高三数学12月月考试题理8

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高三数学月考试题(12月)

高三数学月考试题一、选择题1、设全集U=R ，集合}02|{2<-=x x x A ，103x B xx ⎧-⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则集合A ðU B=（ A ） A ．}10|{<<x x B ．}10|{≤<x xC ．}20|{<<x xD ．}1|{≤x x2、等差数列{}n a 中，n S 是前n 项的和，若205=S ，则=++432a a a （ B ） A 9 B 12 C 15 D 183、在ABC ∆中，如果sin A C =，30B =，那么角A 等于（ D ）A ．30B ．45C ．60D ．1204、若向量a ，b 满足||||1a b ==，且a ·b +b ·b =23，则向量a ，b 的夹角为（ C ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5、一组合体三视图如右，正视图中正方形边长为2，俯视图为正三角形及内切圆，则该组合体体积为（ C ）A ．B ． 43πC 27D ． 43π6、已知直线a 、b 和平面α、β，下面命题中的假命题是（ B ）A ．若//a β，//αβ，a α⊄，则//a αB ．若//a β，//b α，//αβ，则//a bC ．若a α⊥，//b β，//αβ，则a b ⊥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥ 7、若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F 点”，下列曲线中存在“F 点”的是（ A ） A ． 122=-y xB ．1242522=+yxC ．11522=-yx D ．1151622=+yx8、给出如下四个命题：①四个非零实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的充要条件是ad bc =；②设a ，b R ∈，且0ab ≠，若1a b<，则1b a>；③若()2log fx x =，则()f x 是偶函数；④若直线y x a =+与曲线2194x x y⋅-=有两个交点，则a =．其中错误命题个数是（ D ）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题 9、复数21i i-所对应的点在_______象限．1i -+（二象限）10、在A B C ∆中，4B π∠=，AC =cos 5C =，则BC 边的长是_________；11、已知点F 是双曲线22221x y ab-=（0a >，0b >）的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是直角三角形，则该双曲线的离心率是_____________．答案：e =212、若满足2220x y y ++=的实数x ，y ，使不等式0x y m ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是．)1 +∞，13、过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若2CB B F= ，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为_____________________．23y x =解析：点F 到抛物线准线的距离为p ，又由|BC|＝2|BF|得，点B 到准线的距离为|BF|，则|BF ||BC |＝12，∴l 与准线夹角为30°，则直线l 的倾斜角为60°．由|AF|＝3，如图连结AH ⊥HC ，EF ⊥AH ，则AE ＝3－p ，则cos60°＝3－p 3，故p ＝32．∴抛物线方程为y 2＝3x ．14、将编号为1、2、3的三个小球，放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，如果每个盒子中最多放一个球，那么不同的放球方法有种；24 如果4号盒子中至少放两个球，那么不同的放球方法有种．10 三、解答题15、设函数()2cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设A ，B ，C 为∆ABC 的三个内角，若1cos 3B =，124C f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且C 为锐角，求sin A ．解: （1）()2cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=1cos 21cos 2cos sin 2sin sin 233222xx x x ππ--+=-所以函数()f x2π．（2）2C f ⎛⎫⎪⎝⎭=1sin 22C -=14-，所以sin 2C =，因为C 为锐角，所以3C π=，又因为在∆ABC 中，cosB=13，所以sin B =，所以()11sin sin sin cos cos sin 2326A B C B C B C =+=+=+⨯=．16、已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠= ，12AB AA ==，1A C =，M ，N 分别是11A B ，B C 的中点．（Ⅰ）证明：//M N 平面11AC C A ；（Ⅱ）试求线段MN 与平面ABC 所成角的余弦值．解：（空间向量）依条件可知A B ，A C ，1A A 两两垂直．如图，以点A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -．依条件可知A B ，A C ，1A A 两两垂直.如图，以点A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -。

