多刚体系统的碰撞理论及应用 (修复的)
冗余约束多刚体系统摩擦碰撞问题的数值求解方法
法向相对速度和切向相对速度为 ｇ （ ，，） 毒 （ ， ‘ ｑ ｔ和 ｑ
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致 的 Ｐｓｏ ｏｓ ｎ恢 复 系 数 作 为 碰 撞 终 止 准 则 。利 用 Ｐ ｓ ｉ ｏ— ｓ ｎ恢 复系 数 ， ｌ ｋ ｒ 建 立 了描 述 平 面 摩 擦 碰 撞 问 ｉ ｏ Ｇｏ ｅ ｅ 题 值 求解 方 法 。 并
基金项 目：国家高技术研究发 展计划 （ ６ ８ ３计划 ） （０ ６ Ａ ４ ２２） 江 ， ２０ Ａ ０ ０ ０ ．
苏 省 “ 大人 才 高 峰计 划 ”（ ０ ８４ ） 东南 大 学 优 秀 青 年 教 师 教 学 六 ２０ １４ ，
１ ： ０
式中： 为系 统广义 质量 矩 阵； ＝船 ａ ， ／ｇ
约束 函数 为 ｇ （ ，） 进 而 ， 义 两 刚 体 在 碰撞 点 处 的 ｑｔ ； 定
止 条件 ， 该 恢 复 系 数 仅 定 义 了 碰 撞 运 动 学 约 束 条 而 件 ， 因此无 法 保 证 碰撞 前 后 能 量 变 化 的 协 调 性 。为
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方程和线性规 划理论 为基础 ， 建立 了相应 的混合互补模型。为有效求解该模型 ， 利用最小二乘法和线性化方法 ， 将混合互
补模型转化为标准 的线性互补模型 ， 用线性互补模型的求解算法进行数 值求解。接着 ， 提出一种直接投影 修正算法对碰
多体系统的理论力学分析与问题求解
多体系统的理论力学分析与问题求解理论力学是物理学的重要分支之一，研究的是物体在外界力作用下的运动规律。
多体系统是指由多个相互作用的物体组成的系统。
在多体系统的理论力学分析与问题求解中，我们需要运用一系列的方法和工具来研究和描述系统的动力学行为。
本文将探讨多体系统的理论力学分析和问题求解的方法及应用。
一、多体系统的描述在多体系统的理论力学中，我们首先需要对系统进行描述。
对于每一个物体，我们需要确定其位置、动量以及受到的力的性质。
通过这些参数，我们可以建立多体系统的描述模型。
一般来说，可以使用质心坐标和相对坐标来描述多体系统。
质心坐标是指以质心为原点，以各个物体的质量均值为权重计算的坐标。
相对坐标是指以某一物体为原点，以其余物体相对于该物体的位置为描述参数得到的坐标。
通过质心坐标和相对坐标的描述，我们可以将多体系统的动力学方程写成一组常微分方程或者偏微分方程的形式。
这些方程描述了系统中每一个物体的运动规律，可以通过求解这些方程来得到系统的解析解或者数值解。
二、多体系统的动力学方程多体系统的动力学方程是描述系统运动规律的基本方程。
对于一般的多体系统，我们需要根据系统的特点和约束条件，选择适合的动力学方程。
最常用的动力学方程是牛顿第二定律。
根据牛顿第二定律，一个物体所受的合外力等于物体的质量乘以加速度。
对于多体系统而言，我们可以将每一个物体的牛顿第二定律写成一组方程的形式。
除了牛顿第二定律外，还可以使用拉格朗日方程描述多体系统的运动规律。
拉格朗日方程是一种基于能量和广义坐标的描述方法，通过引入拉格朗日函数和广义力，可以将多体系统的动力学方程简化为一组偏微分方程。
在具体求解过程中，我们可以选择使用解析方法或者数值方法来求解动力学方程。
对于简单的系统，可以通过代数或微分计算得到解析解。
而对于复杂的系统，通常需要借助计算机进行数值模拟和求解。
三、多体系统的问题求解在多体系统的理论力学分析中，我们通常面临一些问题求解的挑战。
多体系统的动力学分析与碰撞仿真
