2012年江苏省高考数学一轮训练试题考点8：选修系列四

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2018年江苏省高考数学一轮训练试题考点8：选修系列四

2018-2019学年度第一学期南通市六所省重点高中联考试卷数学Ⅱ试题（附加题）一、选答题：本大题共4小题，请从这4题中选做两小题．．．．．，如果多做，则按所做的前两题记分，每小题10分，共20分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤． 1．（选修4—1：几何证明选讲）如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过 N 点的切线交CA 的延长线于P ．（1）求证：2PM PA PC =⋅；（2）若⊙O的半径为，OA，求MN 的长．解：（1）由条件得矩阵2003M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，它的特征值为2和3，对应的特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦及01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；………5分（2）1102103M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程为221x y +=．…10分2. （选修4—2：矩阵与变换）设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．（1）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量；（2）求逆矩阵1M -以及椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程． 3．（选修4—4：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正实数．（1）若1a b c ++=，求222a b c ++的最小值；（2）求证：111111222a b c b c c a a b+++++++≥． 4．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知椭圆的长轴长为6，焦距2421=F F ,过椭圆左焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M 、N ，设（第1题）)0(12παα<≤=∠M F F ,当α为何值时，MN 与椭圆短轴长相等？（用极坐标或参数方程方程求解）解：以椭圆的左焦点为极点长轴所在直线为极轴建立极坐标系（如图）这里:a=3,c=322,42,1,222==-==∴e c c a p b , ………………………2分所以椭圆的极坐标方程为：θθρcos 2231cos 1-=-=e ep ………………………４分设M 点的极坐标为),(1αρ，N 点的极坐标为),(2παρ+，………………５分122226,98cos 6352cos ,cos ,0.10426698cos MN MN ρραππαααπααα=++=-====±≤<==- 由得，又，所以或分解法二：设椭圆的方程为1922=+y x，其左焦点为)0,22(-，直线MN 的参数方程为：为参数）l l y l x (sin cos 22⎩⎨⎧=+-=αα， ………………４分将此参数方程代人椭圆方程并整理得：分或分10 656,0(,21sin ,41sin 82sin 816sin 81)sin 81(4cos 322222221 ππαπααααααα=∴<≤±==∴=+=+++=-=t t MN01cos 24)sin 81(22=-++ααt t ，设M 、N 对应的参数分别为21t t 、，则2019届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题数学附加题，选做题21．A ．选修4—1：（几何证明选讲）如图，AD 是∠BAC 的平分线，⊙O 过点A 且与BC 边相切于点D ，与AB ，AC 分别交于E ，F ，求证：EF ∥BC ．证明：如图，连结DF ．因为BC 与圆相切，所以∠CDF ＝∠DAF ．…………………………4分因为∠EFD 与∠EAD 为弧DE 所对的圆周角，所以∠EFD ＝∠EAD ．又因为AD 是∠BAC 的平分线，故∠EAD ＝∠DAF ． …………………………8分所以∠CDF ＝∠EFD ，所以EF ∥BC ． …………………………10分ABDCEFO·B ．选修4—2：(矩阵与变换) 已知a ，b ∈R ，若矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3 所对应的变换把直线l ：2x －y =3变换为自身，求a ，b 的值．解：（方法一）在直线l 上取两点(32，0)，(0，－3)．因为 ⎣⎡⎦⎤－1a b 3 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤320＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3232b，⎣⎡⎦⎤－1a b 3 ⎣⎡⎦⎤0－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3a －9，………………………6分因为M 对应的变换把直线变换为自身，所以点(－32，32b )，(－3a ，－9)仍在直线l 上．代入直线方程得⎩⎪⎨⎪⎧－3－32b ＝3，－6a ＋9＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4． ………………………10分（方法二）设(x ，y )为直线l 上任意一点，则⎣⎡⎦⎤－1a b 3 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋ay bx ＋3y ， …………………………3分因为M 对应的变换把直线变换为自身，所以点(－x ＋ay ，bx ＋3y )仍在直线l 上，代入直线方程得：2(－x ＋ay )－(bx ＋3y )＝3， …………………………7分化简得(－2－b )x ＋(2a －3)y ＝3，又直线l ：2x －y ＝3，所以⎩⎨⎧－2－b ＝2， 2a －3＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4．…………………………10分C ．选修4—4：(坐标系与参数方程) 将参数方程⎩⎨⎧x ＝2(t ＋1t )，y ＝4(t －1t )(t 为参数)化为普通方程．解：（方法一）因为(t ＋1t )2－(t －1t )2＝4， …………………………5分所以(x 2)2－(y4)2＝4． …………………………8分化简得普通方程为x 216－y 264＝1． …………………………10分（方法二）因为⎩⎨⎧x ＝2(t ＋1t )，y ＝4(t －1t )，所以t ＝2x ＋y 8，1t ＝2x －y8， …………………………5分相乘得(2x ＋y )(2x －y )64＝1． …………………………8分化简得普通方程为x 216－y 264＝1． …………………………10分D ．选修4—5：(不等式选讲)已知a ，b 是正数，求证(a ＋1b )(2b ＋12a )≥92．证明：（方法一）因为a ，b 是正数，利用均值不等式，(a ＋1b )(2b ＋12a )＝2ab ＋12＋2＋12ab …………………………5分＝(2ab ＋12ab )＋52≥2＋52＝92．所以 (a ＋1b )(2b ＋12a )≥92． …………………………10分（方法二）因为a ，b 是正数，利用柯西不等式，(a ＋1b )(2b ＋12a )＝[( a )2＋( 1b )2][( 2b )2＋( 12a)2] ……………………5分≥(a ×12a ＋ 1b × 2b )2＝( 12＋ 2)2＝92．所以(a ＋1b )(2b ＋12a )≥92． ………………………10分江苏省2019届高三上学期苏北大联考（数学）数学Ⅱ试题（附加题）1、已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可得，3311611c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即c ＋d ＝6； ………………………………………2分由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，可得333322c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3c －2d ＝－2， …………………………………………6分解得233424c A a =⎧⎡⎤⇒=⎨⎢⎥=⎩⎣⎦…………………………8分A 的逆矩阵 12/31/21/31/2A c -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2、过点P （－3，0）且倾斜角为30°直线和曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．解：直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，…………………………3分曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．……………………………5分将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴121210s s s s +==．……………8分AB 12s s =-．…………………………………10分2018年江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试数学（加试部分）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答题．．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4 – 1几何证明选讲如图，△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E ,∠BAC 的平分线与BC 交于点D . 求证：ED 2= EB ·EC .B ．矩阵与变换已知矩阵2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，求满足=AX B 的二阶矩阵X ．C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos( +3),它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3+ b 3+ c 3+1abc≥2 3.江苏省常州市2019届高三复习迎考试卷数学试题Ⅱ(附加题)BC EDA21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1 几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上的点，且CA 平分∠BAF ，过点C 作CD ⊥AF交AF 的延长线于点D . 求证：DC 是⊙O 的切线.【证明】连结OC ，所以∠OAC =∠OCA . 又因为CA 平分∠BAF ，所以∠OAC =∠FAC ，于是∠FAC =∠OCA ，所以OC //AD .又因为CD ⊥AF ，所以CD ⊥OC ，故DC 是⊙O 的切线． ………………… 10分 B ．选修4—2 矩阵与变换变换T 是绕坐标原点逆时针旋转π2的旋转变换，求曲线22221x xy y -+=在变换T 作用下所得的曲线方程．【解】变换T 所对应变换矩阵为0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则00x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即00,,y x x y =-⎧⎨=⎩，代入220000221x x y y -+=，即22221x xy y ++=，所以变换后的曲线方程为22221x xy y ++=． ………………… 10分C ．选修4—4 参数方程与极坐标（本题满分10分）已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2πcos()24ρθ--=．（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【解】（1）224ρρ=⇒=，所以224x y +=；因为()2πcos 24ρθ--=，所以()2ππcos cos sin sin 2ρθθ-+=，所以222220x y x y +---=． ………5分（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为1x y +=．化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，即()πsin ρθ+． ………………… 10分D ．选修4—5 不等式证明选讲（本题满分10分）已知0m a b >∈R ，，，求证：()22211a mba mb mm++≤++. 【解】因为0m >，所以10m +>，所以要证()22211a mba mb mm++≤++，即证222()(1)()a mb m a mb +≤++，即证22(2)0m a ab b -+≥，P即证2()0a b -≥，而2()0a b -≥显然成立，故()22211a mba mb mm++≤++．…………… 10分江苏省高淳高级中学2019届高三上学期第二次质量检测(数学理)附加题21．本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，PA 切⊙O 于点A ，D 为PA 的中点，过点D 引割线交⊙O 于B 、C 两点．求证: DPB DCP ∠=∠．【证明】因为PA 与圆相切于A ，所以2DA DB DC =⋅， ………………………2分因为D 为P A 中点，所以DP =DA ，所以DP 2=DB ·DC ，即PD DB DC PD = ．……………………5分因为BDP PDC ∠=∠，所以BDP ∆∽PDC ∆ …………8分所以DPB DCP ∠=∠． ………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换曲线22421x xy y ++=在二阶矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变换为曲线2221x y -=，求实数,a b 的值；解：设(,)P x y 为曲线2221x y -=上任意一点，'''(,)P x y 为曲线22421x xy y ++= 上与P 对应的点，则''11a x x b y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即''''x x ay y bx y ⎧=+⎨=+⎩ ……………………6分代入的''2''2()2()1x ay bx y +-+=得()()()2222122421b x a b x y a y ''''-+-+-=，及方程22421x xy y ++=，从而2212124422b a b a ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得2,0a b ==， …………………10分C ．选修4—4 参数方程与极坐标圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为4cos sin ρθρθ==-，．（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过圆1O ，圆2O 两个交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．所以224x y x +=．即2240x y x +-=为圆1O 的直角坐标方程． ……………………………………3分同理220x y y ++=为圆2O 的直角坐标方程． ……………………………………6分（2）由222240x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩ 相减得过交点的直线的直角坐标方程为40x y +=． …………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲已知实数,0m n >．（Ⅰ）求证：222()a b a b m n m n+++≥；（Ⅱ）求函数291((0,))122y x x x =+∈-的最小值．答：（Ⅰ）证明：因为,0m n >，利用柯西不等式，得222()()()a bm n a b m n+++≥，所以222()a b a b m n m n+++≥． ………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ），函数2222923(23)25122122(12)y x x x x x x +=+=+=--+-≥，所以函数291((0,))122y x x x =+∈-的最小值为25，当且仅当15x =时取得．……10分。