湖南省衡阳市2023_2024学年高三数学上学期12月月考试题含解析

衡阳市2024届高三第五次月考数学试卷总分：150分考试时间：120分钟；一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.1.如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是,OA OB，则|z 1＋z 2|＝()A.2B.3C. D.2.函数()()e exxf x x -=-的部分图像大致为（）A. B.C. D.3.已知圆O 为ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，BC =，则OB OC ⋅=（）A.2B.2- C.4D.4-4.直线a 、b 是异面直线，α、β是平面，若a α⊂，b β⊂，⋂=c αβ，则下列说法正确的是（）A.c 至少与a 、b 中的一条相交B.c 至多与a 、b 中的一条相交C.c 与a 、b 都相交D.c 与a 、b 都不相交5.已知函数()()423f x x m =++的图象经过坐标原点，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程是（）A.872y x =- B.476y x =-C.872y x =+ D.476y x =+6.已知函数()y f x =的导函数为()y f x '=，x ∈R ，且()y f x '=在R 上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）①“12x x >”是“()()()()121211f x f x f x f x ++>++”的充要条件；②“对任意0x <都有()()0f x f <”是“()y f x =在R 上为严格增函数”的充要条件．A.①真命题；②假命题 B.①假命题；②真命题C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题7.已知()f x 是定义在R 上的单调函数，满足()1x f f x e ⎡⎤⎣⎦-=，且()()f a f b e >>.若10log log 3a b b a +=，则a 与b 的关系为（）A.3a b = B.3b a = C.2b a = D.2a b =8.已知函数()sin ln f x x x =+，将()f x 的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{}n x ，对于n +∀∈N ，则下列说法中正确的是（）A.()π1πn n x n <<+B.1πn n x x +-<C.数列()21π2n n x ⎧⎫-⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭是递增数列D.()()241π1ln2n n f x -<-+二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.单位向量a 与b的夹角为锐角，则2a b - 的取值可能为（）A .1B.1.5C.2D.2.510.ABC 中，内角A ，B 的对边分别为a ，b ，则下列能成为“a b >”的充要条件的有（）A.sin sin A B> B.cos cos A B< C.cos2cos2A B< D.sin 2sin 2A B>11.若将函数()πcos(2)12f x x =+的图象向左平移π8个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A.()g x 的最小正周期为πB.()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C.π6x =-是函数()g x 图象的一个对称轴 D.()g x 的图象关于点5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称12.商场某区域的行走路线图可以抽象为一个22⨯的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从A ，B 两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达B ，A 为止，下列说法正确的是（）A.甲从A 必须经过1C 到达B 的方法数共有9种B.甲从A 到B 的方法数共有180种C.甲、乙两人在2C 处相遇的概率为425D.甲、乙两人相遇的概率为1150三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式6(1)x +的展开式的中间项系数为_____．14.记函数()()nf x x nx n n *=+-∈N在1x =处的导数为na，则()4216log a a =________．15.设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，M 为C 上一个动点，且21112||MF MF F O +⋅的取值范围为[1,3]，则椭C 的长轴长为______．16.已知e是单位向量，向量(1,2)i b i = 满足i i e b e b -=⋅ ，且12xb yb e += ，其中,x y ∈R ，且1x y +=．则下列结论中，正确结论的序号是___________．①121xe b ye b ⋅+⋅=；②()1212y x x y b b +-= ；③存在x ，y ，使得122b b -=；④当12b b - 取最小值时，120b b ⋅=．四、解答题：本题共6小题，共70分.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若2a =，3c =，求()sin A B +的值.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，等比数列{}n b 的公比为2，22nn n S b n =．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）令,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前10项和．19.某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向M ，N 两个目标投掷，先向目标M 掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标N 连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标M 的概率为34，套中目标N 的概率为23，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为X ．（1）求小明恰好套中2次的概率；（2）求X 的分布列及数学期望．20.如图，ABC 与ABD △都是边长为2的正三角形，平面ABD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC且EC =．（1）证明：CD ⊥平面ABE .（2）求平面CED 与平面BDE 的夹角的大小．21.已知抛物线2:2(0)D y px p =>的焦点为F ，点Q 在D 上，且QF 的最小值为1.（1）求D 的方程；（2）过点()3,2M -的直线与D 相交于A ，B 两点，过点(3,6)N -的直线与D 相交于B ，C 两点，且A ，C 不重合，判断直线AC 是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.22.设()()11ln f x ax a x x=-+-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()22e xg x x f x =-，若关于x 的不等式()()13ln 1g x ax a x x++++≥恒成立，求实数a 的取值范围.衡阳市八中2024届高三第五次月考数学试卷总分：150分考试时间：120分钟；一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.1.如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是,OA OB，则|z 1＋z 2|＝()A.2B.3C. D.【答案】A 【解析】【详解】由题图可知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，则z 1＋z 2＝－2，∴|z 1＋z 2|＝2，故选A.2.函数()()e exxf x x -=-的部分图像大致为（）A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先求解函数的定义域，且()()f x f x -=，故函数为偶函数，排除BC ；再求出()11e e0f -=->，排除D ，选出正确答案.【详解】()()e exxf x x -=-定义域为R ，且()()()()ee e e xx x x f x x x f x ---=--=-=，故()f x 为偶函数，所以排除选项B 和选项C ；又()11e e 0f -=->，排除D.故选：A ．3.已知圆O 为ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，BC =，则OB OC ⋅=（）A.2B.2- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】先利用正弦定理求外接圆的半径，再根据数量积的定义分析运算.【详解】如图，圆O的直径为24sin 32BC R BAC ===∠，故2OB OC R ===，2120BOC BAC ∠=∠=︒，故1cos1202222OB OC OB OC ⎛⎫⋅=︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uuu r .故选：B.4.直线a 、b 是异面直线，α、β是平面，若a α⊂，b β⊂，⋂=c αβ，则下列说法正确的是（）A.c 至少与a 、b 中的一条相交B.c 至多与a 、b 中的一条相交C.c 与a 、b 都相交D.c 与a 、b 都不相交【答案】A 【解析】【分析】依题意可知， ,a c 共面于α，,b c 共面于β.利用空间两条直线的位置关系，对选项举出反例进行排除，由此得出正确选项.【详解】解：由直线a 、b 是异面直线，α、β是平面，若a α⊂，b β⊂，c αβ⋂=，知：对于B 选项，c 可以与a 、b 都相交，交点为不同点即可，故B 选项不正确；对于C 选项，//a c ，b c A ⋂=，满足题意，故C 选项不正确；对于D 选项，c 与a 、b 都不相交，则c 与a 、b 都平行，所以a ，b 平行，与异面矛盾，故D 选项不正确；对于A 选项，由B ，C 、D 是错误的，可知A 正确.由于,a c 共面，,b c 共面，若c 与,a b 都平行，根据平行公理可知,a b 平行，这与已知,a b 异面矛盾，故A 选项正确.故本小题选A .【点睛】本小题主要考查空间直线的位置关系，包括平行、相交、异面和平行公理的考查，属于基础题.5.已知函数()()423f x x m =++的图象经过坐标原点，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程是（）A.872y x =- B.476y x =-C.872y x =+ D.476y x =+【答案】A 【解析】【分析】由曲线过原点求m ，根据导数的几何意义求切线方程.【详解】因为函数()()423f x x m =++的图象经过坐标原点，所以()0810f m =+=，所以81m =-，所以()()42381f x x =+-所以()180f -=-．因为()()3823f x x '=+，所以()18f '-=．所以所求切线方程为()8081y x +=+，即872y x =-．故选：A.6.已知函数()y f x =的导函数为()y f x '=，x ∈R ，且()y f x '=在R 上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）①“12x x >”是“()()()()121211f x f x f x f x ++>++”的充要条件；②“对任意0x <都有()()0f x f <”是“()y f x =在R 上为严格增函数”的充要条件．A.①真命题；②假命题 B.①假命题；②真命题C.①真命题；②真命题 D.①假命题；②假命题【答案】C 【解析】【分析】对于①，构造函数()(1)()g x f x f x =+-，结合题设，判断“12x x >”和“()()()()121211f x f x f x f x ++>++”之间的逻辑推理关系，可判断其真假；对于②，结合函数单调性，判断必要性；采用反证思想，结合题设推出矛盾，说明充分性成立，判断②的真假.【详解】对于①：设()(1)()g x f x f x =+-，x ∈R ，则()(1)()g x f x f x '''=+-，因为()y f x '=在R 上为严格增函数，故(1)()f x f x ''+>，即()(1)()0g x f x f x '''=+->，则()(1)()g x f x f x =+-在R 上单调递增，由于12x x >，故12()()g x g x >，即()()()()112211f x f x f x f x +->+-。

