非正弦周期电流的频域和时域分解方法

0 引言
在理想的电力系统中, 电源按单一恒定的频率 ( 工频 50 H z 或 60 H z) 以正弦函数的变化规律向电 网供电。 如果电力系统中存在电特性是非线性的电 气装置 非线性负载 ( 时变或时不变的) , 即使电源是 以一恒定工频的正弦电压供电, 也会造成畸变的非 正弦电流或电压, 给电力系统正常和稳定运行带来 严重危害。 非正弦电流 ( 电压) 电路中的功率转换和 传递不同于正弦电路, 这是电力系统的一个特殊问 题。 随着非线性负载的广泛使用和电网中电流、 电压 畸变加剧, 研究这一特殊性问题显得尤为重要。 研究非正弦条件下的功率定义已有很长历史。 近十几年来, 国际电工界又重新给予极大重视, 发表 的大量文章分别从频域和时域等不同角度对非正弦 电压电流进行探讨, 提出了非正弦条件下功率、 电 压、 电流等的各种定义[ 1～ 9 ]。 尽管如此, G. B udeanu 在 1927 年和 S. F ryze 在 1932 年提出的功率定义 在电工界仍影响最大[ 1, 8 ] , 至今还被广泛应用。 鉴于 此, 应该进一步研究这些定义下的非正弦电流的分 解方法及各电流分量的作用或危害, 以便明确应该 补偿哪些电流分量和为何要补偿的问题, 从而为工 程应用提供指导。 本文从频域和时域 2 个方面, 以 B udeanu 和 F ryze 非正弦条件下的功率定义为线 索, 结合其他功率定义思想, 利用数学中正交函数的 有关概念, 分析非正弦周期电流的分解方法、 各电流 分量定义、 物理意义、 作用以及它们之间的关系。
∞
i ( t) =
∑I
k= 1
km
sin ( k Ξt + Υ k) = 2 I k sin ( k Ξt + Υ k) ( 2)
∞
∑
k= 1
式中 k 为正整数; I km , Υ k 分别对应各次正弦分量的 振幅和初相; I k 为有效值; k = 1 时对应的正 弦项称为基波项, 其频率与 u s 的频率相同, 除此之外的正弦项由于频率总是高于基波频 率, 都称为谐波项。 根据 B udeanu 提出的非正弦条件下的功率定 义[ 1～ 3 ] , 可以把式 ( 2) 分为 2 项, 即
∫ 1 1 i ( t) d t + i ( t) d t = T∫ T∫
T
0
T
2
T
2
0
p
0
q
( 10) I p + I q
2
2
现在根据式 ( 8) , 把式 ( 3) 改写为: ( 11) i ( t) = ip ( t ) + iq ( t ) + ih ( t ) ( 因为内积 ip ( t) , iq ( t) ) = 0, ( ip ( t) , ih ( t) ) = 0 和 ( iq ( t) , ih ( t) ) = 0, 所以, ip , iq 及 ih 是两两正交的, 并 且有 2 2 2 2 ( 12) I = Ip + Iq + Ih 把无功电流 iq 和谐波电流 ih 合为一项, 得: ( 13) ig q ( t ) = iq ( t ) + ih ( t ) 尽管 igq 与传统的无功电流的产生机理有区别, 但具有传统无功电流的一些特征, 诸如使电流增加、 占用电源和系统容量、 增加线路损耗和降低电源效 率 等, 所以可以把 igq 称为广义无功电流。 因此, 式 ( 11) 被写为: ( 14) i ( t ) = i p ( t ) + i gq ( t ) 很容易证明式 ( 13) 以及式 ( 14) 中的各个电流分量也
( 25)
根据上面 S 和 P 的定义, 可推出非正弦电路的 功率因数 K PF 为: K PF =
I1 P = co s Υ 1 = S I
2 2
∫ 1 i ( t) [ i ( t) - i ( t) ]d t = T∫ 1 G u ( t) [ i ( t) - Gu ( t) ]d t = T∫ 1 G u ( t) i ( t) d t T∫ 1 G u ( t) d t = GP - G U = T∫
( u s ( t ) , ih ( t ) ) =
2 I 1 sin Υ 1 co s Ξt = ( 8)
∫ u ( t) i ( t ) d t = T∫
T
0
1
T
0
s
h
0
( 20)
故
P = u ( t ) i ( t) d t = ∫ 1 2 U sin Ξt T∫ T
0 s
p T
2 I q co s Ξt = ip ( t) + iq ( t)
T
0
T
0
2 1
1
h
2 h
T
0
2 1
T
0
1
h
T
