[考研类试卷]考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编25.doc
[考研类试卷]考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编22.doc
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[考研类试卷] 考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编22一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1(1990 年)设函数 f(x)=xtanxe sinx，贝U f(x)是()(A )偶函数.(B)无界函数.(C)周期函数.(D)单调函数.2(2011年)已知当x—0时，函数f(x)=3sinx — sin3x与cx k是等价无穷小，则()( A) k=1 ， c=4.(B)k=1，c=— 4.( C) k=3， c=4.(D) k=3，c=一 4.3(2000年)设函数f(x)在点x=a处可导，则函数| f(x) |在点x=a处不可导的充分条件是 ( )( A) f(a)=0 且 f'(a)=0(B)f(a)=0 且 f(a)工0(C)f(a)>0 且 f(a) >0(D)f(a) v 0 且 f(a)v 04 （2007年）设某商品的需求函数为 Q=160—2p,其中Q, p 分别表示需求量和价 格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1,则商品的价格是（）(A) 10(B) 20.(C) 30.(D) 40.6 （2018年）设函数f （x ）在［0, 1］上二阶可导，且/ f （x ）dx=0，则入当 /<T>< 0 时,/(y)<0. C.当 <0- B.当严⑺V 0时D ・当 fix) > 0 <o.()7 （2006年）设f （x , y ）与 險,y ）均为可微函数，且 0（x, y ）工,已知（x 0, y 。
）是f （x ,y ）在约束条件（Kx, y ）=0下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A) 若 f x '(x 0, y 0)=0,则 f y '(x 0, y 0)=0.(B) 若 f x '(x 0, y 0)=0，则 f y '(x 0, y 。
) ^0(C) 若 f x '(x 0, y 0) M0 则 f y '(x 0, y 0)=0.(D) 若 f x '(X 0, y 0)工0 则 f y '(X 0, y 0)工08 (2016年)级数 (k 为常数)()5 （1987年）下列广义积分收敛的是（）(D)(A) 绝对收敛.(B) 条件收敛.(C) 发散.(D) 收敛性与k 有关.二、填空题 lim 卞 十甲 扌］(siar + COSJ )9 (2007年)小2 丄十x10 (1990年)设f(x)有连续的导数，f(0)=0且f(0)=b ，若函数/(x) +asinx^龙手。
考研数学三(填空题)高频考点模拟试卷25(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷25(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设f(x)=在x=0连续，则常数a与b满足的关系是_________．正确答案：a=b解析：对任何常数a和b，f(x)分别在(一∞，0]，(0，+∞)连续，且f(0)=a，f+(0)=b．故f(x)在x=0连续→f(0)=f+(0) →a=b．知识模块：微积分2．设函数=______．正确答案：解析：由得知识模块：一元函数微分学3．=__________.正确答案：涉及知识点：函数极限连续4．正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续5．设z＝z(χ，y)是由方程z＝mz＝φ(y－nz)所确定，(其中m、n为常数，φ为可微函数)，则＝_______．正确答案：1 涉及知识点：微积分6．设有界函数f（x）在（c，+∞）内可导，且f’（x）=b，则b=________。
正确答案：0解析：因f（x）在（c，+∞）可导，则f（x）在（c，+∞）内有界，故又因所以b=0。
知识模块：微积分7．若x→0时，(1－ax2)1/4－1与xsinx的等价无穷小，则a＝________．正确答案：-4 涉及知识点：一元函数积分学8．正确答案：解析：知识模块：微积分9．设函数y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定，则=_________.正确答案：1 涉及知识点：一元函数微分学10．设f(x，y)在区域D：x2+y2≤t2上连续且f(0，0)=4，则=________．正确答案：8π解析：知识模块：微积分11．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，且E[(X一1)(X+2)]=8，则λ=________．正确答案：解析：由随机变量X服从参数为λ的指数分布，得E(X)=于是E(X2)=D(X)+[E(X)]2=而E[(X一1)(X+2)]=E(X2)+E(X)一2=一2=8，解得λ=．知识模块：概率统计12．(I)由曲线y=lnx与两直线y=e+1－x及y=0围成平面图形的面积S=___________；(Ⅱ)由曲线与直线y=a及y轴在第一象限所围平面图形的面积是仅由曲线及直线y=a所围图形面积的则a=___________．