例题2_正切函数的图像和性质-优质公开课-人教A版必修4精品
高中数学 1.4.2《正切函数的性质与图象》教学设计 新人教A版必修4
1.4.2《正切函数的图象与性质》教学设计【教学目标】1.理解利用正切线作出的正切函数图象.2.通过观察正切函数图象了解与感悟正切函数的性质.3.掌握正切函数的基本性质. 【导入新课】 复习我们在前几节中学习了正弦函数线、余弦函数线以及正切函数线，我们通过正弦函数线，画出了正弦函数的图象，并研究了函数的性质.今天，我们同样按照这样的方法通过正切线来画出正切函数的图象，并研究和讨论它的性质.新授课阶段 一、正切函数的图象：当α在第一象限时， 正弦线sinα=BM>0 余弦线cosα=OM>0 正切线tanα=AT>0那么，当α在其他三个象限 的情况呢？请同学们画 出其他三个象限的正切线. 我们将区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭进行八等分，9个点分别为3284πππ---，，,0,,88ππ-3,.482πππ，分别画出其中384ππ--，，,0,,88ππ-3ππ，的正切线， 然后利用描点法画出正切函数的大致图象. MAxO由正切三角比的诱导公式可知：tan()tan παα+= 那么y =tan()tan παα+=，可知π为y=tanx 的一个周期. 由此，我们可以画出y=tanx 在R 上的大致图象如下：例1 （1）比较tan1670与tan1730的大小;Y =tan α，α∈,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭π23-π-π2π-2ππ230yx（2）比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小. 解：(1)∵900<1670<1730<1800，而y=tanx 在900～1800上单调增函数， ∴tan1670<tan1730. (2)tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πΘ4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-， 又：20,tan 0,4522y x ππππ⎛⎫<<<= ⎪⎝⎭在内单调递增， ⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即. 二、正切函数的性质观察正切函数的图象，引导学生得正切函数的性质： 1.定义域：|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 2.值域：R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ， 2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于()2k k z ππ+∈，2x k ππ−−→+时，-∞−→−x tan . 3.周期性：π=T .4.奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数.5.单调性：在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，函数单调递增. 从图象上看出函数y=tanx 的单调区间是,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，但是我们怎样从理论上去加以证明呢？考察0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭这个区间内的函数y=tanx 的单调性. 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭这个区间内任意取12x x 、，且12x x <，y 1-y 2=tanx 1-tanx 2=1212sin sin cos cos x x x x -=1212121212sin cos cos sin sin()cos cos cos cos x x x x x x x x x x --=. 因为1202x x π≤<<，所以120.2x x π-<-<则cosx 1、cosx 2>0， sin(12x x -)<0,从而tanx 1-ta nx 2<0，y 1<y 2.即正切函数y=tanx 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数.由奇函数的性质可知，在,02π⎛⎤-⎥⎝⎦上正切函数y=tanx 也是增函数.由于y=tanx 的周期为π，则函数y=tanx 在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内单调递增. 除了上述证明方法以外，请同学们思考:对于正切函数y=tanx ，你还有什么方法能够证明它在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内单调递增吗？ 证法2：在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭这个区间内任意取12,x x ，且12x x <,tanx 1-tanx 2=1212tan()1tan tan x x x x -+⋅. 因为120,2x x π-<-<所以tan(x 1-x 2)<0，tanx 1≥0，tanx 2>0.因此1+tanx 1·tanx 2>0.则tanx 1-tanx 2<0, tanx 1<tanx 2, 即正切函数y=tanx 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数.接下来的证明同前一种方法.[说明]在考虑正切函数单调性的时候，一定要讲在,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭每一个单调区间．．．．．．．上．是增函数，而不能讲它在定义域上是增函数，为什么？请同学们思考并说明. 例2 讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质. 略解：定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且; 值域：R;它是非奇非偶函数; 在⎪⎭⎫⎝⎛+-4,43ππππk k 上是增函数;令f (x)=tan(x+4π)=tan(x+4π+π)=tan[(x+π)+4π]=f(x+4π)， 因此，函数f(x)的周期是π.例3 求下列函数的单调区间：13tan().24y x π=+解：1,3tan 24u x y u π=+=令那么， 124u x π=+Q 是增函数， tan y u =且的递增区间为(,),22u k k k Z ππππ∈-+∈1:24u x π∴=+由得12242k x k πππππ-<+<+；13tan()24y x π∴=+的单调递增区间是：32222k k k Z ππππ-+∈（，）.