【优化方案】2012高三数学一轮复习 第1章1.2命题、充分条件与必要条件课件 文 北师大版
高考数学一轮复习第1章第2节命题及其关系充分条件与必要条件课件理
2．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p⇒q，则 p 是 q 的 3 __充__分_____条件，q 是 p 的 4 ___必__要____条件
p 是 q 的 5 __充__分__不__必__要___条件
p⇒q 且 q⇒/ p
p 是 q 的 6 __必__要__不__充__分___条件
p⇒/ q 且 q⇒p
►名师点津 解决与充要条件有关的应用交汇问题的关键是根据交汇知识，弄清充要关系进行判 断，判断时注意方法灵活，可直接或验证判断．
|跟踪训练|
(2020 届贵阳摸底)“m＝43”是“直线 x－my＋4m－2＝0 与圆 x2＋y2＝4 相切”的
() A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
|变式探究|
1．本例条件若改为“x∈P 是 x∈S 的必要条件”问题不变．
解：∵x∈P 是 x∈S 的必要条件， 即 x∈S⇒x∈P，∴S⊆P.
1－m≥－2， ∴1－m>1＋m 或1＋m≤10，
1－m≤1＋m， ∴m≤3.
2．本例条件若改为“﹁P 是﹁S 的必要不充分条件”问题不变． 解：∵﹁P 是﹁S 的必要不充分条件， ∴S 是 P 的必要不充分条件， ∴P 是 S 的充分不必要条件．
利用等价 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假
转化法
|跟踪训练|
(2019 年天津卷)设 x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 B ∵|x－1|<1，∴0<x<2， ∵0<x<5⇒/ 0<x<2，但 0<x<2⇒0<x<5， ∴“0<x<5”是“0<x<2”的必要不充分条件，即“0<x<5”是“|x－1|<1”的必要不充分 条件．故选 B．
高考数学一轮复习 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件精品学案
2012版高三数学一轮精品复习学案：第一章集合与常用逻辑用语第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件【高考目标导航】 一、考纲点击 1、理解命题的概念；2、了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
二、热点、难点提示1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。
【考纲知识梳理】 1、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
2、四种命题及其关系 （1）四种命题命题 表述形式 原命题 若p ，则q 逆命题 若q ，则p 否命题 若p ⌝，则q ⌝ 逆否命题若q ⌝，则p ⌝（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。
命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。
3、充分条件与必要条件（1）“若p ，则q ”为真命题，记p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
（2）如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，记作p q ⇔，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。
【要点名师透析】一、命题的关系与真假的判断 1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。
（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。
注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。
高考数学一轮总复习 第一章 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
思维升华
(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题 需举出反例即可. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真
师生共研
题型二 充分、必要条件的判定
(2)设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条 解析 由Δ＝16－4n≥0，得n≤4， 又n∈N*，则n＝1,2,3,4. 当n＝1,2时，方程没有整数根； 当n＝3时，方程有整数根1,3， 当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.
核心素养之逻辑推理
HEXINSUYANGZHILUOJITUILI
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的
√A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.
所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
思维升华
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10} 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
1－m≤1＋m， 则1－m≥－2， ∴0≤m≤3.
1＋m≤10，
引申探究
若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条 解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的 充分 条件，q是p的 必要 条
p是q的 充分不必要 条件
新高考数学一轮复习教师用书：第1章 2 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且⇒/ pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3＜0”是命题．( )(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则﹁q”．( )(3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件．( )(5)q不是p的必要条件时,“p ⇒/q”成立．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√[教材衍化]1．(选修2－1P12A组T2改编)命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是________,是________命题(填“真”或“假”)解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”．答案：若x≤y,则x2≤y2假2．(选修2－1P12A组T3改编)设x∈R,则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________条件．解析：2－x≥0,则x≤2,(x－1)2≤1,则－1≤x－1≤1,即0≤x≤2,据此可知,“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．答案：必要不充分[易错纠偏](1)命题的条件与结论不明确；(2)对充分必要条件判断错误．1．命题“若a2＋b2＝0,a,b∈R,则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2＋b2≠02．条件p：x>a,条件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________；(2)若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是________．解析：设A＝{x|x>a},B＝{x|x≥2},(1)因为p是q的充分不必要条件,所以A B,所以a≥2；(2)因为p是q的必要不充分条件,所以B A,所以a<2.