2.3.1公式法(一)
一元二次方程解法知识整理
知识点 3 用判别式判断一元二次方程的根
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) •b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程没有实数根. 我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示.
有两个不等的实数根x1＝ p ，x2＝- p； (2) 当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3) 当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，
所以方程无实数根．
知识点 1 直接开平方法
知识点 1 直接开平方法 用直接开平方法解一元二次方程的步骤（三步法）：
变形
将方程化为“含未知数的完全平方式=非负常数” 的形式
若方程的右边为非负数，则两边开平方求得方程 的根
知识点 3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
字母表述：用配方法解形如x2 + px + q = 0的一元二次方程
①将常数项移到方程的右边.（注意：移项变号）
x2 + px = -q
②两边都加上一次项系数一半的平方.（注意：两边都加）
x2 + px + （ p ）2 = （ p ）2 - q
列方程（一般找出能够表达应用题主干含义的一个相等关系，
列
列代数式表示相等关系中的各个量，即方程）
解 求出所列方程的解
验 检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义
答 根据题意，选择合理的答案作答
知识点 2 面积问题
解决面积问题可应用“等积变形”，若图形不规则应割或补成规 则图形，分散的图形应通过平移使之成为一个图形，以便求解
解一元二次方程公式(1)法学案
§2.3 公式法（1）【教学目标】1、理解用配方法推导一元二次方程求根公式的过程；2、熟记求根公式，会用公式法解一元二次方程；3、理解公式中的条件042≥-ac b .【重点】用公式法解一元二次方程．【难点】一元二次方程求根公式的推导过程．【相关链接】用配方法解方程：（1）02632=+-x x （2）y y y 441252+=+- 复习用配方法解数字系数的一元二次方程.【预习导航】一、阅读教材P 64～P 66.二、公式法解一元二次方程例1、用配方法解一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a用配方法解字母系数的一元二次方程学生可能感到困难，教学中教师注意引导学生做到数与字母的统一.注意条件0a ≠与042≥-ac b 的不可缺乏.一般地，对于一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 当042≥-ac b 时，我们称式子： aac b b x 242-±-=为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 例2、用公式法解方程x x x 23322-=+ 尝试练习：1、解方程：（1）226)3(2x x -=+ 解：将原方程化为一般形式，得：03522=-+x x∵a =2，b =5，c =-3，∴()0493245422>=-⨯⨯-=-ac b ∴22495242⨯±-=-±-=a ac b b x ∴.3,2121-==x x（2）213108x x --= （324x -=（3）2(1)88m m -+=- （4）1122-=++y y y解题反思：（1）一元二次方程的求根公式：______________________________________________.（2）我们称ac b 42-为关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式. 其中，①当042>-ac b 时，方程有___个______(相等、不相等)的实数根；②当042=-ac b 时，方程有___个______(相等、不相等)的实数根；③当042<-ac b 时，方程______（有、无）实数根。
八下 2.3.1运用公式法 教学设计(于海峰)
第二章 分解因式2.3.1运用公式法（1）本节知识点：1. 会用平方差公式将多项式分解因式2.. 会用完全平方公式将多项式分解因式知识点1用平方差公式分解因式形如22b a -的多项式分解因式的方法，即))((22b a b a b a -+=-，我们把它叫做分解因式的平方差公式，可以叙述为：两个数的平方差，等于这两个数的和乘以这两个数的差。
笔记：（1）公式中的和既可以是单项式，也可以是多项式。
（2）常见的公式变式有：○1位置变化：))((22y x y x y x -+=-；○2符号变化：))((22y x y x y x ----=-○3系数变化：○4指数变化：○5增项变化： [例题1] 把下列各式分解因式（1）21625x - （2）22419b a -[针对性训练1] 把下列各式分解因式（1）222m b a - （2）448116y x +-[例题2] 把下列各式分解因式（1）22)()(9n m n m --+ （2）x x 823-[针对性训练2] 把下列各式分解因式（1）22)()(b n a m +-- （2）22)(c b a x ++-当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。
知识点2 用完全平方公式分解因式乘法公式中形如222b ab a +±的多项式分解因式的方法，即222)(2b a b ab a +=+±，我们称它为分解因式的完全平方公式，即两数的平方和加上（或减去）它们积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方。
[例题3] 将下列各式分解因式。
（1）49142++x x (2)9)(6)(2++-+n m n m[例题4] 将下列各式分解因式(1)22363ay axy ax ++(2)xy y x 4422+--[针对性训练3] 把下列各式分解因式（1）223612y xy x ++（2）422492416b b a a ++（3）229341n mn m ++（4）251036+-x x[针对性训练4]（1）222y x xy ---（2）2)(9)(124y x y x -+--。
2019-2020学年数学人教A版选修2-3检测：2.3.1离散型随机变量的均值
