线性规划问题的数学模型
第三章线性规讲义划模型
Min W= Yb
YA - YS= C Y,YS≥0
➢ 若两个互为对偶问题之一有最优解，则另一个必有最优解， 且目标函数值相等(Z*=W*)，最优解满足CX*=Y*b。
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的提出 ▪ 线性规划问题的建模 ▪ 典型特征和基本条件 ▪ 一般模型和标准模型 ▪ 线性规划的图解方法 ▪ 影子价格与敏感分析 ▪ 线性规划模型的应用
第三章 线性规划模型
• 对偶问题的提出
某厂生产甲、乙两 种产品，消耗A、B两 种原材料 。生产一件 甲产品可获利2元，生 产乙产品获利3元。问 在 以 下条件下如何安 排生产？
设备 A 设备 B 设备 C 利润（元/件）
产品 产品 产品 产品 甲乙丙丁 1.5 1.0 2.4 1.0 1.0 5.0 1.0 3.5 1.5 3.0 3.5 1.0 5.24 7.30 8.34 4.18
设备能力 （小时）
2000 8000 5000
第三章 线性规划模型
▪ 建立的模型如下：
z=12737.06（元）
▪ 请注意最优解中利润率最高的产品丙在最优生产计 划中不安排生产。说明按产品利润率大小为优先次 序来安排生产计划的方法有很大局限性。尤其当产 品品种很多，设备类型很多的情况下，用手工方法 安排生产计划很难获得满意的结果。另外，变量是 否需要取整也是需要考虑的问题。
第三章 线性规划模型
用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
每件产品占用的 产品 产品 产品 产品 设备能力
机时数（小时/件） 甲 乙 丙 丁 （小时）
设备 A
1.5 1.0 2.4 1.0
2000
设备 B
1.0 5.0 1.0 3.5
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型引言线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划的一种方法，用于解决一类特殊的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为一个线性的目标函数和一系列线性约束条件。
本文将介绍线性规划的数学模型及其应用。
数学模型线性规划的数学模型可以用以下形式表示：最大化：$$ \\max_{x_1,x_2,...,x_n} Z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n $$约束条件：$$ \\begin{align*} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n&\\leq b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &\\leq b_2 \\\\ &\\vdots \\\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n&\\leq b_m \\\\ x_1,x_2,...,x_n &\\geq 0 \\end{align*} $$其中，Z为目标函数的值，Z1,Z2,...,Z Z为目标函数的系数，Z1,Z2,...,Z Z为决策变量，Z ZZ为约束条件的系数，Z1,Z2,...,Z Z为约束条件的右侧常数。
线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，其应用领域包括但不限于以下几个方面：生产计划线性规划在生产计划中的应用是最为常见的。
通过建立适当的数学模型，可以最大化生产线的产能，同时满足客户需求和资源限制。
例如，一个工厂需要决定每个月生产的产品数量，以最大化利润。
这个问题可以通过线性规划来解决。
运输问题线性规划在运输问题中的应用也非常广泛。
运输问题涉及到将特定产品从供应地点运送到需求地点，以满足需求并尽量降低运输成本。
线性规划可以用来决定每个供应地点到每个需求地点的运输量，以最小化总运输成本。
资源分配在资源有限的情况下，线性规划可以用于优化资源的分配。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型线性规划是一种数学模型，被广泛应用于许多领域。
本文将介绍线性规划的数学模型的重要性和应用领域，并简要说明线性规划的定义和基本概念。
线性规划是一种优化问题的数学表述，其目的是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小的变量值。
线性规划的主要特点是目标函数和约束条件均为线性关系。
线性规划在工程、经济、物流、运输等领域都有广泛的应用。
它可以用来解决资源分配、生产计划、成本最小化、效益最大化等问题。
线性规划的数学模型可以通过建立目标函数和约束条件的数学表达式来表示。
