15.1.1 从分数到分式
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八年级数学上册高效课堂(人教版)15.1.1从分数到分式优秀教学案例
（二）问题导向
在教学过程中，我将采用问题导向的教学方法，引导学生主动发现问题、提出问题、解决问题。针对分数与分式的知识点，设计一系列具有启发性和挑战性的问题，如分数与分式的区别与联系、分式的性质等。通过问题驱动，激发学生的求知欲，培养学生的批判性思维和创新能力。
（三）小组合作
小组合作是培养学生团队合作精神和沟通能力的重要途径。在本章节的教学中，我将组织学生进行小组合作学习，让学生在互动交流中共同探讨分数与分式的性质、运算规则等。小组合作任务包括但不限于：讨论问题、共同完成练习、互相讲解解题思路等。在此过程中，关注学生的个体差异，鼓励每个学生积极参与，提高小组的整体学习效果。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生学习数学的兴趣，培养学生对数学的热爱和信心，形成积极的学习态度。
2.培养学生勇于探索、勤于思考的良好习惯，使学生具备克服困难的勇气和毅力。
3.通过数学学习，引导学生认识数学在科学技术、社会生活等方面的重要作用，培养学生的社会责任感和使命感。
4.培养学生尊重事实、严谨求实的科学态度，使学生具备诚实、公正、合作的人格品质。
3.分式的性质与运算：结合教材，讲解分式的性质和运算规则，如分式的乘、除、加、减等。通过具体例题，让学生掌握分式的运算方法。
4.分式方程的解法：介绍分式方程的解法，并通过典型例题，让学生学会如何解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对本节课学习的分式性质、运算规则等方面进行讨论，共同探讨解决实际问题的方法。
3.小组合作促进学生互动
小组合作是本案例的一大亮点。通过组织学生进行小组讨论、分享成果，激发了学生的团队协作精神，提高了学生的沟通能力。同时，小组合作有助于学生取长补短，共同进步，提高整体教学质量。
在教学过程中，我将采用问题导向的教学方法，引导学生主动发现问题、提出问题、解决问题。针对分数与分式的知识点，设计一系列具有启发性和挑战性的问题，如分数与分式的区别与联系、分式的性质等。通过问题驱动，激发学生的求知欲，培养学生的批判性思维和创新能力。
（三）小组合作
小组合作是培养学生团队合作精神和沟通能力的重要途径。在本章节的教学中，我将组织学生进行小组合作学习，让学生在互动交流中共同探讨分数与分式的性质、运算规则等。小组合作任务包括但不限于：讨论问题、共同完成练习、互相讲解解题思路等。在此过程中，关注学生的个体差异，鼓励每个学生积极参与，提高小组的整体学习效果。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生学习数学的兴趣，培养学生对数学的热爱和信心，形成积极的学习态度。
2.培养学生勇于探索、勤于思考的良好习惯，使学生具备克服困难的勇气和毅力。
3.通过数学学习，引导学生认识数学在科学技术、社会生活等方面的重要作用，培养学生的社会责任感和使命感。
4.培养学生尊重事实、严谨求实的科学态度，使学生具备诚实、公正、合作的人格品质。
3.分式的性质与运算：结合教材，讲解分式的性质和运算规则，如分式的乘、除、加、减等。通过具体例题，让学生掌握分式的运算方法。
4.分式方程的解法：介绍分式方程的解法，并通过典型例题，让学生学会如何解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对本节课学习的分式性质、运算规则等方面进行讨论，共同探讨解决实际问题的方法。
3.小组合作促进学生互动
小组合作是本案例的一大亮点。通过组织学生进行小组讨论、分享成果，激发了学生的团队协作精神，提高了学生的沟通能力。同时，小组合作有助于学生取长补短，共同进步，提高整体教学质量。
15.1.1从分数到分式(教案)
15.1.1从分数到分式（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第15章《分式》的第一节“15.1.1从分数到分式”。教学内容主要包括以下两部分：
1.分式的定义：通过复习分数的概念，引导学生理解分式的定义，即分母不为零的整式比值称为分式。
2.分式的性质：探讨分式的分子、分母与分式值的关系，总结分式的性质，如分子分母同乘（除）一个非零整式，分式的值不变。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的定义、性质和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在数学学习和日常生活中灵活运用分式知识。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：分式2x/(x+1)与2x*2/(x的简单运算：学会分式的加减乘除运算，掌握运算规律。
举例：分式2x/(x+1)加上分式3/(x+1)时，只需将分子相加，分母保持不变，即(2x+3)/(x+1)。
2.教学难点
（1）分式与分数的区别：理解分式与分数在概念上的联系与区别，特别是分式的整式特性。
