第2章误差与数据处理
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第二章误差和数据处理
0.501.00 0.025
1.002.00 0.035
2.003.00 0.045
3.004.00 0.050
＞ 4.00 0.060
公差 0.015 （ ± %）
例行分析一般测两次，若2次平行测定之差在2倍公差范 围之内，取平均值报出结果；否则称为“超差”，必须重做。
例如，水泥中SiO2的测定。标准规定同一实验室内公差 ( 允许误差 ) 为±0.20% ，如果两次平行测定测得的数据分别 为 21.14% 及 21.58% ，两次测定结果的差值为 0.44% ，超过双
相关案例 食用醋总酸度的测定，每个人平行测定3次，统计测定结果。 结论： 误差是客观存在的！
本课程主要任务是学习定量分析方法，要求测定结果必须
有一定的准确度，以满足生产和科研需要。
分析测试：多次平行测定
结果计算 结果评价：准确度、精密度
定量分析的任务
找出误差产生原因，设法减免误差。
一、误差的表征——准确度与精密度
1. 准确度与误差 准确度：是指分析结果与真值之间的接近程度。
准确度的高低常以误差的大小来衡量。
误差：测定值与真值之间的差值。
误差越小，表示测定结果与真值越接近，准确度越高；
反之，测定结果的准确度越低。
真值：某一物理量本身具有的客观存在的真实数值。 一般说来，真值是未知的，在分析化学中，常将以下的值 当作真值来处理： （1）理论真值：如化合物的理论组成等。
•掌握有效数字的概念和运算规则。
能力目标：
•能够正确计算分析结果的误差、偏差。
•能够分析定量过程中产生误差的原因，提出减免方法。 •能正确计算平均值的置信区间。 •能正确判断并取舍测量数据中的可疑值。 •能够正确记录测量数据、正确计算和保留分析结果的有效
第二章 误差和分析数据处理
课堂互动 下面是三位学生练习射击后的射击靶 图，请您用精密度或准确度的概念来评 价这三位学生的射击成绩。
二、系统误差和偶然误差
误差(error)：测量值与真实值的差值
根据误差产生的原因及性质，可以将误差分为系统误 差和偶然误差。
1 系统误差 (systematic error) 又称可测误差，由某
§3 有效数字及计算规则
小问题：1与1.0和1.00相等吗? 答:在分析化学中1≠1.0≠1.00 一、有效数字(significant figure) 概念：分析工作中实际上能测量到的数字，除最后一 位为可疑数字，其余的数字都是确定的
如：分析天平称量：1.21 23 (g) 滴定管读数：23.20 (ml)
=0.17
S 0.17 RSD 100 % 100 % 1.1% 15.82 X
用标准偏差比用平均偏差更科学更准确。
例: 两组数据
(1) 0.11, -0.73, 0.24, 0.51, -0.14, 0.00, 0.30, -0.21,
n=8 n=8 d1=0.28 d2=0.28 s1>s2 s1=0.38 s2=0.29 (2) 0.18, 0.26, -0.25, -0.37, 0.32, -0.28, 0.31，-0.27
(1)绝对误差 (δ) : δ= x－μ (2) 相对误差(RE): R E= δ / μ× 100%
注:
注1:两种误差都有正、负值之分。
小问题1：
买猪肉1000斤少0.5斤和买1斤少0.5斤哪个误差大?
