数理方程33
数理方程课件
数理方程课件数理方程是数学中的重要分支，它研究方程的解和性质。
随着计算机技术的不断发展，数理方程的研究变得越来越重要，其在科学、工程和金融等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍数理方程的基本概念、解的求解方法和一些经典方程的应用案例。
一、数理方程的基本概念数理方程是指含有未知数和已知数之间关系的等式。
它通常由代数方程、微分方程和积分方程组成。
在数理方程的研究中，我们需要关注方程的次数、阶数和特殊形式，并通过分析方程的性质来解决相关问题。
在解数理方程时，我们常用的方法包括代数方法、几何方法和数值方法。
其中，代数方法主要通过变换和化简方程，将其转化为更简单的形式进行求解；几何方法通过图形和几何关系来推导方程的解；数值方法则借助计算机的力量，利用数值逼近的方法求解方程。
二、数理方程的解的求解方法1. 代数方程的解的求解方法代数方程是最常见的数理方程形式，其解的求解方法众多。
常见的方法包括因式分解、配方法、二次公式、根号法等。
例如，对于一元二次方程$a x^{2}+b x+c=0$，我们可以使用二次公式来求解：$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$2. 微分方程的解的求解方法微分方程描述了函数与其导数之间的关系，其解的求解方法也有多种。
常见的方法有分离变量法、常数变易法、齐次线性微分方程的解法等。
例如，对于一阶线性微分方程$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$，我们可以使用常数变易法进行求解。
3. 积分方程的解的求解方法积分方程是利用积分关系表达的方程，其解的求解方法也有多种。
常见的方法有分离变量法、常数变易法、特殊积分方程的解法等。
例如，对于柯西问题（Cauchy problem）中的积分方程$u(x)=f(x)+\int_{a}^{x} K(x, t) u(t) d t$，我们可以使用定积分的性质进行求解。
三、常见数理方程的应用案例1. 常微分方程的应用常微分方程在物理学、化学、生物学等领域有着重要的应用。
33数学浪漫计算
33数学浪漫计算
33的浪漫数学含义，爱你生生世世，长长久久。
3x3=9，表明男生永远爱女生。
爱到天荒地老，海枯石烂，男生喜欢你的温柔贤惠，聪明可爱，上得厅堂，下得厨房，待人接物有礼貌，人品好，气质佳，深深的被你的迷人气质吸引，男生愿意呵护你，疼你，爱你一生一世。
33在爱情中的意思是“要爱抱”，也就是两个很心爱的男女朋友或者两个非常恩恩爱爱的夫妻要来相爱拥抱了。
这里非常巧妙灵活的利用了阿拉伯数字33的普通话的汉字谐音来表达一个非常温馨又甜蜜的爱情的意思，数字33就是一个非常经典的关于爱情的数字密码。
33两方面意思，嘟嘴的意思就是亲亲，分手和闪人的意思，这个要根据当时的具体情况判断。
爱情是个体与个体之间的强烈的依恋、亲近向往，以及无私并且无所不尽其心的情感。
它通常是情与欲的对照，爱情由情爱和性爱两个部分组成，情爱是爱情的灵魂，性爱是爱情的附加属性，并不是必要存在的，情爱才是爱情的根本与核心，爱就是网住对方的心，具有亲密、情欲和承诺、依恋、情感的属性，并且对这种关系的长久性持有信心，也能够与对方分享私生活，在爱的情感基础上，除了爱的跨文化差异，随着时间的推移，
关于爱情的观念也发生了很大的变化。
数理方程知识点总结
数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。
数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。
一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。
求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。
具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。
（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。
算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。
数理方程（ＰＤＦ）
un( x, t )
=
( An
cos
naπt
l
+
Bn
sin
naπt
l
)
sin
nπx
l
=
Nn
sin(ωnt
+
Sn )sin
nπx
l
其中
Nn
=
( An2
+
Bn2
)
1 2
,
Sn
=
arctg
An Bn
,
ωn
=
nπ a l
特点
最大振幅
初位相
频率
⑴ 弦上各点的频率 ωn 和初位相 Sn 都相同，因而没 有波形的传播现象。
+
Sn )sin
nπx
l
u其有⑴ 特(x中弦点,t 上)N是各n最由=点大无(u振的A穷(幅nx2频多,+t率)个B=nω2振∑)n12 幅,∞n=S和、1n初u初频=n位(位率a相xr,、相ctSt)gn初BAnn位, 相ω都频n各率相=不同nπ相l，a 同因的而驻没
波波⑵叠形弦加的上而传各成播点。现振象幅。| N
⑵ 弦上各点振幅
|
Nn
sin
nπx
l
|
，因点而异 节点
在
x
=
0
,
l n
,
2l n
,...