4.合作与交流：通过小组讨论、分享心得，培养学生团队合作和沟通交流的能力，促进学生共同成长。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）分式的定义：理解分式的概念，明确分母不为零的整式比值是分式的核心。
举例：分数5/6可以看作分式，而表达式(2x+1)/(x-3)也是分式，但(x+2)/0不是分式。
（2）分式的性质：掌握分式的基本性质，如分子分母同乘（除）一个非零整式，分式的值不变。
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第15章《分式》的第一节“15.1.1从分数到分式”。教学内容主要包括以下两部分：
1.分式的定义：通过复习分数的概念，引导学生理解分式的定义，即分母不为零的整式比值称为分式。
2.分式的性质：探讨分式的分子、分母与分式值的关系，总结分式的性质，如分子分母同乘（除）一个非零整式，分式的值不变。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的定义、性质和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在数学学习和日常生活中灵活运用分式知识。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：分式2x/(x+1)与2x*2/(x的简单运算：学会分式的加减乘除运算，掌握运算规律。
举例：分式2x/(x+1)加上分式3/(x+1)时，只需将分子相加，分母保持不变，即(2x+3)/(x+1)。
2.教学难点
（1）分式与分数的区别：理解分式与分数在概念上的联系与区别，特别是分式的整式特性。
4.合作与交流：通过小组讨论、分享心得，培养学生团队合作和沟通交流的能力，促进学生共同成长。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）分式的定义：理解分式的概念，明确分母不为零的整式比值是分式的核心。
举例：分数5/6可以看作分式，而表达式(2x+1)/(x-3)也是分式，但(x+2)/0不是分式。
（2）分式的性质：掌握分式的基本性质，如分子分母同乘（除）一个非零整式，分式的值不变。
15.1.1从分数到分式
例3：（1）当x_____时，分式
1 x2
的值为正；
1 x （2）当x______时，分式 x2 1 的值为负；
(3)已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于零，则k_______。
解：
3x 2
（1）由题意，得 1 0 ，根据实数的运算法则，同号两数 x 2 相除得正，异号两数相除得负，
(1)
x
x 2
1
;
(2)
x5 x2
; (3)
x2 1; (4) x 1
2 x2
5
解解：：((31))当当xx+21+≠1≠0，0，即即x≠x2≠-1-时1时，，分分式式有有意意义义
由x∵2-1x=2为0，非得负x数=±，1不，可但能x≠等-于1时-1，分式才有意义 因此∴，对当于x任=1意时实，数分x式，的分值式为都零有.意义 (4)∵当对x=一0时切，实分数式，的x2值≥为0 零. (∴2)x当2+x52≥≠50>，0，即∴x≠当0x时为，任分意式实有数意时义，分式有意义 由 这当于 样x分的-5子x=值0为，不2即存，x在永=5.远时不，为分零式，的所值以为分零式. 的值永远不为零，
3
3x 5
2 （3）当∣x∣-1≠0,即x≠±1时，分式 x 1 有意义。
（4）因为x无论取什么实数，x2+2>0,所以x取任何实数，
分式 x 2 都有意义。 x2 2
1. 填空：
2
(1)当x______时，分式 3x 有意义；
x
(2)当x______时，分式 x 1 无意义；
(3)当b______时，分式 1 有意义；
且B≠0时，分式 A 0 B
15.1.1 从分数到分式
D．x＝3
3．已知分式（x－1）（x＋2）的值为 0，那么 x 的值是( ) x2－1
A．－1
B．－2
C．1
D．1 或－2
侵权必究
名校课堂
题组二
4.下列式子中的字母取何值时，使分式有意义？
① 2m 3m 2
②2 x2 1
侵权必究
名校课堂
x2 1 5. x2 x 中的字母取何值时，分式有意义？ 字母取何值时分式无意义？字母取何值时分式为零？
侵权必究
名校课堂
例 当x为何值时，分式 x2 1 的值为零?
x 1
解：当分子等于零而分母不等于零时,
分式的值为零.
则 x2 - 1=0， ∴x = ±1， 而 x+1≠0， ∴ x ≠ -1. ∴当x = 1时分式 x2 1 的值为零.
x 1
侵权必究
名校课堂
题组一
1.整式有：
；分式有：
.
2x 1 1
（B ）
A.xx2+11
x1 B. x2
x2 1 C.x2 1
D.
x2 x1
4.已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于零， 3x 2
则k =-10 .
侵权必究
名校课堂
当堂练习
列式表示下列各量：
(1)某村有n个人，耕地40 hm2，则人均耕地面积
40
为 n hm2.