小问题2： 用分析天平称量两个样品，一个是0.0021克，另一 个是0.5432克，两个测量值的绝对误差都是0.0001 克，试通过计算相对误差来说明哪种表示法更好。
第二章 误差和数据处理
双向性、不可测性、 单向性、重现性、可测性 服从统计规律 准确度 精密度 进行多次平行测定
消除或减小 校正或减免 的方法
3.提高分析结果准确度的方法
（1）选择合适的分析方法
化学分析：滴定分析，重量分析灵敏度不高，准确度高， 常量、高含量组分较合适。 仪器分析：灵敏度高，准确度不高，微量组分分析较合适。
E x xT
Er x xT 1平行测定数据相互接近的程度，平行测
定的结果相互越接近，则测定的精密度越高。 精密度通常用与平均值相关的各种偏差来表示。 （1）偏差 偏差是测量值与平均值的差值。 与误差类似，偏差也有绝对偏差和相对偏差。
（1）精密度是保证准确度的先决条件；
（2）精密度高，准确度不一定高(可能存在系统误差) ；
（3）消除系统误差后，精密度高，准确度也高。——好结果！
三、公差
生产部门对于分析结果允许误差的一种限量（允差） 。 如钢铁中碳含量的公差范围，国家标准规定下表所示：
碳含量 范围(%)
0.100.20
0.200.50 0.020
用标准样品对照
用标准方法对照
做加标回收试验
2）空白实验
在不加试样的情况下，按照与试样分析同样的步骤和条件 进行的测定，试验得到的结果称为空白值。从试样分析结果中
扣除空白值即可消除试剂、蒸馏水和实验器皿带进杂质所引起
的误差。 空白值一般不应很大，否则应采取提纯试剂或改用适当器 皿等措施来减小误差。
过失(mistake)
由粗心大意或违反操作规程引起的，可以避免的。
例如：溶液溅失、沉淀穿滤、加错试剂、读错刻度、记录
和计算错误等。非随机误差 。
弃去该结果!
系统误差与随机误差的比较
检测技术 第二章：误差分析与数据处理
可以得到精确的测量结果，否则还可能损坏仪器、设备、元器件等。
2．理论误差 理论误差是由于测量理论本身不够完善而采用近似公式或近似值计算测量 结果时所引起的误差。例如，传感器输入输出特性为非线性但简化为线性 特性，传感器内阻大而转换电路输入阻抗不够高，或是处理时采用略去高 次项的近似经验公式，以及简化的电路模 型等都会产生理论误差。
误差，周期性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。如图2.1所示，其中1为定值系差，2 为
线性系统误差，3为周期系统误差，4为按复杂规律变化的系统误差。 系统误差的来源包括仪表制造、安装或使用方法不正确，
测量设备的基本误差、读数方法不正确以及环境误差等。
系统误差是一种有规律的误差，故可以通过理论分析采 用修正值或补偿校正等方法来减小或消除。
•理论真值又称为绝对真值，是指在严格的条件下，根据一定的理论，按定义确定的数值。 例如三角形的内角和恒为180°一般情况下，理论真值是未知的。 •约定真值是指用约定的办法确定的最高基准值，就给定的目的而言它被认为充分接近于 真值，因而可以代替真值来使用。如：基准米定义为“光在真空中1/299792458s的时间 间隔内行程的长度”。测量中，修正过的算术平均值也可作为约定真值。
表等级为0.2级。
r＝
0.12 100% 100% 0.12 A 100
在选仪表时,为什么应根据被测值的大小,在满足被测量数值范围的前提下,尽可能 选择量程小的仪表，并使测量值大于所选仪表满刻度的三分之二。在满足使用 要求时，满量程要有余量，一般余量三分之一，为了装拆被测工件方便。 （同一精度，量程越大，误差越大，故量程要小，但留余量）
第二章 误差分析与数据处理
三．测量误差的来源
1．方法误差 方法误差是指由于测量方法不合理所引起的误差。如用电压表测量电压时，
第二章 误差和分析数据的处理
第二章误差和分析数据的处理第一节误差及其产生的原因定量分析的任务是准确测定试样中各组分的含量，因此必须使分析结果具有一定的准确度。
不准确的分析结果将会导致生产上的损失、资源上的浪费和科学上的错误结论。
