第五章 拉普拉斯变换
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第五章 连续时间系统的复频域分析
2
(s )2 2
(1)
(s 1)e3s (s 1)2 4
(2) et cos (t 1) (t 2)
三、拉普拉斯变换性质
(s 1)e3s
(1)
(s 1)2 4
e-(t-3)[cos2(t-3) -sin2(t-3)](t-3)
(s 1) (s 1) 2 (s 1)2 4 (s 1)2 22
4
f (t) (4 4et 3tet ) (t)
四、拉普拉斯变换反变换
(1)
F (s)
s2
1 5s
6
(2)
s s2 2s 5
f (t) (et cos 2t 1 et sin 2t) (t)
2
四、拉普拉斯变换反变换
留数定理
留数计算：
假设sk是F(s)的一阶极点，则其留数为：
Re sk (s sk )F(s)est ssk
一、拉普拉斯变换及收敛域
例：求下面信号的LT的收敛区间
f (t ) e2t (t ) e2t (t )
有始信号收敛域的收敛轴由最右面极点决定，收敛域在收敛轴右面
二、常用函数拉普拉斯变换
L (t) 1
L{ (t)} 1
s
Lt (t)
1 s2
Re[s] > 0
L{et (t)} 1 s
L tet (t) 1
（2）
解：
f (t) cos(t) cos(3t) (t)
三、拉普拉斯变换性质
复频域微分与积分
Lt f t d F s
ds
L
f
t
t
s
F
s
d
s
三、拉普拉斯变换性质
例1：L[tet (t)]
[理学]第五章2拉普拉斯变换的性质_OK
![[理学]第五章2拉普拉斯变换的性质_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/356c9bfd76c66137ef061994.png)
0
2
t
解： 令
f t
f
2
t
2
则
f t 2 t 4 t 2 t
2
f
t
2
1
F
s
2
4
e
s 2
2 es
0
2
f ' t
2
2
1
2e
s 2
es
2
2
2 1
e
s 2
2
L
f
t
2
1 s2
Fs
2
1
e
2
s
. s2
2
0 2
f "
t
2
2
2
0
4
t
t
2
2
这是由于位于收敛边界的极点被抵消的缘故。
例5.2-1 求单边正弦函数 sin t t 和单边余 弦函数 cos t t 的象函数。
解：因为 sin t e jt e jt 2j
而es0t t 1
s s0
e jt e jt 2j
t
1 .
1
1.
1
2 j s j 2 j s j
s2 2
sin
t
t
s2
2
Res 0
3
同理因为
cos t e j t e j t
2
e j t e j t 2
t
s
1. 1
2 s j
1. 1
2 s j
s2
2
cos
t
t
s2
2
Res 0
sin t t
s2
2
第5章 拉普拉斯变换
F ( s ) F1 ( s ) F1 ( s )e Ts F1 ( s )e 2Ts 1 F ( s) Ts 1 1 e
结论：单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以
例9 、 周期冲击序列T (t ) (t )的拉氏变换为
1 1 e Ts
jω
0
α
σ
收敛边界
收敛域
例2、反因果信号f2(t)= et(-t) ，求拉氏变换。
( s )t e t st 0 e e dt 解: F2 b ( s ) (s ) 1 [1 lim e ( ) t e j t ] t (s ) jω 0
0
F ( s ) e st0
已知，f (t ) (t ) F (s), Re[s] 0
(a,b正实常数)
与尺度变换相结合
f(at-b)(at-b)←→
1 e a
b s a
s F a
0
f1(t) 1 1 f2(t) 1 t
例6、求如图信号的单边拉氏变换。 解：f1(t) = (t) –(t-1)，f2(t) = (t+1) –(t-1) 1 s ( 1 e ) F1(s)= s F2(s)= F1(s)
s τ a
1 s dτ F a a
三、时移特性
若L f (t ) F ( s)， L f (t t0 ) (t t0 ) F ( s) e st0 ,
Re[ s] 0 , 且实常数t0 0, 则 Re[ s] 0
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初 始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉 氏变换式写为
结论：单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以
例9 、 周期冲击序列T (t ) (t )的拉氏变换为
1 1 e Ts
jω
0