辽宁省大连市高三12月月考数学(理)试题 Word版含答案

一、DDCBC, BCAAC,BD
二、13. 14.48015.①③16.
三．
17.解：解：(1)证明：将直线l的方程整理为
y－＝a ，∴直线l的斜率为a，且过定点A ，
而点A 在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．...5分
(2)直线OA的斜率为k＝＝3.
如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3....10分
17．已知直线 .
(1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求的取值范围．
18．已知函数 .
（1）若，且，求的值；
（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.
19.设数列的各项均为正数，若对任意的正整数，都有成等差数列，且成等比数列．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
1
8
3
偏高
2
0
1
超常
0
2
1
1
由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为．
（Ⅰ）试确定、的值；
（Ⅱ）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
21．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.
因为，，
，，
所以的分布列为:
0
1
2
3
所以．
（或服从参数为N=40，M=3，n=24的超几何分布，）
答：随机变量的数学期望为．...12分
20.【解析】（Ⅰ）证明：找到中点，连结，

2020-2021学年山西省阳泉市第十二中学高三数学理月考试题含解析

2020-2021学年山西省阳泉市第十二中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知,则A．-3 B. C．3 D.参考答案：D2. 根据如图的程序框图，当输入x为2017时，输出的y为28，则判断框中的条件可以是（）A．x≥0？B．x≥1？C．x≥﹣1？D．x≥﹣3？参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当输入的x为2017时，第1次执行循环体后，x=2015，输出y=3﹣2015+1；第2次执行循环体后，x=2013，输出y=3﹣2013+1；第3次执行循环体后，x=2011，输出y=3﹣2011+1；…第1007次执行循环体后，x=3，输出y=3﹣3+1；第1008次执行循环体后，x=1，输出y=3﹣1+1；第1009次执行循环体后，x=﹣1，输出y=31+1=4；第1010次执行循环体后，x=﹣3，输出y=33+1=28；此时不满足x≥﹣1，输出y=28，故选：C．3. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）参考答案：B略4. 函数，若，且函数f（x）的图象关于直线对称，则以下结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为B．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x）在区间上是增函数D．由y=2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数f（x）的图象参考答案：D【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据函数，求出φ，函数f（x）的图象关于直线对称，可得ω的值，求出了f（x）的解析式，依次对各选择判断即可．【解答】解：函数，∵，即2sinφ=，∵φ∴φ=又∵函数f（x）的图象关于直线对称，∴，k∈Z．可得ω=12k﹣10，∵0＜ω＜12．∴ω=2．∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x﹣）．最小正周期T=，∴A不对．当x=时，可得y≠0，∴B不对．令﹣2x﹣，可得，∴C不对．函数y=2cos2x的图象向右平移个单位，可得2cos2（x﹣）=2cos（2x﹣）=2sin（2x﹣）=2sin（2x﹣）．∴D项正确．故选D5. 在等差数列中，，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A6. 已知函数的部分图象如图所示，则圆中最长弦的长度为A. B. C.5 D.以上均不正确参考答案：B由题设得，则，故，将代入可得，即，所以.所以=0 ，故半径r=，最长弦即为直径，其长为2r=.7. 设，且为正实数，则（）A．2 B．1 C．0 D．参考答案：D略8. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）2参考答案：A方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为. 选A.9. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（A ）（B ）（C ）（D ）参考答案：B 略10. 方程的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率参考答案：答案：A解析：方程的两个根分别为2，，故选A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的单调递增区间为．参考答案：（-∞，-4）12. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为_______参考答案：108（石）. 【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而求得结果.【详解】因为256粒内夹谷18粒，故可得米中含谷的频率为，则1536石中米夹谷约为1536（石）.故答案为：（石）.【点睛】本题考查由样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，属基础题.13. 复数z 满足条件，则的取值范围是_______。

2023届福建省南安市柳城中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)

