为A ，若A ⊆[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解：因为e x ＞0，所以e x ＋1ex ≥2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以y ＝e x＋1e x －a ≥2－a ，即A ＝[2－a ，＋∞)，因为A ⊆[0，＋∞)，所以2－a ≥0，即a ≤2.故填(－∞，2]．(5)函数y ＝（x ＋3）2＋16＋（x －5）2＋4的值域是________．解：如图，函数y ＝（x ＋3）2＋16＋（x －5）2＋4的几何意义为平面内x 轴上一点P (x ，0)到点A (－3，4)和点B (5，2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出点B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)，连接AB ′交x 轴于一点P ，此时距离之和最小，所以y min ＝|AB ′|＝82＋62＝10，又y无最大值，所以y ∈[10，＋∞)．故填[10，＋∞)．类型三 求函数的解析式例3 (1)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________.解：(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，得c ＝0，由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x.故填12x 2＋12x .(2)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，则f (x )＝________. 解：(配凑法)f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2－2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2(|x |≥2)．故填x 2－2(|x |≥2)．(3)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________.解：(换元法)令2x＋1＝t ，由于x >0，所以t >1且x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg2x －1(x >1)．故填lg 2x －1(x >1)．(4)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.解：(消去法)在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1， 由⎩⎨⎧f （x ）＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f （x ）·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.故填23x ＋13.(5)已知函数f (x )在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有f (f (x )－3x )＝4，则f (2)的值是( )A.4B.8C.10D.12 解：根据题意，f (x )是单调函数，且f (f (x )－3x )＝4，则f (x )－3x 为定值．设f (x )－3x ＝t ，t 为常数，则f (x )＝3x＋t 且f (t )＝4，即有3t＋t ＝4，得t ＝1，则f (x )＝3x ＋1，故f (2)＝10.故选C.点拨 函数解析式的求法：①待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法．②配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．③换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．④消去法(即函数方程法)：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．变式3 (1)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________.解：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k 2x ＋kb＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1.故f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.故填2x －13或－2x ＋1.(2)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (x )＝________. 解：f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2，所以f (x )＝x 2＋2.故填x 2＋2.(3)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 解：令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．故填x 2－1(x ≥1)．(4)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，则f (x )＝________.解：以－x 代替x 得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1，所以f (－x )＝－3f (x )－2x ＋1，代入f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1可得f (x )＝－x ＋14.故填－x ＋14.(5)(2018·衢州期末)已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f (f (x )－ln x )＝1，则f (e)＝________.解：根据题意，f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且f (f (x )－ln x )＝1，则f (x )－ln x 为定值．设f (x )－ln x ＝t ，t 为常数，则f (x )＝ln x ＋t 且f (t )＝1，即有ln t ＋t ＝1，得t ＝1，则f (x )＝ln x ＋1，故f (e)＝ln e ＋1＝2.故填2.类型四 分段函数例4 (1)(贵州省铜仁一中2020届高三二模)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，0<x <2，－2x ＋8，x ≥2，若f (a )＝f (a ＋2)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝________.解：由x ≥2时f (x )＝－2x ＋8是减函数可知，若a ≥2，则f (a )≠f (a ＋2)，所以0<a <2，由f (a )＝f (a ＋2)得a 2＋a ＝－2(a ＋2)＋8，解得a ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (1)＝12＋1＝2.故填2.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解：当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln2，所以x <1.当x ≥1时，x 13≤2，解得x ≤8，所以1≤x ≤8.综上可知x 的取值范围是(－∞，8]．故填(－∞，8]．(3)(2019·河南八市第一次测评)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋λ，x ＜1，λ∈R ，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是 ( )A.(0，2]B.[0，2]C.[2，＋∞)D.(－∞，2)解：当a ≥1时，2a ≥2，所以f (f (a ))＝f (2a )＝22a ＝2f (a )，所以λ∈R ； 当a <1时，f (f (a ))＝f (λ－a )＝2λ－a ，所以λ－a ≥1，即λ≥a ＋1，由题意知λ≥(a ＋1)max ，所以λ≥2.