2012年高考试题+模拟新题分类汇编(数学理)N 选修4系列

N2 选修4-2 矩阵21 B ．N2 [2012·江苏卷]已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值．21 B ．解：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－143412－12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.21A ．N2 [2012·福建卷] 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎝⎛⎭⎫a b 01(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．21A ．解： (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．由⎝⎛⎭⎫x ′y ′＝⎝⎛⎭⎫a b 01⎝⎛⎭⎫x y ＝⎝⎛⎭⎫ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.因为a ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎝⎛⎭⎫11 01，A 2＝⎝⎛⎭⎫11 01⎝⎛⎭⎫11 01＝⎝⎛⎭⎫12 01，所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎝⎛⎭⎫1－2 01.3．C3、N2[2012·上海卷] 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 cos x sin x －1的值域是________．3.⎣⎡⎦⎤－52，－32 [解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的值域，易错点是三角函数的化简．f (x )＝－2－sin x cos x ＝－2－12sin2x ，又－1≤sin2x ≤1，所以f (x )＝－2－12sin2x 的值域为⎣⎡⎦⎤－52，－32.N3 选修4-4 坐标系与参数方程12．N3[2012·天津卷] 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.12．2 [解析] 本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质，考查运算求解能力及转化思想，中档题．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt 化为普通方程为y 2＝2px (p >0)，并且F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，E ⎝⎛⎭⎫－p2，±6p ，又∵|EF |＝|MF |＝|ME |，即有3＋p2＝⎣⎡⎦⎤p 2－⎝⎛⎭⎫－p 22＋(±6p －0)2，解之得 p ＝±2(负值舍去)，即p ＝2. 10． N3[2012·上海卷] 如图1－1所示，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6，若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.图1－110.1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ [解析] 考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再按要求化简．由已知得直线方程为y ＝(x －2)tan π6，化简得x －3y －2＝0，转化为极坐标方程为：ρcos θ－3ρsin θ－2＝0，解得ρ＝2cos θ－3sin θ＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，所以f (θ)＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ.15 C. N3 [2012·陕西卷]直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．15C. 3 [解析] 本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标．由2ρcos θ＝1得2x ＝1①，由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ②，联立①②得y ＝±32，所以弦长为 3.23．N3[2012·辽宁卷]在直角坐标系xOy .圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)(解法一)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t－3≤t ≤ 3.(或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y－3≤y ≤3)(解法二)在直角坐标系下求得弦C 1C 2的方程为x ＝1(－3≤y ≤3)．将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 23．N3[2012·课标全国卷]已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．23．解：(1)由已知可得A 2cos π3，2sin π3，B 2cos π3＋π2,2sin π3＋π2，C 2cos π3＋π,2sin π3＋π，D 2cos π3＋3π2,2sin π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16 ＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．21 C ．N3[2012·江苏卷]在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 21C ．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.9．N3[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.9.32[解析] 考查直线与椭圆的参数方程，此类问题的常规解法是把参数方程转化为普通方程求解，此题的关键是，得出两曲线在x 轴上的一个公共点，即为曲线C 1与x 轴的交点，化难为易．曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)的普通方程是2x ＋y －3＝0，曲线C 2的普通方程是x 2a 2＋y 29＝1，两曲线在x 轴上的一个公共点，即为曲线C 1与x 轴的交点⎝⎛⎭⎫32，0，代入曲线C 2，得⎝⎛⎭⎫322a 2＋029＝1，解得a ＝32.16．N3[2012·湖北卷]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．16.⎝⎛⎭⎫52，52 [解析] 曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝()t －12 化为直角坐标方程是y ＝()x －22，射线θ＝π4化为直角坐标方程是y ＝x ()x ≥0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝()x －22，y ＝x ()x ≥0，消去y 得x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4.所以y 1＝1，y 2＝4.故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即⎝⎛⎭⎫52，52. 21B. N3 [2012·福建卷]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．21B. 解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫0，233，又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交．13．N3[2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．13.3 [解析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化，圆的方程，点到直线的距离．应用极坐标与直角坐标的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ将圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋()y －22＝4，直线θ＝π6化为直角坐标方程为y ＝33x .因为x 2＋()y －22＝4的圆心为()0，2，所以圆心()0，2到直线y ＝33x ，即3x －3y ＝0的距离为d ＝||2×()－3()33＋32＝ 3.9．N3[2012·北京卷] 直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．9．2 [解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查参数方程和普通方程之间的转化等基础知识，考查数形结合思想的运用．方程转化为普通方程，直线为x ＋y ＝1，圆为x 2＋y 2＝9，法一：圆心到直线的距离为d ＝|1|2＝12<3，所以直线与圆相交，答案为2.法二：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9，x ＋y ＝1，消去y 可得x 2－x －4＝0，Δ>0，所以直线和圆相交，答案为2.14．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．14．(1,1) [解析] 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化，突破口是把参数方程转化为直角坐标方程，利用方程思想解决，C 1的直角坐标方程为：y 2＝x (x ≥0)，C 2的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝2，联立方程得：⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1,1)．图1－315．N3[2012·江西卷] (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．N4(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．15．(1)ρ＝2cos θ [解析] 考查极坐标方程与普通方程的转化；解题的突破口是利用点P 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)的关系转化．由于ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，因此x 2＋y 2－2x ＝0的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ≤32 [解析] 考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论思想；解题的突破口是利用零点讨论法去掉绝对值符号，将不等式转化为一般不等式(组)求解．当x >12时，原不等式可化为2x －1＋2x ＋1≤6，解得x ≤32，此时12<x ≤32；当x <－12时，原不等式可化为－2x ＋1－2x －1≤6，解得x ≥－32，此时－32≤x <－12；当－12≤x ≤12时，原不等式可化为1－2x ＋2x ＋1≤6，解得x ∈R ，此时－12≤x ≤12.综上，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－32，32.24．N3[2012浙江卷]在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．解：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2.将曲线C 的参数方程化为普通方程x 24＋y 2＝1.(1)当α＝π3时，设点M 对应参数为t 0.直线l 方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)．代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t＋12＝0，因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7. 得tan 2α＝516.由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54. 所以直线l 的斜率为54.N4 选修4-5 不等式选讲23．N4 [2012浙江卷]已知a ∈R ，设关于x 的不等式|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4的解集为A .(1)若a ＝1，求A ；(2)若A ＝R ，求a 的取值范围．23.解：(1)当x ≤－3时，原不等式化为－3x －2≥2x ＋4，综合得x ≤－3.当－3<x ≤12时，原不等式化为－x ＋4≥2x ＋4，综合得－3<x ≤0.当x >12时，原不等式为3x ＋2≥2x ＋4，得x ≥2.综上，A ＝{x |x ≤0或x ≥2}．(2)当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立．当x >－2时，|2x －a |＋|x ＋3|＝|2x －a |＋x ＋3≥2x ＋4，得x ≥a ＋1或x ≤a －13，所以a ＋1≤－2或a ＋1≤a －13，得a ≤－2，综上，a 的取值范围为a ≤－2. 15 A ．N4 [2012·陕西卷]若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．15A. －2≤a ≤4 [解析] 本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义．|x －a |＋|x －1|≤3表示的几何意义是在数轴上一点x 到1的距离与到a 的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a 的取值范围，不难发现－2≤a ≤4.24．N4[2012·辽宁卷]已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 24．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2，则h (x )＝⎩⎨⎧1， x ≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1， x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.24．N4[2012·课标全国卷]已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．21 D ．N4 [2012·江苏卷]已知实数x ，y 满足：|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16，求证：|y |＜518.21D ．证明：因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518.10．N4[2012·湖南卷] 不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为________． 10.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >14 [解析] 考查解含绝对值不等式，此题的关键是转化为|2x ＋1|>2|x －1|，再两边平方，轻松求解．不等式转化为|2x ＋1|>2|x －1|，两边平方得(2x ＋1)2>4(x －1)2，化简得4x >1，解得x >14，故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >14.6．N4[2012·湖北卷] 设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.346．C [解析] 由柯西不等式得(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)＝10×40≥(ax ＋by ＋cz )2＝202，显然上式应取等号，此时a ＝kx ，b ＝ky ，c ＝kz ，则a 2＋b 2＋c 2＝k 2(x 2＋y 2＋z 2)＝40k 2＝10，得k ＝12(舍去负值)，所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝a x＝k ＝12.故选C.9．N4[2012·广东卷] 不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为________． 9.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－12 [解析] 当x ≤－2，不等式化为：－x －2＋x ≤1，即－2≤1恒成立，所以此时解集为：{x |x ≤－2}；当－2<x ≤0时，不等式化为：x ＋2＋x ≤1，解得x ≤－12，所以不等式的解集是：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－2<x ≤－12. 当x >0时，不等式化为：x ＋2－x ≤1，即2≤1，此时解集为空集．综上，不等式的解集为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12. 21C. N4 [2012·福建卷]已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.21C. 解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.2012模拟题3．[2012·湖北重点中学联考] 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋m ＝0，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α(0<α<π)，若曲线C 1与C 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是________．4. ⎝⎛⎭⎫－1，－12 [解析] 本题主要考查极坐标的基本运算．属于基础知识、基本运算的考查． C 1的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋m ＝0，化为普通方程是3y ＋x ＋2m ＝0，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α，化为普通方程是x 2＋y 2＝1(y >0)，画出图象可知曲线C 1与C 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－12.4．[2012·唐山一模] 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．9．解：(1)由ρ＝2cos θsin 2θ，得(ρsin θ)2＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0. 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1t 2＝－1sin 2α，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α，当α＝π2时，|AB |取最小值2.5．[2012·唐山一模] 设f (x )＝2|x |－|x ＋3|. (1)求不等式f (x )≤7的解集S ；(2)若关于x 的不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解，求参数t 的取值范围．5．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x <－3，－3x －3，－3≤x ≤0，x －3，x >0.如图，函数y ＝f (x )的图象与直线4，x 2＝10的两点，由此得S ＝[－4,10]．(2)由(1)知，则不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解必须且只需－3＋|2t －3|≤0，解得0≤t ≤3，真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

