第四章 根轨迹法4-2
自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
四章线系统的根轨迹法
pi
)
K
*
m
(s
z
j
)
0
i 1
j 1
n
(s pi ) 0
i 1
s pi
又从
1 K*
n
(s
i 1
m
pi ) (s
j 1
z
j)
0
K*
m
(s z j ) 0
j 1
s zj
在实际系统通常是 n m ，则还有 (n m) 条根轨迹终 止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 (n m)
j 1
3 2.3 1 0
n
(s
pi
)
K
*
m
(s
z
j
)
n
(s
pl
)
i 1
j 1
l 1
sn
n
(
pi
)s n1
(1) n
n
pi
K
*[s m
(
z
j
)s m1
(1) m
n
z
j
]
i 1
i 1
l 1
sn
(
pl
)s
n1
(1) n
n
pl
l 1
nm 2
n
n
pi pl
i 1
l 1
(1)
n
n
pi
K * (1) m
s(s 4)(s 2 2s 2)
（1） p1 0, p2 4 , p3 1 j
p4 1 j, z1 1
（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴
（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线
与实轴夹角
第四章根轨迹法4-2
P( s )Q( s ) P( s )Q( s ) 0
即 其中
P( s ) Q( s ) P( s ) Q( s )
d [ln P(s)] d [ln Q(s)]
ds
ds
P(s) (s z1 )(s z2 ) (s zm )
Q(s)- (s p1 )(s p2 ) (s pn )
的 j 值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。
介绍二种常用的求交点的方法。 (1) 利用特征方程求取。用 j 替代s，令虚部、实部分别等
于 零，求得 和对应的K1。 (2) 利用劳斯表求取。将劳斯表中s2行系数构造的辅助方程
求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯 阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。
i1
ib
8 虚轴交点 （1）满足特征方程 1 G( j)H( j) 0 的 j 值；
（2）由劳斯判据求临界稳定时的特征根；
9
根之和与 根之积
n
pcj
n
p
j
j 1
j 1
n
j 1
pcj
1
n
n
j 1
pj
K1
m
i 1
zi
19
例1: 系统的开环传递函数 试画根轨迹。
G(s)H(s)
K1
s(s 4)(s 6)
ω4 -36ω2 K0 jω80 - 8ω2 0
ω4 -36ω2 K0 0
jω80 - 8ω2 0
求得 ω 10 , K0 260
( (4)出射角
极点-p3的出射角 ： 3 180 (2k 1) (2 90 180 2 ) 90
同理不难求得极点-p4处的出射角： 4 90
第四章 根轨迹法 习题
第四章 根轨迹法4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()()()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02+=++=4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()()2411+-+=s s s Ks G 的根轨迹。
4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()()()1,42)1(2=+++=s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。
4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。
()()()()1,4122=++=s H s s Ks G4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()()5284)2(2+++++=s s s s s s K s H s G 对应-∞<K<∞的根轨迹。
指明所有根轨迹上的相应特征。
4-7 设一负反馈系统，其开环传递函数 ()()()()()90020040)4(2++++=s s s s s K s H s G a) 画出根轨迹并表明根轨迹上全部特征值。
b) 增益值在一个什么样的范围内，系统才是稳定的？ c) 画出系统的伯德图，并使其稳定性和不稳定性区域，与根轨迹图连系起来说明。
4-8 对应负反馈情况，重做习题4-7.4-9 对应如下的负反馈控制系统，粗略地作出根轨迹，并确定系统稳定下K 的范围。
()()()()1,41)6(=+++=s H s s s s K s G4-10 对应习题4-10图所示系统，根据以下条件，试确定导致系统稳定的正实数增益K 的范围：a) 具有负反馈的系统。
b) 具有正反馈的系统。
习题4-10图4-11 已知反馈系统的开环传递函数*()()(1)(2)K G s H s s s s =++ 试绘制系统的根轨迹图，详细列写根轨迹的计算过程，其中包括零点、极点、渐近线及与实轴交点，根轨迹分离点及与虚轴的交点、渐近线与实轴夹角。
自动控制原理(第二版)(赵四化)章 (4)
着参变量 K 趋于无穷大时，闭环极点与开环零点相重合。如果开环 零点数目 m 小于开环极点数目 n ，则可认为有 n m 个开环零点处于 s 平面上的无穷远处。因此，在 m n 情况下，当 k 时，将有 n m 个闭环极点分布在 s 平面上的无穷远出。在实际物理系统中 m n，所以闭环极点数目与开环极点数目 n 相等。这样，起始于 n 个开环极点的 n 条根轨迹，便构成了反馈系统根轨迹的全部分支。
(0 3 1
j 1 4 1
j) (2)
1
第4章 根轨迹法
4.2.5 实轴上的根轨迹 绘制根轨迹的基本原则五：在实轴上任取一点，若在其右
侧的开环实极点与开环实零点的总数为奇数，则该点所在线段 构成实轴上的根轨迹。
此结论可用相角条件方程来说明。 若开环零、极点分布如图4－4所示。在实轴上任取一点s1， 连接所有的开环零、极点。由于复数零点、复数极点都对称于 实轴，因此，复数零点、复数极点的相角大小相等，符号相反。 可见，它们对于相角条件没有影响，即复数零、极点对实轴上 的根轨迹没有影响。因此只要分析位于实轴上的开环零、极点 情况即可。由于位于s1点左侧的零、极点到s1点的向量，总是 指向坐标原点，故它们所引起的相角总为零。只有s1右侧零、 极点构成的相角才为-180°,故根据相角条件，说明只有实轴 上根轨迹区段右侧的开环零、极点数目之和为奇数时，才能满 足相角条件。
开环零点 2 ，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。
（2）确定根轨迹的渐近线
渐近线的倾斜角为
a
(2l 1)
nm
(2l 1) 180 4 1