正确答案：解析：(I)解方程组得唯一交点(e，1)，而所给曲线与直线分别交x轴于x=1及x=e+1．围成图形如图3．10中阴影部分，其面积或(Ⅱ)先画草图(如图3．11)，曲线是开口向下的二次曲线，且与x轴的交点为x=0与x=4．由图形的对称性及条件可知．S1=S2，故S+S2=S+S1，即知识模块：一元函数积分学13．设D是Oxy平面上以A(1，1)，B(一1，1)和C(一1，一1)为顶点的三角形区域，则正确答案：8解析：连将区域D分成D1(三角形OAB)，D2(三角形OBC)两个部分(见图4．13)，它们分别关于y轴与x轴对称．由于对x与y均为奇函数，因此又由于D的面积=所以于是I=0+8=8．知识模块：多元函数微积分学14．= ________．正确答案：解析：知识模块：微积分15．正确答案：解析：知识模块：微积分16．设A，B是三阶矩阵，满足AB=A—B，其中B=，则|A+E|=_________。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2005年)当a取值为( )时，函数f(x)=2x3一9x2+12x—a恰有两个不同的零点。
A．2。
B．4。
C．6。
D．8。
正确答案：B解析：由f’(x)=6x2一18x+12=6(x一1)(x一2)，知可能极值点为x=1，x=2，当x＜1和x＞2时，函数单调增加，1＜x＜2时，函数单调减小，且f(1)=5一a，f(2)=4一a。
可见当a=4时，f(1)=1＞0，且=一∞，由单调性和零点存在性定理可知，函数在(-∞，1)上有唯一的零点，而此时f(2)=0，在(1，2)和(2，+∞)上无零点，因此a=4时，f(x)恰好有两个零点。
故应选B。
知识模块：微积分2．(2001年)设函数f(x)的导数在x=a处连续，又，则( )A．x=a是f(x)的极小值点。
B．x=a是f(x)的极大值点。
C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点。
D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点。
正确答案：B解析：又函数f(x)的导数在x=a处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限且等于函数在该点的值，所以f’(a)=0，于是即f’(a)=0，f”(a)=一1＜0，根据判定极值的第二充分条件知x=a是f(x)的极大值点，因此，正确选项为B。
知识模块：微积分3．(2004年)设f(x)=|x(1-x)|，则( )A．x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点。
B．x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点。
C．x=0是f(x)的极值点，且(O，O)是曲线y=f(x)的拐点。
D．x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点。
正确答案：C解析：令φ(x)=x(x一1)，则φ(x)=是以直线x=为对称轴，顶点坐标为开口向上的一条抛物线，与x轴相交的两点坐标为(0，0)，(1，0)，f(x)=|φ(x)|的图形如图。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(03年)设可微函数f(χ0，y0)在点(χ，y)取得极小僵，则下列结论正确的是【】A．f(χ0，y)在y＝y0处导数等于零．B．f(χ0，y)在y＝y0处导数大于零．C．f(χ0，y)在y＝y0处导数小于零．D．f(χ0，y)在y＝y0处的导数不存在．正确答案：A解析：由于f(χ，y)在(χ0，y0)取得极小值，则f(χ0，y)在y＝y0取得极小值．又f(χ，y)在(χ0，y0)点处可微，则f′y(χ0，y0)存在，从而有f′y(χ0，y0)＝0，即f(χ0，y)在y＝y0处的导数为零，故应选A．知识模块：微积分2．(05年)设I1＝，I2＝cos(χ2＋y2)dσ，I3＝cos(χ2＋y2)2dσ，其中D ＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤1}，则【】A．I3＞I2＞I1B．I1＞I2＞I3C．I2＞I1＞I3D．I3＞I1＞I2正确答案：A解析：由于当0≤χ≤时，cosχ是减函数，而当0≤χ2＋y2≤1时，≥χ2＋y2≥(χ2＋y2)2，则cos≤cos(χ2＋y2)≤cos(χ2＋y2)2 故即I1≤I2≤I3 知识模块：微积分3．(06年)设f(χ，y)与φ(χ，y)均为可微函数，且φ′y愤怒(χ0，y0)≠0，已知(χ0，y0)是f(χ，y)在约束条件φ(χ，y)＝0下的一个极值点，下列选项正确的是【】A．若f′χ(χ0，y0)＝0，则f′y(χ0，y0)＝0．B．若f′χ(χ0，y0)＝0，则f′y(χ0，y0)≠0．C．若f′χ(χ0，y0)≠0，则f′y(χ0，y0)＝0．D．若f′χ(χ0，y0)≠0，则f′y(χ0，y0)≠0．正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法知，若(χ，y)是f(χ，y)在条件φ(χ，y)＝0下的极值点，则必有若f′χ(χ0，y0)≠0，由①式知λ≠0，由原题设知φ′y(χ0，y0)≠0，由②式可知f′y(χ0，y0)≠0，故应选D．知识模块：微积分4．(07年)设函数f(χ，y)连续，则二次积分f(χ，y)dy等于【】A．B．C．D．