α
σ
收敛边界
收敛域
例2、反因果信号f2(t)= et(-t) ，求拉氏变换。
( s )t e t st 0 e e dt 解: F2 b ( s ) (s ) 1 [1 lim e ( ) t e j t ] t (s ) jω 0
0
F ( s ) e st0
已知，f (t ) (t ) F (s), Re[s] 0
(a,b正实常数)
与尺度变换相结合
f(at-b)(at-b)←→
1 e a
b s a
s F a
0
f1(t) 1 1 f2(t) 1 t
例6、求如图信号的单边拉氏变换。 解：f1(t) = (t) –(t-1)，f2(t) = (t+1) –(t-1) 1 s ( 1 e ) F1(s)= s F2(s)= F1(s)
s τ a
1 s dτ F a a
三、时移特性
若L f (t ) F ( s)， L f (t t0 ) (t t0 ) F ( s) e st0 ,
Re[ s] 0 , 且实常数t0 0, 则 Re[ s] 0
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初 始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉 氏变换式写为
第五章 拉普拉斯变换(1)
ROC=R 保持不变
f (t − t0 )u(t − t0 )
t0
证明： LT [ f (t − t0 )u(t − t0 )] = ∫ f (t − t0 )u(t − t0 )e dt = ∫ f (t − t0 )e− st dt
∞ − st ∞ 0 t0
令x = t − t0 , t = x + t0 LT [ f ( x)u( x)] = ∫ f ( x)e− s ( x+t0 ) dx
−1 1 1 ) F(S) = ( + S + jω S − jω 2 j
1 1 1 F(S) = ( + ) S + jω S − jω 2 S = 2 2 S +ω
ω = 2 2 S +ω
衰减余弦的拉氏变换
F 0 ( S ) = LT [cos ω t ] =
S
2
S +ω
2
f (t ) = e
e
at
cos ω 1 t
(a > 0)
u (t )e
at
−σt
e .e (σ > a ) −σt e cos ω 1t
−σ t
拉 普 拉 斯 正 变 换
因果
f1(t) = f (t)e
∞ 0
−σt
s =σ + jω
F1 (ω ) = ∫ f (t )e
∞
−(σ + jω )t
dt
F(s) = ∫ f (t)e dt
B： σ 大, e st 幅度变化快； 大，频率高。 w
C ：一对共轭复频率
σ ± jw 对应一个正弦振荡
振荡
或指数为包络线的正弦
第五章 拉普拉斯变换
解： (s) e u(t )e dt es t e( j )t dt F 0
s0t st
0
e
0
( 0 ) t j ( 0 ) t
e
dt
当 0时
F ( s)
1 所以，e u(t ) s s 0
s0t
1 s s0
其中，由于s 2 的极点被 s 2零点所抵消 ， 所以 F ( s)的ROC扩大为 3
L 2. 时移特性: 如果 f (t ) F (s), ROC: R
则 f (t t0 ) e st0 F (s), ROC: Rc R
L
(5.3.2)
例 5.3.3 求 f (t ) u(t kT ) 的拉普拉斯变换。
T
2T
3T
t
图5.3.1 例5.3.3信号波形
3.s域移位特性:
若 f (t ) F (s), ROC: R ，且 s0 0 j0
L
L 则 es t f (t ) F (s s0 ), ROC : Rc R 0
0
(5.3.8)
例5.3.4 求信号 cos(0t )u(t )及sin(0t )u(t ) 的拉普拉斯变 换。 解：
1.拉普拉斯变换的收敛域 积分 F (s)
f (t )e st dt 有界时，
称信号 f (t ) 的拉普拉斯变换收敛
f (t )e t 的傅氏变换的收敛
将上式成立（即拉氏变换收敛）的 的取值范围， 称为拉普拉斯变换的收敛域(region of convergence)， 记为ROC。
1 L u (t ) , 0 s
第五部分拉普拉斯变换-资料
sT
(1e 2
)
25
f(t) F(s)11 esTs2E ((22 T T))2(1esT 2)
1 1esT
2
E(2T) s2 (2T)2
26
3.比例性（尺度变换）
设 f(t) F (s),则 f(a t) 1F (s),a 0 aa
例 已知L[f(t)]=F(s)，试求
L [ f ( a t 0 t )( a t 0 t )a ] 0 ( ,t 0 0 )
7
收敛域 lt i m f(t)et0(0)
• 有始有终信号和能量 整个平面
j
有限信号
•等幅0振荡0信或号和0 增a长信 以 0 为界
号
j