多体系统的动力学分析与碰撞仿真动力学分析与碰撞仿真是研究物体在运动过程中受力和变形的重要方法。
本文将探讨多体系统的动力学分析与碰撞仿真的相关内容，介绍其基本原理和应用。
一、动力学分析的基本原理动力学分析是研究物体在运动中所受到的力和运动规律的科学。
基于牛顿运动定律和质点系的运动学原理，可以得到多体系统的动力学方程，进而求解物体的运动状态和运动规律。
动力学分析中的主要问题包括运动学描述、运动学关系、动力学模型和动力学方程等。
在动力学分析中，通过建立物体之间的相互作用模型，确定物体之间的力和热转移等因素，从而推导出物体的动力学方程。
二、碰撞仿真的原理和方法碰撞仿真是指利用计算机技术对物体之间的碰撞过程进行模拟和仿真。
碰撞仿真可以帮助人们理解和预测物体在碰撞中的行为，为工程设计和科学研究提供有效的方法。
碰撞仿真的基本原理是基于质点系统的动力学分析，通过建立物体之间的碰撞模型和碰撞规律，确定物体之间的碰撞力和碰撞能量转化等因素。
通过求解物体的碰撞动力学方程，可以模拟和预测物体在碰撞过程中的运动状态和变形情况。
碰撞仿真的方法主要包括有限元法、蒙特卡洛方法和分子动力学法等。
在碰撞仿真中，可以根据具体问题的要求选择合适的方法，进行数值计算和仿真模拟。
三、多体系统的动力学分析与碰撞仿真应用多体系统的动力学分析与碰撞仿真在许多工程领域和科学研究中有广泛的应用。
以下为其中的一些应用案例。
1. 交通工程中的车辆碰撞分析：对于交通事故的调查和分析，可以利用动力学分析与碰撞仿真的方法研究车辆之间的碰撞过程，分析事故原因和责任。
通过模拟和比较不同碰撞方案，可以提出相应的交通安全措施。
2. 工程结构的研究与设计：在建筑和桥梁等工程结构的设计中，动力学分析与碰撞仿真可以帮助工程师评估和预测结构在自然灾害或外部冲击下的响应和破坏情况。
通过模拟和仿真，可以优化结构设计，提高抗震和安全性能。
3. 航天器的着陆和返回模拟：在航天工程中，多体系统的动力学分析和碰撞仿真可以帮助研究员模拟和预测航天器在着陆和返回过程中的运动状态和变形情况。
多刚体系统动力学理论概述
多刚体系统动力学理论概述多刚体系统动力学的研究方法包括Lagrange方法、Newton－Euler方法、Roberson－Wittenburg方法、Kane方法和变分法等。
基于第一类Lagrange方程建立带乘子的最大数目动力学方程，对推导任意多刚体系统的运动微分方程提供了一种规范化的方法，其主要特点有：为减少未知量数目，选择非独立的笛卡儿广义坐标；运动微分方程中不包含约束反力，利于求解；在方程中引入动能和势能函数，求导计算量随分析系统的刚体数目增加而大增。
此方法由于方便计算机编译通用程序，目前使用广泛，已被一些多体动力学软件作为建模理论而采用。
一、笛卡儿广义坐标下的各参量笛卡儿方法是以系统中每个物体为单元，在物体上建立随体坐标系。
体的位形均相对于一个公共参考系定义，位形坐标统一为固连坐标系原点的笛卡儿坐标系与坐标系的姿态坐标。
规定全局坐标系OXYZ，其基矢量为e＝［e1，e2，e3］T，过刚体任意一点O（基点）建立与刚体固连的随体坐标系oxyz，其基矢量为e′＝［e′1，e′2，e′3］T。
随体坐标系能够确定刚体的运动，采用3个笛卡儿坐标以及3个方位坐标。
坐标变换矩阵A表示随体坐标相对于全局坐标系的关系。
如图1.1所示，假设刚体从OXYZ变换到oxyz，随体坐标系oxyz 相对于全局坐标系OXYZ的姿态可以由三次有限转动（绕体轴3－1－3顺序）确定，即先绕OZ轴转ψ角度，再绕ON轴转θ角度，最后绕oz转φ角度。
其中，θ为章动角；ψ为进动角；φ为自转角。
图1.1 坐标系转换示意图将ψ、θ和φ这3个描述刚体姿态的坐标称为欧拉角坐标。
三次转动的坐标变换矩阵分别为从随体坐标系oxyz到全局坐标系OXYZ的坐标变换矩阵为式中，cψ＝cosψ，其余类推。
