广东省揭阳市高考数学一模试卷 文(含解析)

广东省揭阳市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∪B中元素的个数为( )A．5 B．6 C．7 D．8考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据并集的运算计算即可．解答：解：∵A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，∴A∪B={3，4，5，6，7，8}，故则A∪B中元素的个数为6个，故选：B点评：本题考查了集合的运算，属于基础题．2．已知复数z=（﹣8﹣7i）（﹣3i），则z在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：复数z=（﹣8﹣7i）（﹣3i）=24i﹣21，则z在复平面内对应的点（﹣21，24）位于第二象限．故选；B．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．“a＞b”是“a2＞b2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若a=1，b=﹣1，满足a＞b，但a2＞b2不成立，若a=﹣1，b=0，满足a2＞b2，但a＞b不成立，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故选：D点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．4．双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为( )A．B．C．2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得双曲线的b=2a，由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到．解答：解：双曲线﹣=1（a＞0）的b=2a，c==a，即有e==．故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，属于基础题．5．已知=（sinα，cosα），=（﹣2，1），若⊥，则tanα的值为( )A．﹣2 B．2 C．D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由向量垂直的性质得=﹣2sinα+cosα=0，从而cosα=2sinα，由此能求出tanα==．解答：解：∵=（sinα，cosα），=（﹣2，1），⊥，∴=﹣2sinα+cosα=0，∴cosα=2sinα，∴tanα==．故选：C．点评：本题考查角的正切值的求法，是基础题，解题时要注意向量垂直的性质的合理运用．6．已知函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为( ) A．y=4x B．y=log4x C．y=2x D．y=（）x考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由对数函数的图象过定点求出a的值，然后化指数式为对数式，再把x，y互换求得原函数的反函数．解答：解：∵y=log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），∴，解得a=4．∴y=log4x，则x=4y，把x，y互换得到函数y=log4x的反函数为y=4x．故选：A．点评：本题考查了对数函数的运算性质，考查了函数的反函数的求法，是基础题．7．某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查．则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为( )A．8 B．12 C．20 D．30考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：由图表关系知，若抽取40名职工，则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为40×30%=12，故选：B点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．8．不等式组表示的平面区域的面积为( )A．14 B．5 C．3 D．7考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足条件的平面区域，再求出交点的坐标，根据三角形的面积公式求出即可．解答：解：画出满足条件表示的平面区域，如图示：∴平面区域的面积是×4×=7，故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．9．设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( ) A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m D．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间直线的位置关系以及线面平行、面面平行的判定定理对选项分别分析解答．解答：解：对于A，若m∥l，m∥α，则l可能在α内，故A错误；对于B，若m⊥α，l⊥m，则l可能在α内，故B错误；对于C，若α∥β，l⊥α，得到l⊥β，结合m∥β，得到l⊥m；故C正确；对于D，若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α与β可能相交；故D错误；故选C．点评：本题考查了空间直线的位置关系以及线面平行、面面平行的判定定理，关键是熟练掌握定理．10．对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}=；max{a，b}=．则下列各式中恒成立的个数为( )①min{a，b}+max{a，b}=a+b②min{a，b}﹣max{a，b}=a﹣b③（min{a，b}）•（max{a，b}）=a•b④（min{a，b}）÷（max{a，b}）=a÷b．A． 1 B．2 C．3 D．4考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：本题根据函数的定义，分类研究a，b的大小，可得到取小函数与取大函数min{a，b}，max{a，b}的值，从而得到本题结论．解答：解：∵对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}=；max{a，b}=，∴min{a，b}取a，b中的最小值，max{a，b}取a，b的最大值．∴min{a，b}，max{a，b}分别取出a，b中的一个最大值与一个最小值，∴min{a，b}+max{a，b}=a+b，（min{a，b}）•（max{a，b}）=a•b，故①③成立；若a≤b，则有：min{a，b}﹣max{a，b}=a﹣b，若a＞b，则min{a，b}﹣max{a，b}=b﹣a≠a﹣b，故③不一定成立；若a≤b，且b≠0，则有：（min{a，b}）÷（max{a，b}）=a÷b，若a＞b，且a≠0，（min{a，b}）÷（max{a，b}）=b÷a≠a÷b．故④不一定成立．故选B．点评：本题考查了新定义函数的理解和分类讨论的数学思想，本题难度不大，属于基础题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为{x|﹣2＜x＜5}．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把不等式x2﹣3x﹣10＜0化为（x﹣5）（x+2）＜0，求出解集即可．解答：解：不等式x2﹣3x﹣10＜0可化为（x﹣5）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜5；∴该不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．故答案为：{x|﹣2＜x＜5}．点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．12．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a=3，∠B=2∠A，cosA=，则b=2．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得sinA和sinB的值，再利用正弦定理求得b的值．解答：解：△ABC中，由cosA=，∠B=2∠A，可得sinA=，sinB=sin2A=2sinAcosA=2××=．