综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．故选C.点拨 ①求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形如f (f (x 0))的求值问题时，应从内到外依次求值．②求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．变式4(1)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 所有可能的值为 ( )A.1或－22B.－22C.1D.1或22解：因为f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2，所以f (a )＝1.当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，因为0<a 2<1，所以0<πa 2<π，所以πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1.故选A.(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 解：当x ＞12时，恒成立；当0＜x ≤12时，恒成立，当x ≤0时，－14＜x ≤0，故x ＞－14.故填⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. (3)已知f (x )＝⎩⎨⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值范围是 ( )A.(－∞，－1]B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解：当x ≥1时，ln x ≥0，故要使函数f (x )的值域为R ，如图所示，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln1≤1－2a ＋3a ，所以－1≤a <12，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12.故选C.1．判断两个函数是否相等 判断两个函数是否相等，即是否为同一函数，只需判断它们的定义域与对应关系是否完全相同即可，与表示函数自变量的字母和函数的字母无关；当两个函数的定义域与对应关系完全相同时，它们的值域也一定相同． 2．函数的表示法函数的三种表示方法在一定条件下可以相互转化，且各有优点，一般情况下，研究函数的性质需求出函数的解析式，在通过解析式解决问题时，又需借助图象的直观性． 3．函数的定义域给出函数定义域的方式有两种，一种是只给定了函数的解析式(对应关系)而没有注明定义域，此时，函数定义域是指使该解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域)；另一种是由实际问题确定的或预先限定了自变量的取值范围(称为实际定义域)．需要注意的是：(1)若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而成的，则它的定义域是各基本初等函数定义域的交集． (2)对于含有参数的函数求定义域，或已知其定义域求参数的取值范围，一般需要对参数进行分类讨论．(3)若函数是由一些基本初等函数复合而成，则求函数定义域时应注意内层函数的值域为外层函数的定义域的子域(集)． 4．求函数解析式的主要方法待定系数法、换元法、方程(组)法等．如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；若已知复合函数f (g (x ))的表达式时，可用换元法；若已知抽象函数的表达式时，常用解方程(组)法． 5．函数的值域 求函数的值域，不但要注意对应关系的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．常用方法有：图象法、单调性法、配方法、换元法、分离常数法、不等式法、判别式法、导数法、数形结合法等．求函数值域的基本原则有： (1)当函数y ＝f (x )用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合．(2)当函数y ＝f (x )用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所对应的实数y 的集合．(3)当函数y ＝f (x )用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定．(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定．1．(2019·邵阳检测)设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝⎛⎭⎫x 2的定义域为 ( ) A.[1，2] B.(2，4] C.[1，2) D.[2，4)解：因为函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，所以函数f (x )的定义域为(1，2]，所以1<x 2≤2，解得x ∈(2，4]，则函数f ⎝⎛⎭⎫x 2的定义域为(2，4]．故选B.2．函数y ＝16－4x 的值域是 ( )A.[0，＋∞)B.[0，4]C.[0，4)D.(0，4) 解：由已知得0≤16－4x <16，则0≤16－4x<4，即函数y ＝16－4x 的值域是[0，4)．故选C. 3．(2019·郑州外国语学校月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是 ( ) A.[－1，2] B.[0，2] C.[1，＋∞) D.[－1，＋∞) 解：当x ≤1时，x 2＋1≤2，得－1≤x ≤1；当x >1时，由1－log 2x ≤2，得log 2x ≥－1，所以x ≥12，所以x >1. 综上可知，实数x 的取值范围是[－1，＋∞)．故选D.4．(重庆市南开中学2020届高三一检)关于函数y ＝f (x )与y ＝f (ln x )，下列说法一定正确的是( ) A.定义域相同 B.值域相同C.单调区间相同D.奇偶性相同 解：对于A ：y ＝f (x )的定义域是R ，而y ＝f (ln x )的定义域是(0，＋∞)，故A 错误；对于C ：y ＝f (ln x )是复合函数，其单调性须遵循“在定义域上，同增异减”的原则，故C 错误；对于D ：y ＝f (ln x )的定义域是(0，＋∞)的子集，故y ＝f (ln x )不具有奇偶性，故D 错误；因为y ＝ln x 的值域是R ，故B 正确．故选B. 5．(2020届广东高三11月第一次质量检测)已知f (x )＝(x －n )2，x ∈[2n －1，2n ＋1)(n ∈Z )，则f (2 021)＝ ( )A.1 0082B.1 0092C.1 0102D.1 0112 解：由2 021＝2×1 011－1，可得f (2 021)＝(2 021－1 011)2＝1 0102.故选C.6．(2019·福州检测)已知f (x )＝x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝ ( ) A.3 B.72 C.4 D.92解：因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝11＋x 2， 因为f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1， 所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，因为f (1)＝121＋12＝12， 所以f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝12＋1＋1＋1＝72.故选B. 7．(2019·全国卷Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，94 B.⎝⎛⎦⎤－∞，73 C.⎝⎛⎦⎤－∞，52 D.⎝⎛⎦⎤－∞，83 解：因为f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －1)． 