流体力学6
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流体力学第6章讲解
2、射孔的形状，圆孔口和方孔显然其扩张的情况不会相同。不同的射口形状有 不
同的实验值。用φ表示这个影响因素， 对圆断面射流 φ＝3.4，长条缝射孔 φ＝2.44。
圆孔综口合射这流两：个t影g响因素K：x k＝Kφα 3.4a
x
R 1 3.4 as 3.4( as 0.294)
r0
vm
vm r0 1
1
v0 R
2
1
[(11.5 )2 ]2d
0
9
第二节圆断面射流的运动分析
1
n
1
n
[(1 1.5 )2 ] d Bn; [(1 1.5 )2 ] d Cn
0
0
n
1
1.5
2
2.5
3
Bn
0.0985
0.064
0.0464
0.0359
0.0286
第一节无限空间淹没紊流射流特性
二、紊流系数a及几何特征
其斜率即：tga＝常数＝k。 对于不同的条件，k值是不同的常数，也叫实验常数。 通过实验发现，k值的影响因素有两个主要的因素：
1、射孔出口截面上气流的紊流强度。 紊流强度的大小用紊流系数a（A）来表示：a大紊流的强度就大，因此，紊
流 系数的大小可以反映出射流的扩张能力，所以，a也叫表征射流流动结构的 特征系数。另一方面，由于a反映的是射流混合能力的大小，因此，a还可以反 映孔口出口截面上的速度均匀程度。a越小，则混合能力越差，说明流速越均匀 。
二、断面流量Q
R
微环面的流量表达式 Q 2vydy Q0 r02v0
0
主体段：
R
Q
v r 0
y
y
2 ( )( )d( )
流体力学-第六章 旋转流体力学
da A
da Ax
i
da Ay
j
d
a
Az
k
dt dr A
dt dA
dAx
dt
i
dAy
dt
j
dAz
k
dt dt dt
dt
dt
Chen Haishan NIM NUIST
da A da Axi Ay j Azk
dt
dt
展开
dA
dAx
i
dAy
j
dAz
k
dt dt
dt
dt
Chen Haishan NIM NUIST
假定流体运动满足： RO 1 或者RO 0（即 Rossby 数很小）；
Ek
R0 Re
0
同时要求： RO L/UT 0 （即要求T很大，1/T 0，即 对应缓慢运动或者准定常流动）。
L R0 UT
V t
(V
•
)V
1 R0
1 p
1 Fr
g
Ek
一致，是衡量旋转效应的一个重要量。
Chen Haishan NIM NUIST
由Rossby数的定义可知： RO 1 ，偏向力的作用大，旋转效应重要； RO 1，偏向力的作用小，可不考虑地球的旋转效应。
另外的角度来考虑：
大尺度运动（L大），流速缓慢（U小）偏差大 RO 1，旋转效应重要，采用旋转流体运动方程；
普鲁德曼--泰勒定理：不可压或正压流体，在有 势力作用下的准定常缓慢运动，由于强旋转效应 ，其速度将与垂直坐标无关，流动趋于两维化（ 流动是水平、二维的）。
普鲁德曼--泰勒定理的检验： 泰勒流体柱实验（P221)。
Chen Haishan NIM NUIST
流体力学第6章短管长管
h h l f
h m
特点:
2 g
0
水力计算大为简化，将有压管道分为短管和长管的目 的就在于此
4
二、简单管道
沿程直径不变，流量也不变的管道称为简单管道。 简单管道是一切复杂管道水力计算的基础。
1、计算方法：
列伯诺里方程
H( Hp)
H 0 0 0 0 h h f m 2 g
8sa2不需修正联立求解上两式得l116935ml28065m19五沿程均匀泄流管道通过流量转输流量qz前述管道流动在每根管段间通过的流量是不变的途泄流量沿线流量qt在工程中如水处理设备中的穿孔管和灌溉用人工降雨管道等管道中除通过流量外还有沿管长由壁面开的孔口泄出的流量qtql沿程均匀泄流管道最简单的情况是单位长度上泄出的流量q相等20计算公式距开始泄流断面x处取长度dx管段认为通过该管段的流量qx不变
H 9 0 .0036 法二：按J 计算更简便 J l 2500
由表6-7查得d=400mm，J =0.00364时，Q=0.126m3/s, 内插J = 0.0036时, Q值