(n−1)l n
,l
处，振幅永远为0
腹点
在
x
=
l 2n
,
3l 2n
,...
(2
n−1)l 2n
处，振幅最大,为
Nn
un( x, t )
=
数理方程第二版 课后习题答案
第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
数理方程总结完整终极版
00|()()t t u x ux t ϕψ===⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩拉普拉斯算子：四种方法:分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题：初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条件:热传导方程的初始条件初始时刻的温度分布 :泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件：不含初始条件，只含边界条件条件 波动方程的边界条件: (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(2)自由端：x =a 端既不固定，又不受位移方向力的作用.(3) 弹性支承端：在x =a 端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
定解问题的分类和检验：(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
• 解的存在性：定解问题是否有解；• 解的唯一性：是否只有一解；• 解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小k z j y i x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇u u ∇=grad 2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅∇=∇22222y u x u u ∂∂+∂∂=∇0(,)|()t u M t M ϕ==0|0,x u ==(,)0u a t =变动。
分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。
把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等分离变量法步骤：一有界弦的自由振动 二有限长杆上的热传导 三拉普拉斯方程的定解问题常用本征方程 齐次边界条件2''0(0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X xλλββπβ+=⎧⎨==⎩====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。
数理方程第1讲-69页PPT资料
4
方程(1.1)是在自变量x1,x2, …的n维空间Rn 中的一个适 当的区域D内进行考察的，我们要求能找出在D内恒 满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在，那
和时间无关。弦是柔软有弹性的，即它不能抵抗弯矩， 因此在任何时刻弦的张力T总是沿着弦的切线方向。
u
F
△x
Q T
P
a
T
N
O
x
N'
x+△x
x
13
或
综合上述分析，由牛顿第二定律可得
a T si T n si F n x x ttu( 1 . 3 )
又 tanaux ，故 sia n taan ux 1ta2na 1ux2
，薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
3. 线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知 函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中 的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程 就称为线性偏微分方程。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
6
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
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= X ''+ λ X 0, ( S − L) = = (0) X (l ) 0, X
nπ λ n 1, 2,) = λ = n , (= l
2
0 ≤ x ≤ l.
由 Sturm-Liouville 理论易知此问题的特征值为
nπ X x x, (n 1, 2,) = ( ) sin = 相应的特征函数可以取为 n l 。
2
t （n 为奇数时） 。
Step 4
由上可得原问题的形式解为
∞
n 2 − − A 2 1 ( 1) ( ) Bx anπ l +∑ − u ( x, t ) = 1 cos l nπ l anπ n =1
nπ t sin x l
特解的求法：
T ''(t ) + λT (t ) = f (t )
T *(t ) 1
λ∫
t
0
f (τ ) sin[ λ (t − τ )]dτ
当 f (t ) = f 0 时
T *(t ) = f 0 / λ
(方法 2 )
Bx A l Al 2 ) v ( x, t ) + − 2 x − + 2 则 v 满足 令 u ( x, t = l 2a 2 8a ，
(n = 1, 2,)
2 ( 2n − 1) π lim λn − 0 = ， n →∞ 2 l
这就是全部特征值，相应的特征函数可取为
= X n ( x) sin = λn x, (n 1, 2,)
23 解：Step 1将 u ( x, t ) = X ( x)T (t ) 代入方程及边界条件得Sturm-Liouville 问题
(
)
cos λn x
28．证.
