超球坐标下引入含簇结构相关函数初探
类铍离子高双激发态能级
２ １． ０１ 缸
［ 王菲， ６ 】 苟秉聪， 俞开智． 铍原子 的能级和超精细结构 的研 ［ 吴晓丽， ７ 】 苟秉聪 刘义东． 氦原子单激发和双激发态里德 伯系的相对论能量计［ ． Ｊ 物理学报，０ ４５（） ８５ ． ］ ２ ０ ， １： —３ ３ ４
［ 顾娟 ， ８ ］ 张孟， 晶 ， ． 陈 等 类铍 离子激 发 态 ｌ２ Ｐ 的 能量 ｓｐ
－
显 示 的两 电子系统 的双激发 态的典 型的转动结构 ． 事 实 上 ， 铍离 子 的双 激发 态被 证 明是 没有 转 动 类
结 构 的 ；对 ≠０的双 激 发态 ， 越小 时 ， 有 相 具
同的 角动量 量子 数 三、 相反 的宇 称 ７和 自旋 量子数 ｒ 的态 的退 化 效应 越 来越 不 明显 ， 随着 的增 而
ｍｉ（， ｎＬＮ－１； Ｋ＝ ） Ｎ一１ Ⅳ一 一 …， Ⅳ — ＿ 一 ３ 一（ 一１ ７ ； ）
：
多 重簇在 － １ ｙ ３Ｒ 附近大 约 ２ ｙ 随着核 电荷数 的增 Ｒ． 大 ， 级宽度 也越 来越 大 ． 能 这是 因为 当原 子核 电荷 数增 大 时 ， 电子 与原子 核之 间 的相互作 用 增大 ， 使 哈 密顿 中的独 立 电子项 绝 对值 越来 越 大 ， 电子 而
大， 退化 性逐 渐 明显 ．
为了得 到核 电荷数对 能级地影 响 ， ３ 出类 图 给
铍 Ａｒ 子 ４ ， “离 『 ４ 多重 簇 的能 级 图．
（ ｃｓ ｒ ｏ ０： 映 了 内 电子离 原 子核 的距 离在 外 电 ＜ ）反
子 与原 子核 的连线 上 的投 影 （ 为 内 电子离 原 子
核 的距 离 ） 其 正负 表 明 电子处 于 不 同 的位 置 ： ， 有 正值 的态 中 ， 电子趋 向于位 于 核 的相反 的两 两 边 ；有 负值 的状 态 中 ， 电子 趋 于位 于核 的 同 两 侧 ． 是 总角 动 量在 两 电子相 互作 用 轴上 的投 影 ． 对 每 个 Ⅳ， 、 和 Ａ 的取值 范 围是 ： ＝０ １２ … ，， ， ，
hypergraph peaks公式
hypergraph peaks公式
Hypergraph peaks公式通常用于描述超图中顶点的中心性度量。
超图是一种扩展了传统图论概念的结构，其中边（称为超边）可以连接任意数量的顶点。
Hypergraph peaks公式试图量化一个顶点在超图中的重要性或显著性。
一个常见的Hypergraph peaks公式是基于超边的权重和顶点在超边中的出现次数。
这个公式可以表示为：
[ C_H(v) = \sum_{e \in E} \frac{w(e)}{d(v)} \cdot \delta(v, e) ]
其中：
•( C_H(v) ) 是顶点( v ) 在超图( H ) 中的中心性得分。
•( E ) 是超图( H ) 中所有超边的集合。
•( w(e) ) 是超边( e ) 的权重。
这可以是超边的长度、出现的频率或其他相关度量。
•( d(v) ) 是顶点( v ) 的度数，即包含顶点( v ) 的超边的数量。
•( \delta(v, e) ) 是一个指示函数，如果顶点( v ) 在超边( e ) 中出现，则( \delta(v, e) = 1 )，否则( \delta(v, e) = 0 )。
这个公式通过计算每个超边对顶点中心性的贡献来评估顶点的重要性。
超边的权重和顶点在超边中的出现次数共同决定了顶点的中心性得分。
这个得分越高，说明顶点在超图中的重要性越高。
请注意，Hypergraph peaks公式可能因具体应用场景和定义的不同而有所变化。
上述公式仅提供了一种常见的计算方法，具体实现时可能需要根据实际情况进行调整。
单位球上的格林函数
单位球上的格林函数1.引言1.1 概述在数学和物理领域中，单位球是一个重要且常用的概念。
单位球是指中心位于原点，半径为1的球体。
它在多个学科领域中都有广泛的应用，如几何学、微积分、凸优化、方程和物理学等。
本文将探讨单位球上的一个重要概念——格林函数。
格林函数是一种绿色函数，它在偏微分方程和势能理论中扮演着重要的角色。
它可以用于解决各种物理和数学问题，如电势问题、热传导问题、波动问题等。