2．3.1 离散型随机变量的均值填一填1.离散型随机变量的均值(1)定义：若离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：如果X 为(离散型)随机变量，则Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)也是随机变量，且P (Y ＝ax i ＋b )＝P (X ＝x i )，i ＝1,2,3，…，n .E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .2．两点分布和二项分布的均值(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ； (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .3．随机变量的均值与样本平均值的关系随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值.判一判判断(1．随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化．(×) 2．随机变量的均值反映样本的平均水平．(×)3．若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4.(√)4．随机变量X 的均值E (X )＝x 1＋x 2＋…＋x nn.(×)5．若随机变量X 的数学期望E (X )＝3，则E (4X －5)＝7.(√)6．若随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫4，13，则E (X )的值为43.(√) 7．设随机变量X ～B (16，p )，且E (X )＝4，则p ＝14.(√)8．一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则他独立射击3次中靶次数X 的均值为2.4.(√)想一想1.提示：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的平均值是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的．2．随着样本容量的增加，样本的平均值与总体平均值有什么关系？ 提示：随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均值．3．对于n 个数x 1，x 2，…，x n ，称x －＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )为这n 个数的平均数，如何从随机变量的角度看这个问题？提示：设X 为从这n 个数中任取的一个数，则X 所有可能的取值便为x 1，x 2，…，x n ，P (X ＝x i )＝1n (i ＝1,2，…，n )，即X 的概率分布列为X x 1 x 2 x 3 … x nP 1n 1n 1n (1)nE (X )＝x 1·1n ＋x 2·1n ＋x 3·1n ＋…＋x n ·1n ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )．4．若随机变量X ～B (40，p )，且E (X )＝16，则p 为何值？提示：∵E (X )＝16，∴40p ＝16，即p ＝1640＝0.4.思考感悟：练一练1.已知某一随机变量的值为( )X a 7 9 P b 0.1 0.4A.4 B ．5 C ．6 D ．7解析：根据随机变量X 的分布列可知b ＋0.1＋0.4＝1，所以b ＝0.5.又E (X )＝ab ＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a ＝4.答案：A2．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的数学期望为________．解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24； P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096； P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376. 答案：2.3763．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．解析：设小王选对的个数为X ，得分为Y ＝5X ， 则X ～B (12,0.8)，E (X )＝np ＝12×0.8＝9.6， E (Y )＝E (5X )＝5E (X )＝5×9.6＝48. 答案：48知识点一 离散型随机变量的方差1.则E (X )等于( )A ．4B ．5C ．3D ．4.5解析：P (X ＝2)＝1C 25＝110，P (X ＝3)＝C 12C 25＝210＝15，P (X ＝4)＝C 13C 25＝310，P (X ＝5)＝C 14C 25＝410＝25，故E (X )＝2×110＋3×15＋4×310＋5×25＝4.答案：A2．袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分X 的均值．解析：取出4只球，颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435.P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835.P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235.P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.随机变量X 的分布列为X 5 6 7 8P 435 1835 1235 135所以E (X )＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447.知识点二 离散型随机变量均值的性质3.X 1 2 3P 12 13 16且Y ＝aX ＋3解析：E (X )＝1×12＋2×13＋3×16＝53.∵Y ＝aX ＋3，∴E (Y )＝aE (X )＋3＝53a ＋3＝－2.解得a ＝－3. 答案：－34．已知随机变量X 的分布列如下：X －2 －1 0 1 2P 14 13 15 m 120(1)求(2)求E (X )；(3)若Y ＝2X －3，求E (Y )．解析：(1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16.(2)E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一(公式法)：由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×⎝⎛⎭⎫－1730－3＝－6215.法二(直接法)：由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下：Y －7 －5 －3 －1 1P 14 13 15 16 120所以E (Y )＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.知识点三 两点分布及二项分布的均值5.每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测验中成绩的均值为________．解析：设该学生在这次测验中选对的题数为X ，该学生在这次测试中成绩为Y ，则X ～B (20,0.9)，Y ＝5X .由二项分布的均值公式得E (X )＝20×0.9＝18.由随机变量均值的线性性质得E (Y )＝E (5X )＝5×18＝90. 答案：906．甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中三人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答得正确与否相互之间没有影响．(1)若用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和均值；(2)用A 表示事件“甲、乙两队总得分之和为3”，用B 表示事件“甲队总得分大于乙队总得分”，求P (AB )．