正确答案：B解析：二次积分对应的二重积分的积分域D如图所示．交换二次积分次序得故应选B．知识模块：微积分5．(08年)已知f(χ，y)＝，则【】A．f′χ(0，0)，f′y(0，0)都存在．B．f′χ(0，0)不存在，f′y(0，0)存在．C．f′χ(0，0)存在，f′y(0，0)不存在．D．f′χ(0，0)，f′y(0，0)都不存在．正确答案：B解析：f(χ，0)＝e｜χ｜，在χ＝0处不可导，事实上而不存在，则f′χ(0，0)不存在又f(0，y)＝在y＝0处可导，则f′y(0)存在，故应选B．知识模块：微积分6．(08年)设函数f连续，若F(u，v)＝，其中区域Duv为图中阴影部分，则＝【】A．vf(u2)．B．f(u2)．C．vf(u)．D．f(u)．正确答案：A解析：故应选A．知识模块：微积分填空题7．(01年)设生产函数为Q＝ALαKβ，其中Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，而A，α，β均为大于零的参数，则当Q＝1时K关于L的弹性为_______．正确答案：解析：当Q＝1时，1＝ALαKβ等式两边对L求导，得0＝αAL α－1Kβ＋βALαKβ－1 解得由弹性计算公式知，K关于L的弹性为知识模块：微积分8．(02年)交换积分次序＝_______．正确答案：解析：由原累次积分可知积分域如图2．16因此：知识模块：微积分9．(03年)设a＞0，f(χ)＝g(χ)＝，而D表示全面，则I＝f(χ)g(y－χ)d χdy＝_______．正确答案：a2解析：由题意知f(χ)g(y－χ)＝令Ω＝{(χ，y)｜0≤χ≤1且0≤y －χ≤1}．则I＝＝a2 其中区域Ω的面积为1．知识模块：微积分10．(04年)函数，(u，v)由关系式f[χg(y)，y]＝χ＋g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则＝_______．正确答案：解析：令χg(y)＝u，y＝v，则χ＝，g(y)＝g(v)，则知识模块：微积分11．(05年)设二元函数z＝χeχ＋y＋(χ＋1)ln(1＋y)，则dz｜(1，0)＝_______．正确答案：2edχ＋(e＋2)dy．解析：知识模块：微积分12．(06年)设函数f(u)可微，且f′(0)＝，则z＝f(4χ2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜(1,2)＝_______正确答案：4dχ－2dy．解析：则dz｜(1，2)4dχ－2dy 知识模块：微积分13．(07年)设f(u，v)是二元可微函数，z＝，则＝_______．正确答案：解析：知识模块：微积分14．(08年)设D＝{(χ2，y2)｜χ＋y≤1}，则(χ2－y)dχdy＝_______．正确答案：解析：知识模块：微积分15．(09年)设z＝(z＋ey)χ，则＝_______．正确答案：2ln2＋1解析：由z＝(χ＋eyy)χ知，z(χ，0)＝(χ＋1)χ．代入χ＝1得，＝2ln2＋1．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(常微分方程与差分方程)历年真题试卷汇编1(题后含答
考研数学三（常微分方程与差分方程）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2006年] 设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，c为任意常数，则该方程的通解是( )．A．c[y1(x)一y2(x)]B．y1(x)+c[y1(x)-y2(x)]C．c[y1(x)+y2(x)]D．y1(x)+c[y1(x)+y2(x)]正确答案：B解析：因y1(x)，y2(x)是y’+p(x)y=q(x)的两个不同的解，y1(x)－y2(x)是对应齐次方程y’+p(x)y=0的非零解，所以由命题1．6．1．2(2)知，c[y1(x)+y2(x)]是对应齐次方程y+p(x)y=0的通解．又y’+p(x)y=q(x)的通解等于对应齐次方程的通解加上原方程的一个特解(见命题1．6．1．2(1))，故y1(x)+c[y1(x)－y2(x)]是该非齐次方程的通解．仅(B)入选．(注：命题1．6．1．1 (1)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=1时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=q(x)的解．(2)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=0时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=0的解．特别地，若y1，y2为y’+p(x)y=q(x)的两个解，则y2－y1为y’+p(x)y=0的解．) 知识模块：常微分方程与差分方程2．[2010年] 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则( )．A．λ=1／2，μ1=1／2B．λ=一1／2，μ=一1／2C．λ=2／3，μ=1／3D．λ=2／3，μ=2／3正确答案：A解析：解一因λy1－μy2是y’+p(x)y=0的解，故(λy1－μy2)’+p(x)(λy1－μy2)=λ(y1’+p(x)y1)－μ(y2’+p(x)y2)=0．又y1’+p(x)y1=q(x)，y2’+p(x)y2=q(x)，故λq(x)－μq(x)=(λ－μ)q(x)=0．而q(x)≠0，故λ－μ=0，即λ=μ．