在本文中，我们将首先介绍单位球的定义和一些基本性质。
随后，我们将详细讨论格林函数的概念和作用，并阐述它在解决偏微分方程和积分方程中的应用。
通过深入研究单位球上的格林函数，我们将更好地理解它的重要性和意义。
本文的目的是为读者提供一个全面的介绍，使他们能够了解并掌握单位球上格林函数的基本概念和应用。
通过学习这些内容，读者将能够在实际问题中应用格林函数，提供解决方案，并进一步拓展和应用相关的研究。
在结论部分，本文将强调单位球上的格林函数的重要性，并指出未来可能的研究方向。
我们希望通过这篇长文，能够为读者提供有关单位球上格林函数的详尽信息，并激发读者进一步深入研究和研究该领域的兴趣。
1.2 文章结构文章结构本文主要讨论单位球上的格林函数，并包含以下部分：1. 引言：首先概述本文的研究对象和研究目的。
介绍单位球的基本定义和性质，并阐述格林函数的概念及其在该领域的作用。
2. 正文：- 单位球的定义和性质：介绍单位球的几何定义和基本性质，在数学和物理学中的重要地位，并探讨单位球在格林函数研究中的意义。
- 格林函数的概念和作用：对格林函数进行详细解释，包括其数学定义、性质和重要性。
阐述在单位球上使用格林函数进行问题求解的方法和应用领域。
3. 结论：- 单位球上的格林函数的重要性：总结单位球上格林函数的重要性和应用价值，指出其在解决特定问题、优化物理模型和推动科学发展方面的潜力。
- 未来可能的研究方向：展望未来可能的研究方向，包括但不限于进一步探索单位球上格林函数的特性、推广应用到其他领域以及开展相关数学和物理理论方面的深入研究。
球坐标与柱坐标下的多元函数微分
球坐标与柱坐标下的多元函数微分多元函数微分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。
在二维笛卡尔坐标系下，我们常用偏导数来表示函数的微分。
然而，在某些情况下，使用球坐标和柱坐标能够更方便地描述函数的性质和计算微分。
一、球坐标下的多元函数微分球坐标是一种常用于描述三维空间中点的坐标系。
在球坐标下，一个点的位置由半径 r、纬度θ 和经度φ 确定。
对于一个球坐标下的多元函数f(r, θ, φ)，我们希望能够计算其微分。
为了求取 f 在某一点 (r₀, θ₀, φ₀) 处的微分，我们首先需要计算偏导数。
在球坐标系下，常用的偏导数公式如下：∂f/∂r = (∂f/∂x) * (∂x/∂r) + (∂f/∂y) * (∂y/∂r) + (∂f/∂z) * (∂z/∂r)∂f/∂θ = (∂f/∂x) * (∂x/∂θ) + (∂f/∂y) * (∂y/∂θ) + (∂f/∂z) * (∂z/∂θ)∂f/∂φ = (∂f/∂x) * (∂x/∂φ) + (∂f/∂y) * (∂y/∂φ) + (∂f/∂z) * (∂z/∂φ)其中，(x, y, z) 是从球坐标到直角坐标的转换公式。
得到偏导数后，我们可以计算微分。
微分的公式为：df = (∂f/∂r) * dr + (∂f/∂θ) * dθ + (∂f/∂φ) * dφ这个公式可以帮助我们计算以球坐标表示的多元函数的微分。
在实际应用中，我们可以根据具体问题使用该公式进行计算。
二、柱坐标下的多元函数微分柱坐标是另一种常用的三维坐标系，它以极径ρ、极角φ 和高度 z来定位一个点。
对于柱坐标下的多元函数f(ρ, φ, z)，我们希望能够求取其微分。
和球坐标类似，我们需要先计算偏导数。
柱坐标系下常用的偏导数公式如下：∂f/∂ρ = (∂f/∂x) * (∂x/∂ρ) + (∂f/∂y) * (∂y/∂ρ) + (∂f/∂z) * (∂z/∂ρ)∂f/∂φ = (∂f/∂x) * (∂x/∂φ) + (∂f/∂y) * (∂y/∂φ) + (∂f/∂z) * (∂z/∂φ)∂f/∂z = (∂f/∂x) * (∂x/∂z) + (∂f/∂y) * (∂y/∂z) + (∂f/∂z) * (∂z/∂z)其中，(x, y, z) 是从柱坐标到直角坐标的转换公式。
单位球上对数Bloch空间到F(p,q,s)空间的Volterra复合算子
∫ p
f ＝ F(p,q,s)
f(０)p ＋sup
Rf(z)P (１－ z ２)qhs(z,a)dv(z)＜ ∞
a∈B
B
则称函数f ∈ H(B)属于一般函数空间 F(p,q,s).