再由正弦定理可得=，即=，求得b=2，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题．13．已知函数f（x）=x3对应的曲线在点（a k，f（a k））（k∈N*）处的切线与x轴的交点为（a k+1，0），若a1=1，则=3．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，再令y=0，结合等比数列的定义可得，数列{a n}是首项a1=1，公比的等比数列，再由等比数列的求和公式计算即可得到所求值．解答：解：由f'（x）=3x2得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令y=0得，故数列{a n}是首项a1=1，公比的等比数列，又=，所以．故答案为：3．点评：本题考查导数的运用：求切线的方程，主要考查导数的几何意义，同时考查等比数列的定义和求和公式，运用点斜式方程求得切线方程是解题的关键．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为4．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：常规题型；转化思想．分析：先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程，最后利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可．解答：解：∵ρsin（θ+）=2，∴ρsinθ+ρcosθ=2，化成直角坐标方程为：x+y﹣2=0，圆ρ=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，圆心到直线的距离为：∴截得的弦长为：2×=．故答案为：．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．【几何证明选讲选做题】15．如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE=1，AB=3，CF=4，则BC边的长为．考点：相似三角形的性质．专题：选作题；立体几何．分析：先求出BE，再利用△BEA∽△CFA，求出AC，可得EC，利用勾股定理求出BC．解答：解：依题意，AE=1，AB=3，得，因△BEA∽△CFA得，所以AF=2，AC=6，所以EC=7，所以．故答案为：．点评：本题考查相似三角形的性质，考查学生的计算能力，正确运用相似三角形的性质是关键．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若f（α）=，α∈（0，），求cos2α的值．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）直接利用正弦型函数的周期关系式求出结论．（2）利用（1）所确定的函数关系式进一步对关系式中的角进行恒等变换，利用三角函数的诱导公式求出结果．解答：解：（1）函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，由得ω=2；（2）由：得∵，∴，∴∴==∴．点评：本题考查的知识要点：利用正弦型函数周期的关系式确定函数的解析式，函数关系式中角的恒等变换的应用．17．如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图．（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；分组频数频率[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）[100，120）[120，140）[140，160）[160，180）[180.200]合计 30 1（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）考点：频率分布直方图．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）根据图中数据，列出频率分布表，画出频率分布直方图即可；（2）由频率分布表，得出该市本月前30天中空气质量优良的天数，计算任意1天空气质量优良的概率即可．解答：解：（1）根据图中数据，列出频率分布表如下；分组频数频率[20，40） 2[40，60） 5[60，80）7[80，100） 5[100，120） 2[120，140） 5[140，160） 1[160，180） 1[180.200] 2合计 30 1根据频率分布表，画出频率分布直方图，如下；（2）由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为2+5+7+5=19，﹣﹣﹣∴此人到达当天空气质量优良的概率：；﹣﹣﹣∴可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%．﹣﹣﹣点评：本题考查了列频率分布表与画频率分布直方图的应用问题，也考查了利用频率估计概率的应用问题，是基础题目．18．如图5，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB=，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD=l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用线面垂直的判定与性质定理可证：CD⊥平面ABC，再利用三角形的中位线定理可得：EF∥CD．再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定即可证明；（2）由CD∥EF，利用线面平行的判定定理可得：CD∥平面BEF，再利用线面平行的性质定理即可证明；（3）解法1：由（1）知EF∥CD，利用三角形相似的性质可得：，得到，求出V B﹣ACD即可得出．解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FG∥AB，利用线面垂直的性质可得：FG⊥平面BCD，由（1）知EF⊥平面ABC，利用V=V F﹣EBC+V F﹣BCD即可得出；解答：（1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，又E、F分别是AC、AD的中点，∴EF∥CD．∴EF⊥平面ABC又EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．（2）证明：∵CD∥EF，CD⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CD∥平面BEF，又CD⊂平面BCD，且平面BEF∩平面BCD=l，∴CD∥l．（2）解法1：由（1）知EF∥CD，∴△AEF～△ACD．∴，∴，∴=．解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FG∥AB，∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，由（1）知EF⊥平面ABC，∴V=V F﹣EBC+V F﹣BCD==．点评：本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．19．已知S n为数列{a n}的前n项和，S n=na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=12．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）在数列递推式中，取n=2，结合已知a2=12求得数列首项；（2）在数列递推式中，取n=﹣1得另一递推式，作差后可得数列{a n}为等差数列，由等差数列的通项公式得答案；（3）求出等差数列的前n项和，取倒数后利用裂项相消法求出++…+得答案．解答：（1）解：由S n=na n﹣3n（n﹣1），得a1+a2=2a2﹣3×2×（2﹣1），即a1=a2﹣6，∵a2=12，∴a1=12﹣6=6；（2）解：由S n=na n﹣3n（n﹣1），得S n﹣1=（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2）（n≥2），两式作差得：a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣6n+6，即a n﹣a n﹣1=6（n≥2）．∴数列{a n}是以6为首项，以6为公差的等差数列，∴a n=6+6（n﹣1）=6n；（3）证明：，则，∴++…+==．