9-第九章 弯曲应力
梁的应力
ac
M
⑵、纵向线：由直线变为曲
线，且靠近上部的纤维缩短，
靠近下部的纤维伸长。
b
d
3、假设：
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线。
第九章 梁的应力
梁是由许多纵向纤维组成的
凹入一侧纤维缩短
突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的 纵向线缩短区到其凸出一 侧的纵向线伸长区，中间 必有一层纵向无长度改变
z
A2 20120mm2 y2 80mm
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
52mm
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
Hale Waihona Puke 80 203 1280 20 422
y
201203 20120 282
12
7.64106 m4
第九章 梁的应力
横截面上应力分布
b
d2
c,m ax
h yt,max yc,max d1
oz y
Oz
y b
t,m ax
中性轴 z 不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉
应力值和最大压应力值为
t,m ax
My t ,m a x Iz
c,m ax
Myc ,m a x Iz
第九章 梁的应力
例 对于图示 T形截面梁,求横截面上的最大拉应力和最大压 应力.已知: I z 290 .6 10 8 m4
d
在弹性范围内， E E Ey ...... (2)
Ｏ
Ｏ１
A１
Ｂ１ x
y
第九章 梁的应力
应力的分布图：
工程力学弯曲应力PPT资料94页
ycmax yt max
M
z
σ tm ax y
σtmax Mytmax Iz
σcmax Mycmax Iz
3.横力弯曲时梁横截面上的正应力
平面假设不再成立
当：L 5
h
纯弯曲的正应力计算公式 计算横力弯曲梁横截面上的正应力
误差不超过1%。
My
IZ
Mxy
IZ
总结
假设 平面假设，单向受力假设
空心圆截面
z
z
y
y
WIz πd4/64 πd3 d/2 d/2 32
WIz b3 h/12b2 h h/2 h/2 6
WπD3(14)
32
αd D
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面
Wz
Iz ymax
分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
ycmax 和 ytmax 直接代入公式
σcmax
σ My Iz
一些易混淆的概念
对称弯曲与纯弯曲 对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式 纯 弯 曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的纵向坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数
弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度
中性层 受拉区
受压区 中性轴
纵向纤维既不伸长也不缩短的层—中性层 中性层与横截面的交线—中性轴
中性轴⊥截面纵向对称轴 ❖横截面间绕中性轴相对转动
拉压、扭转时横截面上应力分析过程
变形
平面假定
应变分布
物理关系
梁的弯曲(应力、变形)
* z
翼板
t
H
h
b
z
y
腹板
A*
H h h 1 H h B B( ) ( ) y 2 2 2 2 2 2 2 h 1 h b h B 2 2 b( y ) y ( y ) ( H h ) ( y 2 ) 2 2 2 2 4 8
y
目录
24
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
4kN.m
4 103 52103 t ,max 7.64106 27.2 106 Pa 27.2MPa t
4 103 88103 c,max 7.64106 46 .1106 Pa 46 .1MPa c
研究对象：等截面直梁
研究方法：实验——观察——假定
5
实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交 纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直 于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
2
5.梁的许可载荷为 F Fi min3.75kN 10kN 3.825kNmin 3.75kN
28
提高梁强度的主要措施
max
M max [ ] WZ
合理安排支座 合理布置载荷
1. 降低 Mmax
29
F
合理布置支座
F
F
30
合理布置载荷
F
31
max
M max [ ] WZ
2. 增大 WZ
合理设计截面 合理放置截面
弯曲应力符号
弯曲应力符号弯曲应力符号弯曲应力是指在杆件或梁上，由于受到外力作用而导致产生的内部力。
在工程学中，弯曲应力是一种常见的内部应力类型。
为了描述这种内部应力，我们需要使用一些符号和术语。
I. 弯曲应力的定义弯曲应力是指杆件或梁在受到外部载荷时，由于其截面形状不同而产生的内部应力。
这种内部应力会导致杆件或梁发生变形或破坏。
II. 弯曲应力的计算公式1. 弯曲应力公式弯曲应力可以通过以下公式进行计算：σ = M*y/I其中，σ表示弯曲应力；M表示外部载荷产生的弯矩；y表示距离中性轴最远点的距离；I表示截面惯性矩。
2. 中性轴和截面惯性矩中性轴是指杆件或梁在受到外部载荷后，其截面上拉伸区域和压缩区域之间分界线的位置。
截面惯性矩是指杆件或梁在某个方向上抵抗扭转变形的能力。
III. 弯曲应力符号在计算弯曲应力时，我们需要使用一些符号来表示不同的量。