答案：(1)a≥2(2)a<2四种命题的相互关系及真假判断(1)(2020·浙江重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”,命题q：“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定(2)(2020·温州模拟)命题“若x2＋y2＝0,x,y∈R,则x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若x≠y≠0,x,y∈R,则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0,x,y∈R,则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0,x,y∈R,则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2＋y2≠0【解析】 (1)命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数,则它的平方不等于0”,从而q 是p 的否命题,故选B.(2)将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可．由x ＝y ＝0知x ＝0且y ＝0,其否定是x≠0或y≠0. 【答案】 (1)B (2)D(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点 ①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写． ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性,一旦一个命题定为原命题,相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)判断命题真假的2种方法①直接判断：判断一个命题为真命题,要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题,只需举出一个反例即可．②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．1．命题“若a 2>b 2,则a>b”的否命题是( ) A ．若a 2>b 2,则a≤b B ．若a 2≤b 2,则a≤b C ．若a≤b ,则a 2>b 2D ．若a≤b ,则a 2≤b 2解析：选B.根据命题的否命题若“﹁p,则﹁q”知选B. 2．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1,则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y,则x ＞|y|”的逆命题 C ．命题“若x ＝1,则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1,则x ＞1”的逆否命题解析：选B.对于A,命题“若x ＞1,则x 2＞1”的否命题为“若x≤1,则x 2≤1”,易知当x ＝－2时,x2＝4＞1,故为假命题；对于B,命题“若x ＞y,则x ＞|y|”的逆命题为“若x ＞|y|,则x ＞y”,分析可知为真命题；对于C,命题“若x ＝1,则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x≠1,则x 2＋x －2≠0”,易知当x ＝－2时,x2＋x －2＝0,故为假命题；对于D,命题“若1x ＞1,则x ＞1”的逆否命题为“若x≤1,则1x ≤1”,易知为假命题,故选B.充分条件、必要条件的判断(高频考点)充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点,常以选择题的形式出现,作为一个重要载体,考查的知识面很广,几乎涉及数学知识的各个方面．主要命题角度有：(1)判断指定条件与结论之间的关系； (2)与命题的真假性相交汇命题． 角度一 判断指定条件与结论之间的关系(1)(2019·高考浙江卷)设a>0,b>0,则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·高考浙江卷)已知平面α,直线m,n 满足m ⊄α,n ⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 (1)通解：因为a>0,b>0,所以a ＋b≥2ab,由a ＋b≤4可得2ab ≤4,解得ab≤4,所以充分性成立；当ab≤4时,取a ＝8,b ＝13,满足ab≤4,但a ＋b>4,所以必要性不成立,所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.优解：在同一坐标系内作出函数b ＝4－a,b ＝4a 的图象,如图,则不等式a ＋b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a ＋b ＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b ＝4a 及其左下方(第一象限中的部分),易知当a ＋b≤4成立时,ab ≤4成立,而当ab≤4成立时,a ＋b≤4不一定成立．故选A.(2)若m ⊄α,n ⊂α,m ∥n,由线面平行的判定定理知m ∥α.若m∥α,m ⊄α,n ⊂α,不一定推出m∥n ,直线m 与n 可能异面,故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.【答案】 (1)A (2)A角度二 与命题的真假性相交汇命题(2020·杭州模拟)下列有关命题的说法正确的是( ) A ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件 B ．p ：A∩B＝A ；q ：AB,则p 是q 的充分不必要条件C ．已知数列{a n },若p ：对于任意的n∈N *,点P n (n,a n )都在直线y ＝2x ＋1上；q ：{a n }为等差数列,则p 是q 的充要条件D ．“x<0”是“ln(1＋x)<0”的必要不充分条件【解析】 选项A ：当x ＝－1时,x 2－5x －6＝0,所以x ＝－1是x 2－5x －6＝0的充分条件,故A 错． 选项B ：因为A∩B＝A ⇒/AB(如A ＝B),而A B ⇒A ∩B ＝A,从而p ⇒/ q,q ⇒p,所以p 是q 的必要不充分条件,故B 错． 选项C ：因为P n (n,a n )在直线y ＝2x ＋1上． 所以a n ＝2n ＋1(n∈N *),则a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋1－(2n ＋1)＝2,又由n 的任意性可知数列{a n }是公差为2的等差数列,即p ⇒q.但反之则不成立,如：令a n ＝n,则{a n }为等差数列,但点(n,n)不在直线y ＝2x ＋1上,从而q ⇒/ p. 从而可知p 是q 的充分不必要条件,故C 错．选项D ：利用充分条件和必要条件的概念判断．因为ln(x ＋1)<0⇔0<x ＋1<1⇔－1<x<0,所以“x<0”是“ln(x ＋1)<0”的必要不充分条件．故D 正确．【答案】 D判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与﹁B ⇒﹁A,B ⇒A 与﹁A ⇒﹁B,A ⇔B 与﹁B ⇔﹁A 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B,则A 是B 的充要条件．[提醒] 判断充要条件需注意3点 (1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时,可举出反例说明．1．(2020·杭州市富阳二中高三开学检测)若a,b 为实数,则“ 3a <3b”是“1|a|>1|b|”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.根据题意,若“3a <3b”,则有a<b,而“1|a|>1|b|”不一定成立,如a ＝－3,b ＝1；若“1|a|>1|b|”,则有|a|<|b|,“3a <3b ”不一定成立,如a ＝1,b ＝－3,故“3a <3b”是“1|a|>1|b|”的既不充分也不必要条件．2．(2020·“超级全能生”高考浙江省联考)已知函数f(x)＝sin x,x ∈[0,2π),则“f(x)≥0”是“f(x 2)≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.由f(x)≥0⇒x ∈[0,π],由f(x 2)≥0⇒x 2∈[0,π]⇒x ∈[0,π], 因为[0,π]⊆[0,π],由集合性质可知为必要不充分条件．充分条件、必要条件的应用(1)已知p ：|x ＋1|＞2,q ：x ＞a,且﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≤－3 C ．