0 . 0 4 3 Q 1 2 6 2 1 2 5 l / s = 0 . 1 2 5 m / s 0 . 1 1
取吸水池水面1-1和水泵进口断面2-2列伯诺里方程 2 p p 2 0 a 0 H h s l g g 2 g 2 p p l a 2 H ( ) s g d 2 g 2 l h ( ) v 水泵安 d 2 g
第三节
1、定义
短管水力计算
一、有压管流Penstock
流体沿管道满管流动的水力现象，是输送液体和气 体的主要方式。
流体力学第六章_可压缩气体一元流动
c 20.1 T (m / s)
声速是相对于流体运动而言的小扰动传播速度。
声速是标志着流体压缩性的一个重要参数。声速小使 密度改变dρ 所需的压强dp小，流体易压缩。反之，声速 大表明流体难压缩。对于不可压缩流体声速趋于无限大， 即小扰动在不可压缩流体中的传播是瞬时的，而在压缩 性流体中的传播是需要一段时间的，这是不可压缩流体 和可压缩流体的本质区别之一。
则有201210210111mmmtutuuupupu???????????????????????????????????????????????三最大速度状态22022mppuuctct???31习题?616?6173266压缩性气体经喷管的流动一收缩型喷管或孔口出流v000pt?储气罐中的压缩气体经喷管或孔口流出可视为绝热流动根据22000121211ppvvrtrt???????????????????????得??11200012021121ppvpvrtt?????????????????????????????????????????????????????及100pp??????????33实际应用时需乘以流量系数加以修正喷管质量流量1212000021mppavapqpp??????????????????????????????????????????喷管截面积1212000021mppapqpp?????????????????????????????????????????mmvqqv????实实或出口速度最大只能达到声速此时喷管出口压强降至临界压强p流量qm达到最大值
a．静止流场(V=0) b. 亚声速流场(V<c) c. 声速流场（V=c） d. 超声速流场（V>c）
16
1．静止流场(V=0)
声速是相对于流体运动而言的小扰动传播速度。
声速是标志着流体压缩性的一个重要参数。声速小使 密度改变dρ 所需的压强dp小，流体易压缩。反之，声速 大表明流体难压缩。对于不可压缩流体声速趋于无限大， 即小扰动在不可压缩流体中的传播是瞬时的，而在压缩 性流体中的传播是需要一段时间的，这是不可压缩流体 和可压缩流体的本质区别之一。
则有201210210111mmmtutuuupupu???????????????????????????????????????????????三最大速度状态22022mppuuctct???31习题?616?6173266压缩性气体经喷管的流动一收缩型喷管或孔口出流v000pt?储气罐中的压缩气体经喷管或孔口流出可视为绝热流动根据22000121211ppvvrtrt???????????????????????得??11200012021121ppvpvrtt?????????????????????????????????????????????????????及100pp??????????33实际应用时需乘以流量系数加以修正喷管质量流量1212000021mppavapqpp??????????????????????????????????????????喷管截面积1212000021mppapqpp?????????????????????????????????????????mmvqqv????实实或出口速度最大只能达到声速此时喷管出口压强降至临界压强p流量qm达到最大值
a．静止流场(V=0) b. 亚声速流场(V<c) c. 声速流场（V=c） d. 超声速流场（V>c）
16
1．静止流场(V=0)
流体力学第六章 气体射流
6.1 无限空间淹没紊流射流的特征
2.运动特征：速度分布具有相似性。 特留彼尔在轴对称射流主体段的实验结果，以及阿勃拉莫 维奇在起始段内的测定结果，见图6-2（a）及图6-3（a）。