在定量分析中，由于受到分析方法、测量仪器、所用试剂和分析人员主观条件等方面的限制，故使测定的结果不可能和真实含量完全一致；即使是分析技术非常熟练的分析人员，用最完善的分析方法、最精密的仪器和最纯的试剂，在同一时间，同样条件下，对同一试样进行多次测定，其结果也不会完全一样。
这说明客观存在着难于避免的误差。
因此，人们在进行定量分析时，不仅要得到被测组分的含量，而且必须对分析结果进行评价，判断分析结果的准确性（可靠程度），检查产生误差的原因，采取减小误差的有效措施，从而不断提高分析结果的准确程度。
分析结果与真实结果之间的差值称为误差。
分析结果大于真实结果，误差为正；分析结果小于真实结果，误差为负。
一、误差的分类根据误差的性质与产生的原因，可将误差区分为系统误差和偶然误差两类。
（一）系统误差系统误差（systematic error）也叫可定误差（determination error），它是由某种确定的原因引起的，一般有固定的方向（正或负）和大小，重复测定可重复出现。
根据系统误差的来源，可区分为方法误差、仪器误差、试剂误差及操作误差等四种。
（1）方法误差：由于分析方法本身的缺陷或不够完善所引起的误差。
例如，在质量分析法中，由于沉淀的溶解或非被测组分的共沉淀；在滴定分析法中，由于滴定反应进行不完全，干扰离子的影响，测定终点和化学计量点不符合等，都会产生这种误差。
（2）仪器误差：由于所用仪器本身不够准确或未经校正所引起的误差。
例如，天平两臂不等长，砝码、滴定管刻度不够准确等，会使测定结果产生误差。
（3）试剂误差：由于试剂不纯和蒸馏水中含有杂质引入的误差。
（4）操作误差：由于操作人员的习惯与偏向而引起的误差。
例如，读取滴定管的读数时偏高或偏低，对某种颜色的变化辨别不够敏锐等所造成的误差。
第二章 误差与数据处理
P ydx x f ( x ) dx
x1
1
x2
x2
这里的P就是在x1～x2这个范围内测量值出现的 概率, 在正态分布曲线图上表现为曲线下x=x1和 x=x2两条直线之间所夹的面积。
为了把一个普通的正态分布转换为标准正态分布,
xμ 设 u u称为标准正态变量 σ
x为测定值，µ 为总体平均值，σ总体标准偏差。
二 偶然误差（随机误差）
由不确定原因产生
1．特点：
1)不具单向性（大小、正负不定）
2)不重复、不可测定 3）不可消除（原因不定）
但可减小（测定次数↑）
4) 分布服从统计学规律（正态分布）
二 偶然误差（随机误差）
偶然误差的分布
消除系统误差后，同样条件下重复测定，偶然
重复性和再现性的差别
在相同条件下，对同一样品进行多次重复测定，所
得数据的精密度称为方法的重复性。 在不同条件下，用同一方法对相同样品重复测定多 次，所得数据的精密度称为分析方法的再现性。
2-4 随机误差的分布规律
测量值x的分布规律——正态（高斯）分布曲 x 线 1
2
y f x
解： x 10 .43 %
d
n
di
0 .036 % × dr%= d × 100 % 100 % 0 . 35 % x 10 .43 %
s
0 . 18 % 0 . 036 % 5
d i2 n 1
8 .6×10 7 4 .6 ×10 4 0 .046 % 4
准确度低 精密度高
准确度高 精密度差
准确度高 精密度高
准确度低 精密度差
测量点
x1
1
x2
x2
这里的P就是在x1～x2这个范围内测量值出现的 概率, 在正态分布曲线图上表现为曲线下x=x1和 x=x2两条直线之间所夹的面积。
为了把一个普通的正态分布转换为标准正态分布,
xμ 设 u u称为标准正态变量 σ
x为测定值，µ 为总体平均值，σ总体标准偏差。
二 偶然误差（随机误差）
由不确定原因产生
1．特点：
1)不具单向性（大小、正负不定）
2)不重复、不可测定 3）不可消除（原因不定）
但可减小（测定次数↑）
4) 分布服从统计学规律（正态分布）
二 偶然误差（随机误差）
偶然误差的分布
消除系统误差后，同样条件下重复测定，偶然
重复性和再现性的差别
在相同条件下，对同一样品进行多次重复测定，所