又λy1+μy2为y’+p(x)y=q(x)的解，故(λy1+μy2)’+p(x)(λy1+μy2)=λ[y1’+p(x)y1]+μ[y2’+p(x)y2]=λq(x)+μq(x)=(λ+μ)q(x)=q(x)．因q(x)≠0，故λ+μ=1．由λ=μ得到λ=μ=1／2．仅(A)入选．解二y1与y2为方程y’+p(x)y=q(x)的解，又已知λy1+μy2也是该方程的解，则由命题1．6．1．1(1)知，λ+μ=1．又由λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，由命题1．6．1．1(2)知，λ+(-μ)=λ－μ=0，即λ=μ．联立λ=μ，λ+μ=1解得λ=μ=1／2．仅(A)入选．(注：命题1．6．1．1 (1)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=1时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=q(x)的解．(2)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=0时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=0的解．特别地，若y1，y2为y’+p(x)y=q(x)的两个解，则y2-y1为y’+p(x)y=0的解．) 知识模块：常微分方程与差分方程3．[2008年] 设函数f(x)连续，若其中区域Duv为图1．6．2．1中阴影部分，则A．vf(u2)B．C．vf(u)D．正确答案：A解析：利用极坐标计算，其中积分区域Duv为Duv={(r，θ)|0≤θ≤v，1≤r≤u}，其中u，v均为F的两独立的变量．于是仅(A)入选．知识模块：常微分方程与差分方程填空题4．[2005年] 微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为___________．正确答案：xy=2解析：解一所给方程为可分离变量方程．由xy’+y=0得到两边积分得到ln|y|=－ln|x|+lnc，即ln|xy|=lnc，故xy=c．又y(1)=2，故c=2．所求特解为xy=2．解二原方程可化为(xy)’=0，积分得xy=c，由初始条件得c=2，所求特解xy=2．解三y’+(1／x)y=0．利用一阶齐次线性方程通解公式求解，得到由y(1)=2有c=2，y=2／x，即xy=2．知识模块：常微分方程与差分方程5．[2008年] 微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的特解是y=___________．正确答案：1／x解析：所给方程属可分离变量的方程：两边积分有l|y|=－ln|x|+c1，即ln|y|+ln|x|=ln|yx|=c1，因而xy=±ec1=x．由y(1)=1＞0，可取x＞0，y＞0，由初始条件y(1)=1得到c=1，故满足初始条件的解为y=1／x．知识模块：常微分方程与差分方程6．[2007年]微分方程满足y｜x=1=1的特解为____________．正确答案：解析：设y=ux，则代入原方程得到从而即由y｜x=1=1得到c=－1／2．于是所求特解为(x／y)2=lnx+1．因y｜x=1=1＞0，故应取x＞0，y ＞0，所以即知识模块：常微分方程与差分方程7．[2013年] 微分方程y”－y’+y=0的通解为y=__________．正确答案：其中C1，C2为任意常数．解析：二阶齐次微分方程y”－y’+y=0所对应的特征方程为r2－r+=0即故其特征根为r1=r2=所以该齐次微分方程的通解为其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程与差分方程8．[2015年] 设函数y=y(x)是微分方程y”+y’－2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=_______．正确答案：e－2x+2ex解析：易知所给方程的特征方程为r2+r－2=(r+2)(r－1)=0，故特征根为r1=－2，r2=1，故其通解为y=C1e－2x+C2 ex ①因y(x)在x=0处取得极值，故y’(0)=0，y(0)=3．将其代入通解①得到y’(x)｜x=0=[－2C1 e－2x+C2ex]｜x=0=－2C1+C2=0，y(0)=C1+C2=3．解之得C1=1，C2=2，故y=e－2x+2ex．知识模块：常微分方程与差分方程9．[2017年] 差分方程yt+1－2yt=2t的通解为___________．正确答案：yt=Yt+y*=C2t+t2t，C为任意常数．解析：yt+1－2yt=0的通解为Yt=C2t(C为任意常数)；设yt+1－2yt=2t 的特解为y*=at2t，代入得综上所述，yt+1－2yt=2t的通解为yt=Yt+y*=C2t+t2t，C为任意常数．知识模块：常微分方程与差分方程10．[2001年] 某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元，若以Wt表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是__________．正确答案：Wt=1．2Wt－1+2解析：由题意得到Wt=Wt－1+0．2Wt－1+2，故差分方程是Wt=1．2Wt－1+2．知识模块：常微分方程与差分方程11．[2018年] 差方程△2yx-yx=5的通解为_________．正确答案：yx=C·2x－5解析：△2Yx=△(△yx)=△yx+1－△yx=(yx+2-yx+1)－(yx+1－yx)=y+2－2yx+1+yx，所以原方程可化为yx+2-2yx+1=5．