离散数学平时作业(手写版)
离散数学平时作业
第一章1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。
请用A和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。
解：_B A2.试求：(1)P(φ)(2)P(P(φ))(3)P(P(P(φ)))(1){φ}(2){φ，{φ}}3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？能被5整除的有40个，能被15整除的有13个，∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有66-13+40-13=80个。
第三章1.下列语句是命题吗？(1)2是正数吗？(2)x2+x+1=0。
(3)我要上学。
(4)明年2月1日下雨。
(5)如果股票涨了，那么我就赚钱。
解：（１）不是（２）不是（３）不是（４）是（５）是2.请用自然语言表达命题(p⌝→r)∨(q⌝→r)，其中p、q、r为如下命题：p：你得流感了q：你错过了最后的考试r：这门课你通过了解：（1）如果你得流感了，你就不能通过这门课；或者你错过了最后的考试，你也不能通过这门课。
（2）如果你得流感了并且错过了最后的考试，那么你就不能通过这门课。
3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。
解：主析取范式：(→p∧q)∨(→p∧→q)∨(p∧→q)∨(p∧q)主合取范式不存在4.给出p→(q→s),q,p∨⌝r⇒r→s的形式证明。
证明：（１）p∨⌝r前提引入（２）R附加前提引入（３）P （１）（２）析取三段（４）p→(q→s) 前提引入（５）q→s （３）（４）假言推理（６）Q 前提引入（７）S （５）（６）假言推理第四章1.将∀x(C(x)∨∃y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同班同学，个体域是学校全体学生的集合。
解：学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。
2.构造∀x(P(x)∨Q(x)),∀x(Q(x)→⌝R(x)),∀xR(x)⇒∀xP(x)的形式证明。
离散数学作业册
第一章命题逻辑1.1 命题与逻辑联结词1.判断下列语句是否是命题，不是划“×”，是划“√”，且指出它的真值.(1)所有的素数都是奇数. ( ) 其真值( )(2)明天有离散数学课吗？ ( ) 其真值( )(3)326+>． ( ) 其真值( )(4)实践出真知. ( ) 其真值( )(5)这朵花真好看呀！( ) 其真值( )(6)5x=．( ) 其真值( )(7)太阳系外有宇宙人．( ) 其真值( )2.将下列命题符号化．(1)如果天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.(3)我们不能既划船又跑步．(4)大雁北回，春天来了.3.将下列复合命题分解成若干个原子命题，并找出适当的联结词.(1)天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.1.2 命题公式1. 判断下列各式是否是命题公式，不是的划“×”，是的划“√”．(1)(Q→R∧S). ( )(2)((R→(Q→R)→(P→Q)). ( )(3) (P∨QR)→S. ( )(4)((⌝P→Q)→(Q→P)). ( )2．写出五个常用命题联结词的真值表.1.3 真值表与等价公式1.指出下列命题的成真赋值与成假赋值．(1)⌝(P∨⌝Q).(2)⌝P→(Q→P).2.构造真值表，判断下列公式的类型．(1)(P∧Q)∧⌝(P∨Q).(2) P→(P∧┑Q))∨R.3.用等值演算法验证下列各等价式．(1) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)⇔T.(2)P→(Q∧R)⇔(P→Q)∧(P→R).(3)⌝(P∨Q)∨(⌝P∧Q)⇔⌝P．1.4 蕴涵式及其他联结词1.试证明下列各式为重言式．(1)(P→Q)∧(Q→R)⇒(P→R)．(2) (P→Q)→Q⇒P∨Q．(3)⌝(P↓Q)⇒⌝P↑⌝Q．2.将下列公式化成与之等价且仅含{┑，∨}中联结词的公式．(1) (P∨Q)∧┑P(2) (P→(Q∨┑R))∧(┑P∧Q)3.证明{⌝，∧}是最小全功能联结词组.4.设A、B、C为任意的三个命题公式，试问下面的结论是否正确？(1)若A∧C⇔B∧C，则A⇔B．(2)若⌝A⇔⌝B，则A⇔B．(3)若A→C⇔B→C，则A⇔B．1.6 对偶与范式1.试给出下列命题公式的对偶式．(1)T∨(P∧Q)．(2)⌝(P∧Q)∧(⌝P∨Q)．2.试求下列各公式的主析取范式和主合取范式．(1) (P→(Q∧R))∧(┑P→(┑Q→R))．(2)(⌝(P→Q)∧Q)∨R．