变式训练1：求函数3tan()24x y π=-+的单调区间.解：因为原函数可以化为：3tan();24y ππ=--;tan 24x u y u π=-=令所以的单调递增区间为：(,),22u k k k Z ππππ∈-+∈ 1:24u x π∴=-由得1.2242k x k πππππ-<-<+13tan()24y x π∴=-+的单调递减区间为3(2,2)22k k k Z ππππ-+∈.例4 求下列函数的周期：3tan(2).4y x π=+解：()3tan(2)4f x x π=+Q 3tan(2)4x ππ=++3tan[2()]24x ππ=++()2f x π=+，2T π∴=周期.变式训练2：求解13tan()24y x π=+的周期. 解：1()3tan()24f x x π=+Q 13tan()24x ππ=++13tan[(2)]24x ππ=++(2)f x π=+，2T π∴=周期.（||T πω=周期） 例5 求函数y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期. 解：令u=3x-3π,则y=tanu ，由u≠2k k Z ππ+∈可得：5()318k x k Z ππ≠+∈，即函数的定义域是5|318k x x R x k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭，且，. y=tanu 的值域为R ，因此y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为R . 存在x=9π和x=-9π,使tan(3·9π-3π)≠±tan[3·(-9π)-3π], 所以，y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是非奇非偶函数. 由,22k u k ππππ-<<+可以得到5()318318k k x k Z ππππ-<<+∈. ∴y=tan 33x π⎛⎫-⎪⎝⎭在5(,)()318318k k k Z ππππ-+∈上是增函数. 令f(x)=y= tan 33x π⎛⎫-⎪⎝⎭=tan 33x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=tan[3(x+3π)-3π]=f(x+3π)， ∵f(x)=f(x+3π)，∴函数f(x)=y= tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的周期是3π.课堂小结小结和归纳这节课所学习的内容： 正切函数y=tanx 的性质：定义域：|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域：全体实数R 周期性：正切函数是周期函数，最小正周期T=π 奇偶性：奇函数单调性：正切函数在开区间,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭内都是增函数.我们在求解有关正切函数与其它函数（如一次函数）复合的函数的增减性的时候，一定要将构成此复合函数的每一个函数的单调性都搞清楚，然后根据增增得增、增减得减的原则来确定该函数的单调区间.我们在求解函数周期性的时候，一定要借助y=tanx 的周期是π的结论，然后再利用周期函数定义f(x)=f(x+T)，求出函数的周期.作业 见同步练习 拓展提升1. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是 ( )(A)32π (B) 2π (C)3π (D)6π2.函数)4tan(x y -=π的定义域为 ( )(A)},4|{R x x x ∈≠π(B)},4|{R x x x ∈-≠π(C) },,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ 3.下列函数中,同时满足(1)在(0, 2π)上递增,(2)以2π为周期,(3)是奇函数的是 ( )(A)x y tan = (B)x y cos = (C)x y 21tan = (D)x y tan -= 4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________. 5.给出下列命题:(1)函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y =|cos2x +1/2|的周期是π/2; (3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π/2+x )是偶函数; (5)函数y =tan(2x +π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)，其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上).6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域.参考答案 1.C 2.D 3.C4. tan2<tan3<tan15.(1)(4)(5)6.,24x k x k k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭。
必修四正切函数的性质与图象公开课一等奖优秀课件
填要点·记疑点
函数y＝tan x的性质与图象
y＝tan x
图象 定义域
{x|x∈R，且 x≠kπ＋π2，k∈Z}
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
值域 周期 奇偶性
单调性
R 最小正周期为 π
奇函数
在开区间 kπ－π2，kπ＋π2 (k∈Z) 内递增
对称性
对称中心(k2π，0)(k∈Z，) 无对称轴
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
思考3 观察下图中的正切线，当角x在 －π2，π2 内 增 加 时 ， 正 切函数值发生什么变化？
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
由此反映出一个什么性质？当 x 大于－π2且无限接近－π2时，正切 值如何变化？当 x 小于π2且无限接近π2时，正切值又如何变化？由 此分析，正切函数的值域是什么？
深入探究
探究点一 正切函数的性质
思考1 根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其 最小正周期为多少？一般地，函数y＝tan(ωx＋φ) (ω>0)的周期是 多少？ 答 由诱导公式tan(x＋π)＝tan x，可知正切函数是周期函数，最 小正周期是π. ∵y＝Atan(ωx＋φ)＝Atan(ωx＋φ＋π) ＝Atanωx＋ωπ ＋φ，∴周期 T＝ωπ .