易知，对应齐次方程yx+2-2yx+1=0的通解为yx=C·2x．设原方程的特解为yx*=A，代入原方程中得A=－5，所以原方程的通解为yx=C·2x－5．知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(02年)设函数f(χ)在闭区间[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则【】A．当f(a)f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)＝0．B．对任何ξ∈(a，b)，有[f(χ)－f(ξ)]＝0．C．当f(a)＝f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f′(ξ)＝0．D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)．正确答案：B解析：由于f(χ)在(a，b)内可导．ξ∈(a，b)，则f(χ)在ξ点可导，因而在ξ点连续，故[f(χ)－f(ξ)]＝0 知识模块：微积分2．(03年)设f(χ)为不恒等于零的奇函数，且f′(0)存在，则函数g(χ)＝【】A．在χ＝0处左极限不存在．B．有跳跃间断点χ＝0．C．在χ＝0处右极限不存在．D．有可去间断点χ＝0．正确答案：D解析：由于f(χ)为奇函数，则f(0)＝0，从而又g(χ)＝在χ＝0处无定义，则χ＝0为g(χ)的可去间断点．知识模块：微积分3．(04年)设f(χ)＝｜χ(1－χ)｜，则【】A．χ＝0是f(χ)的极值点，但(0，0)不是曲线y＝f(χ)的拐点．B．χ＝0不是f(χ)的极值点，但(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点．C．χ＝0是f(χ)的极值点，且(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点．D．χ＝0不是f(χ)的极值点，(0，0)也不是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：C解析：由f(χ)＝｜χ(1－χ)｜知，f(0)＝0，而当χ＜0，或0＜χ＜1时，f(χ)＞0，由极值的定义知f(χ)在χ＝0处取极小值．又则当χ＜0时，f〞(χ)＝2＞0；当0＜χ＜1时，f〞(χ)＝－2＜0，则(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点，故应选C．知识模块：微积分4．(04年)设f′(χ)在[a，b]上连续，且f′(a)＞0，f′(b)＜0，则下列结论中错误的是【】A．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＞f(a)．B．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＞f(b)．C．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f′(χ0)＝0．D．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＝0．正确答案：D解析：由以上分析知，由f′(a)＞0知，存在χ0∈(a，b)使f(χ0)＞f(a)；由f′(b)＜0知，存在χ0∈(a，b)，使f(χ0)＞f(b)，则选项A、B均不能选．又f′(a)＞0，f′(b)＜0，且f′(χ)在[a，b]上连续，由零点定理知，存在χ0∈(a，b)，使f′(χ0)＝0，则C也不能选，故应选D．知识模块：微积分5．(05年)当a取下列哪个值时，函数f(χ)＝2χ3－9χ2＋12χ－a恰有两个不同的零点．【】A．2B．4C．6D．8正确答案：B解析：f′(χ)＝6χ2－18χ＋12＝6(χ2－3χ＋2)＝6(χ－1)(χ－2) 令f′(χ)＝0，得χ1＝1，χ2＝2 f(1)＝5－a，f(2)＝4－a 当a＝4时，f(1)＝1＞0，f(2)＝0．即χ＝2为f(χ)的一个零点，由f′(χ)＝6(χ－1)(χ－2)知当－∞＜χ＜1时，f′(χ)＞0，f(χ)严格单调增，而f(1)＝1＞0，f(χ)＝－∞，则f(χ)在(－∞，0)内有唯一零点．当1＜χ＜2时，f′(χ)＜0，f(χ)单调减，又f(2)＝0，则当1＜χ＜2时，f(χ)＞0，此区间内无零点．当χ＞2时，f′(χ)＞0，f(2)＝0．则χ＞2时f(χ)＞0，即在此区间内f(χ)无零点．故应选B．知识模块：微积分6．(05年)设f(χ)＝χsinχ＋cosχ，下列命题中正确的是【】A．f(0)是极大值，f()是极小值．B．f(0)是极小值，f()是极大值．C．f(0)是极大值，f()也是极大值．D．f(0)是极小值，f()也是极小值．正确答案：B解析：f′(χ)＝sinχ＋χcosχ－sinχ＝χcosχ，f〞(χ)＝cosχ－χsinχf′(0)＝0，f〞(0)＝1＞0，则f(0)是极小值．，则是极大值．故应选B．知识模块：微积分7．(05年)以下四个命题中，正确的是【】A．若f′(χ)在(0，1)内连续，则f(χ)在(0，1)内有界．B．若f(χ)在(0，1)内连续，则f(χ)在(0，1)内有界．C．若f′(χ)在(0，1)内有界，则f(χ)在(0，1)内有界．D．若f(χ)在(0，1)内有界，则f′(χ)在(0，1)内有界．