(3)(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R)).3.试用将公式化为主范式的方法，证明下列各等价式．(1) (┑P∨Q)∧(P→R)⇔P→(Q∧R)(2) ┑(P↔Q)⇔(P∧┑Q)∨(┑P∧Q)1.7 推理理论1.试用推理规则，论证下列各式．(1) ┑(P∧┑Q),┑Q∨R,┑R⇒┑P(2) P∨Q,Q→R,P→S,┑S⇒R∧(P∨Q)(3) ┑P∨Q,┑Q∨R,R→S⇒P→S(4) P∨Q,P→R,Q→S⇒R∨S第二章谓词逻辑2.1 词的概念与表示1.用谓词表达写出下列命题．(1)高斯是数学家，但不是文学家.(2)小王既是运动员也是大学生.(3)张宁和李强都是三好学生.(4)若是x奇数，则2x不是奇数.2.2 命题函数与量词1.用谓词表达式写出下列命题．(1)每个计算机系的学生都学离散数学.(2)直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B.(3)不存在既是奇数又是偶数的自然数.(4)没有运动员不是强壮的.(5)有些有理数是实数但不是整数.(6)所有学生都钦佩某些教师.2.3 谓词公式与变元的约束1.利用谓词公式翻译下列命题． (1)没有一个奇数是偶数.(2)一个整数是奇数，如果它的平方是奇数.2. 设个体域为自然数集N ，令P(x)：x 是素数；E(x)：x 是偶数； O(x)：x 是奇数；D(x ，y)：x 整除y ．将下列各式译成汉语． (1)∃x(E(x)∧D(x ，6))．(2)∀x(O(x)→∀y(P(x)→⌝D(x ，y)))．3.指出下列表达示中的自由变元和约束变元，并指明量词的辖域． (1)()()(,)()()x F x Q x y xP x R x ∀∧→∃∨．(2)∀x(P(x ，y)∨Q(z))∧∃y(R(x ，y)→ ∀zQ(z))．4.设个体域为A ＝{a ，b ，c}，消去公式∀xP(x)∧∃xQ(x)中的量词．2.4 谓词演算的等价式与蕴含式1.试证下列等价式或蕴涵式,其中A(x),B(x)表示含x自由变量的公式,A,B 表示不含变量x（不论是自由的还是约束的）的公式.(1)（∀x A(x)→B）⇔(∃x(A(x)→B))．(2)（∃x A(x)→B）⇔∀x(A(x)→B)．2.试将下列公式化成等价的前束范式．(1)∃x（（┑∃yP(x,y)）→(∃zQ(z)→R(x))）．(2)∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))．2.5 谓词演算的推理理论1.证明下列推理．(1)所有有理数都是实数，某些有理数是整数。
内蒙古大学计算机学院离散数学作业
离散作业命题逻辑：1.命题符号化：1)小张不仅能吃苦，而且很能干。
2)吃一堑长一智。
3)除非小明努力学习，否则他就不能取得好成绩。
2.当P、Q的值为0，R、S的值为1时求下列公式的值。
1)（P∨(Q∧R)）→（R∨S）2)（P↔R)∧(¬Q∨S）3.设A、B、C为任意的命题公式，若A∨C=B∨C，则A=B一定为真吗？试说明原因。
4.列出命题公式(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))的真值表5.证明：(P↔Q)∧(Q↔R)⇒P↔R6.求解((P∨Q)∧¬(¬ P∧(¬ Q ∨¬ R) ) )∨(¬ P ∧¬ Q ) ∨(¬ P ∧¬R ) 的公式类型？（永真、永假、可满足？）7.试将P→Q化成与之等值的并仅含联结词↓的公式.8.试将(P→Q)→R化成与之等值的并仅含{¬，∧}的公式.9.试用推理方式求解(P∧Q)∨(¬P∧R)的主合取范式，并根据其主合取范式写出其对应的主析取范式。
10.列出公式(P∧(Q↔R))∨⌝(P∨Q∨R)的真值表，根据真值表写出其对应的主合取范式和主析取范式。
11.用演绎法证明前提：P→(Q→S) ，R→P，Q结论:：R→S12.运用CP规则证明前提：P→(Q→S) ，R→P，Q结论:：R→S13.用归结法证明下面推理：前提：P→(Q→S) ，R→P，Q结论:：R→S14.在形式系统L中证明：⌝B→(B→A).谓词逻辑：1.谓词符号化：1)所有的鱼都生活在水中。
2)没有大于2的偶素数。
3)并不是每个人都聪明。
2.设个体域D={a,b}，将一阶公式(∀x)(F(x)→(∃y)G(y))中的量词消除3.设个体域为整数集，令P(x,y)：x+y=1；Q(x,y)：xy>0，试求解下列命题的真假。
1)(∀x) (∃y)P(x,y).2)(∃x) (∀y)Q(x,y).4.求前束范式：1)(∃x)F(x)→(∀x)R(x).2)((∀x)P(x)∨(∃y)Q(y))→(∀x)R(x).5.证明：前提：(∀x)(A(x) →B(x)∧C(x))，(∃x)(A(x)∧D(x))结论：(∃x)(C(x)∧D(x))6.所有的整数均为有理数并且为实数，存在是整数又是奇数的数，因而存在是奇数又是实数的数。