0 a
• 不收敛信号 et2, t et2 (0t)
除非 (0tT) 8
双边拉氏变换收敛域— f (t)u(t)etu(t)
f(t)e td t u (t)e td t0u ( t)e ( 1 )td
s 0
0 s0
F (s) s
33
若积分下限由 开始
t
0
t
f()d f()d f()d
0
f1(0) t f()d 0
4 ) f( t t 0 )( t t 0 ) s i n 0 ( t t 0 )( t t 0 )
L [ s in0 ( t t0 )( t t0 ) ] e s t0 L [ s in0 t] e s t0s 2 00 2
22
例 求锯齿波的拉氏变换
f (t) E
Tt
解：
fa (t)
证明:由定义
L[d(ft)] d(ft)estdt
dt
0 dt
estf(t)(s)estf(t)dt 0 0
第五章 拉普拉斯变换
5.2
典型信号的拉普拉斯变换
五、 衰减余弦信号e-atcos0t
1 1 L[e cos t ] L[ e (e e )] L[e e ] 2 2 1 1 1 sa [ ] 2 s ( a j ) s ( a j ) ( s a )
at at j 0 t - j 0 t - ( a j 0 ) t - ( a j 0 ) t 0 2 0 0
中国民航大学 CAUC
5.1
拉普拉斯变换的定义和收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换（3） 推广到一般情况
F[ f (t )e ] f (t )e e dt
t t jt
f (t )e ( j)t dt
令s= +j
f (t )e st dt F (s)
j 0 t - j 0 t j 0 t - j 0 t 0 2 2 0 0 0
四、 正弦信号sin0t
1 L[sin t ] L[ (e 2j
0 j 0 t
1 1 1 e )] ( ) 2 j s j s j
- j0t 0 0
2
0 2 0
s
中国民航大学 CAUC
2 0
六、 衰减正弦信号e-atsin0t
1 L[e sin t ] L{ [e 2j
at 0 - ( a j 0 ) t
e
- ( a j 0 ) t
]}
0
1 1 1 [ ] 2 j s ( a j ) s ( a j ) ( s a )
f (t )e dt
st
定义： F (s)
第五章 连续系统的S域分析
5.3 拉普拉斯逆变换
直接利用定义式求反变换---复变函数积分。
比较困难
• 通常的方法: （1）查表法 （2）利用性质（3） 部分分式展开-----结合 • 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为
若m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解 为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
• 下面主要讨论有理真分式的情形。 • 部分分式展开法 • 若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可
x1(t) x2 (t) X1(s) X 2 (s) ROC: 包括R1 I R2
复卷积定理
若L[ f1(t)] F1(s), L[ f2 (t)] F2 (s)
则L[
f1 (t )
f2 (t)]
1
2j
[F1(s)
F2 (s)]
8、 S域微分:（Differentiation in the s-Domain）
故i(t) L1[I (s)] 0.75 (t) 4.25e 2t (t)
6、时域积分特性（积分定理）
• 若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 则
f
(n) (t)
(
t )n
f
(x)dx
1 sn
n
F(s)
m1
1 s nm1
f
(m) (0 )
7. 卷积性质: 若 x1(t) X1(s), ROC : R1 x2 (t) X 2 (s), ROC : R2 则
x(t)es0t X (s s0), ROC : R Re[s0 ]
表明 X (s s0)的ROC是将X (s)的ROC平移了
一个Re[s0 ] 。
例3、求L[et sin t]
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f (t) f1(t) f1(t T ) (t T ) f1(t 2T ) (t 2T ) L
F(s)
(1
eTs
e2Ts
L
)F1(s)
1 1 eTs
F1(s)
24
例 求半波正弦函数的拉氏变换
f(t)
E
f1(t)
E
0 T/2 T
t
0 T/2
t
解 : f1(t) fa(t) fb(t)
dt
s s
F2(s)
sF1 ( s)