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制 条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三 角函数线.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
跟踪训练1 求下列函数的定义域：
(1)y＝ 1 ； 1＋tan x
解
高中数学必修四《正切函数的图像和性质》优秀教学设计
附件：教学设计方案模板给学生充足的时间与空间，发挥学生的主动性，这样不仅提高了学生的动手实践能力，还培养了学生对数学的兴趣。
注: 有的学生可能会想到利用函数的奇偶性来画图，教师暂时不予评价，等待学生形成图象。
②教师用投影仪展示作图结果，学生之间相互评价，指出优点和不足之处，并鼓励学生阐述自己的观点。
教师直接在投影仪上纠正学生错误的图像; 进行比较来说明只是周期的选择不同，拓展到整个定义域上也是一致的。
通过学生之间的点评与总结，引出渐近线，并请同学们总结出: 要画出一个周期内的图象，首先，选择哪段区间较好，其次，在画图象的过程中应该注意什么?③投影仪展示完整图像。
目的是规范作图，理顺思路的作用，并画出在定义域上的图象。
(设计意图: 在做好整体知识方法的铺垫后，学生完全有能力自己得到图象，并且通过交流发现自己的问题，所以整体做了一个这样的处理。
而根据知识的发生发展和获得结论这个过程，在最后给学生展示标准的图象以留下正确和深刻的印象)④总结正切函数的性质。
分小组根据正切函数图象去验证正切函数已有的性质，并找出其它的性质(主要就指单调性，若学生提及对称性就一起分析，若学生不提也不加以讨论，因为高考要求没有对对称性的涉及) 。
一组总结后，其它各小组补充或改正。
培养学生之间的团结协作能力及勇于探索的精神。
有部分学生会得到正切函数在定义域上是单调增函数的结论，所以为了突破这个难点，另外又设计了三道判断题让学生小组讨论形成结果。
判断下列语句是否正确: (1) y=tanx 在定义域上是单调增函数; (2) y=tanx 在在整体形成应该如何理解正切函数的单调性的基础上，再完成两个比大小的问题。
不求值，判断下列各式的大小①tan1380 tan1430，②tan(—13π4 ) tan(53) 引导学生从数和形两个角度来完成，可以直接看图象，可以转化到同一个单调区间，也可以利用三角函数线来比大小。
(设计意图: 根据原来的教学经验，学生在后续使用这个性质的时候经常会认为正切在定义域上是单调增函数，或者对第一象限的认识就认为是 0~2缩短这个反复讲解的过程，留下正确的印象，而比较大小是检验能否认识三角单调性的一个很好的工具，诱导公式的使用又将前后内容联系起来)3.例题分析例 1: 求函数tan 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域、周期和单调区间 解:定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,312| 周 期：2T =单调区间：51(2,2)33k k -+k z ∈ 例2不求值，比较下列函数值的大小（1）tan138与0tan 143 2） 与由学生分析， 得到结论， 其他学生帮助补充、 纠正完成。
高中数学 第1部分 第一章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图像课件 新人教A版必修4
[例 1] 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域．
[思路点拨] 构建关于tan x的不等式组求解．
[精解详析] 由题意得t1a－n txa＋n 1x≥>00，， 即－1≤tan x<1. 在(－π2 ，π2 )内，满足上述不等式的 x 的取值范围是[－π4 ，π4 )． 又 y＝tan x 的周期为π ， 所以所求 x 的范围是 [kπ －π4 ，kπ ＋π4 )，k∈Z. 即为此函数的定义域．
[一点通] 求有关正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数 本身的定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的三角不等式 或不等式组．另外，解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角 函数线．
1．函数 y＝tan(π4 －x)的定义域是
4
