北京市人大附中2019届高三8月摸底考试数学(文)试题含答案

中国人民大学附属中学2019届高三八月摸底统一练习数学(文)201808一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”第1-8题的相应位置上．）1．已知集合，，则（ ）{|1}A x x =>-2{|log 1}B x x =<A B = A.B.C.D. {|0}x x >{|12}x x -<<{|02}x x <<{|2}x x <2．已知若命题,则 那么为（ ）22:0p x y +=0x y ==p ⌝A 若则. B. 若则 220x y +≠00x y ≠≠且220x y +≠00x y ≠≠或C. 若则. D. 若则220x y +=00x y ≠≠且220x y +=00x y ≠≠或3．下列函数中为偶函数的是（）A.B.C.D.2(2)y x =-|ln |y x =cos y x x =×||e x y -=4．已知向量，，则向量与的夹角为（）=(1,1)a 4+=(4,2)a b a b A. B. C. D. π43π4π32π35．函数的图象记为曲线C ．则“”是“曲线C 关于直线对称”的（ ）()sin()f x x ϕ=+(0)(π)f f =π2x =A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6．若变量满足约束条件，且的最小值为，则（）y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤k y y x x y 4y x z +=24-=k A.B. C. D. 34-4334-347C.2主视图8．袋子里有编号为的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只2,3,4,5,6告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.”乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中（ ） A.一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球D.可能有6号球二、填空题（本大题共6道小题，每小题5分，共30分．请将每道题的最简答案填写在“答题纸”第9-14题的相应位置上．）9．若角的终边过点，则________________θ(3,4)P -()tan θπ+=10．阅读如图所示的程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为 _________4011．设的内角A ，B ，C 的对边分别为,且,则=________ABC ∆,,a b c 12,cos ,4a C ==-3sin 2sin A B =c 12．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，一条渐C 28y x =近线方程为，则双曲线的方程是___________________0x y +=C 13．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数y x ℃y =e kx ‒be 的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品k b 0∘C 19220∘C 48在的保鲜时间是_________小时．25∘C14．已知函数其中.如果函数恰有两个零点，那么的取值范围是2,1,()1,1,2x a x f x x a x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩≤a ∈R ()f x a __________________三、解答题（本大题共6道小题，共80分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程，请将解答题的答案填写在“答题纸”第15-20题的相应位置上．）15．（本题满分13分）已知函数的一个零点是． ()sin cos f x x a x =-π4（Ⅰ）求实数的值；a （Ⅱ）设，若，求的最大值和最小值．()()()cos g x f x f x x x =⋅-+∈x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x 16．（本题满分13分）已知数列是等差数列，且 ，数列满足，{}n a 21a =-{}n b 1n n n b b a --=(2,3,4,)n = 且131b b ==（Ⅰ）求的值和数列的通项公式；1a {}n a（Ⅱ）求数列的通项公式.{}n b 17．（本题满分13分）年联合国教科文组织宣布每年的月日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，1995423都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。

”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取名学生，将他们一年课外阅读100量（单位：本）的数据，分成组，，，，并整理得到如下频率分布直方图：7[)2030，[)30,04⋅⋅⋅[)80,09（Ⅰ）估计其阅读量小于本的人数；60（Ⅱ）已知阅读量在，，内的学生人数比为.为了解学生阅读课外书的情[)2030，[)30,04[)4050，2:3:5况，现从阅读量在内的学生中随机人进行座谈，求人分别在不同组的概率；[)20,0422（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计名学生该年课外书阅读量的平均100数在第几组（只需写出结论）．18.（本题满分14分）如图，在四棱锥中，PD ⊥底面ABCD ，AB//DC, CD=2AB, AD ⊥CD ，E 为棱PD 的中点.P ABCD -（Ⅰ）求证：CD ⊥AE ；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（Ⅲ）试判断PB 与平面AEC 是否平行？并说明理由.19．（本题满分13分）设椭圆 的右顶点为A ，上顶点为B.22221(0)x y a b a b +=>>||AB =（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.:(0)l y kx k =<,P Q l AB 若的面积是面积的2倍，求k 的值.BPM △BPQ △20．（本题满分14分）已知函数，．()2ln p f x px x x =--2()eg x x =（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；2p =()f x (1,(1))f （Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求的最小值；()f x p （Ⅲ）若，且存在，使得成立，求的取值范围．20p p -≥0[1,]x e ∈00()()f x g x >p中国人民大学附属中学2019届高三八月摸底统一练习数学(文)参考答案一、选择题 CDDB CABD 二、填空题9． 10． 3 11． 4 12． 13． 14．43-22122x y -=1[2,)2--三、解答题15．（本题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得，…………1分π()04f =即， (3)分ππsincos 044a -==解得 ．…………4分1a =（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ．()sin cos f x x x =-()()()cos g x f x f x x x =⋅-+ (5)分(sin cos )(sin cos )2x x x x x =--- (6)分22(cos sin )2x x x =-+ (7)分cos 22x x =．…………8分π2sin(26x =+由得 …………9分0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x πππ7π2666x ≤+≤当即时，取得最大值2， …………11分π262x π+=π6x =()g x 当即时，取得最小值-1.