由 文 献 [４Ｇ１０]可 知 ,参 数p,q,s取 不 同 的 特 殊 值 ,F(p,q,s)空 间 就 包 含 不 同 的 函 数 空 间 ,如 BMOA
向 :复 分 析 .EＧmail:xjb＠hdu．edu．cn.
９２
杭 州 电 子 科 技 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 )
２０１９ 年
如果
f
βL
＜
∞,则称f 是属于对数 Bloch空间的.若 lim (１－ z →１
z
２)lnæèç１－２z
ö
÷
ø
∇f(z) ＝０,
则称f 是属于小对数 Bloch空间βL,０.不难验证βL 空间是以 f L ＝ f(０)＋ f βL 为范数. 定义１．２ 设h(z,a)＝logφa(z)－１ 是单位球上的a点具有对数奇点的 Green函数,满足φa(a)＝０,
为 了 证 明 本 文 结 论 ,给 出 以 下 引 理 :
引 理 １．１[１]
若f ∈βL,则对一切z ∈ B,有
f(z)
≤
C
æçlnln ４ è １－ z
２
ö
÷
ø
f
L.
引理１．２[７] 设f,g ∈ H(B),g(０)＝０,φ 为B 上的解析自映射,则 R(Vφgf)＝ f(φ(z))Rg(z).
１ 预备知识及相关引理
Gaussian简介
Gaussian简介Gaussian简介Gaussian是做半经验计算和从头计算使用最广泛的量子化学软件，可以研究：分子能量和结构，过渡态的能量和结构化学键以及反应能量，分子轨道，偶极矩和多极矩，原子电荷和电势，振动频率，红外和拉曼光谱，NMR，极化率和超极化率，热力学性质，反应路径。
计算可以模拟在气相和溶液中的体系,模拟基态和激发态。
Gaussian 03还可以对周期边界体系进行计算。
Gaussian是研究诸如取代效应,反应机理,势能面和激发态能量的有力工具。
功能①基本算法②能量③分子特性④溶剂模型Gaussian03新增加的内容①新的量子化学方法②新的分子特性③新增加的基本算法④新增功能（1）基本算法可对任何一般的收缩gaussian函数进行单电子和双电子积分。
这些基函数可以是笛卡尔高斯函数或纯角动量函数多种基组存储于程序中，通过名称调用。
积分可储存在内存，外接存储器上，或用到时重新计算对于某些类型的计算，计算的花费可以使用快速多极方法(FMM)和稀疏矩阵技术线性化。
将原子轨(AO)积分转换成分子轨道基的计算，可用的方法有in-core（将AO积分全部存在内存里），直接（不需储存积分），半直接（储存部分积分），和传统方法（所有AO 积分储存在硬盘上）。
（2）能量使用AMBER，DREIDING和UFF力场的分子力学计算。
使用CNDO, INDO, MINDO/3, MNDO, AM1，和PM3模型哈密顿量的半经验方法计算。
使用闭壳层(RHF)，自旋非限制开壳层(UHF)，自旋限制开壳层(ROHF) Hartree-Fock 波函数的自洽场SCF)计算。
使用二级，三级，四级和五级Moller-Plesset微扰理论计算相关能。
MP2计算可用直接和半直接方法，有效地使用可用的内存和硬盘空间用组态相互作用(CI)计算相关能，使用全部双激发(CID)或全部单激发和双激发(CISD)。
双取代的耦合簇理论(CCD)，单双取代耦合簇理论(CCSD)，单双取代的二次组态相互作用(QCISD), 和Brueckner Doubles理论。
Gaussian03技术讲座 分子坐标、基组选择和常见出错处理
例4：பைடு நூலகம்O2的内坐标
三原子共线，一定需要虚原子定位. C X 1 1.0 O 1 r 2 90.0 O 1 r 2 90.0 3 180.