计算机科学专业离散数学平时作业二
一、判断(共计50分,每题2.5分)1、“5是2的倍数。
”不是命题。
A. 正确B. 错误正确：【B】2、两图同构，则每个顶点的度相同。
A. 正确B. 错误正确：【A】3、若关系R是自反的，则其关系图的每个结点都没有环。
A. 正确B. 错误正确：【B】4、如果a是集合A中的元素，则称a属于A，记作a∉A。
A. 正确B. 错误正确：【B】5、设，，则A. 正确B. 错误正确：【A】6、一个从A到B的二元关系是有序偶的集合R，在每一个有序偶中，第一个元素取自A，第二个元素取自B。
A. 正确B. 错误正确：【A】7、“如果1+1≠3，则2+2≠4”是真命题。
A. 正确B. 错误正确：【B】8、自然数集合N上的加法、乘法是N上的二元运算，但减法、除法不是。
A. 正确B. 错误正确：【A】9、在有补分配格〈L，∨，∧〉中，任一元素a∈L的补元素是唯一的。
A. 正确B. 错误正确：【A】10、对于任何（n，m）—图。
A. 正确B. 错误正确：【A】11、大于100的整数集合可以表示为{101,102,103，…}。
A. 正确B. 错误正确：【A】12、设n阶无向连通图G有m条边，则m<n－1。
A. 正确B. 错误正确：【B】13、只由一个孤立结点构成的图称为平凡图。
A. 正确B. 错误正确：【A】14、简单图不含平行边。
A. 正确B. 错误正确：【A】15、一个代数系统的单位元、零元、逆元如存在，则必唯一。
A. 正确B. 错误正确：【A】16、半群满足交换律。
A. 正确B. 错误正确：【B】17、具有条边的连通图最多具有个结点。
A. 正确B. 错误正确：【A】18、设R是集合A上的关系，若对于任意a，b∈A，当(a，b)∈R时，必有(b，a)∈R，则称R为对称的。
A. 正确B. 错误正确：【A】19、连通且不含圈的图称为树。
A. 正确B. 错误正确：【A】20、无向图G为欧拉图，则G是连通的。
A. 正确B. 错误正确：【A】二、单选(共计50分,每题2.5分)21、下列不一定是树的是（）A. 无回路的连通图B. 有n个结点，n-1条边的连通图C. 每对结点之间都有通路的图D. 连通但删去一条边则不连通的图正确：【C】22、设论域为整数集，下列真值为真的公式是（）A.B.C.D.正确：【A】23、在公式中变元y是（）A. 自由变元B. 约束变元C. 既是自由变元，又是约束变元D. 既不是自由变元，又不是约束变元正确：【B】24、欧拉回路是（）A. 路径B. 迹C. 既是初级回路也是迹D. 既非初级回路也非迹正确：【B】25、设A=，B=P（P（A）），以下不正确的式子是（）A. 包含于BB. 包含于BC. 包括于BD. 包含于B正确：【D】26、设个体域是整数集，则下列命题的真值为真的是（）A. yx(x·y=1)B. xy (x·y≠0)C.D.正确：【C】27、设有代数系统G=〈A，*〉，其中A是所有命题公式的集合，*为命题公式的合取运算，则G的幺元是（）A. 矛盾式B. 重言式C. 可满足D. 公式p∧q正确：【B】28、下列命题联结词集合中，是最小联结词组的是（）A. {┐，}B. {┐，∨，∧}C. {┐，∧}D. {∧，→}正确：【C】29、下列命题公式中不是重言式的是（）A. p→(q→r)B. p→(q→p)C. p→(p→p)D. (p→(q→r))(q→(p→r))正确：【A】30、设A是正整数集，R={(x，y)|x，y∈A∧x+3y=12}，则R∩({2，3，4，6}×{2，3，4，6})=（）A.B. {<3，3>}C. {<3，3>，<6，2>}D. {<3，3>，<6，2>，<9，1>}正确：【C】31、下列各图是无向完全图的是（）A.B.C.D.正确：【C】32、下列集合对所给的二元运算封闭的是（）A. 正整数集上的减法运算B. 在正实数的集R+上规定为ab=ab-a-b a,b∈R+C. 正整数集Z+上的二元运算为xy=min(x,y) x,y∈Z+D. 全体n×n实可逆矩阵集合Rn×n上的矩阵加法正确：【C】33、下列语句中不是命题的只有（）A. 鸡毛也能飞上天？B. 或重于泰山，或轻于鸿毛。
离散数学平时作业
第一章1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。
请用A和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。
解：_B A2.试求：(1)P(φ)(2)P(P(φ))(3)P(P(P(φ)))(1){φ}(2){φ，{φ}}3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？能被5整除的有40个，能被15整除的有13个，∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有66-13+40-13=80个。
第三章1.下列语句是命题吗？(1)2是正数吗？(2)x2+x+1=0。