2023届福建省南安市柳城中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题 1．已知复数i2iz =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（） A ．12i 55+B ．12i 55-C ．21i 55+D ．21i 55-【答案】B【分析】根据复数的运算公式求复数z 的代数形式，再求其共轭复数即可. 【详解】()()()i 2i i 12i 12=i 2i 2i 2i 555z -+===+++-，所以z 的共轭复数为12i 55-，故选：B.2．已知集合()(){}120A x x x =+-<，{}Z 1B x x =∈≥，则()A B =R （） A ．[]{}1,21⋃- B ．[]1,2C ．{}1,1,2-D ．{}1,2【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合A ，解绝对值不等式求得集合B ，由此求得()A B ⋂R . 【详解】由120x x，得1x <-或2x >，所以[]1,2R A =-；由1x ≥，得1x ≤-或1x ≥，所以{Z|1B x x =∈≤-或}1x ≥，从而(){}1,1,2A B ⋂=-R ．故选：C3．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，若()()12436P X P X >=⋅<，则()23P X <<=（） A ．13B ．14C ．16D ．19【答案】A【分析】利用对称性可得(2)(4)P X P X <=>结合条件可求()2P X <，再由 1(2)(4)(23)2P X P X P X -<-><<=求解.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()23,N σ，又()()12436P X P X >=⋅<，所以1(2)(4)6P X P X <=>=，故1111(2)(4)166(23)223P X P X P X =---<-><<==. 故选：A.4．已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（）A ．27πB ．C ．D ．16π【答案】A【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系，再根据体积计算出底面半径即可.【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则r l 2π=π，所以2l r =，=，所以213r π⨯=，解得3r =，故其表面积291827S r rl πππππ=+=+=；故选：A ．5．将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】C【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为sin sin()2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又C 关于y 轴对称，则,232k k ωππππ+=+∈Z ，解得12,3k k ω=+∈Z ，又0ω>，故当0k =时，ω的最小值为13.故选：C.6．已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a，可得2ba =，所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.7．如图，在正三棱柱111ABC A B C 中，13AA =，2AB =，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为（）A ．513B ．713C ．913D ．1213【答案】B【分析】在三棱锥内构造直线使其平行于1A B ，然后构造三角形，运用异面直线夹角的定义求解即可.【详解】取11A C 的中点D ，连接1BC 交1B C 于点E ，连接DE ，则1//DE A B 且112DE A B =，则1DEB ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角．易求1113A B BC =13B D ，则113DE B E ==，所以222111113133744cos 21313132DE B E B D DEB DE B E +-+-∠===⋅⨯⨯. 故选：B ．8．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数()1f x +为奇函数，当[]0,1x ∈时，()2xf x k a =⋅+，若()()036f f +=，则()2log 96f =（）A ．2B ．0C ．-3D ．-6【答案】C【分析】根据条件，可以证明()f x 是周期为4的周期函数，计算出a 和k ，由周期性可得()()22log 961log 3f f =+ ，再利用函数的对称性即可求解.【详解】因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，又()f x 为偶函数，所以()()11f x f x -+=-，所以()()11f x f x -=-+，即()()2=-+f x f x ，所以()()()42f x f x f x +=-+=，故()f x 是以4为周期的周期函数；由()()11f x f x -+=-+，易得()10f =，()()()3110f f f =-==，所以()06f =，所以6k a +=，20k a +=，解得6k =-，12a =；所以()()()222log 965log 31log 3f f f =+=+()23log 2223log 31log 621232f f ⎛⎫⎛⎫=--=-=--⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．9．已知0a b >>，0c d <<，则（） A ．a b d c> B ．a b d c< C ．ac bd < D ．ac bd >【答案】BC【分析】利用不等式的基本性质判断不等关系．【详解】因为0c d <<，所以0cd >，所以110d c <<，所以110d c->->，又0a b >>，所以a b d c ->-，所以a bd c<，故 A 错误，B 正确；因为0a b >>，0c d ->->，所以ac bd ->-，所以.ac bd <故D 错误，C 正确．故选：BC ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．若22n S n n =-，则{}n a 是等差数列 B ．若121n n S +=-，则{}n a 是等比数列 C ．若{}n a 是等差数列，则202310122023S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10a >，0q >，则221212n n n S S S -+⋅> 【答案】AC【分析】利用n a 与n S 的关系，结合等差数列与等比数列的定义，可得A 、B 的正误；根据等差中项以及等差数列求和公式，可得C 的正误；取1n =时的特殊情况验证不等式，可得D 的正误.【详解】对于A ，若22n S n n =-，则11a =，当2n ≥时，143n n n a S S n -=-=-，显然1n =时也满足43n a n =-，故43n a n =-，由14n n a a --=，则{}n a 为等差数列，故A 正确；对于B ，若121n n S +=-，则13a =，2214a S S =-=，3328a S S =-=，显然3212a a a a ≠，所以{}n a 不是等比数列，故B 错误；对于C ，因为{}n a 为等差数列，则()12023101220231012202320232202322a a a S a +⨯===，故C 正确；对于D ，当1n =时，()()222222132111110S S S a q q a q a q ⋅-=++-+=-<，故当1n =时，不等式不成立，即221212n n n S S S -+⋅>不成立，故D 错误．11．关于函数()()π3sin 21R 3f x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+∈，下列说法正确的是（）A ．若()()121f x f x ==，则()12πZ x x k k -=∈B ．()y f x =的图像关于点2π,13⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()y f x =的图像向右平移π12个单位长度后所得图像关于y 轴对称【答案】BD【分析】对于A ，根据三角函数的对称中心性质即可判断；对于B ，可根据对称中心对应的函数值特征即可判断；对于C ，根据三角函数单调性判断即可；对于D ，求出平移后的解析式并根据偶函数的性质进行判断即可.【详解】对于A ，由()()121f x f x ==知()1,1x ，()2,1x 是()π3sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象的两个对称中心，则12x x -是函数()f x 的最小正周期的整数倍，即()12πZ 2k x x k -=∈，故A 不正确；对于B ，因为2π3sin π113f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π,13⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，故B 正确；对于C ，由()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈解得()π5πππZ 1212k x k k -≤≤+∈，当0k =时，()f x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 不正确；对于D ，()y f x =的图象向右平移π12个单位长度后所得图象对应的函数ππ3sin 213cos 21123y x x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ()()3cos213cos21()f x x x f x ∴-=--+=-+=3cos 21y x =-+是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故D 正确.故选：BD.12．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（）A ．存在某个位置，使直线BD 与平面ABC 所成的角为45°B ．当二面角D AC B --为23π时，三棱锥D ABC - C ．当平面ACD ⊥平面ABC 时，异面直线AB 与CD 的夹角为60°D ．O 为AC 的中点，当二面角D AO B --为23π时，三棱锥A OBD -外接球的表面积为10π 【答案】ACD【分析】A.当当平面ACD ⊥平面ABC ，即可判断；B.根据锥体体积公式，即可求解； C.将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即可求解； D.将三棱锥补体为三棱柱，即可求球心和半径.【详解】A.当平面ACD ⊥平面ABC 时，取AC 的中点O ，连接,BO DO ，DO AC ⊥，DO ∴⊥平面ABC ，DBO ∴∠为直线BD 与平面ABC 所成的角， DBO 是等腰直角三角形，45DBO ∴∠=，故A 正确；B.DO AC ⊥，BO AC ⊥，DO BO O ⋂=，AC ∴⊥平面DBO ，且23DOB π∠=， AC ⊂平面ABC ，∴平面DBO ⊥平面ABC ，且交于BO ，∴点D 在平面ABC 的射影落在BO 上，∴点D 到平面ABC 的距离6sin 602d DO =⋅=，三棱锥D ABC -的体积1166223223V =⨯⨯⨯⨯=，故B 错误；C.取,BC BD 的中点,M N ，连接,,OM ON MN ，则//OM AB ，/MN DC ，所以OMN ∠或其补角是异面直线AB 与CD 的夹角，根据A 的证明可知()()22222BD =+=，112ON BD ==，且1OM MN ==，所以OMN 是等边三角形，60OMN ∠=，故C 正确；D.由条件可知AO ⊥平面DOB ，23DOB π∠=，且DO OB =，所以可以将四棱锥A DOB -补成底面是菱形的直棱柱因为四边形OBCD 是菱形，且23BOD π∠=，所以点C 是底面OBD 外接圆的圆心，取侧棱1CC 的中点E ，则E 是四棱柱外接球的球心，连结OE ，()222221022OE OC CE ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以四棱锥A OBD -外接球的半径10R =2410S R ππ==，故D 正确. 故选：ACD三、填空题13．已知向量()3,1a =-，(),2b m =，且()2a a b ⊥+，则+=a b ______． 85 【分析】由向量线性运算及垂直的数量积表示可得方程解出m ，即可由坐标计算向量模. 【详解】()()()23,12,223,5a b m m +=-+=-，由()2a a b ⊥+得()()()23,123,5a a b m ⋅+=-⋅-6950m =-++=，解得73m =．则()723,1,2,333a b ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2228533a b ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭85. 14．63x x ⎛⎝展开式的常数项为______.【答案】2160【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.【详解】6(3x展开式的通项公式为36662166C (3)(3(2)C ,N,6r r r r r r rr T x x r r ---+==⋅-∈≤，令3602r -=，解得4r =，则244563(2)C 916152160T =⋅-=⨯⨯=，所以展开式的常数项为2160. 故答案为：216015．已知函数()()()10 ln f x x x =+≥，将()f x 的图象绕原点逆时针旋转(]()0,ααθ∈角后得到曲线C ，若曲线C 仍是某个函数的图象，则θ的最大值为______．【答案】π4##1π4【分析】求得()f x 在点()0,0处的切线方程，从而求得正确答案. 