s
1
df2(t) 2 (t) et (t)
dt
L[df2(t)] 2 dt
s
1
s
s
sF1(s)
f2(0 )
所求信号 的拉氏变换不同
32
6 时域积分
设L[ f (t )] F ( s), 则 t f ( )d F ( s)
0
s
t f ( )d F (s) f 1(0 )
4) f (t t0 ) (t t0 ) sin 0 (t t0 ) (t t0 )
L[sin 0 (t t0 ) (t t0 )] est0 L[sin 0t] est0
s2
0 02
22
例 求锯齿波的拉氏变换
f (t) E
Tt
解：
fa (t)
fb (t)
E
T
Tt
E
t
f (t) fa (t) fb (t) fc (t)
s
s
证明:由定义
t
L[
f ( )d]
t
[
f ( )d]estdt
0
0 0
[ est s
t 0
f ( )d
0
1 s
f (t )estdt]
0
F(s) s
33
若积分下限由 开始
t
0
t
f ( )d f ( )d f ( )d
(s)
1
1 e
sT
E(2 T ) s2 (2 T )2
sT
(1 e 2 )
1
1 esT
2
E(2 T ) s2 (2 T )2
26
3.比例性（尺度变换）
设f (t) F(s),则f (at) 1 F( s ), a 0 aa
例 已知L[f(t)]=F(s)，试求
L[ f (at t0 ) (at t0 )]( a 0, t0 0)
s
s s3 s4
1 t de st
s 0
所以
L tn
n! sn1
14
常用信号的拉氏变换
u(t)
u (t )a t
tn
(t)
1 S
1 sa
n! s n1
1
(t t0 )
e st0
15
§ 5.2 拉普拉斯变换的 基本性质
16
拉氏变换的基本性质（1）
线性 微分 积分 时移
n
ki fi (t)
f4 (t)
f1(t) kt (t)
f2 (t) k(t t0 ) (t) f3(t) kt (t t0)
f4 (t) k(t t0 ) (t t0 )
0 t0
t
只有f4 (t)是f1(t)平移t0后所得
20
例 :已知f
(t)
sin 0t
s2
0 02
求下列拉氏变换
1) f (t t0 ) sin 0 (t t0 )
lim f (t) f (0 ) lim SF(s)
t 0
s
终值 lim f (t) f () lim SF(s)
定理
t
s0
f1(t) * f2 (t)
卷积
定理
f1(t). f2 (t)
F1(s).F2 (s)
1
2j F1(s) * F2 (s)
18
一、拉氏变换的性质
1.线性
设f1(t) F1(s), f2(t) F2(s)
0
0
1
f
(t )
LT
1
1
s 1 s
j
01
1
0
0
0
1
0 1
9
f2 (t) u(t) etu(t) 1
f2
(t )
LT
1 s
s
1 1
1 s
1 1
s
f3(t) u(t) etu(t) 0
f3 (t )
LT
1 s
s
1 1
1 s
1 1
s
不同原函数，收敛域不同，也可得到相同的 象函数。
2
§ 5.1 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一. 拉氏变换的定义
——从傅氏变换到拉氏变换
二．拉氏变换的收敛
三．一些常用函数的拉氏变换
3
一、拉氏变换的定义——从傅氏变换 到拉氏变换
有几种情况不满足狄里 赫利条件：
• u(t)
• 增长信号eat (a 0)
• 周期信号 cos1t
• 若乘一衰减因子 et
(at
t0
)]
L{
f
[a(t
t0 a
)] [a( t
t0 a
)]}
1
e
s a
t0
F
(
s
)
aa28源自4.频移性 设f (t) F(s), 则L[ f (t)es0t ] F(s s0 )
例:求拉氏变换 et (t 1) et sin0t (t)
解: (t ) 1
s
(t 1) 1 e s
以 0 为界
等幅振荡信号和增长信
号
j
0 a
• 不收敛信号 et2 , tet2 (0 t )
除非 (0 t T ) 8
双边拉氏变换收敛域— f (t) u(t) etu(t)
f (t)e tdt u(t)e tdt 0 u(t)e(1 )tdt
0
etu(t) 1 u(t)
0 dt dt s[sF (s) f (0 )] df (t )
dt t 0
s2F(s) sf (0 ) f (0 ) 依此类推,可得
L[
d
nf dt
(
n
t
)
]
snF (s) sn1 f (0 )
f (n1) (0 )
若f(t)为有始函数,则
f (t) f (t) (t), L[df (t) (t)] sF (s)
dt
31
例 ： 设f1 ( t )
et (t ),
f2 ( t )
1 e t
求f1' ( t )和f2 ' ( t )的拉氏变换。
t0 t0