(3)我要上学。
(4)明年2月1日下雨。
(5)如果股票涨了，那么我就赚钱。
解：（１）不是（２）不是（３）不是（４）是（５）是2.请用自然语言表达命题(p⌝→r)∨(q⌝→r)，其中p、q、r为如下命题：p：你得流感了q：你错过了最后的考试r：这门课你通过了解：（1）如果你得流感了，你就不能通过这门课；或者你错过了最后的考试，你也不能通过这门课。
（2）如果你得流感了并且错过了最后的考试，那么你就不能通过这门课。
3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。
解：主析取范式：(→p∧q)∨(→p∧→q)∨(p∧→q)∨(p∧q)主合取范式不存在4.给出p→(q→s),q,p∨⌝r⇒r→s的形式证明。
证明：（１）p∨⌝r前提引入（２）R附加前提引入（３）P （１）（２）析取三段（４）p→(q→s) 前提引入（５）q→s （３）（４）假言推理（６）Q 前提引入（７）S （５）（６）假言推理第四章1.将∀x(C(x)∨∃y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同班同学，个体域是学校全体学生的集合。
解：学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。
2.构造∀x(P(x)∨Q(x)),∀x(Q(x)→⌝R(x)),∀xR(x)⇒∀xP(x)的形式证明。
【东大】21春学期《离散数学》在线平时作业1参考资料
东大21春学期《离散数学》在线平时作业1提示：东北大学课程学习已经开启，本套试卷是课程学习辅导资料，只作参考学习使用！！！一、单选题 (共 10 道试题,共 50 分)1.7.选择题：在一次集会中，与奇数个人握手的人数共有()个。
[A.]奇数[B.]不能确定[C.]偶数[D.]不知道[解析：请从上述选项中选择您认为正确的一项，并从填写到答案栏]参考答案是:C2.单选题。
无向图是连通的，当且仅当（）。
[A.]任何两个结点之间都有通路；[B.]任何两个结点之间都有唯一路；[C.]任何两个结点之间都有路；[D.]任何两个结点之间都有迹。
[解析：请从上述选项中选择您认为正确的一项，并从填写到答案栏]参考答案是:C3.单选择题：在一次集会中，与奇数个人握手的人数共有( )个。
[A.]奇数；[B.]非负整数；[C.]偶数；[D.]不能确定。
[解析：请从上述选项中选择您认为正确的一项，并从填写到答案栏]参考答案是:C4.单选题。
一个有向图是根树，当且仅当该图（）。
[A.]有树根，也有树叶；[B.]忽略边的方向时，是连通无回路的无向图；[C.]有一个结点可以到达任何其余结点；[D.]恰有一个结点入度为0：其余结点入度为1。
[解析：请从上述选项中选择您认为正确的一项，并从填写到答案栏]参考答案是:D5.单选题。
一棵根树是m叉树，当且仅当该图（）。
[A.]每个结点的度数是m；[B.]每个结点的出度都是m；[C.]每个结点的出度小于或等于m；[D.]恰有一个结点入度为0：其余结点入度为1。
[解析：请从上述选项中选择您认为正确的一项，并从填写到答案栏]参考答案是:C6.单选题。
无向图G中有21条边，3个4度结点，其余都是3度结点。
问G中有（）个结点？[A.]12；[B.]13；[C.]16；[D.]18。
[解析：请从上述选项中选择您认为正确的一项，并从填写到答案栏]参考答案是:B7.设命题P、Q、R所代表的意义如下：P：天气好。
离散数学习题答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版离散数学习题答案习题一：P121.判断下列句子哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？(1)中国有四大发明。
(2)5是无理数。
(3)3是素数或4是素数。
(4)x2+3<5，其中x是任意实数。
(5)你去图书馆吗？(6)2与3都是偶数。
(7)刘红与魏新是同学。
(8)这朵玫瑰花多美丽呀！(9)吸烟请到吸烟室去！(10)圆的面积等于半径的平方乘π。
(11)只有6是偶数，3才能是2的倍数。
(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
(13)2025年元旦下大雪。
1、2、3、6、7、10、11、12、13是命题。
在上面的命题中，1、2、7、10、13是简单命题；1、2、10是真命题；7的真值现在还不知道。
2.将上题中是简单命题的命题符号化。
(1)p：中国有四大发明。
(2)q：5是无理数。
(7)r：刘红与魏新是同学。
(10)s：圆的面积等于半径的平方乘π。
(1)t：2025年元旦下大雪。
3.写出下列各命题的否定式，并将原命题及其否定式都符号化，最后指出各否定式的真值。
“5是有理数”的否定式是“5不是有理数”。
解：原命题可符号化为：p：5是有理数。