根据角速度叠加原理，刚体的角速度矢量ω为将该矢量投影到全局坐标系中，写成矩阵形式，有其中求导角速度表达式可得到角加速度的表达式：如上所述，刚体的位形由随体坐标系的平动以及相对全局坐标系的转动确定。
理论力学中的冲击和碰撞分析方法有哪些？
理论力学中的冲击和碰撞分析方法有哪些？在理论力学的领域中，冲击和碰撞是常见且重要的现象，它们在工程、物理等多个领域都有着广泛的应用和研究。
冲击和碰撞的分析方法是理解和解决相关问题的关键。
接下来，让我们一起深入探讨一下理论力学中常见的冲击和碰撞分析方法。
首先，我们来了解一下基本概念。
冲击是指物体在极短时间内相互作用，并产生极大的冲击力；碰撞则是指两个或多个物体在相对运动中突然接触并相互作用。
在分析冲击和碰撞问题时，动量定理是一个非常重要的工具。
动量定理指出，在一个系统中，合外力的冲量等于系统动量的增量。
对于冲击和碰撞过程，由于作用时间很短，通常忽略一些次要的力，如摩擦力等，只考虑冲击力。
通过计算冲击力在作用时间内的冲量，可以得到物体在碰撞前后的动量变化。
动能定理在冲击和碰撞分析中也发挥着重要作用。
动能定理表明，合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。
在碰撞过程中，系统的动能可能会发生损失，这部分损失的动能通常以热能、声能等形式耗散掉。
通过分析碰撞前后系统的动能变化，可以了解能量的转化和损失情况。
恢复系数是另一个常用于分析碰撞的重要概念。
它定义为碰撞后两物体的相对分离速度与相对接近速度的比值。
恢复系数的大小反映了碰撞的性质。
当恢复系数为 1 时，碰撞为完全弹性碰撞，碰撞前后系统的动能守恒；当恢复系数为 0 时，碰撞为完全非弹性碰撞，碰撞后两物体以相同的速度运动，系统的动能损失最大；恢复系数介于 0 和 1 之间时，碰撞为非完全弹性碰撞。
在实际分析中，我们还经常使用简化模型。
例如，将碰撞物体视为质点或刚体。
对于质点模型，只考虑物体的质量和速度，忽略物体的形状和转动；对于刚体模型，则需要考虑物体的质量分布、转动惯量等因素。
在处理复杂的碰撞问题时，数值方法也逐渐成为一种有效的手段。
常见的数值方法包括有限元法、差分法等。
这些方法可以通过将物体离散化，建立数学模型，然后利用计算机进行求解，能够处理形状复杂、边界条件多样的碰撞问题。
多刚体动力学
多刚体动力学多刚体动力学是研究多个刚体之间相互作用和运动的学科。
刚体是指不受变形的物体，可以看作是由无限多个质点组成的系统。
在多刚体动力学中，常常涉及到刚体的平动、转动、碰撞等运动形式。
在多刚体动力学中，我们经常使用牛顿定律来描述刚体的运动。
根据牛顿第二定律，刚体受到的合力等于其质量乘以加速度。
对于多个刚体系统，我们需要考虑每个刚体受到的力和力矩，并根据牛顿第二定律进行求解。
我们需要确定刚体系统受到的外力和外力矩。
这些外力可以是重力、摩擦力、弹力等。
对于每个刚体，我们可以根据其受力情况列出动力学方程。
例如，对于一个平面上的刚体，我们可以根据合力等于质量乘以加速度的关系，得到其平动方程。
对于一个绕固定轴旋转的刚体，我们可以根据合力矩等于惯性矩乘以角加速度的关系，得到其转动方程。
我们需要考虑刚体之间的相互作用力。
当两个刚体接触时，它们之间会产生碰撞力。
碰撞力的大小和方向取决于两个刚体之间的接触情况和碰撞的性质。
在多刚体系统中，我们需要考虑每个刚体受到的碰撞力，并根据牛顿第二定律求解。
在多刚体动力学中，我们还需要考虑刚体的约束条件。
约束条件可以限制刚体的运动范围，如固定轴约束、刚体之间的接触约束等。
这些约束条件可以通过等式或不等式来表示，将它们纳入动力学方程中求解。
多刚体动力学的求解可以使用数值方法或解析方法。