第4章 根轨迹法
取式中的l 0,1,2 ，得：
孔祥东控制工程基础课新版件第四章
n i1
pi
m
j 1
zj
s nm1
在 n m的条件下，当 K1 时，有 n m条根轨迹分支趋向无穷
远处，即 s 。这时可以只考虑高次项，将上式近似写为
G(s)H (s)
K1
s
snm
n i1
P(s)
K1
(s a )nm
s nm
K1
(n m)( a )snm1
不难看出，此系统的根轨迹有 n-m 条分支，它们都是由(σa，j0)出
发的射线，其相角为
a
180 (2q 1) nm
第四章 根轨迹法
§4-2 常规根轨迹
如果选择
(n
m)(
以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重要 依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是系 统的特征根，就必定在根轨迹上。
第四章 根轨迹法
§4-2 常规根轨迹
系统开环传递函数通常可以写成两种因子式
m
K1 (s z j )
G(s)H (s)
j 1 n
第四章 根轨迹法
Gp1(s) 0 K1 s(s 2a)
§4-1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的基本概念
根轨迹 是指系统特征根(闭环极点)随系统参量变化在s平面上运动而形
成的轨迹。通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极点分布的 影响，以及它们与系统性能的关系。
下面结合图4-1所示的二阶系统
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念
综上所述，根轨迹是指系统特征根(闭环极点)随系统参量变化在s平面上 运动而形成的轨迹。通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极 点分布的影响，以及它们与系统性能的关系。
第四章 控制系统根轨迹分析法
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
自动控制原理第四章--根轨迹法
2.相角条件：
G(s)H(s) (2k 1)
k 0,1, 2
为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形 式，把开环传递函数写成如下形式：
m
(s zi )
G(s)H(s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：K
g 称为根轨迹增益；
zi ，
p
为开环零极
j
点。
∴ 幅值条件：
m
n
pl (2k 1) ( pl z j ) ( pl pi )
j 1
i 1
m
il
( pl z j ) ——所有开环零点指向极点-pl 矢量的相角之和。
j 1
n
( pl pi )——除-pl 之外的其余开环极点指向极点-pl 矢量
i 1
il
的相角之和。
在复数零点-zl 处的入射角为：
而s2、s3点不是根轨迹上的点。
[例]设系统的开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。
Gk (s)
s2(s
K g (s 2) 1)(s 5)(s
10)
[解]：零极点分布如下：
10
5
2 1 0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。
四、根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角（渐近线与实轴的夹角） 和渐近线与实轴的交点。
n
m
zl (2k 1) (zl pi ) (zl z j )
i 1
j 1
jl
n
(zl pi )
i 1
——所有开环极点指向零点-zl 矢量的相角之和。
m
(zl z j )
j 1 jl
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即
d ds d ds
[ln P ( s )] [ln Q ( s )]
m
1 s z1 1 s p1
n
1 s z2 1 s p2
1 s zm 1 s pn
所以
1 s zi
i 1
1 s pl
8
l 1
仍以上例说明:
R(s)
2s 2 s2
令
dK ds
1
0
s
2
4s 2 0
求得
s 1 0 . 586
(舍去)
s 2 3 . 414
7
(2)
因为 即 其中
m
1 s zi
i 1
n
1 s pl
l 1
P ( s )Q ( s ) P ( s )Q ( s ) 0
i 1 l 1 la m n
规
P (s) P (s)
'
则
Q (s) Q (s)
'
6 分离（会 实轴上的
7 出射角
入射角
或
dK ds
1
0
复数零点处的入射角：
b ( 2 k 1) j i
j 1 i 1 ib n m
8 虚轴交点 （1）满足特征方程 1 G ( j ) H ( j ) 0 的 9 根之和与
P ( s )Q ( s ) P ( s )Q ( s ) 0
令
dK ds
0
0
, 即得到
6
仍以上例说明:
R(s)
K1 ( s 2) s 2 2s 2
C (s)
因为
1 G (s) H (s) K 1 (s 2) (s
K1 s
2
2
2 s 2) 0
2 4 3 2
例4-4的根轨迹
dK ds
0
s 8 s 36 s 80 s 0
4 3 2
解之得 s 1 2 ,
s 2 , 3 2 j 2 . 45
5）与虚轴交点
s 8 s 36 s 80 s K 0 0
4 3 2
由劳斯判据：
4 4 2
K jω 80 - 8ω
2
2
0
ω - 36ω
K 0
2
jω 80 - 8ω 求得 ω 10 ,
0
K 260
9. 根之和与根之积
j 1
n
p cj
j 1
n
pj
闭环极点之和等于开环极点之和
m n p cj 1 p j K 1 z i j 1 i 1 j 1 n n
( 2 k 1)
j 1
n
j
i 1 ib
m
i
13
8. 根轨迹与虚轴交点 根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程 1 G ( j ) H ( j ) 0 的 j 值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。 介绍二种常用的求交点的方法。 (1) 利用特征方程求取。用 j 替代s，令虚部、实部分别等 于 零，求得 和对应的K1。 (2) 利用劳斯表求取。将劳斯表中s2行系数构造的辅助方程 求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯 阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。
2 1
3
1
1
21
22
例4-4 已知
G s H s
s s 4 s 4 s 20
2
K0
试画系统的根轨迹。
解：
1）有4条根轨迹分支,它们的起点分别为0，-4，-2±j4 2） 渐近线与正实轴的夹角
2 k
1 4
3 5
, , 4 4 4
1 2 .5 1
?