6.1 无限空间淹没紊流射流的特征
6.1 无限空间淹没紊流射流的特征
3.动力特征 射流中的压强与周围流体中的压强相等。 可得各横截面上轴向动量相等——动量守恒，动量守 恒方程式为：
6.4 温差或浓度差射流
6.4 温差或浓度差射流
三.射流弯曲 温差射流或浓差射流由于密度与周围密度不同， 所受的重力与浮力不相平衡，使整个射流将发生向下或向上弯 曲。通过推导可得出无因次轨迹方程为
6.4 温差或浓度差射流
[例6-3]工作地点质量平均风速要求3m/s，工作面直径D=2.5m 送风温度为15℃，车间空气温度30 ℃，要求工作地点的质量 平均温度降到25 ℃ ，采用带导叶的轴流风机，紊流系数 = 0.12。求（1）风口的直径及速度;（2）风口到工作面的距离。 [解]温差 =15-30=-15 ℃
6 气体射流
6.1 无限空间淹没紊流射流的特征
一.射流结构 出流到无限大空间中，流动不受固体边壁的限制，为无限 空间射流，又称自由射流。射流的流动特性及结构图：
6.1 无限空间淹没紊流射流的特征
二.射流的特性 1. 几何特性： 外边界线为一直线。tan a 紊流系数 a 是表征射流流动结构的特征系数。它与出口断 面上紊流强度有关，紊流强度越大。各种不同形状喷嘴的紊 流系数和扩散角的实测值列于表6-1。
一.特点：1.温度边界层与速度边界层不重合。 2.射流发生弯曲。
6.4 温差或浓度差射流
二.特性: 1.温差特性： 试验得出，截面上温差（浓度差分布）分布具有相 似性。 与速度分布关系如下：
流体力学第六章流体节流与缝隙流动
第六章流体节流与缝隙流动(了解各种节流及缝隙流动现象，理解影响流量的因素，理解偏心状缝。
掌握气蚀现象。
) §6.1 流体的节流节流：管道内流体流经断面突然缩小的截面后，又进入和以前一样断面的管道，致使压力下降的现象，称为节流。
一、气体节流气体节流后各参数的变化规律，表6－1进行简要分析二、液体节流缝隙中油液产生运动的原因：1）缝隙两端存在压力差；1）组成缝隙的壁面存在相对运动；3）缝隙大小的变化。
缝隙中油液的运动大都呈稳定层流：1）缝隙高度与其长度宽度相比很小，液体在缝隙中流动时受固体壁面的影响；2）油液具有一定的粘度，Re一般很小。
§6.2 液体在小孔中的流动通道截面为圆孔型（分为薄壁小孔型和细长小孔型）。
l d≤。
薄壁小孔：当横隔板壁厚L与孔口直径d之比小于0.5，即/0.5l d>。
液压和润滑系统中的导油管。
细长小孔：小孔的长径比/4§6.3 液体流经平面缝隙平面缝隙：由两平行平面夹成的缝隙。
齿轮泵齿顶与泵壳之间的油液运动，柴油机中滑块与导板之间的油液流动。
结论：1）缝隙中液体流速按抛物线规律分布的；2）流经平面缝隙的流量与缝隙厚度δ的三次方成正比，和动力粘度μ成反比。
§6.4 液体流经同心环状缝隙同心环状缝隙：由内外两个同心圆柱面所围成的缝隙。
结论：流经平面缝隙的流量与缝隙厚度δ的三次方成正比。
§6.5 液体流经偏心环状缝隙偏心环状缝隙：在船舶机械中的环状缝隙，当运动部件装配不当或工作受力不均时，同心环状缝隙就变成偏心环状缝隙。
结论：流经偏心环状缝隙的流量与偏心距成正比，偏心距最大时，泄漏量为同心环状缝隙的2.5倍。
§6.6 液体流经具有相对运动的平行面缝隙喷油泵中的柱塞泵。
类型：（1、2、3）1）平行剪切流动∆=p，由于液体粘滞性，通过平行板的运动液体运动。
2）压差流动液体的运动，在缝隙两端的压差作用下实现。
3）压差与剪切流动的合成液体的运动，在缝隙两端的压差和平行剪切力的作用下共同实现。
《流体力学》第六章气体射流
和圆断面射流相比，流量沿程的增加，流速沿 程的衰减都要慢些，这是因为运动的扩散被限 定在垂直于条缝长度的平面上的缘故。
.
射流参数的计算
段 名
参数名称
符号
圆断面射流
平面射流
扩散角 主
α tg3.4a tg2.44a
体
段 射流直径 或半高度
D b
D d0
6.8
as d0
0.147
b b0
2.44
0.095 as 0.147
d0
v1 0.492
v0
as 0.41
b0
v2
v2 v0
as
0.23 0.147
d0
v2 v0
0.833 as 0.41 b0
.
