层次分析法

权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 一致性指标 CI 5.073 5 0.018 5 1 随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 通过一致
一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1
性检验
4.计算组合权向量并做一致性检验
的不一致程度在容许范围之内，否则要重新构造成对比 较矩阵，加以调整,使其满足 CR 0.1 从而 A具有满意的 一致性。
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 最大特征根=5.073
准则层对目标的成对比较阵
1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3 1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 5 1 / 2 1 / 3 1 1 1 1 3
层次分析法
Analytic Hierarchy Process AHP
层次分析法建模
问题的提出 决策是指在面临多种方案时需要依据一定的 标准选择某一种方案。 例1 购物 买车，一般要根据价格、品牌、款式、配臵、 油耗等方面的因素选择一款适合自己的汽车。
买房，则要综合考虑价格、位臵、交通、环
境、户型等方面的因素选择满意的房子。
背景：决策问题----在多种方案中依据一定的标准选择某一种方案。
（购物、旅游、排队、择业……） 人物： T. L. Saaty----美国著名运筹学专家，皮斯堡大学教授 工具：矩阵理论，Matlab 作用：层次分析法在决策工作中有广泛的应用。 主要用于确定综合评价的权重数。 -------能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价、决策
i 1 n
wi 表示下层第 i 个因素对上层某因素影响程度的权值。
若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大 特征根对应的归一化特征向量作为权向量 w，则
Aw w
w w1, w2 ,, wn
这样确定权向量的方法称为特征根法. 定理： n 阶正互反阵 A 的最大特征根 n ，当且仅 n 时，A 为一致阵。 当
1 A (aij ) nn , aij 0, a ji aij
目标层 C1 景色
O(选择旅游地) C2 费用 C3 居住 C4 饮食 C5 旅途
准则层
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性
Ci : C j aij
选 择 旅 游 地
C1 C1 C2
1 A (aij ) nn , aij 0, a ji aij
w1 w2 1 wn w2

w1 wn w2 wn 1
即
a ik a kj a ij i, j 1,2,, n
a23 a21 a13
但在例2的成对比较矩阵中，a 23 7, a 21 2, a13 4 在正互反矩阵 A 中，若 a ik a kj a ij ，则称A为一致阵。 一致阵的性质：

比较尺度
标度 1 3 含义 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
5 7
9 2 ， 4 ， 6， 8
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 上述两相邻判断的中值
一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、
被培养人才等因素进行选题。
面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、 最后作出决策。这个过程中很多因素难以量化，主观因
素占有相当的比重，给用数学方法解决问题带来不便。
T.L.saaty等人在20世纪70年代提出了一种能有效处理这 类问题的实用方法。
层次分析法 (AHP)
2、构造两两比较矩阵（正互反矩阵）
（对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较）
3、计算权向量并做一致性检验
（根据判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并做一致性检验)
4、计算组合权向量并做组合一致性检验
(计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序、检验)
四、应用举例

例. 某人假期旅游，想在风光秀丽的黄山， 迷人的北戴河，山水甲天下的桂林三个旅游胜 地中选择一个，他主要考虑的因素有：景色、 费用、居住、饮食、旅途，但是这几个景点在 这几个考虑因素中各有优劣，他也不知道该如 何选取，你能从数学的角度合理地帮他做出选 择吗？
1 1. aij , aii 1, i, j 1,2,, n a ji
3. A的各行成比例，则 rank A 1 4. A的最大特征根（值）为 λ n, 其余n-1个
特征根均等于 0。
5. A的任一列(行)都是对应于特征根 n 的特征向量。
2. AT 也是一致阵
若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最 大特征根 n的归一化特征向量 w1, w2 ,, wn ，且 wi 1
一、概述 二、基本思路 三、基本步骤 四、应用举例
一、层次分析法概述
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称 AHP）
美国运筹学家Saaty于20世纪70年代提出 是一种实用的多方案或多目标的决策方法 是一种定性与定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。
组合权向量 记第2层（准则）对第1层（目标）的权 ( 2) T 向量为 w( 2 ) ( w1( 2 ) ,, wn )
方案层对C2(费用)的成对比较阵
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色)的成对比较阵
…Cn
1 B1 1 / 2 1 / 5
2 1 1/ 2
n RI 1 2 0 0 3 0.58 4 0.90 5 1.12 6 1.24 7 1.32 8 1.41 9 1.45 10 1.49 11 1.51
1 2 500
(3) 计算一致性比率 CR = CI/RI 判断矩阵一致性指标 C.I. 与同阶平均随机一致性指标 R.I. 之比称为随机一致性比率C.R.(Consistency Ratio)。 一般，当 CR CI 0.1 时，认为 A RI
1. 建立层次结构模型
将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策
对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层 和最低层，绘出层次结构图。
最高层（目标层）：决策的目的、要解决的问题。
中间层（准则层）：考虑的因素、决策的准则。 最低层（方案层）：决策时的备选方案。
选择旅游地
目标层
如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
A~成对比较阵 A是正互反阵 稍加分析就发 现上述成对比 较矩阵有问题
成对比较的不一致情况
1 A 2
1/ 2 1
4 7
不一致
a21 2 (C2 : C1 ) 一致比较
a13 4 (C1 : C3 )
a23 8 (C2 : C3 )
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
n 1 其中 n 为 A 的对角线元素之和，也为 A 的特征根之和。
CI
n
CIБайду номын сангаас越大，不一致越严重
（2）查找随机一致性指标 随机构造500个矩阵 A 1 , A2 ,, A 500 则可得一致性指标
CI1, CI 2 ,, CI500
n CI1 CI 2 CI 500 500 RI 500 n 1 平均随机一致性指标是多次（500次以上）重复进行随机判断 矩阵特征根计算之后取算术平均得到的。龚木森、许树柏1986 年得出的判断矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标如下：
例2 旅游
假期旅游，是去风光秀丽的黄山，还是去迷 人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般
会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择
去哪个地方。 例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企业 等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资
待遇、发展前途、住房条件等因素择业。
例4 科研课题的选择 由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，
由于 连续的依赖于 aij，则 比n 大得越多，A 的不
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较 因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大， 引起的判断误差越大。因而可以用 n数值的大小来衡量
A 的不一致程度。
（1）定义一致性指标（Consistency
一般判断矩阵的阶数n越 大，人为造成的偏离完全 一致性指标C.I.的值便越 大；n越小，人为造成的 偏离完全一致性指标C.I. Index) 的值便越小。
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
2、构造两两比较阵
当考虑因素较多时，人们只凭主观经验判断，只 有定性没有定量分析，得出的结果往往不准确。 Saaty等人提出了一致矩阵法，即：1.不把所有 因素放在一起比较，而是两两相互比较；2.对比时采 用相对尺度，以尽可能减少性质不同的因素相互比较 的困难，提高准确度。 判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素 的相对重要性的比较。判断矩阵的元素 aij 用Saaty的 1—9标度方法给出。
C2 C3 C4 C5
C3
C4 C5
1/ 2 4 3 3 1 2 1 7 5 5 A 1/ 4 1/ 7 1 1 / 2 1 / 3 1 / 3 1 / 5 2 1 1 3 1 1 1/ 3 1/ 5 要由A确定C1,… , Cn对O的权向量