正确答案：C解析：由于f′(χ)在(0，1)内有界，则存在M＞0，使对任意χ∈(0，1)，｜f′(χ)｜≤M，对任意的χ∈(0，1)，由拉格朗日中值定理知f(χ)－f()＝f′(ξ)(χ－)，ξ∈(0，1) 从而右f(χ)＝则f(χ)在(0，1)内有界．知识模块：微积分8．(06年)设函数y＝f(χ)具有二阶导数，且f′(χ)＞0，f〞(χ))＞0，△χ)为自变量χ)在点χ0处的增量，△y与dy分别为f(χ)在点χ0处对应的增量与微分，若△χ＞0，则【】A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：由于dy＝f′(χ0)△χ△y＝f(χ0＋△χ)－f(χ0)＝f′(ξ)△χ(χ0＜ξ＜χ0＋△χ) 由f〞(χ)＞0，则f′(χ)单调增，又△χ＞0，且f′(χ)＞0，则0＜dy＜△y 故应选A．知识模块：微积分9．(06年)设函数f(χ)在χ＝0处连续，且＝1，则【】A．f(0)＝0且f′－(0)存在．B．f(0)＝1且f′－(0)存在．C．f(0)＝0且f′＋(0)存在．D．f(0)＝1且f′＋(0)存在．正确答案：C解析：由＝1，知f(h2)＝0，又f(χ)在χ＝0连续，则f(h2)＝f(0)＝0 则故应选C．知识模块：微积分10．(07年)设函数f(χ)在χ＝0处连续，下列命题错误的是【】A．若存在，则f(0)＝0．B．存在，则f(0)＝0．C．若存在，则f′(0)存在．D．若存在，则f′(0)存在．正确答案：D解析：由存在及f(χ)在χ＝0处的连续性知，f(0)＝0，从而有＝f′(0)，所以，命题A和C是正确的；由存在，＝0知，(f(χ)＋f(－χ))＝2f(0)＝0，则f(0)＝0，所以，命题B也是正确的．事实上，命题D是错误的．例如，令f(χ)＝｜χ｜，显然＝0，但f(χ)＝｜χ｜在χ＝0处不可导，即f′(0)不存在．故应选D．知识模块：微积分11．(07年)曲线y＝＋ln(1＋eχ)渐近线的条数为【】A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：D解析：由于＝∞，则χ＝0为原曲线的一条垂直渐近线．而＝ln1＝0，则y＝0为原曲线的一条水平渐近线．则y＝χ为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线．所以，本题应选D．知识模块：微积分12．(07年)设某商品的需求函数为Q＝160－2p．其中Q，P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是【】A．10B．20．C．30．D．40．正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由＝1知p＝40．故应选D．知识模块：微积分13．(10年)设函数f(χ)，g(χ)具有二阶导数，且g〞(χ)＜0．若g(χ0)＝a是g(χ)的极值，则f(g(χ))在χ0取极大值的一个充分条件是【】A．f′(a)＜0．B．f′(a)＞0．C．f〞(a)＜0．D．f〞(a)＞0．正确答案：B解析：令φ(χ)＝f[g(χ)]，则φ′(χ)＝f′[g(χ)]g′(χ) φ′(χ0)＝f′[g(χ0)]g′(χ0)＝0 φ〞(χ)＝f〞[g(χ)]g′2(χ)＋f′[g(χ)]g〞(χ) φ〞(χ0)＝f′[g(χ0)]g〞(χ0)＝f′(a)g〞(χ0) 若f′(a)＞0，则φ〞(χ0)＜0，故φ(χ)在χ0处取极大值．知识模块：微积分填空题14．(03年)设f(χ)＝其导函数在χ＝0处连续，则λ的取值范围是_______．正确答案：λ＞2解析：当χ≠0时f′(χ)＝当χ＝0时f′(0)＝由上式可知，当λ＞1时，f′(0)存在，且f′(0)＝0 又由上式可知，当λ＞2时，f′(χ)＝0＝f′(0) 即导函数在χ＝0处连续．知识模块：微积分15．(03年)已知曲线y＝χ3－3a2χ＋b与χ轴相切，则b2可以通过a表示为b2＝_______．正确答案：4a6解析：设曲线y＝χ3－3aχ2＋b在χ＝χ0处与χ轴相切，则3χ02－3a2＝0且χ03－3a2χ0＋b＝0 即χ02＝a2且χ0(χ02－3a2)＝－b 从而可得b2＝4a6 知识模块：微积分16．(06年)设函数f(χ)在χ＝2的某邻域内可导，且f′(χ)＝ef(χ)，f(2)＝1，则f″′(2)＝_______．正确答案：2e3解析：由f′(χ)＝ef(χ)及f(2)＝1知，f′(2)＝e f〞(χ)＝ef(χ)f′(χ)＝[f′(χ)]2，从而有f〞(2)＝e2 f″′(χ)＝2f′(χ)f〞(χ)，则f″′(2)＝2e3 知识模块：微积分17．(07年)设函数y＝，则y(n)(0)＝_______．正确答案：解析：y＝＝(2χ＋3)-1；y′＝(－1)(2χ＋3)-2.2；y〞＝(－1).(－2)(2χ＋3)-3.22 则y(n)＝(－1)nn!(2χ＋3)-(n+1).2n；y(n)(0)＝(－1)nn!3-(n+1).2n＝知识模块：微积分18．(09年)设某产品的需求函数为Q＝Q(p)，其对价格P的弹性εp＝0．2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加_______．正确答案：8000解析：由于收益R＝pQ(p) ＝pQ′(p)＋Q(p) 而0．2＝ξp＝则pQ′(p)＝(－0．2)×Q(p) 故＝(－(－0．2)×Q(p)＋Q(p) ＝0．8Q(p)＝0．8×10000＝8000 知识模块：微积分19．(10年)设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1＋P3，其中P为价格，且R(1)＝1，则R(p)＝_______．