得数据的精密度称为方法的重复性。 在不同条件下，用同一方法对相同样品重复测定多 次，所得数据的精密度称为分析方法的再现性。
2-4 随机误差的分布规律
测量值x的分布规律——正态（高斯）分布曲 x 线 1
2
y f x
解： x 10 .43 %
d
n
di
0 .036 % × dr%= d × 100 % 100 % 0 . 35 % x 10 .43 %
s
0 . 18 % 0 . 036 % 5
d i2 n 1
8 .6×10 7 4 .6 ×10 4 0 .046 % 4
准确度低 精密度高
准确度高 精密度差
准确度高 精密度高
准确度低 精密度差
测量点
第二章 定量分析中的误差与数据处理
x x
平均偏差（ 平均偏差（average deviation）又称算术平均偏差： ）又称算术平均偏差：
d=
∑d
i=1
n
i
n
=
∑x
i =1
n
i
−x
n
相对平均偏差： 相对平均偏差：
d ×100% x
例：测定合金中铜含量的两组结果如下
d dr 测定数据/ 测定数据/％ X 第一 10.3，9.8，9.4，10.2，10.1， 10.0 0.24％ 2.4％ 组 10.4，10.0，9.7，10.2，9.7 第二 10.0，10.1，9.3*，10.2，9.9， 10.0 0.24％ 2.4％ 组 9.8，10.5*，9.8，10.3，9.9
特点 单向性。 ① 单向性。对分析结果的影响 比较固定， 比较固定，即误差的正或负固 定。 重现性。平行测定时， ② 重现性。平行测定时，重复 出现。 出现。 可测性。可以被检测出来， ③ 可测性。可以被检测出来， 因而也是可以被校正的。 因而也是可以被校正的。
偶然误差（随机误差）—由偶然因素引起的误差
10kg
±1 Ea % = ×100% = 10% 10
±1 Ea % = × 100% = ±0.1% 1000
1000kg
1.相对误差衡量分析结果的准确度更加客观； 1.相对误差衡量分析结果的准确度更加客观； 相对误差衡量分析结果的准确度更加客观 2.当绝对误差相同时，被测定的量越大， 2.当绝对误差相同时，被测定的量越大，相对误 当绝对误差相同时 差越小，测定的准确程度越高。 差越小，测定的准确程度越高。
*
1.64 1.65 1.62 1.70 1.60 1.61 1.66 1.61 1.59
平均偏差（ 平均偏差（average deviation）又称算术平均偏差： ）又称算术平均偏差：
d=
∑d
i=1
n
i
n
=
∑x
i =1
n
i
−x
n
相对平均偏差： 相对平均偏差：
d ×100% x
例：测定合金中铜含量的两组结果如下
d dr 测定数据/ 测定数据/％ X 第一 10.3，9.8，9.4，10.2，10.1， 10.0 0.24％ 2.4％ 组 10.4，10.0，9.7，10.2，9.7 第二 10.0，10.1，9.3*，10.2，9.9， 10.0 0.24％ 2.4％ 组 9.8，10.5*，9.8，10.3，9.9
特点 单向性。 ① 单向性。对分析结果的影响 比较固定， 比较固定，即误差的正或负固 定。 重现性。平行测定时， ② 重现性。平行测定时，重复 出现。 出现。 可测性。可以被检测出来， ③ 可测性。可以被检测出来， 因而也是可以被校正的。 因而也是可以被校正的。
偶然误差（随机误差）—由偶然因素引起的误差
10kg
±1 Ea % = ×100% = 10% 10
±1 Ea % = × 100% = ±0.1% 1000
1000kg
1.相对误差衡量分析结果的准确度更加客观； 1.相对误差衡量分析结果的准确度更加客观； 相对误差衡量分析结果的准确度更加客观 2.当绝对误差相同时，被测定的量越大， 2.当绝对误差相同时，被测定的量越大，相对误 当绝对误差相同时 差越小，测定的准确程度越高。 差越小，测定的准确程度越高。
*
1.64 1.65 1.62 1.70 1.60 1.61 1.66 1.61 1.59
