中值定理与导数的应用2(终)

解 ：设圆柱形容器的底为 r ，高为 h ，则表面积 S 2πrh 2πr ，又 V πr h ，∴得
2 2
S (r )
2V 2πr 2 ,0 r ， r
3
2V V 令 S (r ) 2 4πr 0 ，得唯一的驻点 r r 2π
又由 S (r )
在区间 [1, ) 内唯一的极大值点，也是最大值点；
（或者说：当 x
∴x

x10 10 为 f ( x) x ln 2 2
1410 14 10 10 ] 14 ， [ ] 14 ，且 2 1.00323 1 ， ∵[ 1510 ln 2 ln 2 215
∴当 n
n10 14 时， n 取得最大项。 2

aτ ab
，
∵最短的距离确实存在， ∴当入射点 M 在 Ox 上的点为 x0 容易验证，此时入射角（记为 α ）等于反射角（记为
aτ 时， 光源 S 的光线所走的路径最短； ab
β） ，即
τ x0 tan β b
此为著名的光的反射定律。
τ
aτ a b τ x0 tan α ， b ab a
（3）在 [5, 1] 上，
y
3 2 1 x 1 0 ，得 x ； 4 2 1 x
∵
3 5 y(5) 5 6 ， y ( ) ， y(1) 1， 4 4
3 5 y x 1 x , 5 x 1 的最小值为 y(5) 5 6 ，最大值为 y ( ) 。 4 4 2x 0 ，得 x 0 ； （4）在 [1,2] 上令 y 2 x 1
2 ， [e] 1 3 ，且
∵ [e]
2 8 1 ，∴当 n 3 时， 3 9 3
6
n 取得最大项。
n
★★6.从一个边长为
a 的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个
无盖的盒子（见图） ，问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大？
x
a
★★★★12.甲船以每小时 20 里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北 82 里处以每小时 16 里的速度
向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？
解 ：设两船的距离为 S ，且经过 t 小时两船距离最近，则根据题意得
S (t ) (82 16t ) 2 (20t ) 2 (t 0)
n
知识点 ：导数的应用。
思路 ： 求数列 f (n) 的最大项最小项问题可转化为求函数 f ( x) 在区间 [1, ) 内的最值问题； 若 x x0
为 则 f (n) f ([ x0 ]) 与 f (n) f ([ x0 ] 1) 中最小的一个为数 f ( x) 在区间 [1, ) 内的最小值点，
；

4V 4π ，知 S (r ) r3
r3
V 2π
12π 0 ，
3
∴r

V 2π
3
为 S (r ) 的极小值点，也是最小值点；
∴当 r

V 2π
，h
2r 时，可使材料最省，即圆柱形容器的底和半径相等时，可使材料最省。
★★★8.从一块半径为 R 的圆片中应切去怎样的扇形，才能使余下的部分卷成的漏斗（见图 3 5 8 ）容
使杠杆保持水平（见图 3 5 10 ） ，如果杠杆的线密度为 5kg/m ，求最省力的杆长。
解 ：设杠杆长为 x ，则根据题意和力的平衡关系，得 xF 49 0. 1 5x
x ，即 2
F ( x)
令 F ( x)
4.9 5 x ( x 0) ； x 2
4.9 5 5 x 2 9.8 9.8 0 ( x 0) ，得唯一的驻点 x 1.4 ； 2 2 x 2 2x 5
∴比较可得
y x 4 8x 2 2, 1 x 3 的最小值为 y(2) 14 ，最大值为 y(3) 11 。
y cos x sin x 0 ，得 x1
（2） 在 [0,2π ] 上，令 ∵
π 5π ， x2 ； 4 4
π 5π y(0) 1， y ( ) 2 ， y ( ) 2 ， y(2π ) 1 ， 4 4 5π π ) 2 ，最大值为 y ( ) 2 。 ∴比较可得 y sin x cos x,[0,2π ] 的最小值为 y ( 4 4
∵最省力的杠杆长确实存在，∴当杠杆长 x
1.4m 时最省力。
F