正确答案：解析：由题设知＝1＋p3 lnR＝lnp＋p3＋C 由R(1)＝1知，C＝－lnR＝lnp＋R＝．知识模块：微积分20．(10年)若曲线y＝χ3＋aχ2＋1有拐点(－1，0)，则b＝_______．正确答案：3解析：曲线y＝χ3＋aχ2＋bχ＋1过点(－1，0)，则0＝1＋a－b＋1，a＝－b y＝χ3－bχ2＋bχ＋1 y′＝3χ2－2bχ＋b y〞＝6χ－2b y〞(－1)＝－6－2b＝0，则b＝3 知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(93年)设函数则f(χ)在χ＝0处【】A．极限不存在．B．极限存在但不连续．C．连续但不可导．D．可导．正确答案：C解析：由于当χ→0时，sin为有界变量，为无穷小量，则＝0，且f(0)＝0，则f(χ)在χ＝0处连续．但不存在，则f(χ)在χ＝0处不可导．知识模块：微积分2．(94年)曲线y＝的渐近线有【】A．1条．B．2条．C．3条．D．4条．正确答案：B解析：由于则y＝为其一条水平渐近线，又＝∞则χ＝0为原曲线一条垂直渐近线．知识模块：微积分3．(95年)设f(χ)为可导函数，且满足条件＝－1，则曲线y＝f(χ)在点(1，f(1))处的切线斜率为【】A．2B．－1C．D．－2正确答案：D解析：由＝－1 得f′(1)＝－2．所以，应选D．知识模块：微积分4．(97年)若f(－χ)＝f(χ)(－∞＜χ＜＋∞)，在(－∞，0)内f′(χ)＞0，且f〞(χ)＜0，则在(0，＋∞)内有【】A．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0C．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0D．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由f(－χ)＝f(χ) (－∞＜χ＜＋∞)知，f(χ)的图形关于y轴对称．由在(－∞，0)内f′(χ)＞0且f〞(χ)＜0知，f(χ)的图形在(－∞，0)内单调上升且是凸的；由对称性知，在(0，＋∞)内．f(χ)的图形单调下降，且是凸的，则C为正确选项．知识模块：微积分5．(98年)设周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，周期为4，又＝－1，则曲线y＝f(χ)在点(5，f(5))处的切线斜率为【】A．B．0C．－1D．－2正确答案：D解析：由题设f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，且f(χ)＝f(χ＋4)，两边对z求导，则f′(χ)＝f′(χ＋4)，故f′(5)＝f′(1)．由于则f′(1)＝－2，故y＝f(χ)在点(5，f(5))处的切线斜率为f′(5)＝－2 知识模块：微积分6．(00年)设函数f(χ)在点χ＝a处可导，则函数｜f(χ)｜在点χ＝a处不可导的充分条件是【】A．f(a)＝0且f′(a)＝0B．f(a)＝0且f′(a)≠0C．f(a)＞0且f′(a)＞0D．f(a)＜0且f′(a)＜0正确答案：B解析：排除法．如f(χ)＝(χ－a)2，f(a)＝0，且f′(a)＝0，而｜f(χ)｜＝(χ－a)2在χ＝a处可导，所以A不正确．又如f(χ)＝χ，a＝1，则f(a)＝1＞0，f′(a)＝1＞0 而｜f(χ)｜＝｜χ｜在χ＝1处可导，故C不正确；若f(χ)＝－χ，a＝1，显然f(χ)满足D选项中条件，但｜f(χ)｜＝｜χ｜在χ＝1处可导，所以D不正确，从而应选B．知识模块：微积分7．(01年)设f(χ)的导数在χ＝a处连续，又＝－1，则【】A．χ＝a是f(χ)的极小值点．B．χ＝a是f(χ)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y＝f(χ)的拐点．D．χ＝a不是f(χ)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：B解析：由于f′(χ)＝.(χ－a)(χ≠a)及f′(χ)在χ－a连续．则又由＝－1＜0及极限的局部保号性知，存在δ＞0，当0＜｜χ－a｜＜δ时＜0．从而当χ∈(a－δ，a)时，f′(χ)＞0；当χ∈(a，a＋δ)时，f′(χ)＜0．又f′(a)＝0，则χ＝a是f(χ)的极大值点．知识模块：微积分填空题8．(93年)已知y＝，f′(χ)＝arctanχ2，则＝_______．正确答案：解析：知识模块：微积分9．(94年)已知f′(χ0)＝－1，则＝_______．正确答案：1解析：原式＝＝1 知识模块：微积分10．(94年)设方程eχy＋y2＝cosχ确定y为χ的函数，则＝_______．正确答案：解析：方程eχy＋y2＝cosχ两边对χ求导，得eχy(y＋χy′)＋2χyy′＝－sinχ解得y′＝知识模块：微积分11．(95年)设f(χ)＝，则f(n)(χ)＝_______．正确答案：解析：由于f(χ)＝－1＝2(1＋χ)-1－1 f′(χ)＝2.(－1)(1＋χ)-2，f〞(χ)＝2.(－1).(－2)(1＋χ)－3，…f(n)(χ)＝2(－1)(n)!(1＋χ)-(n+1)＝(－1)n 知识模块：微积分12．(96年)设方程χ＝yy确定y是χ的函数，则dy＝_______．正确答案：解析：方程χ＝yy两边取对数得：lnχ＝ylny 上式两边求微分得dχ＝(lny＋1)dy 则dy＝知识模块：微积分13．(96年)设(χ0，y0)是抛物线y＝aχ2＋bχ＋c上的一点．若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_______．正确答案：≥0(或aχ02＝c)，b任意．