a ≥－1D ．a ≥1(2)已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0},非空集合S ＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件,则m 的取值范围为________．【解析】 (1)由|x ＋1|＞2,解得x ＞1或x ＜－3,因为﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,所以q 是p 的充分不必要条件, 从而可得(a,＋∞)是(－∞,－3)∪(1,＋∞)的真子集, 所以a≥1,故选D.(2)由x 2－8x －20≤0,得－2≤x≤10, 所以P ＝{x|－2≤x≤10},由x∈P 是x∈S 的必要条件,知S ⊆P. 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时,x ∈P 是x∈S 的必要条件, 即所求m 的取值范围是[0,3]． 【答案】 (1)D (2)[0,3](变问法)本例(2)条件不变,若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件,求实数m 的取值范围． 解：由例题知P ＝{x|－2≤x≤10},因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件, 所以P ⇒S 且S ⇒/ P.所以[－2,10][1－m,1＋m]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m≥10.所以m≥9,即m 的取值范围是[9,＋∞)．利用充要条件求参数应关注2点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍．[提醒] 含有参数的问题,要注意分类讨论．(2020·金华一模)已知命题p：实数m满足m2＋12a2<7am(a>0),命题q：实数m满足方程x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆．若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为________．解析：由a>0,m2－7am＋12a2<0,得3a<m<4a,即命题p：3a<m<4a,a>0.由x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆,可得2－m>m－1>0,解得1<m<32,即命题q：1<m<32.因为p是q的充分不必要条件,所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥14a≤32,解得13≤a≤38,所以实数a的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38[基础题组练]1．下列命题是真命题的是( )A．若1x＝1y,则x＝y B．若x2＝1,则x＝1C．若x＝y,则x＝y D．若x＜y,则x2＜y2解析：选A.由1x＝1y得x＝y,A正确；由x2＝1得x＝±1,B错误；由x＝y,x,y不一定有意义,C错误；由x＜y不一定能得到x2＜y2,如x＝－2,y＝－1,D错误,故选A.2．命题“若x＞1,则x＞0”的逆否命题是( )A．若x≤0,则x≤1 B．若x≤0,则x＞1C．若x＞0,则x≤1 D．若x＜0,则x＜1解析：选A.依题意,命题“若x＞1,则x＞0”的逆否命题是“若x≤0,则x≤1”,故选A.3．设a,b 是实数,则“a＋b>0”是“ab>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.特值法：当a ＝10,b ＝－1时,a ＋b ＞0,ab ＜0,故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0；当a ＝－2,b ＝－1时,ab ＞0,但a ＋b ＜0,所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a＋b ＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．4．(2020·金华市东阳二中高三调研)若“0<x<1”是“(x－a)[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞,0]∪[1,＋∞)D ．(－∞,－1]∪[0,＋∞)解析：选A.由(x －a)[x －(a ＋2)]≤0得a≤x≤a＋2,要使“0<x<1”是“(x－a)[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件,则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥1a≤0,所以－1≤a≤0.5．(2020·杭州中学高三月考)已知a,b ∈R,条件p ：“a>b”,条件q ：“2a >2b－1”,则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由条件p ：“a>b”,再根据函数y ＝2x是增函数,可得2a>2b,所以2a>2b－1,故条件q ：“2a>2b－1”成立,故充分性成立．但由条件q ：“2a>2b－1”成立,不能推出条件p ：“a>b”成立,例如由20>20－1成立,不能推出0>0,故必要性不成立．故p 是q 的充分不必要条件,故选A.6．已知a,b ∈R,则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是( ) A ．|a|＋|b|≥4 B ．|a|≥4C ．|a|≥2且|b|≥2D ．b<－4解析：选D.由b<－4可得|a|＋|b|>4,但由|a|＋|b|>4得不到b<－4,如a ＝1,b ＝5. 7．已知直线l,m,其中只有m 在平面α内,则“l∥α”是“l∥m”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当l∥α时,直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能,所以l∥m 不一定成立；当l∥m 时,根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α,即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件,故选B.8．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“sin A＞sin B”是“a＞b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.设△ABC外接圆的半径为R,若sin A＞sin B,则2Rsin A＞2Rsin B,即a＞b；若a＞b,则a2R＞b2R,即sin A＞sin B,所以在△ABC中,“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件,故选C.9．设向量a＝(1,x－1),b＝(x＋1,3),则“x＝2”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.依题意,注意到a∥b的充要条件是1×3＝(x－1)(x＋1),即x＝±2.因此,由x＝2可得a∥b,“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2,“x＝2”不是“a∥b”的必要条件,故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件,选A.10．下列选项中,p是q的必要不充分条件的是( )A．p：x＝1,q：x2＝xB．p：|a|>|b|,q：a2>b2C．p：x>a2＋b2,q：x>2abD．p：a＋c>b＋d,q：a>b且c>d解析：选D.A中,x＝1⇒x2＝x,x2＝x⇒x＝0或x＝1⇒/ x＝1,故p是q的充分不必要条件；B中,因为|a|>|b|,根据不等式的性质可得a2>b2,反之也成立,故p是q的充要条件；C中,因为a2＋b2≥2ab,由x>a2＋b2,得x>2ab,反之不成立,故p是q的充分不必要条件；D中,取a＝－1,b＝1,c＝0,d＝－3,满足a＋c>b ＋d,但是a<b,c>d,反之,由同向不等式可加性得a>b,c>d⇒a＋c>b＋d,故p是q的必要不充分条件．综上所述,故选D.11．对于原命题：“已知a、b、c∈R,若ac2＞bc2,则a＞b”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题,真命题的个数为________．