江苏省南京市高考数学(苏教版,理)一轮题库：选修4 第1讲几何证明选讲

第十五章系列4选考部分第1讲几何证明选讲1．如图，已知B 在AC 上，D 在BE 上，且AB ∶BC ＝2∶1，ED ∶DB ＝2∶1，求AD ∶DF.解如图，过D 作DG ∥AC 交FC 于G(还可过B 作EC 的平行线)．∵DG BC ＝ED EB ＝23， ∴DG ＝23BC. ∵BC ＝13AC ，∴DG ＝29AC. ∴DF AF ＝DG AC ＝29，∴DF ＝29AF ，从而AD ＝79AF ，故AD ∶DF ＝7∶2. 2. 如图，圆O1与O2内切于点A ，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB 交圆O2于点C(O1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．证明如图，连接AO1，并延长分别交两圆于点E 和点D ，连接BD 、CE.∵圆O1与圆O2内切于点A ，∴点O2在AD 上，故AD 、AE 分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD ＝∠ACE ＝90°.∴BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r12r2＝r1r2，∴AB ∶AC 为定值． 3. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F.求证：FD2＝FB·FC.证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边AC 的中点，∴DE ＝EA ，∴∠A ＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A.∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠1＝90°＋∠1，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FDC ＝∠FBD.又∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ，∴FB FD ＝FD FC， ∴FD2＝FB·FC.4. 如图，在△ABC 中，CM 是＝12 ∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆O 交BC 于点N.若ACAB ，求证：BN ＝2AM.证明连结MN.因为CM 是∠ACB 的平分线，所以∠ACM ＝∠NCM ，所以AM ＝MN.因为∠B ＝∠B ，∠BMN ＝∠A ，所以△BMN ∽△BCA ，所以BN MN ＝AB AC＝2，即BN ＝2MN ＝2AM. 5. 如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交BD的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E.(1)求证：AB2＝DE·BC ；(2)若BD ＝9，AB ＝6，BC ＝9，求切线PC 的长．(1)证明 ∵AD ∥BC ，∴AB ︵＝CD ︵.∴AB ＝CD ，∠EDC ＝∠BCD.又PC 与⊙O 相切，∴∠ECD ＝∠DBC.∴△CDE ∽△BCD.∴DC BC ＝DE DC. ∴CD2＝DE·BC ，即AB2＝DE·BC.(2)解由(1)知，DE ＝AB2BC ＝629＝4， ∵AD ∥BC ，∴△PDE ∽△PBC ，∴PD PB ＝DE BC ＝49.又∵PB －PD ＝9，∴PD ＝365，PB ＝815. ∴PC2＝PD·PB ＝365·815＝54252.∴PC ＝545. 6．如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．解 (1)证明：连结DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD×AB ＝mn ＝AE·AC ，即AD AC ＝AE AB .又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ～△ACB.因此∠ADE ＝∠ACB.所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x2－14x ＋mn ＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH.由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC.从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12×(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.7. 如图，圆O 是△ABC 的外接圆，延长BC 边上的高AD 交圆O 于点E ，H 为△ABC 的垂心．求证：DH ＝DE.证明连结CE ，CH.因为H 为△ABC 的垂心，所以∠ECD ＝∠BAD ＝90°－∠ABC ，∠HCD ＝90°－∠ABC ，所以∠ECD ＝∠HCD.又因为CD ⊥HE ，CD 为公共边，所以△HDC ≌△EDC ，所以DH ＝DE.8. 已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB 、FC.(1)求证：FB ＝FC ；(2)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝33，求AD 的长．(1)证明 ∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC.∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC.∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC.(2)解 ∵AB 是圆的直径，∴∠ACD ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠D ＝30°. 在Rt △ACB 中，∵BC ＝33，∠BAC ＝60°，∴AC ＝3，又在Rt △ACD 中，∠D ＝30°，AC ＝3，∴AD ＝6.9. 如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，求证：O 、C 、P 、D 四点共圆．证明 ∵PA 、PB 为圆O 的两条切线，∴OP 垂直平分弦AB ，∴AM ＝BM.在Rt △OAP 中，OM·MP ＝AM2，在圆O 中，AM·BM ＝CM·DM ，∴OM·MP ＝CM·DM ，又弦CD 不过圆心O ，∴O 、C 、P 、D 四点共圆.10. 如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过点N 的切线交CA 的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC ；(2)若⊙O 的半径为23，OA ＝3OM ，求MN 的长．(1)证明连结ON.因为PN 切⊙O 于N ，所以∠ONP ＝90°.所以∠ONB ＋∠BNP ＝90°.因为OB ＝ON ，所以∠OBN ＝∠ONB.因为BO ⊥AC 于O ，所以∠OBN ＋∠BMO ＝90°.所以∠BNP ＝∠BMO ＝∠PMN.所以PM ＝PN.所以PM2＝PN2＝PA·PC.(2)解 OM ＝2，BO ＝23，BM ＝4.因为BM·MN ＝CM·MA ＝(23＋2)(23－2)＝8，所以MN ＝2.11. 如图，已知C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 的中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G.(1)求证：点F 是BD 的中点；(2)求证：CG 是⊙O 的切线；(3)若FB ＝FE ＝2，求⊙O 的半径．(1)证明 ∵CH ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴△AEH ∽△AFB ，△ACE ∽△ADF. ∴EH BF ＝AE AF ＝CE FD .∵HE ＝EC ，∴BF ＝FD.即点F 是BD 的中点．(2)证明连接CB 、OC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∵F 是BD 的中点，∴∠CBF ＝∠FCB.∵∠CBF ＝∠BAC ，∠BAC ＝∠ACO ，∴∠FCB ＝∠ACO.∵∠ACO ＋∠OCB ＝90°，∴∠BCF ＋∠OCB ＝90°.∴∠OCF ＝90°.∴CG 是⊙O 的切线．(3)解由FC ＝FB ＝FE ，得∠FCE ＝∠FEC.∵∠G ＋∠GCH ＝90°，∠FAG ＋∠FEC ＝90°，∴∠FAG ＝∠G.∴FA ＝FG ，∵FB ⊥AG ，∴AB ＝BG .由切割线定理，得(2＋FG)2＝BG·AG ＝2BG2.①在Rt △BGF 中，由勾股定理，得BG2＝FG2－BF2.②由①②，得FG2－4FG －12＝0.解得FG ＝6或FG ＝－2(舍去)．∴AB ＝BG ＝4 2.∴⊙O 的半径为2 2.12．如图，圆O1与圆O2内切于点A ，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB 交圆O2于点C(O1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．证明连结AO1，并延长分别交两圆于点E 和点D.连结BD ，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A ，所以点O2与AD 上，故AD ，AE 分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2.所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r12r2＝r1r2. ∴AB ∶AC 为定值．。