第二章 误差及分析数据处理
3. 减免方法：增加平行测定次数
4.产生原因： 偶然因素 随机变化因素（环
境温度、湿度和气压 的微小波动）
三、误差的减免
1. 系统误差的减免 与标准试样的标准结果对照
(1) 对照实验： 与标准方法比较 回收实验 “内检”与“外检”
(2) 空白实验 (3) 校准仪器 (4)定期培训
•分析化学常用试验的方法检查系统误差的存在， 并对测定值加以校正，使之更接近真实值。常有 以下试验方法：
二、数字的修约规则 四舍六入五成双
注意： 1、要修约的数值小于等于4则舍；
2、要修约的数值大于等于6则进到前一位
3、要修约的数值为5时：如5后无数或为 零时,5前为奇数则进到前一位； 5前为偶数则 舍弃；但当5后有非零数字时，无论5前为奇数 还是偶数，都要进到前一位；
4、在对数字进行修约时，只能一次修约到 所需的位数，不能分步修约。
2．平均偏差 ( d )
为各次测定值的偏差的绝对值的平均值
特点：简单；
n
Xi X
d i1 n
缺点：大偏差得不到应有反映。
3.相对平均偏差：为平均偏差与平均值之 比，常用百分率表示：
Rd d 100 % X
4.标准偏差(standard deviation; S)
使用标准偏差是为了突出较大偏差的影
解：X =(15.67+15.69+16.03+15.89)/4=15.82
d = Xi-X =15.67-15.82=-0.15
RE% =-0.15/15.82×100%=-0.95%
n
Xi X
d i1
=(0.15+0.13+0.21+0.07)/4=0.14
4.产生原因： 偶然因素 随机变化因素（环
境温度、湿度和气压 的微小波动）
三、误差的减免
1. 系统误差的减免 与标准试样的标准结果对照
(1) 对照实验： 与标准方法比较 回收实验 “内检”与“外检”
(2) 空白实验 (3) 校准仪器 (4)定期培训
•分析化学常用试验的方法检查系统误差的存在， 并对测定值加以校正，使之更接近真实值。常有 以下试验方法：
二、数字的修约规则 四舍六入五成双
注意： 1、要修约的数值小于等于4则舍；
2、要修约的数值大于等于6则进到前一位
3、要修约的数值为5时：如5后无数或为 零时,5前为奇数则进到前一位； 5前为偶数则 舍弃；但当5后有非零数字时，无论5前为奇数 还是偶数，都要进到前一位；
4、在对数字进行修约时，只能一次修约到 所需的位数，不能分步修约。
2．平均偏差 ( d )
为各次测定值的偏差的绝对值的平均值
特点：简单；
n
Xi X
d i1 n
缺点：大偏差得不到应有反映。
3.相对平均偏差：为平均偏差与平均值之 比，常用百分率表示：
Rd d 100 % X
4.标准偏差(standard deviation; S)
使用标准偏差是为了突出较大偏差的影
解：X =(15.67+15.69+16.03+15.89)/4=15.82
d = Xi-X =15.67-15.82=-0.15
RE% =-0.15/15.82×100%=-0.95%
n
Xi X
d i1
=(0.15+0.13+0.21+0.07)/4=0.14
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2.4 分析化学中数据的统计处理
2、有限次测量数据的统计处理 （1）t 分布曲线 用s 代替 ，以统计量t 为横坐标绘制的随机误差的分布图
f= ∞ f= 10 f= 2 f= 1
x x （置信因子） t sx s
n
t 分布具有正态分布的特点， t 分布曲线的形状与f 有关 f → ∞时，t 分布→正态分布
2.1 分析化学中的误差与偏差
（3）标准偏差
——偏差的概念及其表示方法
2 x x i i 1 n
① 单次测定结果的标准偏差S：
s
n 1
② 总体标准偏差σ
2 x i i 1
n
n
③平均值的标准偏差 x（sx ） : 对于少量数据：s x
s n
对于大量数据： x
（3）公差
2.1 分析化学中的误差与偏差