这篇文档将深入探讨线性规划的数学模型，并介绍一些常见的线性规划应用案例。
通过了解线性规划的数学模型，读者可以更好地理解其背后的原理和应用。
希望本文能对读者在研究和实践中解决实际问题时提供帮助和指导。
本文将讨论如何构建线性规划模型，包括确定决策变量、目标函数和约束条件，以及如何将实际问题转化为数学模型。
决策变量在构建线性规划模型时，首先需要确定决策变量。
决策变量是用来表示决策问题中需要决定的未知量。
它们的取值将影响函数的输出结果。
在确定决策变量时，需要考虑问题的具体情况，并确保决策变量具有明确的定义和可行的取值范围。
目标函数确定决策变量后，下一步是确定目标函数。
目标函数是线性规划模型中需要最大化或最小化的函数。
它通常与问题的目标密切相关，并且能够量化问题的目标。
在确定目标函数时，需要考虑问题的特点和要求，确保目标函数能够准确地度量问题的目标。
约束条件除了目标函数，线性规划模型还包括一系列约束条件。
约束条件是对决策变量的限制和要求，用于限定决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式或不等式，它们对问题的解产生了限制和约束。
在确定约束条件时，需要将问题的限制条件转化为数学形式，并确保约束条件与实际问题相符合。
实际问题转化为数学模型最后，将实际问题转化为数学模型是构建线性规划模型的关键步骤。
这需要理解问题的要求和限制，并将其转化为决策变量、目标函数和约束条件的数学表达式。
第一章_线性规划
第 一 节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的数学模型
线性规划问题主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、 使用他们，使完成的任务最多。
在生产管理和经济活动中，经常会遇到线性规划问 题，如何利用线性规划的方法来进行分析，下面举例 来加以说明。
表1－2
成分
产品来源
分析：很明显，该厂可以有多种不同的方案从A，B 两处采购原油，但最优方案应是使购买成本最小的一 个，即在满足供应合同单位的前提下，使成本最小的 一个采购方案。
解：设分别表示从A，B两处采购的原油量（单位：万 吨），建立的数学模型为：
m in S 200 x1 290 x2
3. 若存在无非负要求的变量。即有某一个变 量 xj 取正值或负值都可以。这时为了满足标准型 对变量的非负要求，可令 xj = xjˊ- xj〞, 其中： xjˊ、 xj〞 0 ，由于xjˊ可能大于也可能小于xj〞，故 xj 可以为正也可以为负。
上述的标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7
x13x1x2
x4 x2
x5 2x4
x7 2 2x5 5
x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排 生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的 设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件 可获利润见表所示：
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
线性规划问题及其数学模型
第一章线性规划问题及其数学模型一、问题旳提出在生产管理和经营活动中常常提出一类问题，即怎样合理地运用有限旳人力、物力、财力等资源，以便得到最佳旳经济效果。
例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需旳设备台时及A、B两种原材料旳消耗，如表1-1所示。
表1-1该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应怎样安排计划使该工厂获利最多？这问题可以用如下旳数学模型来描述，设x1、x2分别表达在计划期内产品I、II旳产量。
由于设备旳有效台时是8，这是一种限制产量旳条件，因此在确定产品I、II旳产量时，要考虑不超过设备旳有效台时数，即可用不等式表达为：x1+2x2≤8同理，因原材料A、B旳限量，可以得到如下不等式4x1≤164x2≤12该工厂旳目旳是在不超过所有资源限量旳条件下，怎样确定产量x1、x2以得到最大旳利润。
若用z表达利润，这时z=2x1+3x2。
综合上述，该计划问题可用数学模型表达为：目旳函数 max z =2x 1+3x 2 满足约束条件 x 1+2x 2≤84x 1≤16 4x 2≤12 x 1、x 2≥0例2 某铁路制冰厂每年1至4季度必须给冷藏车提供冰各为15，20，25，10kt 。
已知该厂各季度冰旳生产能力及冰旳单位成本如表6-26所示。
假如生产出来旳冰不在当季度使用，每千吨冰存贮一种季度需存贮费4千元。
又设该制冰厂每年第3季度末对贮冰库进行清库维修。