解： 1 f1(t)
1 f2 (t)
0
t
0
t
df1(t) (t) et (t)
-1
dt
L[ f1(t)] L[ f2(t)], F1(s)
L[df1(t)] 1 s
终值
初值，若有跳变则为 f (o )
6
二．拉氏变换的收敛
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；
7
收敛域
lim f (t)et 0
t
• 有始有终信号和能量 整个平面 有限信号
( 0)
j
• 0 0 或 0 a
i1
df (t) dt
t f ( )d
f (t t0 )u(t t0 )
n
ki.LT [ f (t)]
i 1
SF(s) f (0 )
F (s) f '(0 )
s
s
est0 F (s)
频移
f (t)eat
F(s a)
17
拉氏变换的基本性质（2）
尺度变换 初值定理
f (at)
1 F s a a
解：先时移性后比例性
由时移性 L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (s)
再由比例性
L[
f
(at
t0 )
(at
t0 )]
1 a
e
s a
t0
F
(
s
)
a
27
另解：先比例性后时移性
由比例性 L[ f (at ) (at )] 1 F ( s )
aa
再由时移性
L[
f
(at
t0
)
2j j
FT: 实频率 是振荡频率 LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度
5
拉氏变换已考虑了初始条件
LT f (t) F(s)
LT
df (t dt
)
SF (s)
f
(o )
0
f ' (t)est dt
f (t)est
0
0
f (t)(est )' dt
f ()es f (0) SF(s)
fc (t)
T
t
k=-E/T
E t (t) E (t T ) E (t T ) (t T )
T
T
E1 fa (t) T s2 ,
由时移性
fb (t ) esT
fc
(t)
E T
1 s2
e sT
E s
所以：
f
(t
)
E Ts2
[1
(Ts
1)esT
]
23
利用时移可以求单边周期信号的拉氏变换 设f1(t)表示第一个周期的函数
F(s)
(1
eTs
e2Ts
L
)F1(s)
1 1 eTs
F1(s)
24
例 求半波正弦函数的拉氏变换
f(t)
E
f1(t)
E
0 T/2 T
t
0 T/2
t
解 : f1(t) fa(t) fb(t)
dt
s s
F2(s)
sF1 ( s)
s
1
df2(t) 2 (t) et (t)
dt
L[df2(t)] 2 dt
s
1
s
s
sF1(s)
f2(0 )
所求信号 的拉氏变换不同
32
6 时域积分
设L[ f (t )] F ( s), 则 t f ( )d F ( s)
0
s
t f ( )d F (s) f 1(0 )
4) f (t t0 ) (t t0 ) sin 0 (t t0 ) (t t0 )
L[sin 0 (t t0 ) (t t0 )] est0 L[sin 0t] est0
s2
0 02
22
例 求锯齿波的拉氏变换
f (t) E
Tt
解：
fa (t)
fb (t)
E
T
Tt
E
t
f (t) fa (t) fb (t) fc (t)
s
s
证明:由定义
t
L[
f ( )d]
t
[
f ( )d]estdt
0
0 0
[ est s
t 0
f ( )d
0
1 s
f (t )estdt]
0
F(s) s
33
若积分下限由 开始
t
0
t
f ( )d f ( )d f ( )d
(s)
1
1 e
sT
E(2 T ) s2 (2 T )2
sT
(1 e 2 )
1
1 esT
2
E(2 T ) s2 (2 T )2
26
3.比例性（尺度变换）
设f (t) F(s),则f (at) 1 F( s ), a 0 aa
例 已知L[f(t)]=F(s)，试求
L[ f (at t0 ) (at t0 )]( a 0, t0 0)
s
s s3 s4
1 t de st
s 0
所以
L tn
n! sn1
14
常用信号的拉氏变换
u(t)
u (t )a t
tn
(t)
1 S
1 sa
n! s n1
1
(t t0 )
e st0
15
§ 5.2 拉普拉斯变换的 基本性质
16
拉氏变换的基本性质（1）
线性 微分 积分 时移
n
ki fi (t)
f4 (t)
f1(t) kt (t)
f2 (t) k(t t0 ) (t) f3(t) kt (t t0)
f4 (t) k(t t0 ) (t t0 )
0 t0
t
只有f4 (t)是f1(t)平移t0后所得
20
例 :已知f
(t)
sin 0t
s2
0 02
求下列拉氏变换
1) f (t t0 ) sin 0 (t t0 )