解析：原命题为真命题,故逆否命题为真；逆命题：若a＞b,则ac2＞bc2为假命题,故否命题为假命题,所以真命题个数为2.答案：212．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．解析：已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称,则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案：m＝－213已知α：x≥a,β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________．解析：α：x≥a,可看作集合A＝{x|x≥a},因为β：|x－1|<1,所以0<x<2,所以β可看作集合B ＝{x|0<x<2}． 又因为α是β的必要不充分条件． 所以BA,所以a≤0.答案：(－∞,0]14．设平面α与平面β相交于直线m,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b⊥m ,则“a⊥b”是“α⊥β”的________条件(只填充分不必要、必要不充分、充分必要,既不充分也不必要)．解析：因为α⊥β,b⊥m ,所以b⊥α,又直线a 在平面α内,所以a⊥b；又直线a,m 不一定相交,所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件．答案：必要不充分15．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题,则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立,当a ＝0时,－3≤0成立；当a≠0时,得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ＝4a 2＋12a≤0，解得－3≤a<0,故－3≤a≤0.答案：[－3,0]16．已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,q ：1－m≤x≤1＋m(m>0),且綈p 是綈q 的必要而不充分条件,则实数m 的取值范围为________．解析：法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,得－2≤x≤10, 所以綈p 对应的集合为{x|x>10或x<－2}, 设A ＝{x|x>10或x<－2}． 1－m≤x≤1＋m(m>0),所以綈q 对应的集合为{x|x>m ＋1或x<1－m,m>0}, 设B ＝{x|x>m ＋1或x<1－m,m>0}． 因为﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件,所以B A,所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≤－2，1＋m≥10，且不能同时取得等号．解得m≥9,所以实数m 的取值范围为[9,＋∞)． 法二：因为﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件, 所以q 是p 的必要而不充分条件． 即p 是q 的充分而不必要条件,因为q 对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m,m>0}, 设M ＝{x|1－m≤x≤1＋m,m>0},又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,得－2≤x≤10, 所以p 对应的集合为{x|－2≤x≤10},设N ＝{x|－2≤x≤10}．由p 是q 的充分而不必要条件知N M,所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≤－2，1＋m≥10，且不能同时取等号,解得m≥9.所以实数m 的取值范围为[9,＋∞)．答案：[9,＋∞)17．给出下列命题：①已知集合A ＝{1,a},B ＝{1,2,3},则“a＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件；②“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件；③“函数f(x)＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)解析：①因为“a＝3”可以推出“A ⊆B ”,但“A ⊆B ”不能推出“a＝3”,所以“a＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件,故①正确；②“x＜0”不能推出“ln(x ＋1)＜0”,但“ln(x ＋1)＜0”可以推出“x＜0”,所以“x＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件,故②正确；③f(x)＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax,若其最小正周期为π,则2π2|a|＝π⇒a ＝±1,因此“函数f(x)＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件,故③错误；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a·b＜0”,但由“a·b＜0”,得“平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角”,所以“a·b＜0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件,故④错误．正确命题的序号是①②.答案：①②[综合题组练]1．设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6, sin θ＜12⇔θ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6,k ∈Z,⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6,k ∈Z, 所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ,B ＝{x|－1<x<m ＋1,x ∈R},若x∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A,则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x|－1<x<3},x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x∈A , 所以A B,所以m ＋1>3,即m>2.答案：m ＞23．已知函数f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,a,b ∈R,对命题“若a ＋b≥0,则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论；(2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论．解：(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,a,b ∈R,若a ＋b<0,则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．该命题是真命题,证明如下：因为a ＋b<0,所以a<－b,b<－a.又因为f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数．所以f(a)<f(－b),f(b)<f(－a),因此f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b),所以否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,a,b ∈R,若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b),则a ＋b<0.真命题,可通过证明原命题为真来证明它．因为a ＋b≥0,所以a≥－b,b ≥－a,因为f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,所以f(a)≥f(－b),f(b)≥f(－a),所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b),故原命题为真命题,所以逆否命题为真命题．