2012年高考数学试卷(江苏卷)解析版

2012江苏高考数学试卷答案与解析一.填空题：1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ．【答案】 {}6,4,2,1【解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合A 和集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是1 ，2，4，6，所以答案为{}6,4,2,1. 【点评】本题重点考查集合的运算.容易出错的地方是审错题目，把并集运算看成交集运算.属于基本题，难度系数较小.2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．【答案】15【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为50，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：1510350=⨯人，答案 15 . 【点评】本题主要考查统计部分知识：抽样方法问题，分层抽样的具体实施步骤.分层抽样也叫做“按比例抽样”，也就是说，要根据每一层的个体数的多少抽取，这样才能够保证样本的科学性与普遍性，这样得到的数据才更有价值、才能够较精确地反映总体水平，本题属于容易题，也是高考热点问题，希望引起重视． 3. 设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ．【答案】8【解析】据题i ii i i i i i bi a 3551525)21)(21()21)(711(21711+=+=+-+-=--=+，所以 ,3,5==b a从而 8=+b a .【点评】本题主要考查复数的基本运算和复数相等的条件运用，属于基本题，一定要注意审题，对于复数的除法运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，再者，需要注意分母实数化的实质.4. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】5【解析】根据循环结构的流程图，当1=k 时，此时0452=+-k k ；不满足条件，继续执行循环体，当2=k 时，6452-=+-k k ；不满足条件，继续执行循环，当3=k 时，2452-=+-k k 不满足条件，然后依次出现同样的结果，当5=k 时，此时4452=+-k k ，此时满足条件跳出循环，输出k 的值为5．【点评】本题主要考查算法的定义、流程图及其构成，考查循环结构的流程图.注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的k 的值．这是新课标的新增内容，也是近几年的常考题目，要准确理解循环结构流程图的执行过程． 5. 函数6()12log f x x -的定义域为 ▲ ．【答案】(6【解析】根据题意得到 0log 216≥-x ，同时，x ＞0 ，解得21log 6≤x ，解得6≤x ，又x ＞0，所以函数的定义域为：(6 .【点评】本题主要考查函数基本性质、对数函数的单调性和图象的运用.本题容易忽略x ＞0这个条件，因此，要切实对基本初等函数的图象与性质有清晰的认识，在复习中应引起高度重视.本题属于基本题，难度适中.6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．【答案】53 【解析】组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为53. 【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥D D BB A 11-的体积为 cm 3.【答案】36cmDABC1C 1D 1A1BOD1A1C1B1ACD B【解析】如图所示，连结AC 交BD 于点O ，因为平面D D BB ABCD 11⊥，又因为BD AC ⊥，所以，D D BB AC 11平面⊥，所以四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，根据题意3cm AB AD ==，所以223=AO ，又因为BD =，12cmAA =，故矩形D D BB 11的面积为2，从而四棱锥D D BB A 11-的体积316cm 3V =⨯=.【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面的位置关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，这是解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵活运用.本题属于中档题，难度适中.8. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+，则m 的值为 ▲ ．【答案】2【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在x 轴上（否则不成立），因此m ＞0，由离心率公式得到542=++mm m ，解得 2=m . 【点评】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质.这是大纲中明确要求的，在对本部分复习时要注意：侧重于基本关系和基本理论性质的考查，从近几年的高考命题趋势看，几乎年年都有所涉及，要引起足够的重视.本题属于中档题，难度适中.9. 如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ．【答案】2【解析】根据题意,→→→+=DF BC AF 所以()cos 0AB AF AB BC DF AB BC AB DF AB DF AB DF DF →→→→→→→→→→→→→→•=•+=•+•=•=⋅︒==从而得到1=→DF ，又因为→→→→→→+=+=CF BC BF DF AD AE ,，所以2180cos 00)()(2=⋅+++=+•+=•︒→→→→→→→→→CF DF BC CF BC DF AD BF AE .【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决．设法找到1=→DF ，这是本题的解题关键，本题属于中等偏难题目.10. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ．【答案】10- .【解析】因为1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 的周期为2，所以)21()223()21(-=-=f f f ，根据0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，得到223-=+b a ，又)1()1(-=f f ，得到02,221=++=+-b a b a 即，结合上面的式子解得4,2-==b a ，所以103-=+b a .【点评】本题重点考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的周期性将式子化简为)21()223()21(-=-=f f f 然后借助于分段函数的解析式解决.属于中档题，难度适中.11. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(πα+的值为 ▲ ．【答案】50217 【解析】根据4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2571251621)6(cos 2)32cos(2=-⨯=-+=+παπα，因为0)32cos( πα+，所以25242571)32sin(2=⎪⎭⎫⎝⎛-=+πα，因为502174sin)32cos(4cos)32sin(]4)32sin[()122sin(=+-+=-+=+ππαππαππαπα. 【点评】本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度稍高.12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ．【答案】34 【解析】根据题意228150x y x +-+=将此化成标准形式为：()1422=+-y x ，得到，该圆的圆心为M ()0,4半径为1 ，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d ，即可，所以有21242≤+-=k k d ，化简得0)43(≤-k k 解得340≤≤k ，所以k 的最大值是34 . 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是对若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，这句话的理解，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d 即可，从而将问题得以转化.本题属于中档题，难度适中.13. 已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．【答案】9【解析】根据函数0)(2≥++=b ax x x f ，得到042=-b a ，又因为关于x 的不等式()f x c <，可化为：20x ax b c ++-<，它的解集为()6,+m m ，设函数c b ax x x f -++=2)(图象与x 轴的交点的横坐标分别为21,x x ，则6612=-+=-m m x x ，从而，36)(212=-x x ，即364)(21221=-+x x x x ，又因为 a x x c b x x -=+-=2121,，代入得到 9=c .【点评】本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大. 14. 已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ．【答案】[]7,e 【解析】【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大. 二、解答题15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若5cos 5C =，求A 的值．【答案及解析】【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒等变形以及向量共线成立的条件．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两角和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中.16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B A C =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．【答案及解析】【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化． 17. （本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【答案及解析】【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，要注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数学模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中． 18．（本小题满分16分）已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．【答案及解析】x （千米）y （千米）O（第17题）【点评】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用.考查较全面系统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解．本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大． 19. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和32e ⎛ ⎝，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AFABPO1F2Fxy （第19题）与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若1262AF BF -=，求直线1AF 的斜率；（ii ）求证：12PF PF +是定值．【答案及解析】【点评】本题主要考查椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系．本题注意解题中，待定系数法在求解椭圆的标准方程应用，曲线和方程的关系.在利用条件2621=-BF AF 时，需要注意直线1AF 和直线2BF 平行这个条件.本题属于中档题． 20. （本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：122n n n n n a b a n a b *++=∈+N ．（1）设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设12nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．【答案与解析】【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根式的互化.数列通项公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是有关数列的综合题；从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点、重点问题，在训练时，要引起足够的重视.数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD = DC，连结AC，AE，DE．求证：E C∠=∠．AE BDCO【答案与解析】【点评】本题主要考查圆的基本性质，等弧所对的圆周角相等，同时结合三角形的基本性质考查．本题属于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的主要思想方法为等量代换法，属于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本性质的题目居多，在练习时，要有所侧重．B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A的逆矩阵113 44 11 22-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A，求矩阵A的特征值．【答案与解析】【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式（第21-A题）与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题． C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()24P π，，圆心为直线()3sin 32ρθπ-=-与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【答案与解析】【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线23)3sin(-=-πθρ与极轴的交点，考查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <．【答案与解析】【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用.22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．【答案与解析】【点评】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事件的基本运算．本题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布列和期望的求解，在列分布列时，要注意ξ的取值情况，不要遗漏ξ的取值情况． 23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…，n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数：①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若nP x A ∈，则2nP x A ∉．（1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．【答案与解析】【点评】本题重点考查集合的概念、组成、元素与集合的基本关系、集合的基本运算—补集和函数的解析式的求法.本题属于中档题，难度适中.。