【详解】依题意0x ≥， ()11f x x '=+，所以()01f '=，故函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线为y x =，切线向上的方向与y 轴正方向的夹角为π4，函数()f x 的图象绕原点旋转不超过π4时，仍为某函数图象，若超过π4，y 轴与图象有两个公共点，与函数定义不符，故θ的最大值为π4．故答案为：π416．有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则3P =_________；该棋手获胜的概率为__________．【答案】34##0.75 85256【分析】根据题意找出(38)n P n ≤≤与21,n n P P --的关系即可求解. 【详解】由题311132224P =+⨯=，因为2111(38)22n n n P P P n --=+≤≤，故11112n n n n P P P P ----=--，由2112P P -=-，所以111,22n n n P P n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，累加可得：2878108111118518521,1222128225612P P P ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+-+-+⋅⋅⋅+-==== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭．故答案为：34；85256.四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()22214cos a b B ab +-=-，且2cos c b B =．(1)求B ；(2)若ABC 的周长为423+，求BC 边上中线的长．【答案】(1)π6B = (2)7．【分析】（1）已知条件结合余弦定理求得2π3C =，再由正弦定理求B . （2）由（1）求出角A ，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求BC 边上中线的长．【详解】（1）由()22214cos a b B ab +-=-，有22224cos a b b B ab +-=-，又2cos c b B =，所以2224cos c b B =，即222a b c ab +-=-，由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-．又()0,πC ∈，所以2π3C =，由2cos c b B =及正弦定理，得sin 2sin cos C B B =，所以3sin 22B =，由π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得2π20,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π23B =，解得π6B =.（2）由（1）可知π6B =，2π3C =，所以π2πππ636A =--=，所以a b =，由2cos c b B =，得3c a =．因为ABC 的周长为423+，所以3423a a a ++=+，解得2a =．设BC 的中点为D ，则112CD BC ==，如图所示:AD==，所以BC．18．已知数列{}n a的前项和为n S，若()12n nnS n S+=+，且11a=.(1)求{}n a的通项公式;(2)设()2112nn nb na a-=≥，11b=，数列{}n b的前n项和为n T，求证32nT<.【答案】(1)n a n=(2)证明见解析【分析】（1）由已知等式可得12nnS nS n++=，采用累乘法可求得当2n≥时的nS，利用1n n na S S-=-可求得n a，检验首项后可得结论；（2）由（1）可得2n≥时nb的通项，由()()112122nbn n n n=<--，采用裂项相消法可求得11112nTn⎛⎫<+-⎪⎝⎭，由1n>可得结论.【详解】（1）由()12n nnS n S+=+得：12nnS nS n++=，则当2n≥时，()123211232111143123212n n n nn n nn nS S S S S S n n nS S S S S S n n n-----++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---，又111S a==，()12nn nS+∴=，()()11122n n nn n n na S S n-+-∴=-=-=，经检验：11a=满足na n=；()na n n*∴=∈N.（2）由（1）得：当2n≥时，()()11111212221nbn n n n n n⎛⎫=<=-⎪---⎝⎭；123111111111112223341n n nT b b b b bn n-⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅++<+-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪-⎝⎭11112n⎛⎫=+-⎪⎝⎭，1n>，111n∴-<，1113111222nTn⎛⎫∴<+-<+=⎪⎝⎭.19．2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.(1)赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y (秒)与训练天数x (天)有关，经统计得到如下表数据：经研究发现，可用b y a x=+作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y 约为多少秒？(2)小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为35，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．参考数据：(其中1i t x =) 参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221n i ii n i i u v nu v unu β==-⋅=-∑∑，v u αβ=-⋅. 【答案】(1)100013ˆ0=+yx；150； (2)513625．【分析】(1)令1t x =，则可利用最小二乘法估计ˆˆˆy bt a =+，从而得到ˆˆˆb y a x=+，代入x =50即可预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度；(2)设比赛再继续进行X 局小明最终赢得比赛，最后一局一定是小明获胜，且最多再进行4局就结束比赛分出胜负，则小明赢得比赛得概率P =P (X =2)+P (X =3)+P (X =4)．【详解】（1）由题意，()19909904503203002402105007y =++++++=，令1t x =，设y 关于t 的线性回归方程为ˆˆˆy bt a =+，则7172217184570.37500ˆ10000.557i ii i i t y t y b tt ==-⋅-⨯⨯===-∑∑，则ˆ50010000.37130=-⨯=a， ∴100013ˆ0=+yt ， ∴y 关于x 的回归方程为100013ˆ0=+y x，当50x =时，ˆ150=y， ∴预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y 约为150秒；（2）设比赛再继续进行X 局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负，X 的可能取值为2、3、4．当2X =时，小明4∶1胜，∴()33925525P X ==⨯=；当3X =时，小明4∶2胜，∴()12333363C 1555125P X ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭；当4X =时，小明4∶3胜，∴()2133331084C 1555625P X ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭． ∴小明最终赢得比赛的概率为93610851325125625625++=． 20．如图，圆台下底面圆O 的直径为AB ， C 是圆O 上异于,A B 的点，且30BAC ∠=，MN 为上底面圆O '的一条直径，MAC △是边长为23的等边三角形，4MB =.(1)证明：BC ⊥平面MAC ；(2)求平面MAC 和平面NAB 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析313【分析】(1)线线垂直从而证明线面垂直.(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.【详解】（1）∵AB 为圆台下底面圆O 的直径，C 是圆O 上异于,A B 的点，故=90ACB ︒∠又∵=30BAC ︒∠，23AC =，∴4AB MB ==∵AC MC =，BC BC =∴ABC MBC ≅，∴=90BCM ︒∠∴BC MC ⊥，又∵BC AC ⊥，AC MCC ，,AC MC ⊂平面MAC ∴BC ⊥平面MAC（2）取AC 的中点，连接,DM DO ，则MD AC ⊥，由(1)可知，BC DM ⊥∵AC BC C =，∴DM ⊥平面ABC ，又∵OD AC ⊥∴以D 为原点，DA 为x 轴，DO 为y 轴，DM 为z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得(3,0,0)A ，(3,2,0)B -，∵OO '⊥平面ABC ，∴//'DM OO ，四边形ODMO '为矩形，∴(0,2,3)N平面MAC 的一个法向量为1(0,1,0)n =.设平面NAB 的一条法向量为2(,,)n x y z =，(23,2,0)AB =-，(3,2,3)AN =-由2200n AB n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得23203230x y x y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ 令3x =3y =，1z =-平面NAB 的一个法向量为2(3,3,1)n =-则平面MAC 与平面NAB的夹角的余弦值为1212·3nn n n ==∴平面MAC 和平面NAB 21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>在点()01,M y 处的切线斜率为12． (1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在不同的两点关于直线:2l y x m =+对称，求实数m 的取值范围．【答案】(1)24x y =；(2)94m >.【分析】（1）根据给定条件，求出切线方程，再与抛物线C 的方程联立，借助判别式计算作答.（2）设出抛物线C 上关于l 对称的两点A ，B 的坐标，并设出直线AB 的方程，再与抛物线C 的方程联立，借助判别式及韦达定理计算作答.【详解】（1）点1(1,)2M p ，则切线方程为：11(1)22y x p -=-，由221(1)2py p x x py -=-⎧⎨=⎩消去y 并整理得： 210x px p -+-=，依题意，24(1)0p p ∆=--=，解得2p =，所以抛物线C 的方程是24x y =.（2）设抛物线C 上关于l 对称的两点为1122(,),(,)A x y B x y ，则设直线AB 方程为：12y x t =-+，由2124y x t x y⎧=-+⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理得：2240x x t +-=，则有4160t '∆=+>，解得14t >-， 122x x +=-，12121()2212y y x x t t +=-++=+，显然线段AB 的中点1(1,)2t -+在直线l 上，于是得122t m +=-+，即有52t m =-，而14t >-，因此，5124m ->-，解得94m >，所以实数m 的取值范围是94m >. 【点睛】结论点睛：抛物线22(0)x py p =≠在点200(,)2x x p 处的切线斜率0x k p =；抛物线22(0)y px p =≠在点2000(,)(0)2y y y p ≠处的切线斜率0p k y =. 22．某品牌轿车经销商组织促销活动，给出两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种. 方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，每次摇出一个号. 其优惠情况为：若摇出3个幸运号打6折；若摇出2个幸运号打7折；若摇出1个幸运号打8折；若没摇出幸运号不打折.(1)若某型号的车正好6万元，两名顾客都选方案二，求至少有一名顾客比选方案一更优惠的概率；(2)若你朋友看中一款价格为10万元的轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种优惠方案.【答案】(1)247256(2)方案二【分析】（1）设顾客三次没摇出幸运号为事件A ，由独立事件概率乘法公式求得()P A ，则利用对立事件概率得所求概率为()21P A -；（2）方案二，设付款金额为X 万元，则{}6,7,8,10X ∈，求出X 的分布列，期望与方案一比较即可.【详解】（1）方案一相当于打9折，要使选择方案二比选择方案一更优惠，则需要至少摇出1个幸运号，设顾客不打折即三次没摇出幸运号为事件A ，则()223344416P A =⨯⨯=，故所求的概率()2232471116256P P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭. （2）若选择方案一，则需要付款100.69.4-=（万元）若选择方案二，设付款金额为X 万元，则{}6,7,8,10X ∈， ()322116416P X ⨯⨯===，()322322122157416P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===， ()322322322178416P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===，()31016P X ==，故X 的分布列为所以()1573678107.93759.416161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=<（万元），所以选方案二划算.。