段名 参数名称
符 号
圆断面射流
平面射流
起
流量
Q
2
QQ0 10.76ar0s1.32ar0s
Q Q0
1 0.43 as b0
始
v 断面平均 流速
B0Kx
tgKxK3.4a
x
紊流系数
起始段
主体段
C
B
A
R
M
α r0
核心
0
D X0
边 E
界 层
Sn
F
S
X
射流结构
.
紊流系数与 出口断面上 紊流强度有 关，也与出 口断面上速 度分布的均 匀性有关。 （表6-1）
紊流系数
喷嘴种类 带有收缩口的喷嘴
a
0.066 0.071
圆柱形管
带有导风板的轴流式通风机 带导流板的直角弯管
已知射流直径D, v2,d0,a, 求S和Q0
.
射流参数的计算
段 名
参数名称
符号
圆断面射流
平面射流
扩散角 主
α tg3.4a tg2.44a
体
段 射流直径 或半高度
D b
D d0
6.8
as d0
0.147
b b0
2.44
0.095 as 0.147
d0
v1 0.492
v0
as 0.41
b0
v2
v2 v0
as
0.23 0.147
d0
v2 v0
0.833 as 0.41 b0
.
段名 参数名称
符 号
圆断面射流
平面射流
起
流量
Q
2
QQ0 10.76ar0s1.32ar0s
Q Q0
1 0.43 as b0
始
v 断面平均 流速
B0Kx
tgKxK3.4a
x
紊流系数
起始段
主体段
C
B
A
R
M
α r0
核心
0
D X0
边 E
界 层
Sn
F
S
X
射流结构
.
紊流系数与 出口断面上 紊流强度有 关，也与出 口断面上速 度分布的均 匀性有关。 （表6-1）
紊流系数
喷嘴种类 带有收缩口的喷嘴
a
0.066 0.071
圆柱形管
带有导风板的轴流式通风机 带导流板的直角弯管
已知射流直径D, v2,d0,a, 求S和Q0
流体力学第6章(1-6节)
特性1
证明：任意曲线s上一点M(x, y, z)处速度分量分别 为vx、 vy 、 vz 。取势函数的方向导数
cos(s, x ) cos(s, y ) cos(s, z ) s x y z
v x cos(s, x) v y cos(s, y) vz cos(s, z )
x y z
全微分的充分必要条件。
即
d v x dx v y dy v z dz
d dx dy dz x y z
函数Φ的全微分为
比较两式，得到
vx , vy , vz x y z
函数Φ(x, y, z)称为速度势函数，无旋流动又称为有 势流动 。
试求速度分布， 写出通过 A （1， 0） 和B （2， 3 ） 两点的流线方程，和两点之间连线的通过流量。
解： vx 1 y
vy 3 x
将A点坐标代入 ( x, y) 3x y
得到 A 3 因此通过A点的流线方程为 3x y 3 同理得到 B 3 B点的流线方程依然为 3x y 3 因此，通过两点连线的流量q=0。
v y vz 0
1 v x v z y ( )0 2 z x
判断流动是否有势
1 v z v y x ( )0 2 y z 1 v y v x z ( )0 2 x y
流动无旋，即有势, 有 d v x dx v y dy v z dz vdx
复速度的三角函数 式和指数式：
dW v (cos i si n ) v e i dz
α O vx
V
vx-ivy
W(z)共轭复变数:
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Re vd
LT 1 L Re 2 1 1 LT
4
无量纲的量在实验和分析中占有重要地位.
三. 量纲和谐原理
量纲和谐原理是量纲分析的基础. 凡正确反映客观规律的物理方程, 其 各项的量纲一定是一致的.
如, 总流的伯努利方程:
2 p1 1v1 z1 g 2g 2 p2 2v2 z2 hl g 2g
速度:
功:
v LT 1
加速度:
a LT 2
力: F MLT2
W ML2T 2
1 1 动力粘度: ML T
运动粘度:
du dy
L2T 1
的量纲:
F / L2 L F T ML T 2 2 2 ML1T 1 L/T L T L
3
q6 a b c q1 3 q23 q33
…… n 3
qn a b c q1 n3 q2n3 q3n3
4. 满足 为无量纲的量, 按量纲和谐条件决定各 项的指数 a、b、c .