(完整版)2012年江苏省高考数学试卷答案与解析

2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1.2.4}.B={2.4.6}.则A∪B={1.2.4.6} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意.A.B两个集合的元素已经给出.故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1.2.4}.B={2.4.6}.∴A∪B={1.2.4.6}故答案为{1.2.4.6}点评：本题考查并集运算.属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例.得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.∴高二在总体中所占的比例是=.∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.∴要从高二抽取.故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a.b∈R.a+bi=（i为虚数单位）.则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意.可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i.再由进行计算即可得到a+bi=5+3i.再由复数相等的充分条件即可得到a.b的值.从而得到所求的答案解答：解：由题.a.b∈R.a+bi=所以a=5.b=3.故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算.解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭.复数的四则运算是复数考查的重要内容.要熟练掌握.复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁.解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图.则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值.判断是否循环.达到满足题目的条件.结束循环.得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0.不满足判断框．则k=2.22﹣10+4=﹣2＞0.不满足判断框的条件.则k=3.32﹣15+4=﹣2＞0.不成立.则k=4.42﹣20+4=0＞0.不成立.则k=5.52﹣25+4=4＞0.成立.所以结束循环.输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用.考查计算能力.注意循环条件的判断．5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为（0.] ．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0.真数要大于0.得到不等式组.根据对数的单调性解出不等式的解集.得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0.且x＞0∴.x＞0∴.x＞0.∴.x＞0.∴0.故答案为：（0.]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题.在解题时一般遇到.开偶次方时.被开方数要不小于0.；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0.这种题目的运算量不大.是基础题．6．（5分）（2012•江苏）现有10个数.它们能构成一个以1为首项.﹣3为公比的等比数列.若从这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为.然后找出小于8的项的个数.代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1.﹣3.（﹣3）2.（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1.﹣3.（﹣3）3.（﹣3）5.（﹣3）7.（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用.属于基础试题7．（5分）（2012•江苏）如图.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中.AB=AD=3cm.AA1=2cm.则四棱锥A ﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O.求出AO.然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O.AO是棱锥的高.所以AO==.所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法.考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线的离心率为.则m的值为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0.所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0.可得c2=m2+m+4.最后根据双曲线的离心率为.可得c2=5a2.建立关于m的方程：m2+m+4=5m.解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0.b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为.∴.可得c2=5a2.所以m2+m+4=5m.解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程.在已知离心率的情况下求参数的值.着重考查了双曲线的概念与性质.属于基础题．9．（5分）（2012•江苏）如图.在矩形ABCD中.AB=.BC=2.点E为BC的中点.点F在边CD 上.若=.则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形.把已知向量用矩形的边所在的向量来表示.做出要用的向量的模长.表示出要求得向量的数量积.注意应用垂直的向量数量积等于0.得到结果．解答：解：∵.====||=.∴||=1.||=﹣1.∴=（）（）==﹣=﹣2++2=.故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式.本题是一个中档题目．10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1]上.f （x）=其中a.b∈R．若=.则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数.由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0.解关于a.b的方程组可得到a.b的值.从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数.f（x）=.∴f（）=f（﹣）=1﹣ a.f（）=；又=.∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1）.∴2a+b=0.②由①②解得a=2.b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性.考查分段函数的解析式的求法.着重考查方程组思想.得到a.b的方程组并求得a.b的值是关键.属于中档题．（2012•江苏）设α为锐角.若cos（α+）=.则sin（2α+）的值为．11．（5分）考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+.根据cosβ求出sinβ.进而求出sin2β和cos2β.最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+.∴sinβ=.s in2β=2sinβcosβ=.cos2β=2cos2β﹣1=.∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下.求2α+的正弦值.着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式.考查了三角函数中的恒等变换应用.属于中档题．12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.若直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1.由题意可知.只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.整理得：（x﹣4）2+y2=1.即圆C是以（4.0）为圆心.1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4.0）到直线y=kx﹣2的距离为d.则d=≤2.即3k2﹣4k≤0.∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系.将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键.考查学生灵活解决问题的能力.属于中档题．13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.若关于x 的不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系.然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m.m+6.最后利用根与系数的关系建立等式.解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根.即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.即为x2+ax+＜c解集为（m.m+6）.则x2+ax+﹣c=0的两个根为m.m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用.以及根与系数的关系.同时考查了分析求解的能力和计算能力.属于中档题．14．（5分）（2012•江苏）已知正数a.b.c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a.clnb≥a+clnc.则的取值范围是[e.7] ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2.而5×﹣3≤≤4×﹣1.于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.利用其导数可求得f （x）的极小值.也就是的最小值.于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞.∵5c﹣3a≤4c﹣a.∴≤2．从而≤2×4﹣1=7.特别当=7时.第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc.∴0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.∵f′（x）=.当0＜x＜e时.f′（x）＜0.当x＞e时.f′（x）＞0.当x=e时.f′（x）=0.∴当x=e时.f（x）取到极小值.也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e.=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3.不等式成立.从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e.7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用.得到≥.通过构造函数求的最小值是关键.也是难点.考查分析与转化、构造函数解决问题的能力.属于难题．二、解答题：本大题共6小题.共计90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中.已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=.求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边.然后两边同时除以c 化简后.再利用正弦定理变形.根据cosAcosB≠0.利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角.及cosC的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值.进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值.由tanC的值.及三角形的内角和定理.利用诱导公式求出tan（A+B）的值.利用两角和与差的正切函数公式化简后.将tanB=3tanA代入.得到关于tanA的方程.求出方程的解得到tanA的值.再由A为三角形的内角.利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•.∴cb cosA=3cacosB.即bcosA=3acosB.由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB.又0＜A+B＜π.∴cosA＞0.cosB＞0.在等式两边同时除以cosAcosB.可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=.0＜C＜π.sinC==.∴tanC=2.则tan[π﹣（A+B）]=2.即tan（A+B）=﹣2.∴=﹣2.将tanB=3tanA代入得：=﹣2.整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0.即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0.解得：tanA=1或tanA=﹣.又cosA＞0.∴tanA=1.又A为三角形的内角.则A=．点评：此题属于解三角形的题型.涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则.正弦定理.同角三角函数间的基本关系.诱导公式.两角和与差的正切函数公式.以及特殊角的三角函数值.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（2012•江苏）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.A1B1=A1C1.D.E分别是棱1上的点（点D 不同于点C）.且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.得到CC1⊥平面ABC.从而AD⊥CC1.结合已知1条件AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线.得到AD⊥平面BCC1B1.从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中.A1F⊥B1C1.再用类似（1）的方法.证出A1F⊥平面BCC1B1.结合AD⊥平面BCC1B1.得到A1F∥AD.最后根据线面平行的判定定理.得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.1∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中.A1B1=A1C1.F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1.A1F⊂平面A1B1C1.∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1.∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE.AD⊂平面ADE.∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体.考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点.属于中档题．17．（14分）（2012•江苏）如图.建立平面直角坐标系xOy.x轴在地平面上.y轴垂直于地平面.单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上.其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）.其飞行高度为3.2千米.试问它的横坐标a 不超过多少时.炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标.求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值.由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中.令y=0.得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0.k＞0．∴.当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0.∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0.使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立.即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0.两根之积大于0.故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时.k=＞0．∴当a不超过6千米时.炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用.考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值.则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a.b是实数.1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2.求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c.其中c∈[﹣2.2].求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出导函数.根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x.求出g′（x）.令g′（x）=0.求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx.得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点.∴f′（1）=3﹣2a+b=0.f′（﹣1）=3+2a+b=0.解得a=0.b=﹣3．（2）由（1）得.f（x）=x3﹣3x.∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0.解得x1=x2=1.x3=﹣2．∵当x＜﹣2时.g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时.g′（x）＞0.∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时.g′（x）＞0.∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t.则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况.d∈[﹣2.2]当|d|=2时.由（2 ）可知.f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2.注意到f（x）是奇函数.∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时.∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0.f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0.∴一2.﹣1.1.2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知.f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2.+∞）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数.从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2.+∞）无实根．②当x∈（1.2）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0.f（2）﹣d＞0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（1.2 ）内有唯一实根．同理.在（一2.一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1.1）时.f′（x）＜0.于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0.f（1）﹣d＜0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（一1.1 ）内有唯一实根．因此.当|d|=2 时.f（x）=d 有两个不同的根 x1.x2.满足|x1|=1.|x2|=2；当|d|＜2时.f （x）=d 有三个不同的根x3.x4.x5.满足|x i|＜2.i=3.4.5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时.f（t）=c有两个根t1.t2.满足|t1|=1.|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根.f（x）=t2有两个不同的根.故y=h（x）有5 个零点．（ i i ）当|c|＜2时.f（t）=c有三个不同的根t3.t4.t5.满足|t i|＜2.i=3.4.5．而f（x）=t i有三个不同的根.故y=h（x）有9个零点．综上所述.当|c|=2时.函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时.函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用.考查函数的极值.考查函数的单调性.考查函数的零点.考查分类讨论的数学思想.综合性强.难度大．19．（16分）（2012•江苏）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c.0）.F2（c.0）．已知（1.e）和（e.）都在椭圆上.其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A.B是椭圆上位于x轴上方的两点.且直线AF1与直线BF2平行.AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=.求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）根据椭圆的性质和已知（1.e）和（e.）.都在椭圆上列式求解．析：（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my.与椭圆方程联立.求出|AF1|、|BF2|.根据已知条件AF1﹣BF2=.用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行.点B在椭圆上知.可得..由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2.e=.由点（1.e）在椭圆上.得.∴b=1.c2=a2﹣1．由点（e.）在椭圆上.得∴.∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1.0）.F2（1.0）.又∵直线AF1与直线BF2平行.∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my．设A（x1.y1）.B（x2.y2）.y1＞0.y2＞0.∴由.可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴.（舍）.∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=.∴.解得m2=2．∵注意到m＞0.∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行.∴.即．由点B在椭圆上知..∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得...∴PF1+PF2=．∴PF 1+PF 2是定值．点评：本题考查椭圆的标准方程.考查直线与椭圆的位置关系.考查学生的计算能力.属于中档题．20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n+1=.n ∈N *.（1）设b n+1=1+.n ∈N*.求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•.n ∈N*.且{a n }是等比数列.求a 1和b 1的值．考点：数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意可得.a n+1===.从而可得.可证（2）由基本不等式可得..由{a n }是等比数列利用反证法可证明q==1.进而可求a 1.b 1解答：解：（1）由题意可知.a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n ＞0.b n ＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q.由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1.则.故当时.与（*）矛盾0＜q＜1.则.故当时.与（*）矛盾综上可得q=1.a n=a1.所以.∵∴数列{b n}是公比的等比数列若.则.于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1.b2.b3至少有两项相同.矛盾∴.从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用.解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答.22、23必做题）（共3小题.满分40分）21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图.AB是圆O的直径.D.E为圆上位于AB异侧的两点.连接BD并延长至点C.使BD=DC.连接AC.AE.DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵.求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中.已知圆C经过点P（.）.圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x.y满足：|x+y|＜.|2x﹣y|＜.求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C.就得找一个中间量代换.一方面考虑到∠B.∠E是同弧所对圆周角.相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵.根据定义可求出矩阵A.从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（.）.求出圆的半径.从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径.∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC.∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D.E 为圆上位于AB异侧的两点.∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵.∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1.λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0.得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1.0）．∵圆C 经过点P（.）.∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|.|x+y|＜.|2x﹣y|＜.∴3|y|＜.∴点评：本题是选作题.综合考查选修知识.考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明.综合性强22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条.当两条棱相交时.ξ=0；当两条棱平行时.ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时.ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列.并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数.即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对.即可求出相应的概率.从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交.则交点必为正方体8个顶点中的一个.过任意1个顶点恰有3条棱.∴共有8对相交棱.∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行.则它们的距离为1或.其中距离为的共有6对.∴P（ξ=）=.P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评：本题考查概率的计算.考查离散型随机变量的分布列与期望.求概率是关键．23．（10分）（2012•江苏）设集合P n={1.2.….n}.n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A.则2x∉A；③若x∈ A.则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}.故4可求f（4）（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数；若m∉A.则x∈A⇔k为奇数.可求解答：解（1）当n=4时.P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}4故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.于是x=m•2k.其中m为奇数.k∈N*由条件可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数若m∉ A.则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数.当n为偶数时（或奇数时）.P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用.解题的关键是准确应用题目中的定义。