[一点通] 求 y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导
π
π
公式把 ω 化为正值，由 kπ－ 2 ＜ωx＋φ＜kπ＋ 2 求得 x 的
范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证两个角在同一
单调区间内．
4．比较tan 2 011°和tan 2 012°的大小． 解：tan 2 011°＝tan(5×360°＋211°)＝tan 211° ＝tan(180°＋31°)＝tan 31°， tan 2 012°＝tan 32°， ∵y＝tan x在0°＜x＜90°时是单调增函数， ∴tan 31°＜tan 32°.故tan 2 011°＜tan 2 012°.
(2)∵tan 2＝tan(2－π )，tan 3＝tan(3－π )， 又∵π2 ＜2＜π ，∴－π2 ＜2－π ＜0. ∵π2 ＜3＜π ，∴－π2 ＜3－π ＜0， 显然－π2 ＜2－π ＜3－π ＜1＜π2 ， 且 y＝tan x 在(－π2 ，π2 )内是增函数， ∴tan(2－π )＜tan(3－π )＜tan 1， 即 tan 2＜tan 3＜tan 1.
高中数学 正切函数的图像与性质学案 新人教A版必修4(1)
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 正切函数的图像与性质学案新人教A 版必修4【学习目标】掌握正切函数的图象和性质。
【重点难点】能正确应用正切函数的图象性质解决有关问题。
【学习内容】问题情境导学一、正切函数图像的画法复习1、正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？ 复习2、正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？预习1、正切函数tan y x = 的最小正周期为______2、正切函数tan y x =的定义域为____________；值域为_____________。
3、正切函数tan y x =在每一个开区间________ __内为增函数。
4、正切函数tan y x =为___________函数。
（填：奇或偶）？想一想（1）我们知道做周期函数的图像一般先做出长度为一个周期的区间上的图像，然后向左、右扩展，这样就可以得到它在整个定义域上的图像，那我们先选择哪一个区间来研究正切函数呢？（2）我们用五点法能简便地画出正弦、余弦函数的图像的简图，你能类似地画出函数tan y x =，)2,2(ππ-∈x 的简图吗？ 看一看（1）正切函数tan y x =，)2,2(ππ-∈x 的图像画法 ①作出直角坐标系，并在直角坐标系y 轴左侧作单位圆。
②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线。
③描点（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应正切线）④连线。
（2）函数tan y x =，z k k x R x ∈+≠∈,2,ππ的图像画法①根据正切函数的周期性，只要把上述图像向左、右扩展，就得到正切函数tan y x =，z k k x R x ∈+≠∈,2,ππ的图像，我们把它叫做正切曲线。
x yy 2π- 2π②正切函数的简图可以用三点两线法，这里的三点分别为（)0,πk ，（)1,4ππ+k ，)1,4(--ππk ，两线为2ππ±=k x ，z k ∈做简图时，只需先做出一个周期中的两条渐近线2π±=x ，然后描出三个点)0,0(，)1,4(π，)1,4(--π用光滑的曲线连接得一条曲线，再平行移动至各个周期内即可。
高中数学公开课正切函数的性质与图像
23
3
23 4
6
23 4
6 23 2
3
23 2
3
∴函数
y
tan
x 2
3
的图象与
x
轴的一个交点坐标是
2 3
,
0
在这个交点左,右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x , x 5 Nhomakorabea3
3
从而得到函数
y
f
(
x)
在一个周期
3
,
5 3
内的简图如下图所示:
小结：
1．正切函数的图像： 正切曲线有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋π2，k∈Z.相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线， 且单调递增． 2．正切函数的性质：
1．取0，π2内的几个点，列表如下.