长沙市雅礼中学2022-2023学年高三下学期月考试卷(八)数学试题(原卷版)

雅礼中学2023届高三月考试卷（八）数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}²4120A x x x =∈--<Z ，{}sin B y y e x x ==∈R ，，则A B =（） A.{2,1,0,1,2}-- B.{}1|2x x -<< C.{1,0,1,2}-D.{2|x x ≥或}1x ≤-2.下列说法正确的是（）A.“a b ≥”是“22am bm ≥”的充要条件B.“4k x π=，k ∈Z ”是“tan 1x =”的必要不充分条件 C.命题“0x ∃∈R ，0012x x +≥”的否定形式是“x ∀∈R ，12x x +>”D.“1xy =”是“lg lg 0x y +=”的充分不必要条件3.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图，矩形ABCD 是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中16AB =，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（）A.11πB.12πC.15πD.16π4.在平面直角坐标系中，已知点(3,4)P 为角α终边上一点，若1cos()3αβ+=，(0,)βπ∈，则cos β=（）A.315+B.315-C.415+D.415- 5.已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，2AB =，4AC =，点P 在以A 为圆心且与边BC相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（）C.165D.5656.已知0.75a =，52log 2b =，sin 5c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.c b a <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b <<7.若函数33()ln x e f x e x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭只有一个极值点，则a 的取值范围是（）A.2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(,0]-∞C.(]3,09e ⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭D.23,49e e ⎛⎤⎧⎫-∞⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭8.已知双曲线22122:1x y C a b==(0,0)a b >>与抛物线22:2C y px =(0)p >有公共焦点F ，过点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，延长FA 与抛物线2C 相交于点B ，若点A 为线段FB 的中点，双曲线1C 的离心率为e ，则2e =（）二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.上级某部门为了对全市36000名初二学生的数学水平进行监测，将获得的样本（数学水平分数）数据进行整理分析，全部的分数可0.040按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.则下列说法正确的是（）A.图中x 的值为0.025B.估计样本数据的80%分位数为84C.由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数低于60分的人数约为360D.由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数80分及以上的人数占比为3%10.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A 为“第一次向下的数字为偶数”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（） A.1()2P A =B.1()2P B A =C.事件A 和事件B 互为对立事件D.事件A 和事件B 相互独立11.如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，点P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.BPB.PA PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积不变D.以点B 1AB C 12.对于定义在区间D 上的函数()f x ，若满足：12,D x x ∀∈且12x x <，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 为区间D 上的“非减函数”，若()f x 为区间[]0,2上的“非减函数”，且(2)2f =，()(2)2f x f x +-=，又当3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(1)f x x ≤-恒成立，下列命题中正确的有（） A.(1)1f =B.03,22x ⎡⎤∃⎢⎣∈⎥⎦，0()1f x <C.12257443184f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.10,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦， (())()2f f x f x ≤-+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.51(21)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含4x 项的系数为__________.14.已知点P 为抛物线2:4C y x =上的一个动点，直线:1l x =-，点Q 为圆22:(3)(31)M x y +-=+上的动点，则点P 到直线l 的距离与PQ 之和的最小值为__________.15.已知三棱锥P ABC -满足1PA =，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，若23P ABC V -=，则其外接球体积的最小值为__________.16.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A 是一个“0，1数列”，定义数列()f A ：数列A 中每个0都变为“1，0，1”，A 中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列A ：1，0，则数列()f A ：0，1，0，1，0，1.已知数列1A ：1，0，1，0，1，且数列1()k k A f A +=，1k =，2，3，…，记数列k A 的所有项之和为k S ，则1k k S S ++=__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且22n n S s a t n n =⋅+⋅-，*n ∈N .（1）当3s =，0t =时，求证：数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）当0s =，3t =时，不等式1n na a λλ++≥对于任意2n ≥，*n ∈N 都成立，求实数λ的取值范围.18.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin 2cos 2B CB b +=. （1）求角A 的大小；（2）若BC 边上的中线1AD =，求ABC △面积的最大值.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，AB DC ∥，222AB AD CD ===，点E 是PB 的中点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若直线PB 与平面PAC ，求二面角P AC E --的余弦值. 20.某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：（2）在人工智能中常用(|)(|)(|)P B A L B A P B A =表示在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A 表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B 表示“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计(|)L B A 的值；（3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X 的概率分布列及数学期望. 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，反射后必经过另一个焦点.若从椭圆2222:1(0)x y T a b a b+>>=的左焦点1F 发出的光线，经过两次反射之后回到点1F ，光线经过的路程为8，椭圆T 的离心率2. （1）求椭圆T 的标准方程；（2）设0(),D D x ，且D x a >，过点D 的直线l 与椭圆T 交于不同的两点M ，N ，点2F 是椭圆T 的右焦点，且2DF M ∠与2DF N ∠互补，求2MNF △面积的最大值. 22.已知函数31()6x f x e ax =-（a 为非零常数），记1()()n n f x f x +'=（n ∈N ）0()()f x f x =，.（1）当0x >时，0f x ≥（）恒成立，求实数a 的最大值；（2）当1a =时，设2()()nn i i g x f x ==∑，对任意的3n ≥，当nx t=时，()n y g x =取得最小值，证明：()0n n g t >且所有点(,())n n n t g t 在一条定直线上.。