3、偏差的概念及其表示方法 偏差：测定结果与平均值之间的差值 偏差表示了测定结果的离散程度 （1）绝对偏差
di xi x
∑ di = 0
相对偏差 dr：绝对偏差在平均值中所占的百分率
xi x dr 100% x
2.1 分析化学中的误差与偏差
2.4 分析化学中数据的统计处理
（2）随机误差的正态分布
——随机误差的正态分布
测定结果 总体平均值
随机误差的正态分布方程
y f ( x)
概率密度
1
2
e
( x )2 2 2
总体标准偏差
随机误差正态分布的规律 当x= 时，y 有最大值 正负误差出现的概率相等
两组精密度不同的测量值的 正态分布曲线
集中趋势： 各数据有向某个值集中的趋势
集中趋势用总体平均值来表示
87%(99.6%±0.3)
.2 99 5 .3 99 5 .4 99 5 .5 99 5 .6 99 5 .7 99 5 .8 99 5 . 10 95 0. 10 05 0. 15
â Á ² ¿ Ö µ ¨ £ %£ ©
频率密度直方图和频率密度多边形
2.2 准确度和精密度
2、系统误差与随机误差 （1）系统误差（可测误差）导致测定结果准确度不高的原因 具单向性、重现性和可校正特点 方法误差: 溶解损失、终点误差－用其他方法校正 仪器误差: 刻度不准、砝码磨损－校准(绝对、相对) 操作误差: 沉淀洗涤次数过多或不够-对照实验（外检） 试剂误差: 不纯－空白实验 主观误差: 个人误差,颜色观察-对照实验（外检）
e
u2
2
-3 -2 - -3 -2 -
-3
-2
-1
0
68.3% 95.5% 99.7%
0
2 3 + +2 +3
1
2
3
4
x- x
u
2.4 分析化学中数据的统计处理
——随机误差的正态分布
（4）随机误差出现的区间概率 分布曲线下对应的面积 u u 1 u 2 2 P (u )du e du u u 2 单边概率 P u 1 e u 2 du 0 2
-3 -2 -1 0 f = 1 2 n-1
3 t
2.4 分析化学中数据的统计处理
——有限次测量数据的统计处理
（2）置信度（P）与显著性水准（） 置信度（P）： 一定t 值下，测量值落在（水准（）： 一定t 值下，测量值落在（±ts） 范围外的概率
1 P
2.3 有效数字及其运算规则
有效数字在分析化学中的应用：
(1) 正确记录测量值：分析天平称0.3200g不能 写成0.32或0.32000 (2) 运算中可多保留一位，计算器运算结束按 正确位数记录 (3) 9. 99.较大数其相对误差与10. 100.相近， 可视为多算一位，0.0986四位 (4) 表示含量：X%>10 留四位；1--10% 三位； <1% 二位 (5) Er%：最多二位
2
正态分布概率积分表
|u| 0.674 1.000 1.645 1.960 P/2 0.2500 0.3413 0.4500 0.4750 0.950 0.990 0.997 0.683 P
y
2.000
2.576 3.000
0.4773
0.4987 0.4987
∞
0.500
1.000
测定值落在x- > 3σ以外的区间的概率只有0.3%
第2章 分析化学中的误差与数据处理
2.1 2.2 分析化学中的误差与偏差 掌握各种误差与偏差的计算. 准确度和精密度 掌握准确度与精密度的表示参数、影响准确度与精密度的因素. 2.3 2.4 有效数字及其运算规则 分析化学中数据的统计处理 掌握随机误差的正态分布与t分布、掌握随机误差的区间概率与平均值 的置信区间概念. 2.5 2.6 2.7 分析化学中的数据评价 掌握数据的显著性检验与可疑值判断方法. 数据的回归分析 提高结果准确度与精密度的措施
（2）平均偏差
① 样本平均偏差
——偏差的概念及其表示方法
1 n d di n i 1
（测定次数少时）
② 总体平均偏差
i 1
xi
n
n
（测定次数多时）
③ 平均值的平均偏差 对于少量数据： d x ④ 相对平均偏差
d n
对于大量数据： x
n
d d r 100% x
Er E x xT 100% 100% xT xT