点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点，且|PF|=5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：常规题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设点P（m，m）（m＞0），根据抛物线的定义和点P在抛物线C上构建关于m，p 的方程，解方程组即可求出抛物线的方程；（2）假设存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，由直线l：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线C相切，利用导数求出直线l的方程，进而求出Q点坐标，根据直径所对的圆周角为直角，利用求出N点坐标．解答：解：（1）解法1：∵点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点，∴设点P（m，m）（m＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵抛物线C的准线为，由|PF|=5结合抛物线的定义得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣又点P在抛物线C上，∴m2=2pm（m＞0）⇒m=2p．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②﹣﹣﹣﹣﹣由①②联立解得p=2，∴所求抛物线C的方程式为x2=4y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[解法2：∵点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点，∴设点P（m，m）（m＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵抛物线C的焦点为，由|PF|=5得，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又点P在抛物线C上，∴m2=2pm（m＞0）⇒m=2p．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由①②联立解得p=2，∴所求抛物线C的方程式为x2=4y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣]（2）解法1：由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又设点，由直线l：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线C相切，由得，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴直线l的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令y=﹣1得，∴Q点的坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵点N在以MQ为直径的圆上，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣要使方程（*）对x0恒成立，必须有解得n=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴在坐标平面内存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[解法2：设点M（x0，y0），由l：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线相切，由得，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴直线l的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令y=﹣1得，∴Q点的坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴以MQ为直径的圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③﹣﹣﹣﹣分别令x0=2和x0=﹣2，由点M在抛物线C上得y0=1，将x0，y0的值分别代入③得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④（y﹣1）（y+1）+（x+2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑤④⑤联立解得或，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴在坐标平面内若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1），将（0，1）的坐标代入③式得，左边==2（1﹣y0）+2（y0﹣1）=0=右边，将（0，﹣1）的坐标代入③式得，左边=不恒等于0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴在坐标平面内是存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为（0，1）．﹣﹣点评：本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，这类题目考查比较灵活，解决问题时注意几何关系向代数关系（即坐标关系）的转化．21．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．（1）若函数F（x）=f（x）﹣g（x），当a=1时，求函数F（x）的极值；（2）若函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：＜ln（n+1）．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数研究函数的单调性极值即可得出；（2）解法1：由函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数，可得在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；解法2：由函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数，可得对∀x∈（0，1），（*）恒成立，由x∈（0，1），可得cos（x﹣1）＞0，对a分类讨论：当a≤0时，（*）式显然成立；当a＞0时，（*）式⇔在（0，1）上恒成立，设h（x）=xcos（x﹣1），利用其单调性即可得出．解答：解：（1）∵当a=1时，函数F（x）=x﹣lnx，（x＞0）∴，令F'（x）=0得x=1，当x∈（0，1）时F'（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，即函数F（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴函数F（x）在x=1处有极小值，∴F（x）极小=1﹣ln1=1．（2）解法1：∵函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数∴在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，则，当x∈（0，1）时，sin（x﹣1）＜0，cos（x﹣1）＞0∴H'（x）＜0在（0，1）上恒成立，即函数H（x）在（0，1）上单调递减，∴当x∈（0，1）时，H（x）＞H（1）=1，∴a≤1．解法2：∵函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数∴对∀x∈（0，1），（*）恒成立，∵x∈（0，1），∴cos（x﹣1）＞0，当a≤0时，（*）式显然成立；当a＞0时，（*）式⇔在（0，1）上恒成立，设h（x）=xcos（x﹣1），易知h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）=1，∴⇒0＜a≤1，综上得a∈（﹣∞，1]．（3）由（2）知，当a=1时，G（x）=sin（x﹣1）﹣lnx＞G（1）=0，⇒sin（x﹣1）＞lnx，（**）∵对∀k∈N*有，在（**）式中令得，∴=，即．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、利用函数的单调性证明不等式，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。