…………13分π7266x π+=π2x =()g x 16．（本题满分13分）解：（Ⅰ）因为数列满足，{}n b 1(2,*)n n n b b a n n N --=≥∈所以，-------------------------------------------------------------------1分2121b b a -==-又因为，所以，------------------------------------------------------------2分11b =20b =所以，------------------------------------------------------------4分332101a b b =-=-=又因为数列是等差数列，所以，-----------------5分{}n a 321(1)2d a a =-=--=所以.-----------------------------------------------------------6分12123a a d =-=--=-所以数列是以为为首项，为公差的等差数列，{}n a 3-2所以，------------------------------------------------------8分3(1)225n a n n =-+-⋅=-（Ⅱ）由条件，当时，2n ≥125n n b b n --=-得211b b -=-321b b -=……，125n n b b n --=-将上述各等式相加整理得，,---------10分211(25)(1)432n n b b n n n -+--=⋅-=-+所以.----------------------------------------11分221434 4 (2)n b b n n n n n =+-+=-+≥当时，也满足上式，-----------------------------------------------------------12分1n =11b =所以.------------------------------------------------------------13分2*4 4 ()n b n n n =-+∈N 17．（本题满分13分）解：（Ⅰ）100-100 10 （0.04+0.02 2）=20（人） …………3分（Ⅱ）由已知条件可知：内人数为：100-100 （0.04+0.02+0.02=0.01)=10…………4分[)2050，人数为2人，人数为3人，人数为5人，[)200，3[)300，4[)400，5所以 内的学生人数为5人…………5分[)20,04设2人为a,b, 3人为c,d,e ，[)200，3[)300，4设事件A 为“两人分别在不同组 ” …………6分从内的5名学生中随机选取2人包含（a,b ）,(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),[)200，4(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10个基本事件，而事件A 包含 …………7分(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)共6个基本事件 …………9分所以…………10分()63105==P A （Ⅲ）第五组…………13分18.（本题满分14分）解：（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，DC 底面ABCD ， ⊂所以PD ⊥DC. 又AD ⊥DC ，AD PD=D ， …………2分 故CD ⊥平面PAD. …………3分又AE 平面PAD ， …………4分⊂所以CD ⊥AE.…………5分（Ⅱ）因为AB//DC, CD ⊥平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD . …………6分又因为AB 平面PAB ， …………7分⊂所以平面PAB ⊥平面PAD. …………8分（Ⅲ）PB 与平面AEC 不平行 . …………9分假设PB //平面AEC ，…………10分设BD AC=O ，连结OE ，则平面平面，又平面 EAC PDB OE =PB ⊂PDB 所以.…………11分//PB OE 所以，在中有，PDB ∆OB OD =PEED 由E 是PD 中点可得，即.1OB PEOD ED ==OB OD =因为AB//DC ，所以，这与矛盾， …………14分12AB OB CD OD ==OB OD =所以假设错误，PB 与平面AEC 不平行.19．（本题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得， …………1分2259c a=又由，可得…………2分222a b c =+23.a b =由 (3)分||AB ==从而.…………4分3,2a b ==所以，椭圆的方程为.…………5分22194x y +=（Ⅱ）设点P 的坐标为，点M 的坐标为 ，由题意，，11(,)x y 22(,)x y 210x x >>点的坐标为Q 11(,).x y -- 由的面积是面积的2倍，可得， .…………6分BPM △BPQ △||=2||PM PQ 从而，即. .…………7分21112[()]x x x x -=--215x x =易知直线的方程为，由方程组 消去y ，AB 236x y +=236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得.2632x k =+由方程组消去，可得.221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩y 1x =由， .…………10分215x x =5(32)k =+两边平方，整理得，解得，或. .…………11分2182580k k ++=89k =-12k =-当时，，不合题意，舍去； .…………12分89k =-290x =-<当时，，，符合题意.12k =-212x =1125x =所以，的值为. .…………13分k 12-20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）当时，函数，，.…………1分2p =2()22ln f x x x x =--(1)0f =，．.…………3分222'()2f x x x =+-'(1)2f =故在点处的切线方程为，即． .…………4分()f x (1,(1))f 02(1)y x -=-22y x =-（Ⅱ）（）．22222'()p px x pf x p x x x -+=+-=0x >令，2()2h x px x p =-+若在定义域内是增函数，则恒成立，.…………5分()f x (0,)+∞()0h x ≥即，220px x p -+≥故恒成立，.…………6分221xp x +≥又，即，.…………7分212x x +≥2211xx +≤故p 的最小值为1．…………8分（Ⅲ）因为在[1，e]上是减函数，2()eg x x =所以，，即.…………9分max ()(1)2g x g e ==min ()()2g x g e ==()[2,2]g x e ∈由得：或． .…………10分20p p -≥0p ≤1p ≥①当时，开口向下，且对称轴在轴的左侧，0p <2()2h x px x p =-+1x p =y 又，所以，在[1，e]上是减函数．()0h x <'()0f x <()f x 时，，因为x ∈[1，e]，所以，，0p =()2h x x =-()0h x <2'()0f x x =-<此时，在x ∈[1，e]内是减函数()f x 综上，当时，在[1，e]上单调递减， . …………11分0p ≤()f x 因此，f(x)max ＝f(1)＝0＜2，不合题意.…………12分②当时，由①知在[1，e]上是增函数，,1p ≥()f x (1)02f =<因在[1，e]上是减函数，故只需，x ∈[1，e]，()g x max min ()()f x g x >而，， max 1()()(2ln f x f e p e ee ==--min ()2g x =故只需，解得， .…………13分1(2ln 2p e e e -->241e p e >-所以的取值范围是..…………14分p 24(,)1ee +∞-。