滴定的体积误差
V 2.00 mL Ea 0.02 mL Er 0.1% 1% 20.00 mL 0.02 mL
称量的误差
m Ea Er 1% 0.2000 g 0.2 mg 0.1% 0.0200 g 0.2 mg
(6) pH=8不明确 ，应写pH=8.0
2.3 有效数字及其运算规则
例
(0.1000mol/L，25.00ml)
——有效数字的计算规则
NaOH
(0.1000mol/L，24.10ml)
CaCO3 2HCl CaCl 2 H2CO3 HCl(过量)
H2O+CO2
CaCo
3
(0.1000 25.00 0.1000 24.10) M CaCO3 2w样品
导致测定结果精密度不好的原因 （2）随机误差（偶然误差） 不可校正，无法避免，服从统计规律 不存在系统误差的情况下，测定次数越多其平均值越 接近真值。一般平行测定4-6次 （3）过失 由粗心大意引起，可以避免的
2.3 有效数字及其运算规则
1、有效数字的概念与规定 分析工作中实际能测得的数字，包括全部可靠数字及一位不 确定数字在内 （1）数字前0不计,数字后计入 : 0.03400 （2）数字后的0含义不清楚时, 最好用指数形式表示 : 1000 (1.0×103, 1.00×103, 1.000 ×103)
1、随机误差的正态分布
（1）测量值的频数分布
3.5 3.0 2.5
È Ü ¶ Ê Ã µ Â Æ
随机误差分布的基本特征
离散特性： 各数据是分散的，波动的
离散特性用总体标准偏差σ来表示
99.6%（平均值）
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0
.8 5 .9 5 .0 5 98 98 99 99 99 .1 5
n
2.1 分析化学中的误差与偏差
（4）标准偏差与平均偏差的关系
——偏差的概念及其表示方法
0.7979 0.80
4 3
（5）相对标准偏差（变异系数）
s RSD 100 % x
（6）极差（全距） 测定结果中最大值与最小值之间的差值 用标准偏差或相对标准偏差比用平均偏差表达数据的吻合 程度更科学更准确。
x u n u 或 x ts x n n x ts n
2.4 分析化学中数据的统计处理
（3）平均值的置信区间
——有限次测量数据的统计处理
如果 u = 1.96, 即 x 出现在 ( μ-1.96σ , μ +1.96 σ ) 范围内的概率 p = 95. 0 %. 也即在 (x -1.96σ, x +1.96σ ) 范围内的测定结果有95. 0 %的 可能性等于
（3）自然数和常数可看成具有无限多位数(如倍数、分数关系)
（4）数据的第一位数大于等于8时,可多计一位有效数字，如 9.45×104, 95.2%, 8.65
（5）对数与指数的有效数字位数按小数部分（尾数）计,如 pH=10.28, 则[H+]=5.2×10-11
（6） 误差只需保留1～2位
2.3 有效数字及其运算规则
大误差出现的概率小，小误差 出现的概率大
随机误差的正态分布曲线可以用N (, σ2)表示
2.4 分析化学中数据的统计处理
——随机误差的正态分布
x
(3) 标准正态分布曲线 将正态分布曲线中的横坐标x-用u代替
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4
u
1 2
即 : y ( u)
2.3 有效数字及其运算规则
4、有效数字的运算规则 先按规则进行修约，然后计算； 运算时可多保留一位有效数字进行 （1）加减法 与小数点后位数最少的数一致 0.112 + 12.1 + 0.3214 = 12.5 （2）乘除法 与有效数字位数最少的一致 0.0121×25.64×1.0578 ＝0.327664 0.328
2.3 有效数字及其运算规则
3、有效数字的修约规则 四舍六入五成双 例 下列值修约为四位有效数字 0.324 74 0.324 7
0.324 75
0.324 76 0.324 85 0.324 851 0.324 746