r=1.25
建议：一般键角大于175.度，应该加虚原子调节，否则容易造成优化中超过 180.度而出错; 或者用直角坐标优化。
混合坐标写法 从：优化的1，3-丁二烯标准方向坐标开始
例3：CH4 分子的两种写法 （Td对称性）
A： B：
C1 H2 1 r H3 1 r 2 a H4 1 r 2 a 3 b H5 1 r 2 a 3 –b
r=1.09 a=109.47122 b=120.
•原子顺序可以改变，同一结构有多种写法
1 61r 12r1a 12r1a3 b 12r1a4 b r=1.09 a=109.47122 b=120.
19.4800000 -0.470282000E-01 2.38900000 0.624884100 0.779500000 0.472254200 P 1 1.00 0.740000000E-01 1.00000000 P 1 1.00 0.220000000E-01 1.00000000 D 4 1.00 37.0800000 0.329000000E-01 10.1000000 0.178741800 3.22000000 0.448765700 0.962800000 0.587636100 D 1 1.00 0.226200000 1.00000000 ****
因此，它和体系的总电子自旋S有关： 自旋多重度=2S+1
1个和2个单电子时自旋多重度的确定
容易知道，闭壳层体系的自旋多重度为1。具有一个单电子的体系自旋多重 度为2。余下类推。
山西省太原市太原师范学院附属中学2023届高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析
注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
（2）判断函数 f x 在[0, ) 上的单调性，并用定义证明.
19．对于函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的“不动点”；若f[f（x0）]=x0，则称x0为f（x）的“稳定点”满足 函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}
8．下列命题是全称量词命题，且是真命题的为（）
A.有些四边形的内角和不等于 360°
B. n N ， 1 1 n
C. mR ， m 0
D.所有能被 4 整除的数都是偶数
9．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比是
A.1: 2
B.1: 3
C.1: 5
D. 3 : 2
10．已知函数
f
x 是定义在
)
A. (, 1]
B.[1, 2)
C. (1, 2]
D. (2, )
3．函数 f x x2 2x 的零点个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
4．已知函数
．则“ 是偶函数“是“ ”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
.C.充分必要条件
5．设函数
f
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引入 超球 坐标 方法 ， 并对原子基 态的 Ｓ ｈ ｅ ｉ ｅ 方程 求解 ． ｃｒ ｄ ｇｒ ｉ ｆ ｎ 结果 表 明两种 方 法径 向收 敛 均 比相 关 函数 取 ｅ 、 ５ 时快得 多， 消除 了本征 能随广 义 ｈ嚣 ｅ ｅ函数振 荡的现 象． 且 ｕｒ ｒ 能量本 征值 也 均 有 所 改善 ， 尤其 第＝种方 法可 能是一 种解 决 ｃ ｓ ｒ ｌ ｔ 问题 的有效连 径 ． ｕｅ