问应怎样安排冰旳生产，可使该厂整年生产费用至少？解：由于每个季度生产出来旳冰不一定当季度使用，设x ij 为第i 季度生产旳用于第j 季度旳冰旳数量。
按照各季度冷藏车对冰旳需要量，必须满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33231343221242114144x x x x x x x x x x 。
，，，25201510==== 又每个季度生产旳用于当季度和后来各季度旳冰旳数量不也许超过该季度旳生产能力，故又有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33232213121143424144x x x x x x x x x x 。
第1章-线性规划模型-宋
第一章 线性规划模型线性规划（Linear Programming ）是数学规划的一个重要组成部分，是最优化与运筹学理论中的一个重要分支和常用的方法，是最优化理论的基础性内容。
第一节 线性规划问题及其数学模型一、问题的提出在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。
例1 生产计划问题某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ的两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时，A 、B 两种原材料的消耗以及每件产品可获得的利润如下表所示。
问应如何安排生产计划使该工厂获利最多？解：设12,x x 分别表示在计划期内生产产品Ⅰ、Ⅱ的产量。
由于资源的限制，所以有：机器设备的限制条件: 1228x x +≤原材料A 的限制条件： 1416x ≤（称为资源约束条件） 原材料B 的限制条件： 2412x ≤同时，产品Ⅰ、Ⅱ的产量不能是负数，所以有120,0x x ≥≥（称为变量的非负约束）。
显然，在满足上述约束条件下的变量取值，均能构成可行方案，且有许许多多。
而工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量12,x x 以得到最大的利润，即使目标函数1223z x x =+的值达到最大。
综上所述，该生产计划安排问题可用以下数学模型表示：例2 运输问题某公司经销某种产品，三个产地和四个销地的产量、销量、单位运价如下表所示。
问在保证产销平衡的条解:（1）决策变量：设(1,2,3;1,2,3,4)ij x i j ==为从产地i 运到销地j 的运量（2）目标函数：总运费最小3411min ij iji j z c x===∑∑（3）约束条件： 产量约束 销量约束 非负约束 模型为：二、线性规划问题的模型上述几例所提出的问题，可归结为在变量满足线性约束条件下，求使线性目标函数值最大或最小的问题。
它们具有以下共同的特征。
（1）每个问题都可用一组决策变量12(,,,)n x x x 表示某一方案，其具体的值就代表一个具体方案。
线性规划问题的数学模型的三个要素
线性规划是指在给定目标函数的限制条件下，寻求最优解的算法。
它
是一种数学规划技术，可以解决计算机分配资源、生产计划、优化交
通等等问题。
这主要得益于线性规划问题的数学模型，该模型主要包
括以下三要素：
首先是决策变量。
线性规划问题中，决策变量包括每个变量实际的值，它可以是实数，也可以是整数或二进制数。
通常，决策变量与自变量
一起，构成模型参数的一部分。
其次是目标函数，它是求解线性规划问题时必须解决的关键因素。
在
实践中，目标函数用来表示问题的优化目标。
常见的优化目标如最大
化利润、最小化成本和最小化时间等。
最后是约束条件。
约束条件是模型参数的限定，它可以在线性规划上
添加不变和变量之间的关系，如“最大化”或“最小化”之类的要求。
约束条件可以是等式约束条件或不等式约束条件，它们在确保模型正确运
行的同时，具有重要的理论意义。
因此，线性规划问题的数学模型的三个主要要素是决策变量、目标函
数和约束条件，它们构成了求解线性规划问题的基本结构。
线性规划
可以用比特位的例子来表示：可以用决策变量的计算结果来表示比特
位的值，而目标函数则会计算出整个比特位的价值，而约束条件则可
以让解出来的比特位符合一定条件，比如总容量最大化。
只要把决策
变量、目标函数和约束条件组合起来，就可以求得线性规划问题的最
优解，因此，它们是线性规划的基本要素，不可或缺。
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2.生产的组织与计划问题 2.生产的组织与计划问题
某工厂生产A 某工厂生产A ,B两种产品,现有资源数,生产每单位产品所需原 两种产品,现有资源数, 材料数以及每单位产品可得利润如下表所示. 材料数以及每单位产品可得利润如下表所示.问如何制定生产计划使两 种产品总利润最大? 种产品总利润最大?