扬州中学高三12月月考试题(数学)

扬州中学2008—2009学年度第一学期月考高三数学试卷 08.12一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．35cos()3π-的值是 ▲ ． 2. 当}21,1,2,1{-∈n 时，幂函数y=x n 的图象不可能经过第___▲______象限3．已知复数12312,1,32z i z i z i =-+=-=-，它们所对应的点分别为A ，B ，C ．若OC xOA yOB =+，则x y +的值是 ▲ ． 4．已知向量a bP a b=+，其中a 、b 均为非零向量，则P 的取值范围是 ▲ ． 5．命题“∃x ∈R ，x 2－2x+l ≤0”的否定形式为 ▲ ．． 6．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ⋅++= 与sin sin 0bx y B C -⋅+=的位置关系是 ▲ ．7．在小时候，我们就用手指练习过数数. 一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2008时对应的指头是 ▲ .(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指).8.已知等差数列{}n a 满足：6,821-=-=a a ．若将541,,a a a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 ▲ ．9．若向量)1,3(=a ，(sin , cos )b m αα=-，（R ∈α）,且b a //，则m 的最小值为_▲____ 10 已知函数()35xf x x =+-的零点[]0,x a b ∈，且1b a -=，a ，b N *∈，则a b +=▲ .11．已知{}n a 是首项为a,公差为1的等差数列,1n n na b a +=.若对任意的*n N ∈,都有8n b b ≥成立,则实数a 的取值范围是 ▲12.已知2()2f x x x =-，则满足条件()()0()()0f x f y f x f y +≤⎧⎨-≥⎩的点(,)x y 所形成区域的面积为▲ ．13. 若函数1()ax f x e b=-的图象在x=0处的切线l 与圆C: 221x y +=相离，则P(a ，b)与圆C 的位置关系是 ▲ ．14．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）。