(2)△ABC的面积为S，BC边的长为a, 则高AD为
侵权必究
名校课堂
6. 某市对一段全长1 500米的道路进行改造．原计划
每天修x米，为了尽量减少施工对城市交通所
造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还
多35米，那么修这条路实际用了
15.1.1从分数到分式课件2024-2025学年八年级上学期数学人教版
x 3
x3
的值是零.
提升：当求使分式值为零的字母的取值时，我们可以先求满足分子的值为零
时字母的值，再代入分母，检验是否为零，舍掉使分母为零的值；也可以直
接利用分子的值为零、分母的值不为零这两个条件共同确定字母的取值.
x 1
的值为1，求x的值.
3x 2
x 1
（2）若分式 3 x 2 的值为正数，求x的取值范围.
2
思考1：分式概念中的关键词是什么？
2.当x取何值时，下列分式有意义？
5
x
（1） ；（2）
；
2x
x 4
2x
x2
（3） 2 ；（4）
.
x +1
x 31 x
思考2：分式有意义、无意义的条件是什么？
3.当x取何值时，下列分式的值为零？
x +3
（1）
;
2x 7
x 2
（2）
x4
x 5x 6
x3
3.求当x取何值时，分式
的值：
x5
（1）为正数；
（2）为负数
4.当x为何值时，分式
x 3
的值是非负数？
x2 1
6
5.若整数m满足
为正整数，求整数m的值.
1+m
1
6.如果对于任何实数x，分式 x 2 2 x c 总有意义. 求c的取值范围.
x
7.若对于任意数x，分式 2
都有意义. 求m的取值范围.
x +m
(2) 5a 5b3c 15a 4b ;
(3) 12a 3 6a 2 3a 3a .
除法分为单项式除单项式；多项式除单项式的形式，整式除法的计算
15.1 .1从分数到分式
子，B是分式的分母。
1)分母中含有字母是分式的一大特点！
2)分式比分数更具有一般性，如：分数 5 仅表示
x 5÷3的商，而分式
则可以表示任意3两个整式
y
相除的商（除式不等于零），其中包括 5÷3 .
下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
5x 7, 3x2 1, b 3 , m(n p) ,
2a 1
7
5,
x2 xy y2 ,
2,
4
2x 1
7 5b c
整式与分式的区别：整式的分母中不含字母，
而分式的分母中含有字母. 整式和分式统称为有理式.
整式 有理式
分式
类比 分数 来 学习 分式
1、分数
5 0
，
0
有意义吗？
2、分式
a1 2a
成立有条件吗？
有什么条件？
3、分式
a1 2a
中
，a
可取多少值？
所以当x=-2时，分式
x2 2x 5
的值是零。
解⑵ ：由分子|x|－2=0，得 x=±2。
当x=2时，分母 2x+4=4+4≠0。
当x=-2时，分母 2x+4=-4+4=0。 所以当x=2时，分式 |2xx|42的值是零。
•分式有意义的条件：
分式的分母不等于零
•分式的值为零的条件：
分式的分子等于零 且分母不等于零
15.1 .1从分数到分式
回顾与思考
1、下列两个整数相除如何表示成分数的形式：
3
10
3÷4= 4 , 10 ÷ 3= 3 ,
2、在代数式中，整式的除法也可以类似地表示。
试用用类似分数的形式表示下列整式的除法：
15.1.1_从分数到分式
人教版初中数学第三册第15章《分式》
§15.1 分式
如果轮船在静水中的最大航速为20千米/时， 它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的 时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的 时间相等，江水的流速为多少？ 行程问题基本数量关系：路程＝速度×时间 解：设江水的流速为v千米/时，则
船顺流航行速度＝船在静水中的速度＋水流的速度 顺流100千米所用时间为________小时， 船逆流航行速度＝船在静水中的速度－水流的速度
例3 对于分式(x+a+b)/(a-2b+3x), 已知当x=1时， 分式的值为0 ； 当x=-2时，分式无意义，试求a b 的值。
课堂检测
1:列式表示下列各量（每小题5分）
(1)某村有n个人,耕地40公顷,人
40 均耕地面积为 n
公顷.
(2)一辆汽车行驶a千米用b小时,它的平均 a 车速为______千米/时;一列火车行驶a千米 b 比这辆汽车少用1小时,它的平均车速为 a ________千米/时.