单位产品 产品 耗用资源 资源
约束条件(2)式又称等式约束 等式约束(3)式称非负约束 非负约束. 等式约束 非负约束 标准型的特点为 目标函数为最大值形式( (1)目标函数为最大值形式(2)约束条件用等式表示且等 式右端的常数 为非负值( 决策变量非负. 为非负值(3)决策变量非负.
把一般的线性规划问题化成标准型的过程称为线性规划问题的标准化. 线性规划问题的标准化的方法如下: 1. 求目标函数的最小值
x1 + x x1 x
2 2
+ x + x
3 3
+ x x
4 5
= 7 = 2
⑵将3x1-x2 -2x3 =-5两边同乘 -1,变为-3x1+x2 +2x3 =5 ⑶变量x3无非负约束,引进非负变量x6, x7,令x3 = x7 - x6 ,代入约束条件 和目标函数.得 f = x + 2 x 3(x x )
n+k
≥ 0
有
a i1 x 1 + a i 2 x 2 + + a in x n x n + k = b i
3. 若有bi≤0 可在该约束条件两边同乘 -1,化为 若有b
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n = b i
4.如果有某个变量xj 无非负约束 可引进非负变量 j/, xj//,令xj =xj /- xj// 如果有某个变量x 可引进非负变量x 代入约束条件和目标函数中. 代入约束条件和目标函数中.
线性规划问题的数学模型的一般形式 线性规划问题的数学模型的一般形式
m a x ( 或 m i n ) f = c1 x1 + c 2 x 2 + + c n x n
a11 x1 + a12 x 2 + + a1 n x n ≤ ( = , ≥ ) b1 a x + a x + + a x ≤ ( = , ≥ )b 22 2 2n n 2 21 1 a x + a x + + a x ≤ ( = , ≥ )b m2 2 mn n m m1 1 ( j = 1, 2, , n ) xj ≥ 0
A(公斤) (公斤)
B(公斤) (公斤)
现有资源
铜(吨) 电力(千瓦) 电力(千瓦)
9 4 3 7
4 5 10 12
360 200 300
劳动日( 劳动日(个) 单位利润 万元/公斤 公斤) (万元 公斤)
解:假设生产 产品 1公斤, B产品 2公斤, x1 , x2称为决 假设生产A产品 公斤, 产品 公斤, 产品x 产品x 策变量,简称变量.得到利润7 万元, 策变量,简称变量.得到利润 x1 +12 x2万元,这一问 题的数学模型为: 题的数学模型为: 目标函数
线性规划问题的数学模型有各种不同的形式.为了便于讨论,需要将线性 规划数学模型写成统一格式. 线性规划问题的标准型 : 标准型是 标准型 m a x f = c1 x1 + c 2 x 2 + + c n x n (1 )
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + + a 1 n x n = b1 a x + a x + + a x = b 22 2 2n n 2 21 1 (2) a x + a x + + a x = b m2 2 mn n m m1 1 x1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , , x n ≥ 0 (3)
例1 将下面的线性规划问题化成标准型.