高考数学(江苏专用、理科)一轮复习习题：第十三章选修四选考部分第4讲

1.(2012·江苏卷)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518.证明因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518.2.(2011·江苏卷)解不等式x ＋|2x －1|<3.解原不等式可化为⎩⎨⎧2x －1≥0，x ＋（2x －1）<3或⎩⎨⎧2x －1<0，x －（2x －1）<3.解得12≤x <43或－2<x <12.∴原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <43. 3.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＞1化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0.当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得23＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2.所以f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23＜x ＜2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x ＜－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x ＞a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0， B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2＞6，故a ＞2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).4.(2015·陕西卷)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}.(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值.解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎨⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.5.(2010·江苏卷)已知实数a ，b ≥0，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2).证明由a ，b 是非负实数，作差得a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]. 当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )[(a )5－(b )5]≥0；当a <b 时，a <b ，从而(a )5<(b )5，得(a －b )[(a )5－(b )5]>0；∴a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2).6.(2016·南京模拟)已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .证明法一因为x ，y ，z 都是正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥2z ，同理，可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y ，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .法二要证x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .由于x >0，y >0，z >0，所以只要证x 2＋y 2＋z 2≥yz ＋zx ＋xy .由于x 2＋y 2＋z 2－(yz ＋zx ＋xy )＝12[(x －y )2＋(y －z )2＋(z －x )2]≥0，故x 2＋y 2＋z 2≥yz ＋zx ＋xy 恒成立，所以x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .7.(2016·苏北四市一模)对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －2b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，试求实数x 的取值范围.解原不等式等价于|a ＋b |＋|a －2b ||a |≥|x －1|＋|x －2|，设b a ＝t ，则原不等式变为|t ＋1|＋|2t －1|≥|x －1|＋|x －2|对任意t 恒成立.因为|t ＋1|＋|2t －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ≥12，－t ＋2，－1<t <12，－3t ，t ≤－1，最小值在t ＝12时取到，最小值为32. 所以有|x －1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≤32，x ≥2，1≤32，1<x <2，3－2x ≤32，x ≤1，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，94. 8.(2016·南通调研)已知函数f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝m －2|x －11|，若2f (x )≥g (x ＋4)恒成立，实数m 的最大值为t .(1)求实数m 的最大值t ；(2)已知实数x ，y ，z 满足2x 2＋3y 2＋6z 2＝a (a >0)，且x ＋y ＋z 的最大值为t 20，求a 的值.解 (1)由题意可得g (x ＋4)＝m －2|x ＋4－11|＝m －2|x －7|，若2f (x )≥g (x ＋4)恒成立，则2|x ＋3|≥m －2|x －7|，即m ≤2(|x ＋3|＋|x －7|).而由绝对值三角不等式可得2(|x ＋3|＋|x －7|)≥2|(x ＋3)－(x －7)|＝20，所以m ≤20，故m 的最大值t ＝20.(2)实数x ，y ，z 满足2x 2＋3y 2＋6z 2＝a (a >0)，由柯西不等式可得[(2x )2＋(3y )2＋(6z )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫162 ≥⎝⎛⎭⎪⎫2x ·12＋3y ·13＋6z ·162，即a ×1≥(x ＋y ＋z )2，所以x ＋y ＋z ≤a .又因为x ＋y ＋z 的最大值是t 20＝1，所以a ＝1，所以a ＝1.。