5. 整理方程式.
16
例5. 一个球形物体在黏性流体中运动所受阻力FD ,经实验发现与球体的直径、 球体的运动速度、流体的密度及粘度有关,试用量纲分析法(定理)推导阻力FD 的公式. 将函数关系设为: f FD , d , v , , 0 解: 选取基本物理量d, v, 则
其各项的量纲是长度.(水头) 气体用的伯努利方程:
2 v12 v2 gz1 p1 gz 2 p2 pl 1 2 2 2
其各项的量纲是应力.
如果由实验观测得出的公式不满足量纲和谐原理, 则此公式肯定不能反 映正确的客观规律, 是需要修正或重新建立的.
5
由量纲和谐原理可以得出下面两个重要观点:
FD Kd a v b c e
由量纲和谐原理
MLT K L LT ML ML T
2 a 1 b 3 c 1
1 e
M: 比较两边可得: L: T:
1 ce
1 a b 3c e
2 b e
c 1 e b 2e
的量纲:
M L3 L2T 1 LT M
3
上面可以看出:在力学范围内, 任何一物理量的量纲[q](导出量纲) , 都 可由3个基本量纲的幂的乘积来表示.
q LT M
当 0 , = 0, = 0 , q为几何量; 当 0, 0 , = 0 , q 为运动学量; 当 0, 0, 0, q为动力学量. 二. 无量纲的量(纯数) 当 = 0 , = 0, = 0 , 上式中[q] = [ 1 ] , 我们说 q 为无量纲的量. 相对伸长(正应变) = l/l , 是无量纲的量, 雷诺数Re 也是无量纲的量. 达西因子、相对粗糙度K/d 也是无量纲的量.
13
二. 定理(Buckingham定理) 设某物理过程存在n个物理量的变量关系
f q1 , q,2 ...qn 0
其中,有m个是互相独立的基本量 则该物理过程可由n – m 个无量纲的量构成的函数式来表达. 即为:
F 1、 2 ... nm 0
式中用 1 、2 …n – m 表达无量纲的量, 故称 定理.
6
§6 – 2 量纲分析法
在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种: 一种称之为瑞利 ( Rayleigh) 法, 此法适用于较简单的问题. 另一种称之为 定理或白金汉 (Buckingham)定理, 是一种具有普遍性的方法.
一. 瑞利法 瑞利法的基本原理是, 设描述某一物理现象同n个物理量有关 若其物理方程表达为
比较两边可得:
M:
0ac
求解可得: a 1
b4
L: 3 2a b c T: 1 2a c
c 1
所以有
p 4 1 Q K r l
K由实验获得.
11
例4. 一个球形物体在黏性流体中运动所受阻力FD ,经实验发现与球体的直径、 球体的运动速度、流体的密度及粘度有关,试用量纲分析法(瑞利法)推导阻力FD 的公式. 设阻力与各有关物理量的关系式为:
根据输水管路计算所用的方程, (波努利方程和流量方程) 可设水泵功率表达式为:
N K g Qb H c
a
由量纲和谐原理
WT K ML LT L T L MLT LT K ML LT L T L ML T K ML T L T L
1
a d b vc
1 1 1
FD 2 a2 b2 c2 d v
各 是纯数 , 无量纲, 或是说量纲为1. 原物理量关系式可表示为
F 1、 2 0
1 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ :
ML T ML L LT
1 1 3 a1 b1
a d b vc
长度l q3
v LT 11
L3 1M
1 3 1 1 0 0 0 1 1 0
L 11
3. 基本物理量依次与其余物理量组成n – 3 个 项.
1
q4 a b c q1 1 q21 q31
2
q5 a b c q1 2 q22 q32
a2 b2 c2
FD d v
2 3 a2
MLT ML L LT
b2
1 c 2
M: 1 a2 比较两边: L: 1 3a2 b2 c2 T: 原物理过程可表为:
1. 凡能正确反映客观规律的物理方程, 一定可表示成无量纲的方程, 因为方程 中各项的量纲相同, 只须用其中某一项去除其余各项,便可得一无量纲的方程. 但此方程仍旧保持了原方程的物理性质. 2. 量纲和谐原理表达了一个物理过程中相关物理量的确定关系, 如力与质量和加 速度的关系, 应力与应变和弹性模量之间的关系, 水头(长度)与应力和质量密度及 加速度之间的关系等.量纲分析法便由此而来.