解析：(1)由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，则有 P (ξ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫1－233＝127， P (ξ＝1)＝C 13×23×⎝⎛⎭⎫1－232＝29， P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫233＝827， 所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P 127 29 49 827由于随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，则有E (ξ)＝3×23＝2. (2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB ＝C ∪D ，C ，D 互斥．P (C )＝C 23×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝1034， P (D )＝C 33×⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12＝435，P (AB )＝P (C )＋P (D )＝1034＋435＝3435＝34243.综合知识 均值的综合应用7.1分、2分、3分的概率分别为0.1,0.6,0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？解析：设这次射击比赛战士甲得X 1分，战士乙得X 2分，则分布列分别如下：X 1 1 2 3 P 0.4 0.1 0.5X 2 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3根据均值公式得E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1； E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2； 因为E (X 2)>E (X 1)，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以战士乙获胜的希望较大．8．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X 的分布列为X 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.13期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y 表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A “购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求Y 的分布列及均值E (Y )．解析：(1)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，A －表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．P (A －)＝(1－0.4)3＝0.216，P (A )＝1－P (A －)＝1－0.216＝0.784.(2)Y 的可能取值为200元，250元，300元． P (Y ＝200)＝P (X ＝1)＝0.4，P (Y ＝250)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P (Y ＝300)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2， 因此Y 的分布列为Y 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2E (Y )＝200×0.4＋250×0.4基础达标一、选择题1．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X ，则E (X )为( )A ．0.765B ．1.75C ．1.765D ．0.22解析：X 的取值为0,1,2，∴P (X ＝0)＝0.1×0.15＝0.015，P (X ＝1)＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22， P (X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765，E (X )＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75. 答案：B2．设随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝1.6，则a －b 等于( )X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1A.0.2 B ．0.1C ．－0.2D ．－0.4解析：由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8. 又由E (X )＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6， 得a ＋2b ＝1.3，解得a ＝0.3，b ＝0.5，则a －b ＝－0.2. 答案：C3．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 600元解析：出海的期望效益E (ξ)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3000－800＝2 200元． 答案：B4．已知随机变量X 和Y ，其中Y ＝12X ＋7，且E (Y )＝34，若X 的分布列如下表，则m 的值为( )X 1 2 3 4P 14 m n 112A.13B.14C.16D.18解析：由Y ＝12X ＋7，则E (Y )＝12E (X )＋7＝34，从而E (X )＝94，∴E (X )＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112＝94，又m ＋n ＋112＋14＝1，联立求解得m ＝13.答案：A5．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是( )A ．np (1－p )B ．npC ．nD ．p (1－p )解析：依题意知，用电单位个数X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np . 答案：B6．某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400解析：由题意可知，被种的种子数记为X ，X 服从二项分布，即X ～B (1 000,0.2)，所以X 的数学期望E (X )＝1 000×0.2＝200.答案：B7．设随机变量的概率分布为( )ξ 0 1 2P p 3 p 3 1－23p则ξA.12B ．0C ．2D ．随p 的变化而变化解析：E (ξ)＝p3＋2×⎝⎛⎭⎫1－23p ＝2－p . ∵p 满足⎩⎨⎧0≤p3≤1，0≤1－23p ≤1，则有0≤p ≤32，∴E (ξ)最小值为12.答案：A 二、填空题8．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫100，12，则E (2X ＋3)＝________. 解析：E (x )＝100×12＝50，E (2x ＋3)＝2E (x )＋3＝103.