式中 I gq 是广义无功电流的有效值。 在非正弦周期电流的频域分解基础上, 能够定 义出各电流分量所对应的功率。 因为瞬时功率 p 为: ( 17) p ( t) = u s ( t ) i ( t ) 把式 ( 12) 代入式 ( 17) , 得负载实际消耗的平均功率 为: 1 T P = p ( t) d t =
式 ( 21) 说明, 在非正弦周期电流 i 中, 只有与 u s 同相的 ip 与 u s 共同作用才产生有功功率 ( 平均功 率) , 这也是有功电流这一名词的由来。 u s 的有效值 U s 和 i 的有效值 I 的乘积定义为视 在功率 S 。 视在功率与有功功率之间存在一个差值, 这个差值就导致了无功功率和畸变功率的概念。 基 波电流 i1 中的无功电流 iq 和电源电压 u s 共同作用产 生无功功率为: ( 22) Q B = U s I 1 sin Υ= U s I q 与正弦条件下一样, Q B 也反映了电源和负载之间进 行交换而不消耗的那部分能量。 进行无功补偿时, 应 该把 iq 抑制掉, 从而使功率因数得到提高。 对式 ( 12) 两边开平方并同乘以电源电压的有效 值, 分别代入式 ( 21) 和式 ( 22) , 可得非正弦电流的视 在功率为:
23
T
时补偿无功时, 它输出的应当就是 ih。 式 ( 23) 说明了 视 在功率 S 、 有功功率 P 、 无功功率 Q B 和畸变功率 D B 之间的关系。 2 对式 ( 15) 两边开平方并同乘以 U s , 则把由广义 无功电流 igq 和电源电压 u s 共同作用所产生的功率 定义为广义无功功率, 用 Q g 表示为:
Q g = U s I gq = QB + D B
2 2
Us=
1
T
u ( t) d t ∫
0 2 s
ห้องสมุดไป่ตู้
( 31)
( 24)
广义无功功率反映了 2 个物理过程: 负载与电 源之间的能量交换和负载内部之间的能量交换。 在 用有源电力滤波器进行谐波电流补偿时, 如要同时 补偿无功, 就要设法抑制 igq。 广义无功功率 Q g 与视 在功率 S 和有功功率 P 的关系为:
22 ( i 1 ( t ) , ih ( t ) ) = 1
T
∫
0
T
2 I 1 sin ( Ξt + Υ 1) ( 6) 2 I k sin (k Ξt + Υ k ) d t = 0
∞
是彼此正交的, 所以其有效值之间满足以下关系: 2 2 2 ( 15) I gq = I q + I h
电压畸变, 而研究电压为正弦波、 电流为非正弦波时 的情况有很重要的实际意义。 假设电源电压为正弦波, 其初相位为零, 频率 f 为工频 50 H z, 即
u s ( t) = U sm sin Ξt =
2 U s sin 2Π f t
( 1)
式中 Ξ 为角频率; U sm 为幅值; U s 为有效值。 如果电流发生畸变, 变为非正弦周期电流 i, 那 么通过傅里叶级数, i 可以被展开为:
S = P + Qg
2 2
从式 ( 28) 可知, ia 与 u s 波形一致, 它是非正弦周 期电流 i 中对有功功率做出贡献的电流分量, 所以 ia 就叫做有功电流。 这里的 u s 可以不是正弦波。 显然, 在 u s 是正弦波时 ia 与频域分解得出的基波有功电流 相等。 容易证明 ia ( t) 和 ib ( t) 互相正交, 因为内积 1 T ( ia ( t) , i b ( t ) ) = ia ( t ) ib ( t ) d t =
ip 和 iq 的有效值分别为: I p = I 1 co s Υ 1 I q = I 1 sin Υ 1
∫ 1 u ( t) [ i ( t) + T∫
T
0
T
0
s
p
( 18) iq ( t) + ih ( t) ]d t
考虑到 ip , iq , ih 彼此正交, 而 u s 与 ip 同频同相, 所以 u s 与 iq 及 ih 也是正交的。 则有下式: 1 T ( u s ( t ) , iq ( t ) ) = u s ( t) iq ( t) d t = 0 ( 19)
T
0
T
0
a
a
T
0
s
s
T
0
s
T
2
0
2 s
2
2 s
0
2 h
2 1
2 h
( 7)
式中 I 1 和 I h 分别是基波电流和谐波电流的有效 值。 可以进一步把式 ( 4) 所表示的 i1 分解为与 u s 同 相的 ( 基波) 有功电流 ip 和与其正交的 ( 基波) 无功 电流 iq , 即 i1 ( t) =
2 I 1 co s Υ 1 sin Ξt + 2 I p sin Ξt +