3 1 b
c
比较两边可得:
M: a 1 L: T:
2a 3b c 2
2a b 3
b1
于是可得:
a1
c1
a N K g Qb H c KgQH
K值由实验确定
10
例3. (书上例6 – 2 ) 试求圆管流量关系式 由已有的资料可知, 流量与管端的压力差成正比,与管长成反比, 同时,可知 流量还与截面面积,(变数为半径r ) 粘性系数 有关.
f q1 , q,2 ...qn 0
则其中的一个物理量可以表达成其它物理量的幂的乘积形式
a b p qi Kq1 q2 ...qn1
根据量纲和谐原理,确定指数ab…p, 就可得到该物理过程的方程式.
例1. 求单摆的振动周期表达式
7
设, 小球振动周期
T kla mb g c
l
由量纲和谐原理 比较两边可得:
第六章 量纲分析与相似原理
对于流体力学, 连续性方程、伯努利方程、动量定理等由理论方法得出的 客观规律使我们能准确地求解一些较简单的工程流体力学的问题.但是,由于流 体运动的复杂性, 当今大多数实际的工程流体力学问题往往需要依靠实验或理 论与实验相结合的方法来解决.如前面提到的各种条件下的水头损失问题, 因子 的确定, 的确定,目前就是主要依靠实验的方法进行研究.而量纲分析和相似原 理, 就为有效地设计实验,处理实验数据提供正确的指导思想. 对于一个复杂的流动现象进行实验研究, 实验中可变的因素有很多, 另外,受 实验条件的限制, 多数不可能在实物上进行, 需要模拟. 而量纲分析和相似原理 为这些问题的解决提供了理论依据.例如, 可以根据量纲分析对某一流动现象中 的若干变量进行组合, 选择能方便操作和测量的变量进行实验, 这样可以大幅度 地减少实验的工作量,并且可使实验的数据整理和分析变得比较容易.
定理的应用步骤如下: 1. 找出对某物理过程有影响的物理量
f q1 , q,2 ...qn 0
14
2. 从上面n个物理量中选取m个量纲互相独立的基本量, 对于不可压缩的流 体运动, 一般选m = 3 个. 设q1 、q2 、q3 为所选的基本物理量, 由量纲公式
q1 L T1 M1 1 q2 L T2 M2 2 q3 L T3 M3 3
量纲分析和相似原理不仅在流体力学中有许多应用, 而且也广泛地应用于 其它工程领域的研究. 所以, 懂得和掌握量纲分析和相似原理,对于一个工程 技术人员是十分必要的.
2
§6 – 1 量纲及量纲和谐原理
一. 量纲
什么叫量纲? 简单的讲就是, 表示物理量本质属性的度量标准, 就是量纲.
量纲分为基本量纲和导出量纲. 基本量纲是互相独立的量纲, 而导出 量纲是由基本量纲组合的其它物理量的量纲. 在力学范围内, 基本量纲有三个: 长度、时间和质量. 即L、T、M. 而导出的量纲有:
e
3个方程4个未知数, 设e为待定, 则有:
a 2e
FD Kd 2e v 2e 1e e
dv FD Kd 2 v 2
12
2 2 dv FD Kd v
Kd 2v 2 Re e
1 1 1 2 2 2
3
3
3
满足所选的3个基本物理量独立的条件是, 量纲式中的指数行列式不为零
即
1 2 3
1 1 2 2 0 3 3
对于不可压缩的流体运动, 通常选取的基本物理量是:
速度v q1 密度 q2
长度l q3
15
速度v q1
密度 q2
mg
LT 1 L Re 2 1 1 LT
4
无量纲的量在实验和分析中占有重要地位.
三. 量纲和谐原理
量纲和谐原理是量纲分析的基础. 凡正确反映客观规律的物理方程, 其 各项的量纲一定是一致的.