答案：1039．某班有50名学生，其中男生30名，女生20名，现随机选取1名学生背诵课文，若抽到女生的人数记为X ，则E (X )＝________.解析：易知X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝35，P (X ＝1)＝25，故E (X )＝25.答案：2510．设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.解析：因为P (X ＝1)＝a ＋b ，P (X ＝2)＝2a ＋b ，P (X ＝3)＝3a ＋b ， 所以E (X )＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＝3， 所以14a ＋6b ＝3.又因为(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＝1， 所以6a ＋3b ＝1.由①②可知a ＝12，b ＝－23，所以a ＋b ＝－16.答案：－1611．某射手射击所得环数X 的分布列如下：X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y已知X 的均值E (X )＝8.9解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.2，y ＝0.4.答案：0.412．同时抛掷两颗骰子，至少有一个3点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中，成功次数ξ的数学期望是________．解析：由已知同时抛掷两颗骰子一次，至少有一个3点或6点出现时的概率为P ＝2036＝59，∴9次试验相当于独立重复试验9次，则成功次数ξ服从二项分布，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫9，59. ∴E (ξ)＝9×59＝5.答案：5 三、解答题13．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求X ＝2时的概率； (2)求X 的均值．解析：(1)依题意知{X ＝2}表示“4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯”，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故X ＝2时的概率为C 24⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫132＝827. (2)∵X 服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎫4，23， ∴E (X )＝4×23＝83.14．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．解析：(1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的，∴ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12. ∴P (ξ＝0)＝C 04⎝⎛⎭⎫124＝116，P (ξ＝1)＝C 14⎝⎛⎭⎫124＝14， P (ξ＝2)＝C 24⎝⎛⎭⎫124＝38，P (ξ＝3)＝C 34⎝⎛⎭⎫124＝14， P (ξ＝4)＝C 44⎝⎛⎭⎫124＝116. ∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4P 116 14 38 14 116(2)∵ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12，∴E (ξ)＝4×12＝2. 又由题意可知η＝2 300－100ξ，∴E (η)＝E (2 300－100ξ)＝2 300－100E (ξ)＝2 300－100×2＝2 100. 即实际支出的数学期望为2 100元.能力提升红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共同遇1个红灯的概率． 解析：(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3；则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124；所以，随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 3P 14 1124 14 124随机变量X 的数学期望为E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)·P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)·P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148； 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.16．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院 机械工程学院 海洋学院 医学院 经济学院 人数 4 6 4 6(1)从这的概率；(2)从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解析：(1)从20名学生随机选出3名的方法数为C 320，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为C 14C 16C 14＋C 14C 16C 16＋C 14C 14C 16＋C 16C 14C 16＝480，所以P ＝480C 320＝819.(2)X 可能的取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 316C 320＝2857，P (X ＝1)＝C 216C 14C 320＝819，P (X ＝2)＝C 116C 24C 320＝895，P (X ＝3)＝C 34C 320＝1285.所以X 的分布列为X0 1 2 3 P2857 819 895 1285所以E (X )＝2857×0＋819×1＋895×2＋1285×3＝5795.。
231公式法课件北师大版数学九年级上册
当堂训练：（15分钟）
1、一元二次方程y2+2y-4=0的根的情况是：
2、用公式法解方程 x2-3x-2=0
3、若一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等 的实数根，求m的值。
变式1、关于x的一元二次方程 x2 2x m 0
有两个实根，则m的取值范围是—— .
解：b2 4ac (2)2 41 m 4 4m 0
2a
2a
b b2 4ac
x
2a
ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方程的求根公式：
条件：当b2 4ac 0时
b b2 4ac x
2a
a，b，c 是什么？
任何时候都能使用求根公式吗？
求根公式 ：x b b2 4ac (a≠0， b2-4ac≥0)
2a
例一:用公式法解方程 x2 -7x-18=0
1.把方程化为一般形式
ax2 bx c 0 a 0
写出方程的各项系数与常数项a、b、c
2.求出 b2 4ac 的值，看 b2 4ac 是否大
于等于0.