X
0
π 6
π 4
π 3
y＝tan x 0
3 3
1
3
再由正切函数的对称性，可得其在一个周期内的图像，如图：
2．y＝tan x 的函数图像称为正切曲线，是中心对称图形，对称中心为k2π，0k∈Z.
【对点快练】
1．函数 y＝tanx＋π5，x∈R 且 x≠31π0＋kπ，k∈Z 的一个对称中心是( )
∴kπ－π3<4x<kπ＋23π(k∈Z)，∴4kπ－43π<x<4kπ＋83π(k∈Z)，
∴y＝－tan4x－6π的单调减区间是4kπ－43π，4kπ＋83π(k∈Z)．
(2)tan－143π＝tan－143π＋4π＝tan－143π＋146π＝tan 34π，
tan－152π＝tan－152π＋3π＝tan－152π＋155π＝tan
A．(0,0)
人教课标版高中数学必修4《正切函数的图象与性质》名师课件
（1）
；（2）
．
【思路点拨】先求不等式在
内的解集，再根据正
切函数的周期性求解出所有范围．
【解题过程】
（1）由题意，
，在
内，
，
∴
，又因为y=tan x是周期为π的周期函数，所以函数的
定义域为
．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
例2．求函数的定义域．
（1）
；（2）
．
【思路点拨】先求不等式在
内的解集，再根据正
由正切函数定义，若角x的终边过点（a，b），则
知，
当a=0，即
时，tan x无意义，故正切函数y=tan x
的定义域为
．
（2）周期性 结合周期函数的定义，由诱导公式
，能得出什么样的结论？
根据
，可得出正切函数y=tan x的一个周期为π，且由单位圆中
正切线的变化情况可知，π为该函数的最小正周期．
（3）奇偶性 结合奇偶函数的定义，由诱导公式
配套课后作业： 《正切函数的图象与性质》基础型 《正切函数的图象与性质》能力型 《正切函数的图象与性质》探究型 《正切函数的图象与性质》自助餐
由图1(Ⅰ)可知，当x大于 且无限接近于 时，正切线AT向
y轴的负方向无限延伸；由图1(Ⅱ)可知，当x小于 且无限接
近于 时，正切线AT向y轴的正方向无限延伸．故， y=tan x
在
内可以取任意实数，但没有最大值、最小值．因
此，正切函数的值域是R．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究二：如何得出正切函数图象？ （1）类比已经学习的正弦函数、余弦函数的图象与性质， 应该按照怎样的步骤研究正切函数？
内，正切函数图
③值域：靠近
数学人教A版必修4课前引导 1.4.4正切函数的图象与性质
1.4.4 正切函数的图象与性质
课前导引
问题导入
y=tan2x 是否具有周期性？若有，最小正周期是什么？
思路分析：由于y=tanx 是周期函数，且周期为π可知，只有当x 至少增加π时，函数值才重复出现，也就是说2x 至少增加到2x+π时，即x 至少增加到x+
2π时，函数值才重复出现. ∴y=tan2x 具有周期性，且最小正周期为
2π. 知识预览
1.正切函数y=tanx 的最小正周期为π；y=tanx （ωx+φ）的最小正周期为|
|ωπ. 2.正切函数y=tanx 的定义域为｛x ｜x ∈R ,x≠
2
π+kπ,k ∈Z ｝;值域为R . 3.正切函数y=tanx 在每一个开区间（-2π+kπ, 2π+kπ),k ∈Z 内均为增函数. 4.正切函数y=tanx 为奇函数（填：奇或偶）. 5.y=tan
x 37的周期是π73；y=tan （-2x+3π）的周期为2
π.。