只须证下述齐次问题只有零解即可。
utt − a 2u xx 0, = 0 < x < l , t > 0, = 0, u x + β u x l = 0, t ≥ 0 ( P) −u x + α u x 0= = = = ut ( x, 0) 0 u ( x, 0) 0,
( x, t ) ∈ Q , t ≥ 0, 0≤ x≤l
Step 2 将 v( x, t ) = T (t ) X ( x) 代入关于 v 的齐次方程和边界条 件得 Sturm-Liouville 问题
= 0≤ x≤l X ''+ λ X 0, ( S − L) = 0, X '(l ) + X (l ) = 0 X '(0)
2(l + 1 − x) = ∑ψ n cos λn x ∑ f n cos λn x ， −1 =
n =1
∞
∞
n =1
其中
fn =
8
(
λn sin λn l + 1 − cos λn l λn 2l λn + sin 2 λn l
(
)
)
，
ψn =
−4sin λn l 2l λn + sin 2 λn l
从而原问题的形式解为
u ( x, t ) 5 cos 3π at 3π x 7π at 7π x sin sin − cos 2l 2l 2l 2l 。
25．提示，令
u ( x, t = ) v( x, t ) + (a x+ b) µ1 (t ) + (cx + d ) µ (t ) ，
可得
−β x + 1 + β l α x +1 = = ax + b , cx + d α + β + αβ l α + β + αβ l
( S − L)
X ''+ λ X = 0, 0 < x < l , = = (0) X '(l ) 0 X
及关于 T (t ) 的方程
(T )
T ''(t ) + λ a 2T = 0。
Step 2由Sturm-Liouville理论知(S-L)的特征值全为正， 故方程的通解可写为
X ( x) C1 sin λ x + C2 cos λ x ， =
2
a2
α
∫
τ
0
u x (0, t )u xt (0, t )dt
a2 2 2 (0, ) (0, 0) = u − u τ x x 2α a2 2 u x (0,τ ) ≥ 0 = 2α
同理可得
∫
τ
0
a 2ut (l , t )u x (l , t )d t≤ 0
。
其他的可能
e− β x eα x u= v+ µ1 (t ) + µ (t ) αl (α + β )e α +β
e− β x −α eα x + α + β µ1 (t ) + µ (t ) u= v+ α +β (α + β ) β
•
通常考虑线性组合， 有难有易
( x, t ) v ( x, t ) + 26. (3)解：Step 1令 u=
= C1 h sin λ l + λ cos λ l 0
(
)
。
由于我们只关心非零解，故 C1 ≠ 0, cos λ l ≠ 0 从而有
tan λ l = − λ / h.
通过作图容易知道此方程有根
( 2n − 1) π 2 nπ 2 λ= λn ∈ , , 2l l
故可得特征值
相应的特征函数可取为
nπ + 2 x (n 0,1, 2,) = = X n ( x) sin l 。
π
22(4) 解：由 Sturm-Liouville 理论知，本问题的所有特征值为正， 故通解可记为
= X ( x) C1 sin λ x + C2 cos λ x ，
由边界条件知
= C2 0,
+ ∫ a 2ut (0, t )u x (0, t )dt
0
τ
在 x=0 上， −u x
+ αu = 0 ，即 u x (0, t ) = α u (0, t ) ，
2 u ∈ C QT 时 u xt (0, t ) = α ut (0, t ) ，于是 因此当
( )
∫
τ
0
a ut (0, t )u x (0, t )dt =
Qτ (0, l ) × (0,τ ) ，以 ut 乘方程 对任意 T > 0,τ ∈ [0, T ] ,记=
两边并在 Qτ 上积分，得
= 0
∫∫
Qτ
ut ( utt − a 2u xx ) dxdt
2
2 ut2 + a 2u x = − ∫ a ut u x dt + dx ∂Qτ 2 2 2 2 l u ( x, τ ) + a u ( x, τ ) τ 2 t x − d x a ut (l , t )u x (l , t )d t ∫0 ∫ 0 2
将它们代入(P)由 cos λn x 的完备性得
{
}
fn Tn ''+ λnTn = (T ) = = Tn '(0) ψ n Tn (0) 0,
解之可得
= Tn (t )
Step 4
ψn f sin λn t + n 1 − cos λn t λn λn
(
)
最后可得原问题的形式解
2 ∞
ψn f sin λn t + n 1 − cos λn t u ( x, t ) = t + ( x − l − 1) t + ∑ λ λn n =1 n
将它们代入(P)得
2 anπ an Tn ''+ Tn = l ， Tn '(0) 0 = = Tn (0) 0,
， 易知 Tn (t ) = 0 （n 为偶数时）
4A l anπ Tn (t ) 1 cos = − nπ anπ l
= C2 0, = C1 λ cos λ l 0 ，故得特征值 由边界条件易得
= λ = λ n nπ + l
π
2, (= n 0,1, 2,) (1)
相应的特征函数可取为
X n ( x) sin = = λn x (n 0,1, 2,)
当 λ = λn 时可得(T)的解为
Tn (t ) = An sin λn at + Bn cos λn at
nπ nπ v T t x = ( ) sin ∑ n Step 3 令 ，由 sin l x 的完备性知 l n =1
∞
A = ∑ an sin
n =1
∞
nπ x l ，
2 A (1 − (−1) n ) 2A l nπ = sin xdx 其中 an = l ∫0 l nπ 。
2
2 − v a vxx = 0 tt = t ) v= (l , t ) 0 v(0, 2 A l Al 2 v( x, 0) = = 0 x − − 2 , vt ( x, 0) 2 2a 2 8a
（同时化为齐次方程与齐次边界条件！但是将来的 Fourier 展开困难。 ）
其中 An , Bn 待定。 Step 3 作叠加
= u ( x, t )
(n = 0,1, 2,...)