解：（1）当分母a≠0时，原分式有意义。 （2）当分母x-1≠0即x≠1时，原分式有 意义。
2m (3) 3m 2
2 （3）当分母3m+2≠0即m≠ 3
时，原分式有意义。
1 ( 4) x y
2a b (5) 3a b 2 ( 6) x 1
2
（4）当分母x+y≠0即x≠-y时，原分式有意义。
（5）当分母3a+b≠0即b≠-3a时，原分式有意义。
（6）当分母
-1≠0即x≠±1时，原分式有意义。
x
2
4：填空（每空5分）
（1）当x
=-2
x 4 时， x2
2
2
§15.1 分式
如果轮船在静水中的最大航速为20千米/时， 它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的 时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的 时间相等，江水的流速为多少？ 行程问题基本数量关系：路程＝速度×时间 解：设江水的流速为v千米/时，则
船顺流航行速度＝船在静水中的速度＋水流的速度 顺流100千米所用时间为________小时， 船逆流航行速度＝船在静水中的速度－水流的速度
例3 对于分式(x+a+b)/(a-2b+3x), 已知当x=1时， 分式的值为0 ； 当x=-2时，分式无意义，试求a b 的值。
课堂检测
1:列式表示下列各量（每小题5分）
(1)某村有n个人,耕地40公顷,人
40 均耕地面积为 n
公顷.
(2)一辆汽车行驶a千米用b小时,它的平均 a 车速为______千米/时;一列火车行驶a千米 b 比这辆汽车少用1小时,它的平均车速为 a ________千米/时.
解：（1）当分母a≠0时，原分式有意义。 （2）当分母x-1≠0即x≠1时，原分式有 意义。
2m (3) 3m 2
2 （3）当分母3m+2≠0即m≠ 3
时，原分式有意义。
1 ( 4) x y
2a b (5) 3a b 2 ( 6) x 1
2
（4）当分母x+y≠0即x≠-y时，原分式有意义。
（5）当分母3a+b≠0即b≠-3a时，原分式有意义。
（6）当分母
-1≠0即x≠±1时，原分式有意义。
x
2
4：填空（每空5分）
（1）当x
=-2
x 4 时， x2
2
2
15.1.1 从分数到分式
V
的圆柱形容器中,水面高度为______; S
S
V
思考
议一议：请大家观察式子 和 ，有S 什么V特点？
aS
请大家观察式子
和100 ，有什60么特点？
20 u 20 u
他们与分数有什么相同点和不同点？
相同点 都具有分数的形式
不同点 （观察分母） 分母中有字母
分式的定义
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称
解：x≠±1，且x≠－2
x 1xx有意11义x； 2
(2)当x取何值时，分式
无4意x义？5
3x 7
解：根据题意，得3x－7＝0，解得x＝ .
7
所以当x＝
时，7 分式
3
无意34 xx义-+．75
3
知识模块三 分式的值为零的条件
想一想： 分式 A的值为零应满足什么条件？
B
当A=0而 B≠0时， 分式 BA的值为零.
有意义；2
3x
有意义；x x 1
有意义；1 5 3x
取全体实数时，分式
有意义；x 1 x2 1
时32，分式
有意义x .1
2x 3
合作探究
1.分式
x2
x2
4x的9值3为零，求x的值；
解：
x2 – 9 = 0, x2 – 4x+3 ≠ 0.
解得x＝－3.
合作探究 2．当x取什么值时，分式
40
则高为 c7m；三角形的面积为S，底边为a，
2S
则高为 ；a
2．王老师骑自行车用了m小时到达距离家n千米的学校，则王老师
的平均速度是
n
千米/时；若乘公共汽车则可m少用0.2小时，则
的圆柱形容器中,水面高度为______; S
S
V
思考
议一议：请大家观察式子 和 ，有S 什么V特点？
aS
请大家观察式子
和100 ，有什60么特点？
20 u 20 u
他们与分数有什么相同点和不同点？
相同点 都具有分数的形式
不同点 （观察分母） 分母中有字母
分式的定义
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称
解：x≠±1，且x≠－2
x 1xx有意11义x； 2
(2)当x取何值时，分式
无4意x义？5
3x 7
解：根据题意，得3x－7＝0，解得x＝ .
7
所以当x＝
时，7 分式
3
无意34 xx义-+．75
3
知识模块三 分式的值为零的条件
想一想： 分式 A的值为零应满足什么条件？
B
当A=0而 B≠0时， 分式 BA的值为零.
有意义；2
3x
有意义；x x 1
有意义；1 5 3x
取全体实数时，分式
有意义；x 1 x2 1
时32，分式
有意义x .1
2x 3
合作探究
1.分式
x2
x2
4x的9值3为零，求x的值；
解：
x2 – 9 = 0, x2 – 4x+3 ≠ 0.
解得x＝－3.
合作探究 2．当x取什么值时，分式
40
则高为 c7m；三角形的面积为S，底边为a，
2S
则高为 ；a
2．王老师骑自行车用了m小时到达距离家n千米的学校，则王老师
的平均速度是
n
千米/时；若乘公共汽车则可m少用0.2小时，则