4．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0,求两方程的根都是整数的充要条件．解：因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程,所以m≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0,且两方程都要有实根,所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0，解得m∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数,所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z. 所以m 为4的约数．又因为m∈错误!,所以m ＝－1或1.当m ＝－1时,第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数；而当m ＝1时,两方程的根均为整数,所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.5．已知p ：x 2－7x ＋12≤0,q ：(x －a)(x －a －1)≤0.(1)是否存在实数a,使﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,若存在,求实数a 的取值范围；若不存在,请说明理由．(2)是否存在实数a,使p 是q 的充要条件,若存在,求出a 的值；若不存在,请说明理由．解：因为p ：3≤x≤4,q ：a≤x≤a＋1.(1)因为﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,所以﹁p ⇒﹁q,且﹁q ⇒/﹁p,所以q ⇒p,且p ⇒/ q,即q 是p 的充分不必要条件,故{x|a≤x≤a＋1}{x|3≤x ≤4},所以⎩⎪⎨⎪⎧a>3，a ＋1≤4或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1<4，无解, 所以不存在实数a,使﹁p 是﹁q 的充分不必要条件．(2)若p 是q 的充要条件,则{x|a≤x≤a＋1}＝{x|3≤x ≤4},所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＋1＝4， 解得a ＝3.故存在实数a ＝3,使p 是q 的充要条件．。
【优化探究】高考数学一轮复习 1-2 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 文
二、充分条件与必要条件 3．(2014年高考广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别
为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的(
A．充分必要条件 B．充分非必要条件
)
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件
a b 解析：由正弦定理 ＝ ＝2R(R 为三角形外接圆半径)得，a＝ sin A sin B 2Rsin A，b＝2Rsin B，故 a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B⇔sin A≤sin B，故选 A.
么(q)．
2．尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件，推理方法可以用直 接证明法或间接证明法．
3．确定条件是结论的什么条件，抓住“以小推大”的技巧，即小
范围推得大范围． 4．判断的结论需分四种情况：充分不必要条件、必要不充分条件、
充要条件、既不充分也不必要条件．
一、四种命题及其关系 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)语句x2－3x＋2＝0是命题( ) ) (2)一个命题的逆命题与否命题，它们的真假没有关系( 立”( ) )
(3)命题“如果p不成立，则q不成立”等价于“如果q成立，则p成
(4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达
的意义相同(
解析：(1)变量 x 没有赋值，无法判断语句的真假，故不是命题． (2)一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，因此它们有相同的真 假性． (3)一个命题与其逆否命题同真假． (4)p 是 q 的充分不必要条件是指 p⇒q 且 q 件是 q 是指 q⇒p 且 p p；p 的充分不必要条
三、四种命题的真假关系
1．两个命题互为逆否命题，它们有 相同 的真假性． 2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 没有 关
高三数学一轮复习优质教案6：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件教学设计
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件一、必记个知识点1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．二、必明2个易误区1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B ⇒/A)；与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．三、必会2个方法1．判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B 时，则p 是q 的充分不必要条件；②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B A 时，则p 是q 的必要不充分条件；③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件．(3)等价转化法：p 是q 的什么条件等价于⌝q 是⌝p 的什么条件．2．转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假． 考点一 命题及其相互关系1.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4『解析』选C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 考点二 充分必要条件的判定『典例』 (1)(2013·山东高考)给定两个命题p ，q .若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』 (1)由q ⇒⌝p 且⌝p ⇒/ q 可得p ⇒⌝q 且⌝q ⇒/p ，所以p 是⌝q 的充分而不必要条件．(2)由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．『答案』 (1)A (2)A『针对训练』下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0.解：(1)若A ＝B ，则sin A ＝sin B ，即p ⇒q .又若sin A ＝sin B ，则2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b .故A ＝B ，即q ⇒p .所以p 是q 的充要条件．(2)p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0，或x ≤－1}＝B ，∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件． 考点三 充分必要条件的应用『典例』 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．『解』 (1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3. 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．课后作业『试一试』1．