R
P 5kg
图 3-5-9
O
图 3-5-8
S
0.1m
A
F
a
O
x
M
b
x
49kg
图 3-5-10
★ ★ ★★ 11. 光 源

图 3-5-11
S
的光线射到平面镜
Ox 的 哪 一 点 再 反 射 到 点 A ， 光 线 所 走 的 路 径 最 短 （ 见 图
Pμ ,0 ， cos sin 2
即
F ( )
则由
1.25 ,0 ，令 f ( ) cos 0.25sin ， cos 0.25sin 2
f ( ) sin 0.25cos 0 ，得 f ( ) 在 (0, ) 内唯一的驻点 α arctan(0.25) ； 2 1.25 1.25 1.25 ， 5 ， F (0) ∵ F( ) cos0 0.25sin0 2 cos 0.25sin 2 2
值；
f ( x) 在某个区间内可导且只有一个驻点 x 0 ，且 f ( x) 在该区间上确实存在最值，则 f ( x0 ) 就是
f ( x) 在该区间上的最值。
解 ：设截去的小正方形的边长为 x ，则根据题意，得
a dV a a (a 2 x)(a 6 x) 0 ，得 x （舍去） V ( x) x(a 2 x) 2 ， x (0, ) ；令 ，x ； 2 dx 2 6 a a 2 3 a ，∴可得，当一个边长为 a 的正方形的四角上截去一块边长为 ∵ V (0) 0,V ( ) 0,V ( ) 2 6 27 a 的小方块，才能使盒子的容量最大。 6 ★★7.欲制造一个容积为 V 的圆柱形有盖容器，问如何设计可使材料最省？
列中的最小项；若
x x0
为
f ( x)
在区间
[1, )
内的最大值点，则
f (n) f ([ x0 ])
与
f (n) f ([ x0 ] 1) 中最大的一个为数列中的最大项。
解： 设 f ( x)
x10 2x
， 则在区间 [1, ) 内， 令
f ( x)
x9 (10 x ln 2) 10 0， 得唯一驻点 x ； x 2 ln 2

且 F (arctan (0.25))

1.25 1.213 cos(arctan(0.25)) 0.25sin(arct an(0.25))
arctan(0.25) 时，才可使力 F 的大小为最小。
∴力 F 与水平线的交角 α
★★★10.有一杠杆，支点在它的一端，在距支点 0. 1m 处挂一重量为 49kg 的物体，加力于杠杆的另一端
令 S (t )
656t 1312 (82 16t )2 (20t ) 2
0 ，得 S (t ) 在区间 (0, ) 内唯一的驻点 t 2 ；
∵两船最短的距离确实存在，∴ t
2 时， S (t ) (82 16t )2 (20t )2 (t 0) 取得最小值，即经过
部分卷成的漏斗容积最大。
★★★9.设有重量为 5kg 的物体，置于水平面上，受力 F 的作用而开始移动（见图 3 5 9 ） ，设磨擦系
数μ
0.25 ，问力 F 与水平线的交角 α 为多少时，才可使力 F 的大小为最小？
解 ：根据题意，得 F cos α ( P F sin α) μ ，从而有 F ( )
图 3-5-6 知识点 ：求最值问题。 思路 ：根据题意建立数学函数模型，根据实际意义，确定自变量范围，在所确定的范围上求最值。特别地，
f ( x) 在某个区间内可导且只有一个驻点 x 0 ，且 x 0 是函数 f ( x) 的极值点，则当 f ( x0 ) 是极大值时，
f ( x0 ) 就是 f ( x) 在该区间上的最大值；当 f ( x0 ) 是极小值时， f ( x0 ) 就是 f ( x) 在该区间上的最小
f ( x) x
1 x
（2）设
，则在区间 [1, ) 内，令
1 1 ln x f ( x) x x ( 2 ) 0 ，得唯一驻点 x e ； x
当0
x e 时，有 y 0 ，当 x e 时，有 y 0 ，
1
∴
x e 为 f ( x) x x 在区间 [1, ) 内唯一的极大值点，也是最大值点；
3 5 11 ）？
解 ：设入射点为 M,OM x ，则 S 所走的路程
y SM MA a 2 x 2 b 2 (τ x) 2 (0 x τ )
令
y
x a x
2 2

τx b ( τ x)
2 2
0 ，得 y 在区间 (0,τ ) 内的唯一驻点 x0
2 小时后两船距离最近。
内容概要
名称 3.6 函 数图形 的描绘 渐近线的概念： 1）水平渐近线：若函数 y 主要内容（3.6）
f ( x) 的定义域是无穷区间，且 lim f ( x ) C ，则称直线