其否定式为：非p。
非p的真值为1。
4.将下列命题符号化，并指出真值。
(1)2与5都是素数。
(2)不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数。
(3)虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数。
(4)3是偶素数。
(5)4既不是素数，也不是偶数。
a：2是素数。
b：5是素数。
c：π是无理数。
d：e是无理数。
f：2是最小的素数。
g：2是最小的自然数。
h：3是偶数。
i：3是素数。
j：4是素数。
k：4是偶数。
解：（1）到（5）的符号化形式分别为a∧b，c∧d，f∧非g，h∧i，非j∧非k。
这五个复合命题的真值分别为1，1，1，0，0。
5.将下列命题符号化，并指出真值。
a：2是偶数。
b：3是偶数。
c：4是偶数。
电大离散数学作业
电大离散数学作业 Last updated at 10:00 am on 25th December 2020离散数学集合论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业．要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．2. 在线提交word文档3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．一、填空题1．设集合{1,2,3},{1,2}==，则P(A)-P(B )= {{3}, {1,2,3}, {1, 3 },A B{2,3}} ，A B= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ．2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ．3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3> ．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系R＝}yyx∈=<x∈>x,,,2{BAy那么R－1＝ {<6，3>，<8，4>} ．5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则R具有的性质是反自反性，反对称性．6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, a >, <b, b>, <b, c>, <c, d>}，若在R中再增加两个元素<c, b>, <d, c> ，则新得到的关系就具有对称性．7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．8．设A={1, 2}上的二元关系为R={<x, y>|xA，yA, x+y =10}，则R的自反闭包为{<1, 1>, <2, 2>} ．9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含<1, 1>, <2, 2>, <3, 3> 等元素．10．设A={1，2}，B={a，b}，C={3，4，5}，从A到B的函数f ={<1, a>, <2,b>}，从B到C的函数g={< a，4>, < b，3>}，则Ran(g f)= {3，4} ．二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则(1) R 是自反的关系； (2) R 是对称的关系．解：（1）错误，R 不是自反关系，因为没有有序对<3,3>.（2）错误，R 不是对称关系，因为没有有序对<2,1>2．设A ={1，2，3}，R ={<1，1>, <2，2>, <1，2> ，<2，1>}，则R 是等价关系．解：错误, 即R 不是等价关系.因为等价关系要求有自反性x R x, 但<3, 3>不在R 中.3．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图一所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在． 解：错误．集合A 的最大元不存在，a 是极大元．4．设集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f 是否构成函数f ：B A ，并说明理由．(1) f ={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2) f ={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}；(3) f ={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．