(2013·福建高考)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A “x ＝2且y ＝－1”满足方程x ＋y －1＝0，故“x ＝2且y ＝－1”可推出“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”；但方程x ＋y －1＝0有无数多个解，故“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”不能推出“x ＝2且y ＝－1”，故“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的充分不必要条件．2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为：____________________. 『解析』原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°，结论：∠A 、∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 不都是锐角”．『答案』“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 不都是锐角”『练一练』1．(2014·济南模拟)设x ∈R ，则“x 2－3x >0”是“x >4”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选B 由x 2－3x >0得x >3或x <0，此时得不出x >4，但当x >4时，不等式x 2－3x >0恒成立，所以正确选项为B.2．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是________．『解析』原命题与其逆否命题为等价命题．『答案』若b ∈M ，则a ∉M做一做1．(2013·安徽高考)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选B 由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或0，因为“x ＝12或0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．(2013·九江一模)命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x >y ，则x 2>y 2”C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”『解析』选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．3．(2014·福建质检)已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A 依题意，当m ＝－2时，a ＝(4,4)，b ＝(1,1)，所以a ＝4b ，a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．4．(2013·聊城期末)设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是(∁U A )∪B ＝U 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A 如图所示，A B ⇒(∁U A )∪B ＝U ；但(∁U A )∪B ＝U ⇒/A B ，如A ＝B ，因此A B 是(∁U A )∪B ＝U 的充分不必要条件．5．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是________．『答案』若a ≤b ，则a －1≤b －1 6.创新题已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．『解析』A ＝{x |x <4}，由题意得A B 结合数轴易得a >4.『答案』(4，＋∞)『课下提升考能』1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以NM ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2013·潍坊模拟)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题『解析』选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 3．(2013·乌鲁木齐质检)“a >0”是“a 2＋a ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A a >0⇒a 2＋a ≥0；反之a 2＋a ≥0⇒a ≥0或a ≤－1，不能推出a >0，选A.。
【优化方案】高考数学 第一章 第2课时 命题及其关系、充分条件与必要条件复习课件 新人教A版
5．下列命题： ①“a＞b”是“a2＞b2”的必要条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的
充要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．
②③ 其中是真命题的是________ ．
四种命题及其关系
给出下列四个结论：
①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题为真命题； ②“∃x0∈R，使得x2－x＞0”的否定是：“∀x∈R，均有x2－x ＜0”； ③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件； ④p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}，p且q为真命题． ①④ 其中正确结论的序号是________.( 填写所有正确结论的序号) [课堂笔记]
[课堂笔记]
【解析】 (1)当 x＝ 2 且 y＝－ 1 时，满足方程 x＋ y－ 1＝ 0， 即点 P(2，－ 1)在直线 l 上．点 P′(0，1)在直线 l 上，但不满 足 x＝ 2 且 y＝－ 1，∴ “x＝ 2 且 y＝－1”是 “点 P(x，y)在直线 l 上 ”的充分而不必要条件． m 1 m 1 (2)∵ y＝－ x＋ 经过第一、三、四象限，故－ ＞0， ＜ 0， n n n n 即 m＞0， n＜ 0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条 件为 mn＜ 0.
温馨提醒：“否命题”与“命题的否定”的不同： 否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的 否定是只否定命题的结论．要注意区别．
3．充分条件、必要条件与充要条件
p是q (1)“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q，则__________ 的充 q______ 是p 分条件， 的必要条件． (2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则p是q的
第一章
集合与常用逻辑用语
第2课时
命题及其关系、充分条件与 必要条件
【人教A版】2012高三数学(理)《优化方案》总复习课件第1章第1课时
则4a>－12 －1a≤2
a<－8 ，∴a≤－12 ，∴a<－8.
当 a>0 时，若 A⊆B，如图：
思考感悟 ∅、{0}、{∅}三者之间有怎样的关系？ 提示：∅ {0}，若把∅当元素，有∅∈{∅}，若 把∅当集合，有∅ {∅}．
考点探究·挑战高考
考点突跛
集合的基本概念 解决集合概念相关问题常用到集合元素的互异 性，一可以作为解题的依据和突破口解决问题， 二可广州质检)设 a，b∈R，集合{a， ba，1}＝{a2，a＋b,0}，求 a2011＋b2011 的值．
【规律小结】 (1)解决此类题目，应利用集合 相等的定义，首先分析已知元素与另一个集合 中的哪一个元素相等，有几种情况等，然后列 方程组，求解．本例中从元素“0”着手分析， 问题变得简单． (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后， 要注意检验集合是否满足互异性．
互动探究 1 本例中若集合{1，a＋b，a}＝{0， ba，b}，则 a2011＋b2011 的值是多少？
第1章 集合与常用逻辑用语
第1课时 集合的概念
温故夯基·面对高考
第
1
课
时
考点探究·挑战高考
集
合
的
概
念
考向瞭望·把脉高考
温故夯基·面对高考
1．集合与元素 (1)集合中元素的特性：_确__定__性___、_互__异__性___、 _无__序__性___． (2)集合与元素的关系 ①a属于集合A，用符号语言记作_a_∈__A__. ②a不属于集合A，用符号语言记作__a_∉_A__.