江苏省高考数学一轮训练试题考点8：选修系列四

2010-2011学年度第一学期南通市六所省重点高中联考试卷数学Ⅱ试题（附加题）一、选答题：本大题共4小题，请从这4题中选做两小题．．．．．，如果多做，则按所做的前两题记分，每小题10分，共20分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤． 1．（选修4—1：几何证明选讲）如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过 N 点的切线交CA 的延长线于P ．（1）求证：2PM PA PC =⋅；（2）若⊙O 的半径为23，OA =3OM ，求MN 的长．解：（1）由条件得矩阵2003M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，它的特征值为2和3，对应的特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦及01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；………5分（2）1102103M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程为221x y +=．…10分2. （选修4—2：矩阵与变换）设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．（1）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量；（2）求逆矩阵1M -以及椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程． 3．（选修4—4：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正实数．（1）若1a b c ++=，求222a b c ++的最小值；（2）求证：111111222a b c b c c a a b+++++++≥． 4．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知椭圆的长轴长为6，焦距2421=F F ,过椭圆左焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M 、N ，设OM NA PB （第1题）)0(12παα<≤=∠M F F ,当α为何值时，MN 与椭圆短轴长相等？（用极坐标或参数方程方程求解）解：以椭圆的左焦点为极点长轴所在直线为极轴建立极坐标系（如图）这里:a=3,c=322,42,1,222==-==∴e c c a p b , ………………………2分所以椭圆的极坐标方程为：θθρcos 2231cos 1-=-=e ep ………………………４分设M 点的极坐标为),(1αρ，N 点的极坐标为),(2παρ+，………………５分122226,98cos 322cos 322cos()63352cos ,cos ,0.1046698cos MN MN ρραααπππαααπααα=+=+=---+====±≤<==-由得，又，所以或分解法二：设椭圆的方程为1922=+y x，其左焦点为)0,22(-，直线MN 的参数方程为：为参数）l l y l x (sin cos 22⎩⎨⎧=+-=αα， ………………４分将此参数方程代人椭圆方程并整理得：分或分10656,0(,21sin ,41sin 82sin 816sin 81)sin 81(4cos 322222221 ππαπααααααα=∴<≤±==∴=+=+++=-=t t MN01cos 24)sin 81(22=-++ααt t ，设M 、N 对应的参数分别为21t t 、，则2011届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题数学附加题，选做题21．A ．选修4—1：（几何证明选讲）如图，AD 是∠BAC 的平分线，⊙O 过点A 且与BC 边相切于点D ，与AB ，AC 分别交于E ，F ，求证：EF ∥BC ．证明：如图，连结DF ．因为BC 与圆相切，所以∠CDF ＝∠DAF ．…………………………4分因为∠EFD 与∠EAD 为弧DE 所对的圆周角，所以∠EFD ＝∠EAD ．又因为AD 是∠BAC 的平分线，故∠EAD ＝∠DAF ． …………………………8分所以∠CDF ＝∠EFD ，所以EF ∥BC ． …………………………10分FFxαM N ABDCEFO·B ．选修4—2：(矩阵与变换) 已知a ，b ∈R ，若矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3 所对应的变换把直线l ：2x －y =3变换为自身，求a ，b 的值．解：（方法一）在直线l 上取两点(32，0)，(0，－3)．因为 ⎣⎡⎦⎤－1a b 3 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤320＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3232b，⎣⎡⎦⎤－1a b 3 ⎣⎡⎦⎤0－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3a －9，………………………6分因为M 对应的变换把直线变换为自身，所以点(－32，32b )，(－3a ，－9)仍在直线l 上．代入直线方程得⎩⎪⎨⎪⎧－3－32b ＝3，－6a ＋9＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4． ………………………10分（方法二）设(x ，y )为直线l 上任意一点，则⎣⎡⎦⎤－1a b 3 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋ay bx ＋3y ， …………………………3分因为M 对应的变换把直线变换为自身，所以点(－x ＋ay ，bx ＋3y )仍在直线l 上，代入直线方程得：2(－x ＋ay )－(bx ＋3y )＝3， …………………………7分化简得(－2－b )x ＋(2a －3)y ＝3，又直线l ：2x －y ＝3，所以⎩⎨⎧－2－b ＝2， 2a －3＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4．…………………………10分C ．选修4—4：(坐标系与参数方程) 将参数方程⎩⎨⎧x ＝2(t ＋1t )，y ＝4(t －1t )(t 为参数)化为普通方程．解：（方法一）因为(t ＋1t )2－(t －1t )2＝4， …………………………5分所以(x 2)2－(y4)2＝4． …………………………8分化简得普通方程为x 216－y 264＝1． …………………………10分（方法二）因为⎩⎨⎧x ＝2(t ＋1t )，y ＝4(t －1t )，所以t ＝2x ＋y 8，1t ＝2x －y8， …………………………5分相乘得(2x ＋y )(2x －y )64＝1． …………………………8分化简得普通方程为x 216－y 264＝1． …………………………10分D ．选修4—5：(不等式选讲)已知a ，b 是正数，求证(a ＋1b )(2b ＋12a )≥92．证明：（方法一）因为a ，b 是正数，利用均值不等式，(a ＋1b )(2b ＋12a )＝2ab ＋12＋2＋12ab …………………………5分＝(2ab ＋12ab )＋52≥2＋52＝92．所以 (a ＋1b )(2b ＋12a )≥92． …………………………10分（方法二）因为a ，b 是正数，利用柯西不等式，(a ＋1b )(2b ＋12a )＝[( a )2＋( 1b )2][( 2b )2＋( 12a )2] ……………………5分 ≥(a × 12a ＋ 1b × 2b )2＝( 12＋ 2)2＝92．所以(a ＋1b )(2b ＋12a )≥92． ………………………10分江苏省2011届高三上学期苏北大联考（数学）数学Ⅱ试题（附加题）1、已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可得，3311611c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即c ＋d ＝6； ………………………………………2分由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，可得333322c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3c －2d ＝－2， …………………………………………6分解得233424c A a =⎧⎡⎤⇒=⎨⎢⎥=⎩⎣⎦…………………………8分A 的逆矩阵 12/31/21/31/2A c -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2、过点P （－3，0）且倾斜角为30°直线和曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．解：直线的参数方程为33,()12x s s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，…………………………3分曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．……………………………5分将直线的参数方程代入上式，得263100s s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴12126310s s s s +==，．……………8分AB 2121212()4s s s s s s =-=+-＝217．…………………………………10分2011年江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试数学（加试部分）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答题．．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4 – 1几何证明选讲如图，△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E ,∠BAC 的平分线与BC 交于点D . 求证：ED 2= EB ·EC .B ．矩阵与变换已知矩阵2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，求满足=AX B 的二阶矩阵X ．C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos( + 3),它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3+ b 3+ c 3+1abc≥2 3.江苏省常州市2011届高三复习迎考试卷数学试题Ⅱ(附加题)BC EDAA B C D F O21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1 几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上的点，且CA 平分∠BAF ，过点C 作CD ⊥AF交AF 的延长线于点D . 求证：DC 是⊙O 的切线.【证明】连结OC ，所以∠OAC =∠OCA . 又因为CA 平分∠BAF ，所以∠OAC =∠FAC ，于是∠FAC =∠OCA ，所以OC //AD .又因为CD ⊥AF ，所以CD ⊥OC ，故DC 是⊙O 的切线． ………………… 10分 B ．选修4—2 矩阵与变换变换T 是绕坐标原点逆时针旋转π2的旋转变换，求曲线22221x xy y -+=在变换T 作用下所得的曲线方程．【解】变换T 所对应变换矩阵为0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则00x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即00,,y x x y =-⎧⎨=⎩，代入220000221x x y y -+=，即22221x xy y ++=，所以变换后的曲线方程为22221x xy y ++=． ………………… 10分C ．选修4—4 参数方程与极坐标（本题满分10分）已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2π22cos()24ρρθ--=．（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【解】（1）224ρρ=⇒=，所以224x y +=；因为()2π22cos 24ρρθ--=，所以()2ππ22cos cos sin sin 244ρρθθ-+=，所以222220x y x y +---=． ………5分（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为1x y +=．化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，即()2πsin 4ρθ+=． ………………… 10分D ．选修4—5 不等式证明选讲（本题满分10分）已知0m a b >∈R ，，，求证：()22211a mba mb mm++≤++. 【解】因为0m >，所以10m +>，所以要证()22211a mba mb mm++≤++，即证222()(1)()a mb m a mb +≤++，即证22(2)0m a ab b -+≥，PCA DB O ·即证2()0a b -≥，而2()0a b -≥显然成立，故()22211a mba mb mm++≤++．…………… 10分江苏省高淳高级中学2011届高三上学期第二次质量检测(数学理)附加题21．本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，PA 切⊙O 于点A ，D 为PA 的中点，过点D 引割线交⊙O 于B 、C 两点．求证: DPB DCP ∠=∠．【证明】因为PA 与圆相切于A ，所以2DA DB DC =⋅， ………………………2分因为D 为P A 中点，所以DP =DA ，所以DP 2=DB ·DC ，即PD DB DC PD = ．……………………5分因为BDP PDC ∠=∠，所以BDP ∆∽PDC ∆ …………8分所以DPB DCP ∠=∠． ………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换曲线22421x xy y ++=在二阶矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变换为曲线2221x y -=，求实数,a b 的值；解：设(,)P x y 为曲线2221x y -=上任意一点，'''(,)P x y 为曲线22421x xy y ++= 上与P 对应的点，则''11a x x b y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即''''x x ay y bx y⎧=+⎨=+⎩ ……………………6分代入的''2''2()2()1x ay bx y +-+=得()()()2222122421b x a b x y a y ''''-+-+-=，及方程22421x xy y ++=，从而2212124422b a b a ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得2,0a b ==， …………………10分C ．选修4—4 参数方程与极坐标圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为4cos sin ρθρθ==-，．（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过圆1O ，圆2O 两个交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．所以224x y x +=．即2240x y x +-=为圆1O 的直角坐标方程． ……………………………………3分同理220x y y ++=为圆2O 的直角坐标方程． ……………………………………6分（2）由222240x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩ 相减得过交点的直线的直角坐标方程为40x y +=． …………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲已知实数,0m n >．（Ⅰ）求证：222()a b a b m n m n +++≥；（Ⅱ）求函数291((0,))122y x x x =+∈-的最小值．答：（Ⅰ）证明：因为,0m n >，利用柯西不等式，得222()()()a bm n a b m n+++≥，所以222()a b a b m n m n+++≥． ………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ），函数2222923(23)25122122(12)y x x x x x x +=+=+=--+-≥，所以函数291((0,))122y x x x =+∈-的最小值为25，当且仅当15x =时取得．……10分。

江苏省南京市高考数学(苏教版,理)一轮题库：选修4 第4讲参数方程

第4讲参数方程1． P 为曲线C1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上一点，求它到直线C2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2(t 为参数)距离的最小值．解将曲线C1化成普通方程是(x －1)2＋y2＝1，圆心是(1,0)，直线C2化成普通方程是y －2＝0，则圆心到直线的距离为2. 所以曲线C1上点到直线的最小距离为1. 2．在平面直角坐标系xOy 中，点P(x ，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值．解 ∵椭圆x23＋y2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ<2π.因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝ 2⎝⎛⎭⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3， ∴当φ＝π6时，S 取得最大值2.3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，曲线D 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4t ，y ＝3t －2(t 为参数)．若曲线C 、D 有公共点，求实数m 的取值范围．解曲线C 的普通方程为(x －m)2＋y2＝4. 曲线D 的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0.因为曲线C 、D 有公共点，所以|3m ＋2|5≤2，|3m ＋2|≤10.解得－4≤m≤83，即m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－4，83. 4．已知极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝si n θ(θ为参数)交于点A ，B ，求PA·PB 的值．解由题意，直线经过点P(1,0)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝22t(t 为参数)， ①又椭圆方程为x24＋y2＝1，②将①代入②，整理，得5t2－22t －6＝0；所以PA·PB ＝|t1t2|＝65.5．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，求直线l 被⊙C 截得的弦AB 的长度．解 ⊙C 的方程可化为ρ＝4cos θ＋4sin θ，两边同乘ρ，则ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ.由ρ2＝x2＋y2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x2＋y2－4x －4y ＝0. 圆心C 的坐标为(2,2)，圆的半径r ＝2 2.又由题设知直线l 的普通方程为x －y －2＝0，故圆心C 到直线l 的距离d ＝|－2|2＝ 2.∴弦AB 长度等于22－2＝2 6.6．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线C1的方程为ρ2＝8ρsin θ－15，曲线C2的方程为⎩⎨⎧x ＝22cos α，y ＝2sin α(α为参数)．(1)将C1的方程化为直角坐标方程；(2)若C2上的点Q 对应的参数为α＝3π4，P 为C1上的动点，求PQ 的最小值．解 (1)x2＋y2－8y ＋15＝0.(2)当α＝3π4时，得Q(－2,1)，点Q 到C1的圆心(0,4)的距离为13，所以PQ 的最小值为13－1.7．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋1(t 为参数)，求直线l 被曲线C 截得的线段长度．解将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2－6y ＝0，即x2＋(y －3)2＝9，它表示以(0,3)为圆心，3为半径的圆，直线方程l 的普通方程为y ＝3x ＋1，圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1，故直线l 被曲线C 截得的线段长度为232－12＝4 2.8．在平面直角坐标系xOy 中，判断曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)与直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－t (t 为参数)是否有公共点，并证明你的结论．解直线l 与曲线C 没有公共点．证明如下：直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0，把曲线C 的参数方程代入l 的方程x ＋2y －3＝0，得 2cos θ＋2sin θ－3＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝32. ∵2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈[－2，2]，而32∉[－2，2]， ∴方程2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝32无解，即曲线C 与直线l 没有公共点．9．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x24＋y2＝1上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2ty ＝t －2(t 为参数)转化为普通方程为x ＋2y ＝0，因为P 为椭圆x24＋y2＝1上任意一点，故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R. 因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π45，所以当θ＝kπ＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2 105.10．过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s (s 为参数)，又曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t(t 为参数)可以化为x2－y2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s2－63s ＋10＝0，设A 、B 对应的参数分别为s1，s2. ∴s1＋s2＝63，s1s2＝10 ∴|AB|＝|s1－s2|＝＋－4s1s2＝217.11．已知圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A(0，3)，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F1且垂直于直线AF2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程．解 (1)圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程x24＋y23＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)，则直线AF2的斜率k ＝－3，于是经过点F1且垂直于直线AF2的直线l 的斜率k′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋tcos 30°，y ＝tsin 30°(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝32t －1，y ＝12t(t 为参数)．(2)直线AF2的斜率k ＝－3，倾斜角是120°，设P(ρ，θ)是直线AF2上任一点，则ρsin 60°＝1－，ρsin(120°－θ)＝sin 60°，则ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.12．已知直线C1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α，(t 为参数)，圆C2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解 (1)当α＝π3时，C1的普通方程为y ＝3(x －1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3（x －1），x2＋y2＝1.解得C1与C2的交点为(1，0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin2 α，－cos αsin α)．故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin2 α，y ＝－12sin αcos α.(α为参数)．[来源 P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎫x －142＋y2＝116. 故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎫14，0，半径为14的圆． 13．已知曲线C1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos ty ＝3＋sin t (t 为参数)C2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θy ＝3sin θ(θ为参数)(1)若C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P 对应的参数t ＝π2，Q 为C2上的动点，求PQ 中点M 到直线C3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t y ＝－2＋t (t 为参数)距离最小值．解 (1)C1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1， C2：x264＋y29＝1，C1为圆心(－4，3)半径是1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点为(±55，0)长半轴为8，短半轴为3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P(－4，4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M(－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．C3为直线x －2y －7＝0，M 到C3的距离 d ＝55|4cos θ－3sin θ－13| ＝55|5cos (θ＋φ)－13|(其中cos φ＝45，sin φ＝35)， ∴dmin ＝855. 14．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(a>b>0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ∶θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明，C1， C2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C1，C2的交点分别为A1，B1.当α＝－π4时，l 与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．解 (1)C1是圆，C2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C1，C2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a ，0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C1，C2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和x29＋y2＝1.当α＝π4时，射线l 与C1交点A1的横坐标为x ＝22，与C2交点B1的横坐标为x′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x 轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为（2x′＋2x ）（x′－x ）2＝25.。