m in f = x
1
+ 2 x
2
3 x
3
x1 + x 2 + x 3 ≤ 7 x1 x 2 + x 3 ≥ 2 3 x1 x 2 2 x 3 = 5 x1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0
解 ⑴引进松弛变量 x4≥0 , x5 ≥0 ,将式中不等式约束条件变换成等式约束条件:
数学建模系列讲座
(一)线性规划模型
线性规划问题
第一节 (一)引言 线性规划问题的数学模型
线性规划是运筹学的重要分支之一,也是研究较早,发展较快,应用较广 而且比较成熟的一个分支.自1947年线性规划被成功的运用于工业,交通, 农业和军事等各个领域后,现在它已成为管理科学的重要基础和手段之一. 随着计算机的普及,它的适应领域越来越广泛. 线性规划研究的问题主要有两类:一是一项任务确定后,如何统筹安排, 尽量作到用最少的人力物力资源去完成这一任务.二是已有一定数量的人力 物力资源,如何安排使用他们,使得完成任务最多.其实这两类问题是一个 问题的两个方面,就是所谓寻求整个问题的某个整体指标最优的问题. 1.运输问题 2.生产的组织与计划问题 3.合理下料问题 4.配料问题 5.布局问题 6.分配问题 5.布局问题 6.分配问题
(1)
(2) (3)
(1)式称为目标函数 目标函数(2)式中等式或不等式称为约束条件 目标函数 约束条件 (3)式是非负约束条件 非负约束条件 x1 , x2, …,xn称为决策变量 决策变量,简称变量 变量. 决策变量 变量
满足约束条件的一组变量的值
0 0 x1 = x10 , x 2 = x 2 , , x n = x n
(二)线性规划问题的数学模型
1.运输问题
设有两个砖厂A 其产量分别为23万块与27万块. 23万块与27万块 设有两个砖厂A1,A2.其产量分别为23万块与27万块.它 们生产的供应B 三个工地.其需要量分别为17万块, 17万块 们生产的供应B1,B2, B 3三个工地.其需要量分别为17万块, 18万块和15万块 自各产地到各工地的运价格如下表: 万块和15万块. 18万块和15万块.自各产地到各工地的运价格如下表:问应如 何调运,才使总运费最省. 何调运,才使总运费最省.
若 a i1 x 1 + a i 2 x 2 + + a in x n ≤ b i 引 入 x
n+i
≥ 0
有
a i1 x 1 + a i 2 x 2 + + a in x n + x n + i = b i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若 a i1 x 1 + a i 2 x 2 + + a in x n ≥ b i
引 入 x
称为线性规划问题的一个可行解,使目标函数取得最大(或最 可行解 小)的可行解称为最优解 最优解.此时,目标函数的值称为最优值. 最优解 最优值 建立线性规划数学模型的步骤 首先,确定决策变量.线性规划的数学模型建得是否容 首先 易,求解是否方便,取决于决策变量的选取是否得当. 其次,确定约束条件,并根据实际问题添加非负条件. 其次 明确问题中所有的限制条件,并用决策变量的线性等式或不 等式表示.一般可用表格形式列出所有的限制数据,然后根 据所列出的数据写出相应的约束条件,以避免遗漏或重复所 规定的限制要求. 最后,确定目标函数,并确定是求极大还是求极小.用 最后 决策变量的线性函数来表示实际问题所要达到的目标,得到 目标函数.
x2
x2=3
x1+2x2=8
x1+2x2=8 x1=4 x1+2x2=6
0
x1+2x2=2 x1+2x2=0
x1
例3 求x1,x2的值,使它们满足
x1 x 2 ≥ 1 x1 + 2 x 2 ≤ 0 x ≥ 0, x ≥ 0 2 1
并且使目标函数s=2 x1+2x2的值最小.
解: x2
目标函数
min S = 50 x11 + 60 x12 + 70 x13 + 60 x21 + 110 x22 + 160 x23
约束条件
x11 + x12 + x13 = 23 x + x + x = 27 22 23 21 x11 + x21 = 17 x12 + x22 = 18 x13 + x31 = 15 xij ≥ 0 (i = 1, 2; j = 1, 2, 3)
1 2 7 6
x1 + x 2 + ( x 7 x 6 ) + x 4 = 7 x1 x 2 + ( x 7 x 6 ) x 5 = 2 3 x1 + x 2 + 2 ( x 7 x 6 ) = 5
最后,令F=-f,则可将求f的最小值问题转化成求F的最大值问题.标准型为:
max F = x1 2 x 2 + 0 x 4 + 0 x5 3 x6 + 3 x7 x1 + x 2 + x 4 x6 + x7 = 7 x1 x 2 x5 x6 + x7 = 2 3 x1 + x 2 2 x6 + 2 x7 = 5 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0, x7 ≥ 0
2x1+5x2=19 x1=4 2x1+5x2=15 2x1+5x2=8 2x1+5x2=4
0
x1
最优解为 x1=2,x2=3 相应的目标函数的最大值为 S=2*2+5*3=19
例2 若把例1的目标函数改为 s= x1+2x2 ,最优解有 无穷多个 改为 无穷多个,