如, 总流的伯努利方程:
2 p1 1v1 z1 g 2g 2 p2 2v2 z2 hl g 2g
速度:
功:
v LT 1
加速度:
a LT 2
力: F MLT2
W ML2T 2
1 1 动力粘度: ML T
运动粘度:
du dy
L2T 1
的量纲:
F / L2 L F T ML T 2 2 2 ML1T 1 L/T L T L
3
q6 a b c q1 3 q23 q33
…… n 3
qn a b c q1 n3 q2n3 q3n3
4. 满足 为无量纲的量, 按量纲和谐条件决定各 项的指数 a、b、c .
5. 整理方程式.
16
例5. 一个球形物体在黏性流体中运动所受阻力FD ,经实验发现与球体的直径、 球体的运动速度、流体的密度及粘度有关,试用量纲分析法(定理)推导阻力FD 的公式. 将函数关系设为: f FD , d , v , , 0 解: 选取基本物理量d, v, 则
其各项的量纲是长度.(水头) 气体用的伯努利方程:
2 v12 v2 gz1 p1 gz 2 p2 pl 1 2 2 2
其各项的量纲是应力.
如果由实验观测得出的公式不满足量纲和谐原理, 则此公式肯定不能反 映正确的客观规律, 是需要修正或重新建立的.
5
由量纲和谐原理可以得出下面两个重要观点:
FD Kd a v b c e
由量纲和谐原理
MLT K L LT ML ML T
2 a 1 b 3 c 1
1 e
M: 比较两边可得: L: T:
1 ce
1 a b 3c e
2 b e
c 1 e b 2e
的量纲:
M L3 L2T 1 LT M
3
上面可以看出:在力学范围内, 任何一物理量的量纲[q](导出量纲) , 都 可由3个基本量纲的幂的乘积来表示.
q LT M
当 0 , = 0, = 0 , q为几何量; 当 0, 0 , = 0 , q 为运动学量; 当 0, 0, 0, q为动力学量. 二. 无量纲的量(纯数) 当 = 0 , = 0, = 0 , 上式中[q] = [ 1 ] , 我们说 q 为无量纲的量. 相对伸长(正应变) = l/l , 是无量纲的量, 雷诺数Re 也是无量纲的量. 达西因子、相对粗糙度K/d 也是无量纲的量.
13
二. 定理(Buckingham定理) 设某物理过程存在n个物理量的变量关系
f q1 , q,2 ...qn 0
其中,有m个是互相独立的基本量 则该物理过程可由n – m 个无量纲的量构成的函数式来表达. 即为:
F 1、 2 ... nm 0
式中用 1 、2 …n – m 表达无量纲的量, 故称 定理.
6
§6 – 2 量纲分析法
在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种: 一种称之为瑞利 ( Rayleigh) 法, 此法适用于较简单的问题. 另一种称之为 定理或白金汉 (Buckingham)定理, 是一种具有普遍性的方法.
一. 瑞利法 瑞利法的基本原理是, 设描述某一物理现象同n个物理量有关 若其物理方程表达为
比较两边可得:
M:
0ac
求解可得: a 1
b4
L: 3 2a b c T: 1 2a c
c 1
所以有
p 4 1 Q K r l
K由实验获得.
11
例4. 一个球形物体在黏性流体中运动所受阻力FD ,经实验发现与球体的直径、 球体的运动速度、流体的密度及粘度有关,试用量纲分析法(瑞利法)推导阻力FD 的公式. 设阻力与各有关物理量的关系式为:
根据输水管路计算所用的方程, (波努利方程和流量方程) 可设水泵功率表达式为:
N K g Qb H c
a
由量纲和谐原理
WT K ML LT L T L MLT LT K ML LT L T L ML T K ML T L T L
1
a d b vc
1 1 1
FD 2 a2 b2 c2 d v
各 是纯数 , 无量纲, 或是说量纲为1. 原物理量关系式可表示为
F 1、 2 0
1 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ :
ML T ML L LT
1 1 3 a1 b1
a d b vc
长度l q3
v LT 11
L3 1M
1 3 1 1 0 0 0 1 1 0
L 11
3. 基本物理量依次与其余物理量组成n – 3 个 项.