注意：当 b2 4ac 0 时，方程无解。
3.代入求根公式 x b b2 4ac
2a
4.写出方程的解： x1、x2
温馨提示
用公式法解一元二次方程时应注意哪些问题呢？
(2).解方程： 4x2 1 4x
一般步骤
解：原方程化为：4x2 4x 1 0
化
∴ a 4, b 4, c 1,
b2 4ac (4)2 4 41 0 验
x b b2 4ac (4) 0 1
代
2a
24 2
x1
x2
1 2
求
求根公式 ：x b b2 4ac (a≠0， b2-4ac≥0)
2.3 运用公式法
重点、难点
考点及考试要求
教学内容
学习 过程 预 习 导 （3） （1+2x） （1–2x）= 学 学 习 研 讨 1、分解因式：7x2-21x 2、填空： （1） （x+3） （x–3） =
学习内容
； （2） （4x+y） （4x–y）= ； （4） （3m+2n） （3m–2n）=
； ．
活动一 阅读课本 54 页上面部分内容并回答问题： 1、 观察式子 a2-b2,x2-25,9x2-y2 (1) 他们有没有相同的因式？他们能不能分解因式？ (2) 小组讨论，它们有什么共同特征？ (3) 你能按照（2）的特征再举几个例子吗？ 2、结合预习导学 2，完成下列填空 （1）9m2–4n2= （3）x2–9= ； （2）16x2–y2= ； （4）1–4x2= ． ；
（4）(m－a)2－(n＋b)2 （5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
2、 如图， 在一块边长为 a 的正方形纸片的四角， 各 形．用 a 与 b 表示剩余部分的面积，并求当
剪去一个边长为 b 的正方 a=3.6，b=0.8 时的面积．
a b
延 伸 拓 展 总结 反思 作业 1.解： （1）a2－81=（a+9） （a－9）; 2 （2）36－x =（6+x） （6－x）; 2 （3）1－16b =1－（4b）2=（1+4b） （1－4b）; 2 2 （4）m －9n =（m +3n） （m－3n）; 2 2 （5）0.25q －121p =（0.5q+11p） （0.5q－11p）; 2 （6）169x －4y2=（13x+2y） （13x－2y）; 2 2 2 2 （7）9a p －b q =（3ap+bq） （3ap－bq）; （8） 已知 a、b 为正整数，且 a2-b2=45，求符合要求的 a、b 的值。
2.3用公式法求解一元二次方程(1)
2.2 用公式法求解一元二次方程（1）自主学习、课前诊断一、温故知新：1. 二人小组复述用配方法解一元一次方程a x 2+bx++c=0(a ≠0)的一般步骤. 2.用配方法解下列方程： (1) 2x 2-10x-3=0（2）x 2-4x-12=0二、设问导读：阅读教材P 41-43完成下列问题： 1．教材P 41利用了 法推导出了解一元二次方程的另外一种方法： ____________法.2. 一元二次方程ax 2+bx++c=0(a ≠0)的根的情况是:(1) 当b 2－4ac ＞0时, 2244a acb -___0,两边开方，得______________________. 方程有两个__________的实数根.即 x 1=_____________,x 2=_____________. (2) 当b 2－4ac=0时，方程有两个_______的实数根.即x 1=x 2=_____________.(3)当b 2－4ac<0时，方程_______根. 3.式子b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的____________.通常用____表示，即_______________. 4.阅读课本例题，同时思考： （1）你认为公式法解方程的易错点在哪里？怎样克服？（2）用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？三、自学检测：1、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A.012=+xB.01692=+-x xC 、022=+-x x D. 0222=--x x2、用公式法解下列方程：(1)x 2+2x-35=0(2)5x 2-15x-10=0互动学习、问题解决一、导入新课 二、交流展示学用结合、提高能力一、巩固训练：1、若关于x 的一元二次方程x 2-2x+m=0没有实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．m<l B ．m>-1 C ．m>l D ．m<-1 2.填空题：(1)方程(2x-1)(x+3)=15的判别式b 2-4ac= . (2)方程9x 2—（k+6）x+k+1=0有两个相等的实数根，则k=_______.（3）关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为_____________. 3.用公式法解下列方程： （1）x 2-6x+5=0 ；（2）2x 2-7x+3=0 ；(3)1)2(2-=+x x ；二、当堂检测：1、下列方程中，没有实数根的方程是( ) A.x 2+x-1=0 B.x 2+x+2=0 C.x 2+8x+1=0D.x 2-22x+2=02. 用公式法解下列方程： （1）2x 2+3x+1=0（2）3x 2+2=6x三、拓展延伸：已知关于x 的方程x 2+ax +a ﹣2=0 求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．课堂小结、形成网络________________________________________________________________________________________________________________________________________2.3用公式法求解一元二次方程（1） 三、自我检测 1、D2、 (1)x 1=-7 x 2=-5.(2)x=2173± 一、巩固训练 1、C ；2.（1）169；（2）0或24；（3）3.（1）1，5；（2）3,21；（3）22- 二、当堂检测：1、B2、（1）（2）三、拓展延伸：解：∵△=a 2﹣4（a ﹣2）=a 2﹣4a +8=a 2﹣4a +4+4=（a ﹣2）2+4≥0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．。