维普资讯
第３ 卷 ７
第 ｌ 期
山
东
大
学
学
报（ 自然 科 学 版 ）
２０ ０ ２年 ３ 月
Ｍａ ｃ ０ ｒ ｈ２０ ２
ｖｌ ３ Ｎ０ ｌ ７ Ｉ ｌ
Ｊ Ｕ ＡＬ ＯＦ Ｓ Ｏ ＲＮ ＨＡＮ Ｏ Ｇ ＵＮ Ｖ Ｒ Ｉ Ｄ Ｎ Ｉ Ｅ ＳＴＹ
决于相关 函数 的适 当选 取 和引入 ． 对类氦原 子 等三体 体 系 的基态 ． 含 电 子一 包 电子 与 电子一 的歧 点 （ｕｐ 的 核 ｃｓ ）
相关 函数 显著 地加 速超 球谐展 开 的收敛 ． 对锂原 子等 四体体系 ， 其基态 除 电子 ． 电子与 电子 － 点外 ． 核歧 还
Ｉ ＨＹＰＥＲＳ ＨＥＲＩ ＡＬ ＣＯＯＲＤＩ Ｎ Ｐ Ｃ ＮＡＴ Ｅ
Ｗ ＡＮＧ — Ｕ ｎ． ＹｉＸ ｆ ＺＨＡＮＧ ａ ｇ ｑａ Ｕ Ｃ ｅ ｇ ｂ ｌ Ｃｈ ｎ － ｉｏ． ｈ ｎ －ｕ
（ ｎ ｅ ｆＴｅｒ ｉ ｌ ｈｍ ｓｙ ， ｈｎｏｇ Ｕ ｉ ｒｔ ，； ｎ２ ００ ，ｈ ｎｏｇ， ｈｎ Ⅲ ｏ ｔａ Ｃｅ ｉｒ Ｓａ ｄｎ ｎ ｅ ｉ Ｊ￣ ５ １０ Ｓａ ｄ ｎ Ｃ ｉ ｏ ｈ ｅｃ ｔ ｖ ｓｙ ａ ａ）
Ａ ｓ ａ ｔＴ ｏｃｍ ｌ ｉ ｎｔ ｎ ｃｎ ｉｉ ｌ ｔ ｒ ｅ ｙｏ Ｌ ａ ｍ， 、 ｂｔ ｃ：ｗ ０ ０ ｆ ｃｏｓ ｏｔ ｎ ｇｃ ｓ ｒ ｏ ｒ ｆ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｎｕ ｉ ａ ｎ ｕｅ ｐ ｐ ｔ ｏ １
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ａ ｄ∑ （ ｎ ２一Ｑ．ｅ ｒ ）
关 键 词 ： 球 坐 标 ； 关 函数 ；ｌｓ ｒ 超 相 ｃ ｔ 问题 ｕｅ 中图分 类号 ：６１ ０ ４ 文献 ＥＳ ＯＮ ＨＥ Ｉ ＲＯＤＵＣ ＯＮ Ｔ ＮＴ ＴＩ ＯＦ ＣＯＲＲＥＬ Ｉ ＡＴ ＯＮ ＵＮＣＴ ＯＮ Ｆ Ｉ ＣＯＭＴ ＮＩ ＡＩ ＮＧ ＵＳ ＥＲ ＣＬ Ｔ ＰＲＯＰ ＥＲＴＹ
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文 章 编 号 ：５ ９７３ ＩＯ ２０ ￣ ＇．４ ０５ ．２４２Ｏ ）１ Ｏ００ ／
超 球 坐 标 下 引入 含簇 结构 相 关 函数 初 探
王 沂轩 张 长桥 刘成 卜
（ｈ东 大学 理 论 化学 研究 所 ． 南 ２００ ） ｔ 挤 ５ １０
摘 要 ： 包含 Ⅱ 原 子 ｃ ｓ ｒ 构 的 两种 相 关 函 数 ｅ “ 将 ｌｔ 结 ｕｅ ～ ｒ ’ 和 ∑ （ 一ａ ｅ ｒ 。 （ ｉ ３ 分 别 ２ ） ｆ ｅ Ｉ ． ， ｊ ）
超球 坐标 方 法 为 量 子 化 学 求 解 多 体 问题 提 供 了一 条 新 的途 径 通 过 适 当地 取 径 向渡 函数 ， 广 义 如 ｈｇｅ 函数 ． Ｉｍ ｌ 原子 与分 子 的 Ｓｈ￣ｄ ｇｒ 程可 以直接 求解 ｃｒ ｉ ｅ 方 ，ｎ ｅ 可 以通 过在 渡 函数 中引入显 相关 函数 的方 法来解 决 ． 超球 谐 函数 展 开收敛 慢 的 问题 ． 论 上 亦 理 ． 因此 超球 坐标方法 的推 广 和应用 在 很大 程度 上取
．ｖｂ ａｉｎ ｆｅｇ ｎ— ｉ ｒｔｏ ｓｏ ｉｅ
ｅ ｕｔ ｎｏ ｒｕ ｄｓ ｔ ａ ｒ ａｉ ｏ ｅ Ｙｔｅｔ ｏｍ ｔｏ ｓ Ｔ ｅｒｓ ［ ｉｄｃ ｔ ｔａ ｔｅｔ ｏｍｅｈ ｄ ｑ ａｉ ｆＩ ｇｏ ｎ ｔ ｅｗ ｓｐ ｍ ｒｙｓｌ ｄ ｂ ｈ ｅｈ ｄ ． ｈ ｅｕ￣ ｎ ｉ ｅ ｈ ｔ ｈ ｗ ｔｏ ｓ ｏ ５ ａ ｉ ｌ ｖ ｗ ａ