1
q4 a b c q1 1 q21 q31
2
q5 a b c q1 2 q22 q32
a2 b2 c2
FD d v
2 3 a2
MLT ML L LT
b2
1 c 2
M: 1 a2 比较两边: L: 1 3a2 b2 c2 T: 原物理过程可表为:
1. 凡能正确反映客观规律的物理方程, 一定可表示成无量纲的方程, 因为方程 中各项的量纲相同, 只须用其中某一项去除其余各项,便可得一无量纲的方程. 但此方程仍旧保持了原方程的物理性质. 2. 量纲和谐原理表达了一个物理过程中相关物理量的确定关系, 如力与质量和加 速度的关系, 应力与应变和弹性模量之间的关系, 水头(长度)与应力和质量密度及 加速度之间的关系等.量纲分析法便由此而来.
3 1 b
c
比较两边可得:
M: a 1 L: T:
2a 3b c 2
2a b 3
b1
于是可得:
a1
c1
a N K g Qb H c KgQH
K值由实验确定
10
例3. (书上例6 – 2 ) 试求圆管流量关系式 由已有的资料可知, 流量与管端的压力差成正比,与管长成反比, 同时,可知 流量还与截面面积,(变数为半径r ) 粘性系数 有关.
f q1 , q,2 ...qn 0
则其中的一个物理量可以表达成其它物理量的幂的乘积形式
a b p qi Kq1 q2 ...qn1
根据量纲和谐原理,确定指数ab…p, 就可得到该物理过程的方程式.
例1. 求单摆的振动周期表达式
7
设, 小球振动周期
T kla mb g c
l
由量纲和谐原理 比较两边可得:
第六章 量纲分析与相似原理
对于流体力学, 连续性方程、伯努利方程、动量定理等由理论方法得出的 客观规律使我们能准确地求解一些较简单的工程流体力学的问题.但是,由于流 体运动的复杂性, 当今大多数实际的工程流体力学问题往往需要依靠实验或理 论与实验相结合的方法来解决.如前面提到的各种条件下的水头损失问题, 因子 的确定, 的确定,目前就是主要依靠实验的方法进行研究.而量纲分析和相似原 理, 就为有效地设计实验,处理实验数据提供正确的指导思想. 对于一个复杂的流动现象进行实验研究, 实验中可变的因素有很多, 另外,受 实验条件的限制, 多数不可能在实物上进行, 需要模拟. 而量纲分析和相似原理 为这些问题的解决提供了理论依据.例如, 可以根据量纲分析对某一流动现象中 的若干变量进行组合, 选择能方便操作和测量的变量进行实验, 这样可以大幅度 地减少实验的工作量,并且可使实验的数据整理和分析变得比较容易.
定理的应用步骤如下: 1. 找出对某物理过程有影响的物理量
f q1 , q,2 ...qn 0
14
2. 从上面n个物理量中选取m个量纲互相独立的基本量, 对于不可压缩的流 体运动, 一般选m = 3 个. 设q1 、q2 、q3 为所选的基本物理量, 由量纲公式
q1 L T1 M1 1 q2 L T2 M2 2 q3 L T3 M3 3
量纲分析和相似原理不仅在流体力学中有许多应用, 而且也广泛地应用于 其它工程领域的研究. 所以, 懂得和掌握量纲分析和相似原理,对于一个工程 技术人员是十分必要的.
2
§6 – 1 量纲及量纲和谐原理
一. 量纲
什么叫量纲? 简单的讲就是, 表示物理量本质属性的度量标准, 就是量纲.
量纲分为基本量纲和导出量纲. 基本量纲是互相独立的量纲, 而导出 量纲是由基本量纲组合的其它物理量的量纲. 在力学范围内, 基本量纲有三个: 长度、时间和质量. 即L、T、M. 而导出的量纲有:
e
3个方程4个未知数, 设e为待定, 则有:
a 2e
FD Kd 2e v 2e 1e e
dv FD Kd 2 v 2
12
2 2 dv FD Kd v
Kd 2v 2 Re e
1 1 1 2 2 2
3
3
3
满足所选的3个基本物理量独立的条件是, 量纲式中的指数行列式不为零
即
1 2 3
1 1 2 2 0 3 3
对于不可压缩的流体运动, 通常选取的基本物理量是:
速度v q1 密度 q2
长度l q3
15
速度v q1
密度 q2
mg