1 2 .5 1
1 2 .5 2 1
1 2 .5 3
,
0 .7 0 .4
s 2 . 47
1 2 . 47 1
1 2 . 47 3
2 . 47
2 . 47 2
0 . 68 0 . 635
1 s
1 s4
1 s6
0
20 s 24 0
s 1 1 . 57
s 2 5 .1 （舍去）
20
（3）与虚轴的交点 系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0 令 s j 代入，求得 实部方程: 10 K 0 虚部方程： 24 0 解得： 4 .9 0 K 0 (舍去) K 240
1
1
K 0P (s) Q (s) 0 K 0 P ( s ) Q ( s ) 0
消
K0
去，可得到：
P ( s ) Q ( s ) P ( s ) Q ( s ) 0 或
P ( s ) P (s)
Q (s) Q (s)
'ห้องสมุดไป่ตู้
以上分析没有考虑 K 0 (且为实数)的约束条件，所以只有满 足 K 0 的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。
( 2 k 1)
i 1
m
i
j 1 ja
n
j
若根轨迹的一个分支终止于复零点 z b 的入射角为 b ，则 b ( 2 k 1) (各极点到 z b 的向量幅角 j 之和) (其它各零点到 z b 的向量幅角 i 之和)
,
7 4
, k 0 ,1,2,3
渐近线与实轴的交点为
422 4
2
23
3） 实轴上的0至-4间的线段是根轨迹 4） 分离点，系统的特征方程为
s s 4 s 4 s 20 K 0 0
2
K0
K 0 s s 4 s 4 s 20 s 8 s 36 s 80 s
17
绘制根轨迹图的规则
序 内容 规 则 1 起点终 起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括 点 无限零点） 2 分支数 等于开环传递函数的极点数（nm） 3 对称性 关于实轴对称 渐近线 相交于实轴上的一点： 4 坐标为： p z 倾角为：
n m l i
0 0
4
例: 设系统
R(s)
K1 ( s 2) s 2 2s 2
C (s)
试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。 解：系统的开环传递函数：
G (s)H (s) K 1 (s 2) s 2s 2
2
, P ( s ) s 2; Q ( s ) s 2 s 2
P ( s ) P( s ) Q ( s ) Q( s )
d ds
[ln P ( s )]
d ds
[ln Q ( s )]
P ( s ) ( s z 1 )( s z 2 ) ( s z m ) Q ( s )- ( s p 1 )( s p 2 ) ( s p n )
K1 s ( s 4 )( s 6 )
试画根轨迹。 解：起点：0，-4，-6 终点：3个无限零点 ( 2 k 1 ) 1 , （1）渐近线的夹角： 3 0 3 渐近线与实轴的交点： (0 4 6) 0
3
3 . 33
（2）分离点：
即
3s
2
9
Im
复杂情况用试探法。 在-2-3之间存在一个分离点。
1 s 1 1 s 1 s2 1 s3
3
2
1
0
Re
s 2 .4 s 2 .5
? 1 1 1 1 2 .4 1 2 .4 2 .4 2 2 .4 3
0 . 715 1 . 247
系统特征方程
1 G (s)H (s) 1 K 0
P (s) Q (s)
0
K 0 P (s) Q (s) 0
3
K 0 P (s) Q (s) 0
根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上 的分离点(或会合点) 与特征方程式的重根相对应。若为二重 根，必同时满足 f ( s ) 0 和 f ( s ) 0 。因此求得：
2
'
P (s)
求得：
1 S 2
Q (s) Q (s)
'
2s 2 s 2s 2
2
P (s)
s 1 0 . 586 (舍去)
s 2 3 . 414
代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K1＜0，故
舍去； s2代入，求得K1＞0 。所以s2会合点。
5
s s s s s
4
1 8 26 8 260 K 0 26 K0
36 80 K0 0
根轨迹法 (4-2)
1
6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点
K1 0
K1
K1
K1
K1 0
K1 0
会合点
K1 0
K1