解析：y′＝2aχ＋b，y′(χ0)＝2aχ0＋b 过(χ0，y0)的切线方程为y －y0＝(2aχ0＋b)(χ－χ0) 即y＝(aχ02＋bχ0＋c)＝(2aχ0＋b)(χ－χ0) 由于此切线过原点，把χ＝y＝0代入上式，得－aχ02－bχ0－c＝－2aχ02－bχ0，即aχ02＝c 所以，系数应满足的关系为≥0(或aχ02＝c)，b任意．知识模块：微积分14．(97年)设y＝f(lnχ)ef(χ)，其中f可微，则dy＝_______．正确答案：解析：由y＝f(lnχ)ef(χ)可知知识模块：微积分15．(98年)设曲线f(χ)＝χn在点(1，1)处的切线与χ轴的交点为(ξn，0)，则f(ξn)＝_______．正确答案：解析：设f(χ)在点(1，1)处的切线为y＝aχ＋b．则当y＝0时，ξn＝因此，知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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23 (2011年)求不定积分
24 (1994年)计算二重积分 ，其中D={(x，y)｜x2+y2≤x+y+1}
13 (2003年)设a＞0，f(x)=g(x)= 而D表示全平面，则 =______．
14 (2016年)设D={(x，y)｜｜x｜≤y≤1，一1≤x≤1}，则 =______．
15 (1992年)级数 的收敛域为______．
16 (1997年)差分方程yt+1一yt=t2t的通解为______．
19 (1998年)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f'(x)≠0．试证存在ξ，η∈(a，b)，使得
20 (2010年)求极限 ．
21 (1991年)假设曲线L1：y=1一x2(0≤x≤1)与z轴和Y轴所围区域被曲线L2：y=ax2分为面积相等的两部分．其中a是大于零的常数，试确定a的值．
3 (2003年)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f'(0)存在，则函数 （)
（A）在x=0处左极限不存在．
（B）有跳跃间断点x=0．
（C）在x=0处右极限不存在．
（D）有可去间断点x=0．
4 (2012年)曲线 渐近线的条数为( )
（A）0．
（B）1
（C）2．
（D）3．
5 (1993年)设f(x)为连续函数，且 ，则F'(x)等于( )
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17 (2016年)求极限
18 (1990年)设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f'(x)在开区间(0，c)内存在且单调减小，f(0)=0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式
f(a+b)≤f(a)+f(b)
其中a、b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．
[考研类试卷]考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编25
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (1998年)设函数 ，讨论函数f(x)的间断点，其结论为( )
（A）不存在间断点．
（B）存在间断点x=1．
（C）存在间断点x=0．
（D）存在间断点x=一1．
2 (2014年)设 ，且a≠0，则当n充分大时有( )
10 (2009年)设某产品的需求函数为Q=Q(p)，其对价格p的弹性εp=0．2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加______．
11 (1990年)曲线y=x2与直线y=x+2所围成的平面图形面积为______．
12 (2012年)由曲线 和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形的面积为______．
25 (2003年)设f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足
26 (2010年)计算二重积分 围ห้องสมุดไป่ตู้．
27 (2001年)已知fn(x)满足fn'(x)=fn(x)+xn－1ex(n为正整数)，且 求函数项级数 之和．
28 (1990年)求微分方程y'+2cosx=(1nx)e－sinx的通解．
29 (2009年)设曲线Y=f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)＞0．已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕z轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程．
6 (2008年)设函数f连续，若 其中区域Duv为图中阴影部分， 则 =( )
（A）vf(u2)．
（B）
（C）vf(u)．
（D）
7 (1996年)下述各选项正确的是( )
二、填空题
8 (2012年) =______．
9 (1992年)设商品的需求函数Q=100—5p，其中Q、p分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于1，则商品价格的取值范围是______．