对于简单的刚体系统，我们可以使用解析方法进行求解，得到刚体的运动方程和轨迹。
对于复杂的刚体系统，我们通常需要使用数值方法进行求解。
数值方法可以通过离散化刚体的运动，将其转化为一系列的计算问题，并通过迭代求解得到刚体的运动状态。
在多刚体动力学中，我们还可以研究刚体的稳定性和控制问题。
刚体的稳定性可以通过刚体的自由度和刚体系统的约束条件来分析。
刚体的控制问题可以通过施加外力或外力矩来改变刚体的运动状态，实现特定的控制目标。
多刚体动力学是研究多个刚体之间相互作用和运动的学科。
通过应用牛顿定律和约束条件，我们可以分析和求解刚体系统的运动问题。
多刚体系统动力学的发展及其在汽车中的应用
多刚体系统动力学的发展及其在汽车中的应用多刚体系统动力学：一、发展史1、20世纪早期：近代多刚体系统动力学的发展要追溯到20世纪早期，梁仲田、林祜等学者基于弹体物理学就建立了多刚体系统动力学。
虽然那是初步的工作，但铺平了多刚体系统动力学未来发展的道路。
2、中期：20世纪中期，随着计算机逐渐普及，机器人以及动态仿真的研究日趋活跃，多刚体系统动力学也随之发展，1959年美国学者大学申维尔斯（EW Shweder）等人建立了多刚体摆的理论，提出了由基底量去建立系统的绝对坐标、未知量的写法，这标志着多刚体系统动力学从研究固定点死端摆发展到通用死端摆，在此同时，也建立了运动学参数法，进一步推动了多刚体系统动力学的发展。
3、近代：近代，基于随机激励的计算机仿真研究的方法的发展，使任意多刚体机构的运动学和动力学分析显得更加易行且精确，其研究成果被汽车制造行业广泛应用。
二、在汽车中的应用1、汽车传动系统：多刚体系统动力学在汽车传动系统中应用非常重要。
汽车传动系统中，压缩机、发动机曲轴、飞轮、减速机等机械结构都是多刚体系统，其中主要运用多刚体系统动力学中的运动学参数方程去求解多刚体系统的详细运动学行为，以此来分析和优化汽车的传动性能。
2、汽车底盘悬架技术：多刚体系统动力学在汽车底盘悬架技术中的研究至关重要，底盘悬架系统是汽车的重要组成结构，悬架装置的结构是一个多刚体摆，其运动学分析也是多刚体系统动力学的重要内容，通过底盘悬架系统多刚体动力学方面的理论研究，可以设计出更优性能的悬架结构，提高汽车舒适性和动力性能。
3、汽车安全气囊：汽车安全气囊在汽车安全上起着重要作用，其发挥安全作用的机理是多刚体系统动力学，在汽车发生碰撞时，安全气囊可以将碰撞力分散、渐进地把人体从驾驶室中带出，为汽车行业服务。
三、结论多刚体系统动力学在汽车行业的应用越来越广泛，从汽车传动系统、底盘悬架系统和安全气囊等不同层面中发挥着重要作用，在汽车行业起到了重要的应用价值和社会价值，使得汽车变得更加安全和节能。
《碰撞》碰撞力学原理与解析
《碰撞》碰撞力学原理与解析《碰撞力学原理与解析》在我们的日常生活和自然界中，碰撞是一种极其常见的现象。
从台球桌上球与球的撞击，到汽车在道路上的碰撞事故，再到天体之间的相互碰撞，碰撞无处不在。
而要理解这些碰撞现象背后的力学原理，就需要深入探究碰撞力学这一重要的物理学领域。
首先，让我们来明确一下什么是碰撞。
简单来说，碰撞就是两个或多个物体在极短的时间内相互作用，并使它们的运动状态发生改变。
在碰撞过程中，物体之间会产生相互作用力，这些力的大小和方向会随着碰撞的进程而变化。
碰撞可以分为弹性碰撞和非弹性碰撞两种主要类型。
弹性碰撞是指在碰撞过程中，没有机械能的损失，碰撞前后系统的总动能保持不变。
例如，两个质量相同的刚性小球，以相同的速度相向碰撞后，会各自沿着相反的方向以原来的速度弹回。
这种理想的弹性碰撞在实际生活中很难完全实现，但像一些高质量的弹簧系统或者某些微观粒子的碰撞，近似于弹性碰撞。
与之相对的是非弹性碰撞，在非弹性碰撞中，机械能会有一定的损失，转化为其他形式的能量，比如热能、声能等。