2.3 用公式法解一元二次方程 (第1课时)
课题：2.3《用公式法求解一元二次方程》(第1课时)学习目标：1、理解求根公式的推导过程，理解公式中的条件042≥-ac b 。
2、会用求根公式解简单的数字系数的一元二次方程。
3、理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况。
学习重点、难点：求根公式的推导及运用求根公式解一元二次方程。
学法指导：1、先利用10分钟阅读并思考P41-43页教材内容，通过复习配方法解一元二次方程，初步探究用配方法解方程)0(02≠=++a c bx ax ，得出求根公式，理解公式中的条件042≥-ac b ，并会用求根公式解一元二次方程；初步理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况。
2、将存在疑问的地方标出来，准备课堂上质疑。
一、合作探究探究点一： 求根公式的推导1、用配方法解方程)0(02≠=++a c bx ax2、为什么要042≥-ac b ？3、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：探究点二： 利用求根公式解一元二次方程1、解下列方程：（1）x x 7322=+ （2）01232=++x x2、探讨使用求根公式解一元二次方程的一般步骤：探究点三：一元二次方程的根的判别式：1、不解方程，判断下列方程根的情况。
（1）022=++x x （2）01442=+-x x （3）042=+x2、已知关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x ，当k 取什么值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根。
三、课堂检测1、用公式法解下列方程：（1）08922=+-x x （2）01692=++x x（3）38162=+x x （4）2342-=x x2、已知一元二次方程022=+-m x x ，且042=-ac b ，求m= 。
3、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三边长。
课堂小结：你学到了什么？你还有什么疑惑？作业（★B 层同学选做题，☆C 为层同学选做题）教材P43页习题2.5的第1、2、3、4课后反思：。
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1 2 b 4 1 2 b)(3a –
解：原式=（3a+
1
2
b)
将下列各式因式分解：
（1）9（x–y）–（x+y）
2 2
（2）2x –8x
3
（3）
a4-16
(4)a4-a2b2
解：（1）原式=[3（x –y)+(x+y)][3（x –y)+(x+y)] =(3x –3y+x+y)(3x –3y – x – y) =(4x –2y)(2x –4y)=4(2x –y)(x –2y) （2）原式=2x(x 2– 4)= 2x(x+2)(x – 2) 注意:1、平方差公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式 ； 2、提公因式法是分解因式首先应当考虑的方法 .
（3）a 2 b －m 2
2
（4）(m－a) －(n＋b)
2
2
（5）–16x 4＋81y 4
（6）3x 3 y–12xy
(7) x2-(a+b-c)2
(8)-16x4+81x4
3、如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形． 用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又 有什么共同特征？ 结论:平方差公式 a –b =（a+b）（a–b）
2 2
下列各式能利用平方差公式分解因式吗？
25 x 4x y a 2 2 2 2 16x y 16x y 2 2 2 2 y 16 x 16 x y
城关中学
白小卫
填空：
（1）（x+3）（x-3） =
x –9
2
2
；
–
（2）（4x+y）（4x-y）= 16x –y ； 2 （3）（1+2x）（1–2x）= 1–4x ； 2 2 （4）（3m+2n）（3m–2n）= 9m –4n ． 根据上面式子填空： （1）9m 2 –4n 2 = （3m+2n）（3m–2n） ； （2）16x 2–y 2= （4x+y）（4x-y） ； （3）x 2–9= （4）1–4x 2= （x+3）（x-3） （1+2x）（1–2x） ； ．
1、判断正误： （1）x 2+y 2=（x+y）(x–y)
（2）–x 2 +y 2=–（x+y）(x–y)
（3）x 2–y 2=（x+y）(x–y) （4）–x 2 –y 2=–（x+y）(x–y) 2、把下列各式因式分解： （1）4–m 2
( × ) ( √ ) ( √ ) ( × )
2 2
（2）9m –4n
a
b
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
课本第50页习题2．4第1、2、3题
2
2
3
16 x y
2
满足什么条件才能利用平方差 公式分解因式？与同伴交流。
下式中不能用平方差公式分解的是（
C ）
2
(A) (C)
9a
2
2
(B) a
2
2
16 x
2
m n
(D) y
36
把下列各式因式分解： （1）25–16x 2 解：原式=（5 –4x)(5+4x) （2）9a 2–