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A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
答案：B
D．既不充分也不必要条件
4．(2011年铜川质检)命题“若x2＞y2，则x＞y”的
逆否命题是________．
答案：若x≤y，则x2≤y2
5．下列命题： 2 2 ①若 x ＋y ＝0，则 x＝y＝0； 2 ②若 x ＝1，则 x＝1； ③若 x＝ y，则 x＝y； ④若 x＜y，则 x2＜y2. 其逆命题为真命题的序号为________．
真题透析 (2010年高考北京卷)a，b为非零向量， “a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)· (xb－a)为一次函 数”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
例
【解析】 f(x)＝(xa＋b)· (xb－a)＝(a· 2＋xb2 b)x －xa2－a· b＝(a· 2＋x(b2－a2)－a· b)x b. 充分性：∵a⊥b，∴a· b＝0， ∴f(x)＝(b2－a2)x， 若|a|≠|b|，则f(x)是一次函数，若|a|＝|b|，则f(x) 是常函数，∴充分性不成立． 必要性：∵f(x)是一次函数， ∴a· b＝0且b2－a2≠0， ∴a⊥b且|b|≠|a|， ∴必要性成立．故选B. 【答案】 B
1－m≥－2 ∴ ，解得 m≤3. 1＋m≤10
∴存在 m≤3 使 x∈P 是 x∈S 的必要条件．
【规律方法】 (1)解决此类问题一般是把充分条件、 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后 根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解． (2)记p、q对应的集合分别为A、B，则： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若AB，则p是q的充分不必要条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的必要不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若AB，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件 .
∵
p是
q 的必要不充分条件，
m＞0， ∴AB⇔1－m≤－2， 1＋m≥10.
解得 m≥9. 所以，实数 m 的取值范围是{m|m≥9}．
法二：∵ p 是 q 的必要不充分条件， ∴ q⇒ p，且 pD q. ∴p⇒q，且 qD p， 即 p 是 q 的充分不必要条件． ∵p：C＝{x|－2≤x≤10}， q：D＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}， ∴CD， 1＋m≥10， ∴ 1－m≤－2， ∴m≥9， 所以，实数 m 的取值范围是{m|m≥9}．
“已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函 数，a，b∈R，求证：若a＋b≥0，则f(a)＋ f(b)≤f(－a)＋f(－b)．”是否是命题？若是回答下 列问题，若不是改写为命题后回答下列问题． (1)写出否命题，判定真假，并证明你的结论； (2)写出逆命题，判定真假，并证明你的结论． 【思路点拨】 能够判断真假的陈述句是命题， 题目所给的是祈使句，改写为命题后，把原命 题的条件和结论都加以否定则为否命题，条件 和结论互换得逆命题．
3．命题的充要关系的判断方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”、“若q，则p” 的真假．(如例2(3)) (2)等价法：即利用A⇒B与¬ B⇒¬ A；B⇒A与 ¬ A⇒¬ B；A⇔B与¬ B⇔¬ A的等价关系，对于条 件或结论是否定式的命题，一般运用等价 法．(如例3变式) (3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A 是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B， 则A是B的充要条件．(如例3)
思考感悟 2．命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为 假，则p是q的什么条件？
提示：因为“若p，则q”的逆命题“若q，则p”为
真，所以q⇒p.即p是q的必要条件，又因为“若p，
则q”的逆否命题“若﹁ q，则﹁ p”为假，即“若p，
则q”为假，所以pD q，故p不是q的充分条件，
所以p是q的必要不充分条件．
π (2)∵0＜x＜ ，∴0＜sinx＜1. 2 由 xsinx＜1，知 xsin2x＜xsinx＜1. 因此必要性成立． 1 2 由 xsin x＜1，得 xsinx＜ . sinx 1 而 ＞1，因此充分性不成立． sinx ∴p 是 q 的必要不充分条件．
π (3)当 x＝kπ＋ (k∈Z)时，tanx＝1， 4 ∴充分性成立． π 又当 tanx＝1 时，x＝kπ＋ ，k∈Z， 4 π π ∴x＝kπ＋ (k∈Z)成立，即 x＝kπ＋ (k∈Z)是 4 4 tanx＝1 的必要条件． ∴p 是 q 的充要条件．