一个常见的例子是，一块橡皮泥撞击到墙壁后会粘在墙上，碰撞后的总动能明显小于碰撞前。
而完全非弹性碰撞则是一种特殊的非弹性碰撞，在这种碰撞中，两物体碰撞后会以相同的速度一起运动，机械能的损失达到最大。
在研究碰撞时，动量守恒定律是一个非常关键的原理。
动量被定义为物体的质量与速度的乘积。
在一个封闭的系统中，即没有外力作用的情况下，碰撞前后系统的总动量保持不变。
这意味着，在碰撞前系统中各个物体的动量之和等于碰撞后各个物体的动量之和。
例如，假设一辆质量为 m1 速度为 v1 的汽车与一辆质量为 m2 速度为 v2 的汽车发生正面碰撞，碰撞后它们的速度分别变为 v1' 和 v2'。
根据动量守恒定律，我们可以得到：m1v1 ＋ m2v2 ＝ m1v1' ＋ m2v2'。
动能在碰撞中也有着重要的作用。
动能的大小与物体的速度的平方成正比。
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多刚体系统的碰撞理论及应用现状
一、多体系统碰撞动力学建模理论
多体系统碰撞力学从力学本质上是一种非定常、变边界的高度非线性动力学过程，其中对碰撞过程的正确处理是解决多体接触碰撞动力学问题的关键。
按照对碰撞过程假设的不同，可以将其建模方法分为以下3种类型:冲量动量法，连续碰撞力模型，基于连续介质力学的有限元方法。
文献[1]对它们各自在理论建模和数值方法方面的优势和局限性进行了讨论。
碰撞问题作为持续时间很短的瞬态动力学过程，对于实验装置的响应速度要求很高。
常用的碰撞测量传感器主要有应变传感器、压电传感器、激光传感器和高速摄影机。
二、具有摩擦的刚体碰撞
刚体碰撞是力学上的一个经典问题,但目前大都采用给定恢复系数进行分析的方法，文献[2]则直接从两刚体碰撞时Newton第二定律出发，建立了计及摩擦的两刚体碰撞基本理论。
对于具有摩擦的刚体碰撞，两刚体接触点切线方向受到摩擦力的作用，影响了碰撞结果，而两刚体切线方向的运动状态(称碰撞状态)又与刚体质量分布、摩擦系数和初始接触状态等有关，呈现出多样性。
具有摩擦的刚体碰撞过程两刚体在接触点的相对运动可分为单向滑动(Sliding)，反向滑动(Reversed sliding)和粘滞(Sticking)这三种现象。
1、两个刚体不受外力自由地运动,在某一瞬间发生碰撞,如图1所示。
假定：（1）假定在接触点,法线方向作用压缩力,切线方向作用摩擦力,且接触点不传递力矩；
（2）在碰撞过程中,碰撞接触时间极短,在碰撞过程中,刚体1和2的惯性矩阵以及雅可比矩阵可视为一定；
（3）是2维平面碰撞问题,其运动只在n和t构成的平面内产生。
在接触点,刚体2作用刚体1的力的切向成分,滑动时按照库仑摩擦定律(干摩擦)。
在这3点假设的基础上，可以得到接触点的相对速度、两个刚体的相对运动和碰撞接触时的力传递模型和基本关系式。
2、碰撞状态的分类判别法、冲量和恢复系数
碰撞过程中,切线方向的相对运动如图2所示，能分成三类:单向滑动碰撞，其相对滑动方向在碰撞过程中是一定的不变的；反向滑动碰撞，其切向相对滑动速度减小，在时刻成为
零,其后相对速度方向相反运动；粘滞碰撞,其切向相对速度减小至零后不变，两刚体粘滞在一起，直至碰撞结束分开为止。
这三种碰撞状态可根据相关参数进行判断，总结碰撞状态的充分必要条件,可形成相应的碰撞状态分类法如表1所示。
三、偏心碰撞的能量损耗
碰撞可分为两大类：一类为对心碰撞，用质点模型就可以分析讨论。
碰撞过程中的能量损耗也可以借助恢系数等方法简单表示出来；另一类为偏心碰撞，须用刚体模型，而偏心碰撞中的能量损耗的计算则比对心碰撞繁杂一些。
在沿公切向和公法向的冲量及冲量矩的作用下，系统原来公切向自由度上的动能和公法向自由度上的动能都可能出现转移和耗散，除了一部分仍为物体系的平动自由度动能外，一部分转移为物体系的转动自由度动能，同时还有能量耗散（即：向物体内部自由度转移）。
