考研数学三(微积分)模拟试卷196

考研数学三（微积分）模拟试卷196(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0，则｜f(x)｜在x=a处( )．（分数：2.00）A.可导√B.不可导C.不一定可导D.不连续解析：解析：不妨设f(a)＞0，因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，于是存在δ＞0，当｜x－a｜＜δ时，有f(x)＞0=f'(a)，即｜f(x)｜在x=a处可导，同理当f(a)＜0时，｜f(x)｜在x=a处也可导，选A．3.设f(x)可导，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：令f(x)=x，显然A不对，同理B也不对；令f(x)=x 2，D不对；若，则对任意的M＞0，存在X 0＞0，当x≥X 0时，有f'(x)＞M，于是当x≥X 0时，f(x)－f(X 0 )=f'(ξ)(x－X 0 )，其中ξ∈(X 0，x)，即f(x)≥f(X 0 )+M(x－X 0 )，根据极限的保号性，有，选C．4.设F(x)=∫ x x+2x e sint sintdt，则F(x)( )．（分数：2.00）A.为正常数√B.为负常数C.为零D.取值与x有关解析：解析：由周期函数的平移性质，F(x)=∫ x x+2π e sint sintdt=∫ －ππ e sint sintdt，冉由对称区间积分性质得F(x)=∫ 0π (e sint－e －sint sint)dt=∫ 0π (e sint－e －sint )sintdt，又(e sint－e －sint )sint 连续、非负、不恒为零，所以F(x)＞0，选A．5.f(x，y)在(0，0)处( )．（分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微√D.一阶连续可偏导解析：解析：因为=0=f(0，0)，所以f(x，y)在(0，0)处连续；因为所以f' x (0，0)=0根据对称性，f' y (0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处可偏导；由得f(x，y)在(0，0)处可微；当(x，y)≠(0，0)时，因为不存在，所以f' x (x，y)在点(0，0)处不连续，同理f' y (x，y)在点(0，0)处也不连续，选C．二、填空题(总题数：7，分数：14.00)6.设－∞a te t dt，则a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：－∞a te t dt=∫ －∞a td(e t )=te t｜－∞a－∫ －∞a e t dt=ae a－e a由e a =ae a－e a得a=2．7.当x→0时，1～cos 2 x－1，则a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－3）解析：解析：因为cos 2 x－1=(cosx+1)(cosx－1)～－x 2，且1～cos 2 x－1，所以a=－3．8.设f(x)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e 2）解析：解析：由得f(0)=0，f'(0)=09.．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）11.设D为xOy．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：在D 1 ={(x，y)｜－∞＜x＜+∞，0≤y≤1}上，f(y)=y；在D 2：0≤x+y≤1上，f(x+y)=x+y，则在D 0 =D 1∩D 2 ={(x，y)｜－y≤x≤1－y，0≤y≤1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以）解析：12.p的取值范围是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为三、解答题(总题数：15，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

__________________________________________________________________________________________ 解析：14.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：15.设函数f(x)可导且(k＞0)，对任意的x n，作x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)=x．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x n+1－x n =f(x n )－f(x n－1 )=f'(ξn )(x n－x n－1 )，因为f'(x)≥0，所以xn+1－ x n与x n－x n－1同号，故{X n }单调．｜x n｜=｜f(x n－1 )｜=｜f(x n)+∫ xn xn－1 f'(x)dx｜≤｜f(x n )｜+｜∫ xn x n－1 f'(x)dx｜≤｜f(x n )｜+∫ －∞∞dx=｜f(x n )｜+πk，即{x n }有界，于是存在，根据f(x)的可导性得f(x)处处连续，等式x n+1 =f(x n )两边令n→∞，得原命题得证．)解析：16.f(x)的极值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因为f' －(0)≠f' +(0)，所以f(x)在x=0处不可导．于是令f'(x)=0得x=－1或当x＜－1时，f'(x)＜0；当－1＜x＜0时，f'(x)＞0；当0＜x＜时，f'(x)＜0；当时，f'(x)＞0．故x=－1为极小值点，极小值f(－1)=1－x=0为极大值点，极大值f(0)=1；)解析：17.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(6)=0，且f' + (a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f''(ξ)＜0．（分数：2.00）正确答案：(正确答案：因为所以存在δ＞0，当0＜x－a＜δ时，有从而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0．由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性，存在ξ∈(ξ1，ξ2 ) (a，b)，使得)解析：18.设函数y=f(x)二阶可导，f'(x)≠0，且与x=φ(y)互为反函数，求φ''(y)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：设S(x)=∫ 0x｜cost｜dt．（分数：4.00）(1).证明：当nπ≤x＜(n+1)π时，2n≤S(x)＜2(n+1)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：当nπ≤x＜(n+1)n时，∫ 0nπ｜cost｜d t≤∫ 0x｜cost｜dt＜∫ 0(n+1)π｜cost｜dt，∫ 0nπ｜cost｜dt=n∫ 0π｜cost｜=2n，∫ 0(n+1)π｜cost｜dt=2(n+1)，则2n≤S(x))解析：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由nπ≤T＜(n+1)π)解析：19.设f(x)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，∫ 0k f(x)dx≥∫ 01 f(x)dx.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：∫ 0k f(x)dx－k∫ 01f(x)dx=∫ 0k f(x)dx－k[∫ 0k f(x)dx+∫ k1 f(x)dx] =(1－k)∫ 0k f(x)dx－k∫ k1 f(x)dx=k(1－k)[f(ξ1 )－f(ξ2 )] 其中ξ1∈[0，k]，ξ1∈[k，1]．因为0＜k＜1且f(x)单调减少，所以∫ 0k f(x)dx－k∫ 01 f(x)dx=k(1－k)[f(ξ1 )－f(ξ2)]≥0，故∫ 0k f(x)dx≥k∫ 01 f(x)dx．)解析：20.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的4倍，先求第一象限的面积．)解析：21.设函数f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)．证明：（分数：2.00）正确答案：(正确答案：令u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)．两边对t求导得当t=1时，有)解析：22.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：23.证明：(1)设a n＞0，且{na n }有界，则级数收敛； (2)若（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(1)因为{na n}有界，所以存在M＞0，使得0＜na n≤M，即而级数收敛． (2)取所以存在N＞0，当n＞N时，收敛．)解析：24.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由得收敛半径R=+∞，该幂级数的收敛区间为(－∞，+∞)，令=x 2 e x +xe x +e x =(x 2 +x+1)e x (－∞＜x＜+∞))解析：设函数f(x)满足xf'(x)－2f(x)=－x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D 绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：（分数：4.00）(1).曲线y=f(x)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由xf'(x)－2f(x)=－x=> =－1=>f(x)=x+cx 2．设平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则因为为V(c)的最小值点，且曲线方程为)解析：(2).曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：在原点处的切线方程为y=x)解析：25.某湖泊水量为V，每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为流入湖泊内不含A的水量为设1999年底湖中A的含量为5m 0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初开始，限定排入湖中含A污水的浓度不超过问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m 0以内(设湖中A的浓度是均匀的)?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设从2000年初开始，第t年湖中污染物A的总量为m，则浓度为任取时间元素[t，t+dt]，排入湖中污染物A的含量为流出湖的污染物A的含量为则在此时间元素内污染物A的改变量为于是令m=m 0，得t=6ln3，即至多经过7年，湖中污染物A的含量不超过m 0．)解析：。