因为x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1)∈⎣⎡⎦⎤－14，0； 所以x ∈(1，2]时，x －1∈(0，1]，f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)∈⎣⎡⎦⎤－12，0； 所以x ∈(2，3]时，x －1∈(1，2]，f (x )＝2f (x －1)＝4(x －2)(x －3)∈[－1，0]，作出函数f (x )的图象如图．当x ∈(2，3]时，由4(x －2)(x －3)＝－89，解得x 1＝73，x 2＝83，若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m ≤73.则m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，73.故选B. 8．【多选题】(山东省泰安二中2020届考试)对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时，f (x )的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数．下列函数为2倍值函数的是 ( )A.f (x )＝x 2B.f (x )＝x 3＋2x 2＋2xC.f (x )＝x ＋ln xD.f (x )＝xex解：由题意可得，若f (x )＝2x 在定义域内至少有两个不相等的实数根，则f (x )符合要求．对于A ，令f (x )＝x 2＝2x ，解得x ＝0或x ＝2满足题意；对于B ，令f (x )＝x 3＋2x 2＋2x ＝2x ，解得x ＝－2或x ＝0满足题意；对于C ，f (x )是增函数，令f (x )＝x ＋ln x ＝2x ，无解，不满足题意；对于D ，令f (x )＝x e x ＝2x ，解得x ＝0或x ＝ln 12满足题意．故选ABD.9．(2019·山东省实验中学段考)设函数f (x )对x ≠0的一切实数都有f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫2 021x ＝3x ，则f (2 021)＝________.解：x ＝1时，f (1)＋2f (2 021)＝3， 当x ＝2 021时，f (2 021)＋2f (1)＝6 063，即⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＋2f （2 021）＝3，f （2 021）＋2f （1）＝6 063，解得f (2 021)＝－2 019.故填－2 019.10．(2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．解：(1)x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付(60＋80)－10＝130元．(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元， 当y <120元时，李明得到的金额为y ×80%，符合要求；当y ≥120元时，有(y －x )×80%≥y ×70%恒成立，即8(y －x )≥7y ，x ≤y8恒成立，因为⎝⎛⎭⎫y 8min ＝15，所以x 的最大值为15. 故填130；15.11．(2018·唐山一中月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1，0<x <c ，2－x c 2＋1，c ≤x <1，且f (c 2)＝98. (1)求常数c ；(2)解方程f (x )＝98.解：(1)因为0<c <1，所以0<c 2<c ，所以f (c 2)＝c 3＋1＝98，即c ＝12.(2)由(1)得，f (x )＝⎩⎨⎧12x ＋1，0<x <12，2－4x ＋1，12≤x <1.由f (x )＝98得⎩⎨⎧0<x <12，12x ＋1＝98或⎩⎨⎧12≤x <1，2－4x ＋1＝98，解得x ＝14或x ＝34.12.某工厂生产某种产品的固定成本为3万元，该工厂每生产100台该产品的生产成本为1万元，设该产品的产量为x (单位：百台)，其总成本为g (x )(单位：万元)(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )(单元：万元)满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x >7. 假定该产品产销平衡，根据上述信息求下列问题：(1)要使工厂有盈利，产量x 应控制在什么范围内？(2)工厂生产多少台产品时，盈利最大？解：依题意得g (x )＝x ＋3.设利润函数为f (x )， 则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x >7.(1)要使工厂有盈利，则f (x )>0， 即⎩⎨⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5>0或⎩⎨⎧x >7，10.5－x >0⇒3<x ≤7或7<x <10.5，即3<x <10.5，所以要使工厂有盈利，则产量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．(2)当3<x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5， 故当x ＝6时，f (x )取得最大值4.5； 当7<x <10.5时，f (x )<10.5－7＝3.5. 所以当工厂生产600台产品时，盈利最大． 13．已知函数f (x )＝（1－a 2）x 2＋3（1－a ）x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(i)当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求；(ii)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数，因为f (x )的定义域为R ，所以g (x )≥0，x ∈R 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＞0，Δ＝9（1－a ）2－24（1－a 2）≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＜1，（a －1）（11a ＋5）≤0⇒－511≤a ＜1.综合①②得a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－511，1. (2)因为函数f (x )的值域为[0，＋∞)， 所以函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＞0，Δ＝9（1－a ）2－24（1－a 2）≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＜1，（a －1）（11a ＋5）≥0⇒－1＜a ≤－511.当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－511.附加题 (广东省汕头市2019届高三第二次模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1x ，x <0，2x ＋1，x ≥0，g (x )＝x 2－x －2，设b 为实数，若存在实数a ，使得g (b )＋f (a )＝2成立，则b 的取值范围为( )A.［-1,2］B.⎣⎡⎭⎫－32，72 C.⎣⎡⎦⎤－32，72 D.⎝⎛⎦⎤－32，4 解：因为f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋1x ，x <0，2x ＋1，x ≥0，所以当x ≥0时，f (x )＝2x ＋1单调递增，故f (x )＝2x ＋1≥2；当x <0时，f (x )＝－x 2＋1x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝(－x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2，当且仅当－x ＝－1x ，即x ＝－1时，取等号．综上可得，f (x )∈[2，＋∞)．又因为存在实数a ，使得g (b )＋f (a )＝2成立， 所以只需g (b )≤2－f (x )min ，即g (b )＝b 2－b －2≤0，解得－1≤b ≤2.故选 A.。