lim f (t) f (0 ) lim SF(s)
t 0
s
终值 lim f (t) f () lim SF(s)
定理
t
s0
f1(t) * f2 (t)
卷积
定理
f1(t). f2 (t)
F1(s).F2 (s)
1
2j F1(s) * F2 (s)
18
一、拉氏变换的性质
1.线性
设f1(t) F1(s), f2(t) F2(s)
0
0
1
f
(t )
LT
1
1
s 1 s
j
01
1
0
0
0
1
0 1
9
f2 (t) u(t) etu(t) 1
f2
(t )
LT
1 s
s
1 1
1 s
1 1
s
f3(t) u(t) etu(t) 0
f3 (t )
LT
1 s
s
1 1
1 s
1 1
s
不同原函数，收敛域不同，也可得到相同的 象函数。
2
§ 5.1 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一. 拉氏变换的定义
——从傅氏变换到拉氏变换
二．拉氏变换的收敛
三．一些常用函数的拉氏变换
3
一、拉氏变换的定义——从傅氏变换 到拉氏变换
有几种情况不满足狄里 赫利条件：
• u(t)
• 增长信号eat (a 0)
• 周期信号 cos1t
• 若乘一衰减因子 et
(at
t0
)]
L{
f
[a(t
t0 a
)] [a( t
t0 a
)]}
1
e
s a
t0
F
(
s
)
aa28源自4.频移性 设f (t) F(s), 则L[ f (t)es0t ] F(s s0 )
例:求拉氏变换 et (t 1) et sin0t (t)
解: (t ) 1
s
(t 1) 1 e s
以 0 为界
等幅振荡信号和增长信
号
j
0 a
• 不收敛信号 et2 , tet2 (0 t )
除非 (0 t T ) 8
双边拉氏变换收敛域— f (t) u(t) etu(t)
f (t)e tdt u(t)e tdt 0 u(t)e(1 )tdt
0
etu(t) 1 u(t)
0 dt dt s[sF (s) f (0 )] df (t )
dt t 0
s2F(s) sf (0 ) f (0 ) 依此类推,可得
L[
d
nf dt
(
n
t
)
]
snF (s) sn1 f (0 )
f (n1) (0 )
若f(t)为有始函数,则
f (t) f (t) (t), L[df (t) (t)] sF (s)
dt
31
例 ： 设f1 ( t )
et (t ),
f2 ( t )
1 e t
求f1' ( t )和f2 ' ( t )的拉氏变换。
t0 t0
解： 1 f1(t)
1 f2 (t)
0
t
0
t
df1(t) (t) et (t)
-1
dt
L[ f1(t)] L[ f2(t)], F1(s)
L[df1(t)] 1 s
终值
初值，若有跳变则为 f (o )
6
二．拉氏变换的收敛
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；
7
收敛域
lim f (t)et 0
t
• 有始有终信号和能量 整个平面 有限信号
( 0)
j
• 0 0 或 0 a
i1
df (t) dt
t f ( )d
f (t t0 )u(t t0 )
n
ki.LT [ f (t)]
i 1
SF(s) f (0 )
F (s) f '(0 )
s
s
est0 F (s)
频移
f (t)eat
F(s a)
17
拉氏变换的基本性质（2）
尺度变换 初值定理
f (at)
1 F s a a
解：先时移性后比例性
由时移性 L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (s)
再由比例性
L[
f
(at
t0 )
(at
t0 )]
1 a
e
s a
t0
F
(
s
)
a
27
另解：先比例性后时移性
由比例性 L[ f (at ) (at )] 1 F ( s )
aa
再由时移性
L[
f
(at
t0
)
2j j
FT: 实频率 是振荡频率 LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度
5
拉氏变换已考虑了初始条件
LT f (t) F(s)
LT
df (t dt
)
SF (s)
f
(o )
0
f ' (t)est dt
f (t)est
0
0
f (t)(est )' dt
f ()es f (0) SF(s)
fc (t)
T
t
k=-E/T
E t (t) E (t T ) E (t T ) (t T )
T
T
E1 fa (t) T s2 ,
由时移性
fb (t ) esT
fc
(t)
E T
1 s2
e sT
E s
所以：
f
(t
)
E Ts2
[1
(Ts
1)esT
]
23
利用时移可以求单边周期信号的拉氏变换 设f1(t)表示第一个周期的函数