以下是一些常用的符号：1. σ：表示弯曲应力。
2. M：表示外部载荷产生的弯矩。
3. y：表示距离中性轴最远点的距离。
4. I：表示截面惯性矩。
5. E：表示杨氏模量，即杆件或梁在拉伸或压缩时的变形程度与受力程度之比。
6. ε：表示应变，即杆件或梁在受到外部载荷后发生的变形程度与其原始长度之比。
7. δ：表示挠度，即杆件或梁在受到外部载荷后发生的纵向位移量。
IV. 弯曲应力的影响因素弯曲应力受到很多因素的影响，以下是一些常见的影响因素：1. 外部载荷大小和方向：外部载荷越大，产生的弯矩就越大，从而导致弯曲应力增加。
外部载荷方向也会影响弯曲应力大小和分布情况。
2. 杆件或梁截面几何形状：不同形状的截面对弯曲应力的影响不同。
一般来说，惯性矩越大的截面抵抗弯曲应力的能力越强。
3. 材料性质：材料的弹性模量和屈服强度等性质会影响杆件或梁的变形和破坏情况。
V. 弯曲应力的应用弯曲应力是工程学中常见的内部应力类型，其在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 结构设计：在设计建筑物、桥梁、机器等结构时，需要考虑弯曲应力对结构安全和稳定性的影响。
材料力学：第九章 应力状态分析
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面
第9章 弯曲应力
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
2、物理关系
Hooke’s Law 所以
E（弹性范围内） M
y
?
O
z x
E
?
y
应力分布规律
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离 成正比 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
9.2 弯曲正应力
max
M max [ ] W
对塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗压性能相同。因此对等 截面直梁来说，危险截面仅有一个，既 M max 所在的截面，而截 面上的危险点，既 y max 所在之点 横截面关于中性轴对称的等直梁 b o
σ t max c max
o
M max Wz
2 2
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使抗
弯截面系数Wz增大。
由四根100 mm×80 mm×10 mm不等边角钢按四种不
同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度
均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性 轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：
?
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
3、静力关系
内力与外力相平衡可得
待解决问题
中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
FN A dFN A dA 0 (1)
Mz
M
O
z
y
dA
x σdA
FN
M y dM y zdA 0 (2)
A A
My
y
(修订)第9章 弯曲应力与弯曲变形-习题解答
第9章 弯曲应力与弯曲变形 习题解答题9 – 1 试计算下列各截面图形对z 轴的惯性矩I z （单位为mm ）。
解：（a ）mm 317400250500350200400250250500350≈⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=c y()()49323mm 107314002502003171240025050035025031712500350⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.I Z （b ）mm 431550400800500375550400400800500≈⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=c y()()410323mm 1054615504003754311255040080050040043112800500⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.I Z （c ）()mm 3060202060506020102060=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=c y()()46323mm103616020503012602020601030122060⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.Z I(a)(b) (c)题9-1图题9–2 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。
设q = 60kN/m ，F = 100kN 。
试求（1）梁1– 1截面上A 、B 两点的正应力。
（2）整个梁横截面上的最大正应力和最大切应力。
解：（1）求支反力kN 220100260=+⨯=A F （↑）m kN 32021001260⋅=⨯+⨯⨯=A M （ ） （2）画F S 、M 图（3）求1-1截面上A 、B 两点的正应力 m kN 1305016011001⋅=⨯⨯+⨯=.MF MA 点：MPa 254Pa 1025412150100550101306331=⨯≈⨯⨯⨯==...I y M zA t σB 点：MPa 162Pa 107816112150100*********331=⨯≈⨯⨯⨯==....I y M σzB c （4）求最大正应力和最大切应力M P a 853Pa 10385361501010320623max max =⨯≈⨯⨯==...W M σzM P a 22Pa 10221501010220232363max =⨯≈⨯⨯⋅=⋅=..A F τS 题9 - 3 简支梁受力如图所示。