解：(1) f 不能构成函数．因为A 中的元素3在f 中没有出现．(2) f 不能构成函数． a b c d 图一g e fh因为A中的元素4在f中没有出现．(3) f可以构成函数．因为f的定义域就是A，且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．三、计算题1．设}4=,3,2,1{=E，求：5,4AB=C=5,2},,2{},,1{,1{4},(1) (AB)~C； (2) (AB)-(BA) (3) P(A)－P(C)； (4) AB．解：(1)因为A∩B=｛1,4｝∩｛1,2,5｝=｛1｝,~C=｛1,2,3,4,5｝-｛2,4｝=｛1,3,5｝所以 (A∩B ) ~C=｛1｝｛1,3,5｝=｛1,3,5｝（2）(AB)-(BA)= {1,2,4,5}-{1}={2,4,5}(3)因为P(A)=｛,｛1｝, ｛4｝, ｛1,4｝｝P(C)=｛,｛2｝,｛4｝,｛2,4｝｝所以 P(A)-P(C)={ ,{ 1},{ 4},{ 1,4}}-{,{ 2},{ 4},{2,4 }}(4) 因为 AB={ 1,2,4,5}, AB={ 1}所以 AB=AB-AB={1,2,4,5}-{1}={2,4,5}2．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算（1）（AB）；（2）（A∩B）；（3）A×B．解：（1）AB ={{1},{2}}（2）A∩B ={1,2}（3）A×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2,2>,<2, {1,2}>}3．设A={1，2，3，4，5}，R={<x，y>|xA，yA且x+y4}，S={<x，y>|xA，yA且x+y<0}，试求R，S，RS，SR，R-1，S-1，r(S)，s(R)．解：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}, \R-1={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2 >,<2,2>,<1, 3>}S=φ, S-1 =φr(S)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}s(R)= {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}RS=φSR=φ4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．(1) 写出关系R的表示式； (2 )画出关系R的哈斯图；(3) 求出集合B 的最大元、最小元．解：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>}（2）关系R 的哈斯图如图（3）集合B 没有最大元，最小元是：2 四、证明题1．试证明集合等式：A (BC )=(AB ) (AC )．证明：设，若x ∈A (BC )，则x ∈A 或x ∈BC ，即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ．即x ∈AB 且 x ∈AC ，即 x ∈T =(AB ) (AC )，所以A (BC ) (AB ) (AC )．反之，若x ∈(AB ) (AC )，则x ∈AB 且 x ∈AC ，即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，即x ∈A 或x ∈BC ，即x ∈A (BC )，3 7所以(AB) (AC) A (BC)．因此．A (BC)=(AB) (AC)．2．试证明集合等式A (BC)=(AB) (AC)．证明：设S=A∩(B∪C)，T=(A∩B)∪(A∩C)，若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即x∈A且x∈B或 x∈A且x∈C，也即x∈A∩B或x∈A∩C，即x∈T，所以ST．反之，若x∈T，则x∈A∩B或x∈A∩C，即x∈A且x∈B 或x∈A且x∈C也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以TS．因此T=S．3．对任意三个集合A, B和C，试证明：若A B = A C，且A，则B = C．证明：设xA，yB，则<x，y>AB，因为AB = AC，故<x，y> AC，则有yC，所以B C．设xA，zC，则<x，z> AC，因为AB = AC，故<x，z>AB，则有zB，所以CB．故得B=C．4．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．证明：R1和R2是自反的，x A，<x, x> R1，<x, x> R2，则<x, x> R1∩R2，所以R1∩R2是自反的．。