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开始输入n输出S结束1(21)(21)S S i i =+-+1,0i S ==i=i+1?i n >是否重庆市永川中学2017届高三数学12月月考试题理数学试题卷共2页。

考试时间120分钟。

第1至12题为选择题，60分；第13至23题为非选择题，90分。

满分150分。

注意事项:1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答第1至12题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第13至23题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =∈+-≤Z ，{|22}B x x =-<<，则AB =（）A 、{|12}x x -≤<B 、{1,0,1}-C 、{0,1,2}D 、{1,1}- 2．在ABC ∆中，“4A π=”是“2cos A =”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3．已知i 是虚数单位，复数5i 2i--=（） A 、2 B 、2- C 、i 2- D 、2i + 4．已知等比数列{}n a 中，若4810, 2.5,a a ==那么6a =（） A 、5- B 、25 C 、5± D 、55．执行如右图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =（） A 、67 B 、37 C 、89 D 、496．有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部门安排他们去其中任意3个部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A 、120B 、240C 、360D 、480 7．若二项式7)2(xax -的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （） A 、2- B 、54- C 、1- D 、42-8.设2z x y =+，变量,x y 满足条件，若z 的最小值为3，则m 的值为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、49．已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内（含边界)的一动点，则MB MA •的取值范围是（）A 、 []0,1-B 、[]2,1-C 、[]3,1-D 、[]4,1-10. 已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()xf x e <的解集为（）A 、(2,)-+∞B 、(0,)+∞C 、(1,)+∞D 、(4,)+∞11．设点Ｍ（0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点Ｎ，使得30OMN ∠=，则0x 的取值范围是（）A 、[]1,1-B 、 3,3⎡⎤-⎣⎦C 、 []2,2-D 、[]3,3-12．已知,a b R ∈，函数()ln 12f x x =+（）-在12x =-处与直线ln 2y ax b =+-相切，设()2x g x e bx a =++，若在区间[]1,2上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立，则实数m （）A 、有最小值e -B 、有最小值eC 、有最大值eD 、有最大值1e +第Ⅱ卷本卷包括必做题和选作题两部分，第13-21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22-23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题4小题，共20分）13．已知向量(sin ,1),(2cos ,1)a b θθ==-且(0,)θπ∈，若a b ⊥，则=θ________。

14．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲，乙的平均成绩分别为x 甲，x 乙，则x >甲x 乙的概率是________。

15．已知点P 在单位圆122=+y x 上运动，点P 到直线01043=--y x 与3=x 的距离分别记1d 、2d ，则21d d +最小值为________。

16. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足232cos2A A =，sin()4cos sin B C B C -=，则bc=________。

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，且12a ，3a ，23a 成等差数列．（Ⅰ）求等比数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足2112log n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值.18.（本小题满分12分）某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在)2010[，，)30,20[，)4030[，，)5040[，，)6050[，的市民进行问卷调查，由此得到样本占有率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄在)4030[，的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求)6050[，年龄段抽取样品的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在)6050[，年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）已知函数()23cos sin 3cos 3f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若3(A),34f a ==,求ABC 面积的最大值.20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线75120x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)A -，过点(3,0)R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线163x =于M ，N 两点，若直线MR 、NR 的斜率分别为1k 、2k ，试问：12k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21. （本小题满分12分）已知函数()f x 12ln ,m emx x m R x-+=--∈函数1()ln cos g x x x θ=+在[1，＋∞)上为增函数，且(,)22ππθ∈-.（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）当0m =时，求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅲ）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得00()()f x g x >成立，求m 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为t t y t x (232,21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=为参数）．（Ⅰ）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x ,2得到曲线C '，设曲线C '上任一点为),(y x M ，求y x 32+的最小值．23.（本小题满分10分）已知函数()3 2.f x x x =--+ （Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最小值M ；（Ⅱ）在（1）的条件下，若正数,a b 满足3a b M +=-，证明：313b a+≥.永川中学2016～2017学年上期考试评分细则高2017级12月月考数学（理科）一．选择题1-6：BCADBC 7-12：CACBBD二、填空题 13.4π 14. 25; 155545-16 16+ 三、解答题17、解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公比为q ，0n a >.因为12a ，3a ，23a 成等差数列，所以123232a a a +=，则2111232a a q a q +=，所以22320q q --=，解得2q =或12q =-(………………………………… 3分又12a =，所以数列{}n a 的通项公式2n n a =…………………………………6分 (Ⅱ) 2112log 112n n b a n =-=-，……………………………………………8分则19b =，12n n b b +-=-，故数列{}n b 是首项为9，公差为－2的等差数列，所以2(9112)102n n n T n n +-==-+2(5)25n =--+………………………10分所以当5n =时，n T 的最大值为25 …………………………………12分 18、解：（I ）由图知，随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的频率为 1-10⨯(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3，即随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的人数为100⨯0.3=30人． ………3分（II ）由（I ）知，年龄段在)5040[，，)6050[，的人数分别为100⨯0.15=15人，100⨯0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人， ∴ 在)6050[，年龄段抽取的人数为10⨯255=2人． ……………………6分（III ）由已知X =0，1，2，P (X =0)=1032523=C C ，P (X =1)=53251312=C C C ，P (X =2)=1012522=C C ， ∴ X 的分布列为∴ EX =0×10+1×5+2×10=5． ………………………………12分19、22133133()cos (sin cos )3cos cos sin cos 22111sin 2cos 2x)sin 22x (2x )4423f x x x x x x x x x x sin π=+-+=-+=++=-=-…4分∵5-+222,2321212k x k k x k πππππππππ≤-≤+⇒-+≤≤+ ∴函数()f x 的单调增区间为5[,](k Z)1212k k ππππ-++∈ （2）因为有()12=sin(2A-2A-23333f A ππππ=则或， 32A A ππ∴==或又因为ABC ∆为锐角，则=3A π，由余弦定理可得： 222222cos 3a b c bc A bc bc =+-=+-，即因为223+23bc b c bc bc =+≥≤，所以，……………………………10分∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤，ABC ∆面积的最大值为4。