失误防范 1．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条 件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p， 只要否定命题p的结论即可．如命题p：已知实 数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.否命题：已知实 数a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b.命题的否定：已知 实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b. 2．B的充分条件是A，是指A⇒B，A的充分条件 是B，是指B⇒A，A的充要条件是B，充分性是 指B⇒A，必要性是A⇒B，此语句应抓“条件是 B”．A是B的充要条件，此语句应抓“A是条件 ”．要注意A与B之间关系的方向性，不要混淆．
例2
π (3)p：x＝kπ＋ (k∈Z)，q：tanx＝1. 4
【思路点拨】
分清命题的条件和结论，
分析由前者能否推出后者，由后者能否推
出前者或用集合的包含关系求解． 【解】 (1)∵x2＋x＋m＝0 有实数解． 1 ∴Δ＝1－4m≥0，∴m≤ . 4 1 1 令 A＝{m|m＜ }，B＝{m|m≤ }． 4 4 显然 AB. ∴p 是 q 的充分不必要条件．
2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系 相同 ①两个命题互为逆否命题，它们有____的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 _________________ 不一定相同．
思考感悟
1．根据四种命题的关系判断原命题的逆命题
和否命题的真假关系如何？
答案：①②
考点探究•挑战高考
考点突破
命题的关系及其真假的判断 本考点主要包括命题的概念，四种命题及其真假 的判断，判断一个语句是不是命题，要看它是否 符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件； 判断命题的真假关键是要分清命题的条件与结论， 然后直接判断，如果不易直接判断的，可根据互 为逆否命题的等价关系来判断．
课前热身
1 ． (教 材 例 题 改 编 题 )下 列 语 句 是 命 题 的 是 ( ) ① 3是无理数吗？ ②a2＋a＋1＞0. ③一个整数的平方是偶数， 则这个整数是偶数． ④若 x2＜1，则－1＜x＜1. 2 ⑤若 x∈R，则 x ＋4x＋10＞0. A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 答案：D
考向瞭望•把脉高考
考情分析 从近两年的高考来看，命题的考查以基本概念为 主，并且以命题为工具考查其他知识，有关“命 题的真假”为必考内容，题型以选择、填空题为 主，难度不大；充要条件是高考考查的热点，主 要以各章知识点为载体来考查充分必要条件，题 型以选择题为主，分值为5分，属中低档题． 预测在2012年的高考中充要条件的判定、四种命 题以及真假的判断仍为主要考点，重点考查学生 的逻辑推理能力．
方法感悟 方法技巧 1．当一个命题有大前提而要写出其它三种 命题时，必须保留大前提，也就是大前提不 动；对于由多个并列条件组成的命题，在写 其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作 为大前提．(如例1) 2．数学中的定义、公理、公式、定理都是 命题，但命题与定理是有区别的：命题有真 假之分，而定理都是真的．(如课前热身5)
x－1 变式训练 2 已知 p：|1－ |≤2，q：x2－2x 3 ＋1－m2≤0(m＞0)， ﹁ p 是 ﹁ q 的必要不充 且 分条件，求实数 m 的取值范围．
解：法一：由 x2－2x＋1－m2≤0， 得 1－m≤x≤1＋m， ∴ q：A＝{x|x＞1＋m，或 x＜1－m，m＞ 0}． x－1 由|1－ |≤2，得－2≤x≤10， 3 ∴ p：B＝{x|x＞10，或 x＜－2}．
【易错警示】
本题在写否命题时易出现“已
知…不是减函数，…”这种否定大前提的错误，
致错的原因在于没有弄清四种命题之间的关
系．
充分条件与必要条件的判定 处理此类问题一般有两种方法：一是利用定义 判断；二是利用集合的包含关系判断．
下列各题中，p 是 q 的什么条件？ 1 2 (1)p：m＜ ，q：一元二次方程 x ＋x＋m＝0 有 4 实数解． π (2)设 0＜x＜ ，p：xsin2x＜1，q：xsinx＜1. 2
2．(2010年高考天津卷)命题“若f(x)是奇函数， 则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
答案：B
3．(2011年亳州联考)“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的 ( )
充要条件的应用 涉及参数的问题解决起来较为困难时，注意
等价转化，转化后就显得好理解了．在涉及
到求参数的取值范围又与充分、必要条件有
关的问题，常常借助集合的观点来考虑．
例3 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－
m≤x≤1＋m}． (1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件， 若存在，求出m的范围； (2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件， 若存在，求出m的范围． 【思路点拨】 从集合的观点来看，x∈P是 x∈S的充要条件，即P＝S.x∈P是x∈S的必要 条件，即PS，由此列出关于m的不等式(组) 可求出m的范围．
【反思感悟】
(1)注意两种说法“p是q的必要
而不充分条件”与“q的必要而不充分条件是p”
是等价的．(2)从集合的角度理解，小范围可
以推出大范围，大范围不能推出小范围．