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数学Ⅱ试题（附加题）一、选答题：本大题共4小题，请从这4题中选做两小题．．．．．，如果多做，则按所做的前两题记分，每小题10分，共20分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤．1．（选修4—1：几何证明选讲）[来源:Z*xx*]如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过 N 点的切线交CA 的延长线于P ．（1）求证：2PM PA PC =⋅；[来源:Z#xx#]（2）若⊙O 的半径为，OA ，求MN 的长．解：（1）由条件得矩阵2003M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[来源:Z|xx|] 它的特征值为2和3，对应的特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦及01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（221x y +=．…10分2. 倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．（（ 3 （1）若1a b c ++=，求222a b c ++的最小值；（2）求证：111111222a b c b c c a a b+++++++≥． 4．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知椭圆的长轴长为6，焦距2421=F F ,过椭圆左焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M 、N ，设)0(12παα<≤=∠M F F ,当α为何值时，MN 与椭圆短轴长相等？（用极坐标或参数方程方程求解）解：以椭圆的左焦点为极点长轴所在直线为极轴建立极坐标系（如图）这里:a=3,c=322,42,1,222==-==∴e c c a p b , ………………………2分所以椭圆的极坐标方程为：θθρcos 2231cos 1-=-=e ep ………………………４分设M 点的极坐标为),(1αρ，N 点的极坐标为),(2παρ+1222632cos ,cos 10498cos MN MN ρρααα=++=====- 由得，分解法二：设椭圆的方程为1922=+y x ，其左焦点为(４分分分1082 =1(21t t 、，则21O 过点A 且与BC 边相切于点D ，与因为BC 与圆相切，所以∠CDF ＝∠DAF ．…………………………4分因为∠EFD 与∠EAD 为弧DE 所对的圆周角，所以∠EFD ＝∠EAD ．又因为AD 是∠BAC 的平分线，ADEFO·故∠EAD ＝∠DAF ． …………………………8分所以∠CDF ＝∠EFD ，所以EF ∥BC ． …………………………10分B ．选修4—2：(矩阵与变换) 已知a ，b ∈R ，若矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3 所对应的变换把直线l ：2x －y =3变换为自身，求a ，b 的值．解：（方法一）在直线l 上取两点(32，0)，(0，－3)．因为 ⎣⎡⎦⎤－1a b 3 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤320＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3232b，⎣⎡⎦⎤－1a b 3 ⎣⎡⎦⎤0－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3a －9，………………………6分因为M 对应的变换把直线变换为自身，所以点(－32，32b )，(－3a ，－9)仍在直线l 上．代入直线方程得⎨⎪⎧－3－32b ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4． ………………………10分分，bx ＋3y )仍在直线l 上，分 :学+科+网Z+X+X+K]分C ，(t 为参数)化为普通方程．＋1t )－1t )分所以(x 2)2－(y4)2＝4． …………………………8分化简得普通方程为x 216－y 264＝1． …………………………10分（方法二）因为⎩⎨⎧x ＝2(t ＋1t )，y ＝4(t －1t )，所以t ＝2x ＋y 8，1t ＝2x －y8， …………………………5分相乘得(2x ＋y )(2x －y )64＝1． …………………………8分化简得普通方程为x 216－y 264＝1． …………………………10分D ．选修4—5：(不等式选讲)已知a ，b 是正数，求证(a ＋1b )(2b ＋12a )≥92．证明：（方法一）因为a ，b 是正数，利用均值不等式，(a ＋1b )(2b ＋12a )＝2ab ＋12＋2＋12ab …………………………5分＝(2ab ＋12ab )＋52≥2＋52＝92．所以 (a ＋1b )(2b ＋12a )≥92． …………………………10分分＝92．分1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可得，3311611c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即c ＋d ＝6； ………………………………………2分由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，可得333322c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3c －2d ＝－2， …………………………………………6分解得233424c A a =⎧⎡⎤⇒=⎨⎢⎥=⎩⎣⎦…………………………8分 A 的逆矩阵 12/31/21/31/2A c -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2、过点P （－3，0）且倾斜角为30°直线和曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．解：直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，…………………………3分1,x t ⎧=+⎪22分．……………8分AB 分21，每小题l0分，共计20分．请在答题．．A.∠BAC 的平分线与BC 交于点D . 求证：ED 2= EB ·EC .B ．矩阵与变换已知矩阵2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，求满足=AX B 的二阶矩阵X ．C.选修4 – 4 参数方程与极坐标BC EDA若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos( +3),它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3+ b 3+ c 3+1abc≥2 3.江苏省常州市2011届高三复习迎考试卷数学试题Ⅱ(附加题)21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1 几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上的点，且CA 平分∠交AF 的延长线于点D . 求证：DC 是⊙O 的切线. 【证明】连结OC ，所以∠OAC =∠OCA .[来源:学科网ZXXK]又因为CA 平分∠BAF ，所以∠OAC =∠FAC ，于是∠FAC =∠OCA ，所以OC //AD .又因为CD ⊥AF ，所以CD ⊥OC ，故DC 是⊙O 的切线． ………………… 10分 B 2221xy y -+=在变换T 作用下所得的曲线方程．201y =，………………… 10分C πcos()24θ-=．（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【解】（1）224ρρ=⇒=，所以224x y +=；因为()2πcos 24ρθ--=，P所以2ππcos cos sin sin2ρθθ-+=，所以222220x y x y+---=．………5分（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为1x y+=．化为极坐标方程为cos sin1ρθρθ+=，即()πsinρθ+．………………… 10分[来源:学科网ZXXK]D．选修4—5 不等式证明选讲（本题满分10分）已知0m a b>∈R，，，求证：()222a mb a mb++≤.【解】因为0m>，所以10m+>，所以要证()22211a mb a mbm m++≤++，即证222()(1)()a mb m a mb+≤++，即证2(2m a ab-+ [来源:学科网]即证2()0a b-≥，而2()0a b-≥显然成立，故()21a mbm+≤+(数学理)附212小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡A与2分5分8分分[来源B．选修4—2：矩阵与变换曲线22421x xy y++=在二阶矩阵11aMb⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变换为曲线2221x y-=，求实数,a b的值；解：设(,)P x y 为曲线2221x y -=上任意一点，'''(,)P x y 为曲线22421x xy y ++= 上与P 对应的点，则''11a x x b y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即''''x x ay y bx y ⎧=+⎨=+⎩ ……………………6分代入的''2''2()2()1x ay bx y +-+=得()()()2222122421b x a b x y a y ''''-+-+-=，及方程22421x xy y ++=，从而2212124422b a b a ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得2,0a b ==， …………………10分C ．选修4—4 参数方程与极坐标圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为4cos sin ρθρθ==-，．（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过圆1O ，圆2O 两个交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．所以224x y x +=．即2240x y x +-=为圆1O 的直角坐标方程． ……………………………………3分分（分 D 的最小值．2()a b +≥，分[来源:Z#xx#]， ……10分。