文献[3]通过对几例典型的偏心碰转的能量损耗给出有关的计算结果，然后在与对心碰撞的比照中归纳出相关的结论。
对心碰撞时损失的动能
相应偏心碰撞时损失的动能
四、有摩擦且滑动反向的刚体偏心碰撞中的能量损失
Stronge及Brach认为:当有摩擦的刚体偏心碰撞存在滑动反向(即速度方向突变)及在较大的恢复系数()情况下，会产生碰撞后系统能量增加的现象。
Stronge并认为，这是牛顿碰撞定律本身存在的缺陷所致。
进而Stronge提出了一个能量恢复系数的新概念。
它的定义是:能量恢复系数的平方()为恢复阶段系统释放的弹性能对压缩阶段系统吸收的能量之比。
并声称:这一新的理论将消除与能量守恒定律不统一的矛盾。
Stronge得到这一结论的重要根据之一是:滑动反向前后，接触点处的速度(法向速度()或切向速度())与法向冲量()之间的关系是同一线性关系。
但Stronge没有指出:速度方向突变的转披点(即滑动反向发生的时刻)如何求得，以及它与初始运动条件、物体的几何参数及摩擦系数之间的关系。
而没有速度方向变化转挟点的求得，则滑动反向后的速度分布是很难确定的。
在牛顿碰撞定律的基础上以及按作者提出的计算方法，文献[4]得到的滑动反向前后的速度关系线是不同的。
它不是同一线性关系。
在这个基础上，文献[4]推得的能量损失表达式表明:碰撞后系统不会出现负的能量损失(即能量增加)。
但是，存在一临界摩擦系数()，摩擦系数()超过此临界值，将导致错误的结果:即随着的增大，系统的能量损失反而增加。
这是荒谬的。
但不会出现负的能量损失。
的意义亦很清楚:当>时，实际上滑动反向不再存在，而是属于单向滑动或停止。
(停止即是指碰撞结束两物分离时，接触点处相对切向速度为零的情况。
)
五、三维含摩擦多刚体碰撞问题的数值计算方法
由于三维含摩擦刚体碰撞问题的碰撞动力学方程通常很难得到封闭形式的解析解，因此寻求其有效的数值算法是可以作为研究的一个目标。
文献[5] 基于Lagrange方法和Keller 处理空间的两个刚体碰撞问题的思路，将多刚体系统单点碰撞问题描述为以法向冲量为独立变量的碰撞动力学方程，建立了处理空间多刚体系统碰撞问题有效的数值方法。
利用搜索法给出了接触点切向速度流从黏滞点出发的方向。
这种方法是建立在Bhatt和Koechling对黏滞点的奇异性研究的基础上的。
然后，文献[5]利用两个算例表明了切向运动随法向冲量变化的演化过程。
六、多体系统碰撞动力学面临的新挑战[1]
(l)刚体假定条件卜计及库仑干摩擦时，多体系统发生多点碰撞引起的数值和能量不协调问题及相互铰接情况下刚体碰撞假定的适应范围问题；
(2)连续碰撞力公式的合理选用和参数确定问题；
(3)从碰撞动力学机理出发，建立能够描述碰撞过程弹塑性变形、波传播等复杂现象的柔性多体碰撞动力学理论，完善与之适应的数值算法和建模仿真技术；
(4) 分析碰撞对变拓扑多体系统控制策略的鲁棒性和稳定性的影响，探索相关的最优控制策略，为多体系统非光滑变拓扑过程设计有效的控制策略。
七、参考文献
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[2] 郭吉丰,升谷保博,宫崎文夫. 具有摩擦的刚体碰撞[J]. 应用力学学报,2004,21(2)
[3] 孙安媛，燕安,黄培天,王祖俭. 偏心碰撞的能量损耗[J]. 南方冶金学院学报,2002,23(4)
[4] 肖麟玉. 有摩擦且滑动反向的刚体偏心碰撞中的能量损失[J]. 上海铁道大学学报(自然科学版),1997,18(2)
[5] 赵振,刘才山,陈滨. 三维含摩擦多刚体碰撞问题的数值计算方法[J]. 中国科学G 辑,2006,36(1):72~88。