第九章梁的弯曲应力
一、梁横截面上的正应力
横力 F 弯曲 A a F (+)
V图
纯弯曲 C l D
F
横力 弯曲 B
纯弯曲——梁弯曲变形
时，横截面上只有弯矩
F
a
F 而无剪力（M 0,V 0）。
F
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力（M 0,V 0）。
Fa
M图
(+) Fa
一、梁横截面上的正应力
* z
max
* Vmax Sz Vmax max * Izd ( I z Sz max )d
* 对于工字钢， I z Sz
max
可由型钢表中查得。
3．工字形截面梁的剪应力
V
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件：
max
Mmax [ ] Wz
可解决工程中有关强度方面的三类问题：
3.在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：
（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是
主要的，剪应力的强度条件是次要的。但对于较粗的
短梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大而弯矩较
小，或是薄壁截面梁时，也需要校核剪应力强度。 （2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该
正应力最大。
注意：
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力
的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状
态来确定。 （4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯 性矩的计算式。
二、梁横截面上的剪(切)应力
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*
（1）各点处的剪(切)应力 都与剪力V方向一致； （2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小 相等，即沿截面宽度为均匀分布。 （3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。
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第九章 弯曲应力
§9.1 纯弯曲
一、纯弯曲和横力弯曲
1. 纯弯曲：Q ＝0，M ＝常数的弯曲。
特点：弯曲后的轴线为圆弧线。
2、横力弯曲：Q ＝0，M ＝常数的弯曲。
特点：弯曲后的轴线为非圆弧线。
二、弯曲变形假设 1. 平面假设。
变形前为平面的横截面在纯弯曲变形后仍保持为一平面，且垂直于变形后的轴线，只有绕截面内某一轴线旋转了一个角度。
2. 纵向纤维间无正应力。
四、中性层和中性轴
1. 中性层：由于变形的连续性，各层纤维是由伸长逐渐过渡到缩短的，因而其间必定存在一层既不伸长，又不缩短的纤维，这一层称为中性层。
2. 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
§9.2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
()ρ
θ
θ
ρθρεy d d d y =
-＋＝
二、 物理关系
ρ
εσy E
E ＝＝
任意点的应力与该点到中性轴的距离成正比。
三、静力关系
横截面上的微力dA σ组成垂直横截面的平行力系。
该力系可简化为
⎰=A
dA N σ， ⎰=A
y dA z M σ， ⎰=A
z dA y M σ
根据纯弯曲时梁的横截面内只由对z 轴的弯矩M ，而0=N 、0=y M ，即
0＝⎰=A
dA N σ 0＝⎰=A
y dA
z M σ ⎰=A
z M dA y M ＝σ 由0＝⎰=A
dA
N σ可知中性轴必须通过截面形心。
由0==⎰⎰A
A
y dA zy
E dA
z M ρσ＝可知y 和z 轴至少有一根是对称轴。
由M dA y E dA z M A
A z ==⎰⎰ρ
σ2
＝可得⎰
A
dA
y M
E
2＝
ρ
令⎰=A
z I dA y 2－对z 轴的惯性矩
y I M
y
E E z
＝＝＝ρεσ
§9.3 横力弯曲时的正应力
一、正应力近似计算公式
y I M z
＝
σ 二、惯性矩计算
1. ⎰
=
A
yzdA yZ I
若横截面是高微h,宽为b 的矩形，12
I 3
Z bh =；
若横截面时直径为D 的圆形，64
I 4
Z D π=
2. 平行移轴公式 例题
1. 如图a 所示简支梁由56a 号工字钢制成，其截面简化后的尺寸简图b,试求此梁的最大正应力和该截面上翼缘与腹板交接处a 点的正应力。
解：作梁的弯矩图，横截面C 上有最大弯矩，即m kM ⋅=375M
max
查型钢表，
56a 号工字钢的32342W cm z =，465585I cm z =,mm 560h =，mm 21t = 所以梁的最大正应力为：MPa W M Z 16010
2342103756
3
max max
=⨯⨯==-σ 该截面a 点处的正应力为MPa I M Z 14810)212560(106558610375y 38
3max =⨯-⨯⨯⨯==--σ
2. 一外伸梁由18号槽钢制成，尺寸和受力如图所示，求此梁的最大拉应力和最大压应力。
F
a ) M 图
b)
z
c)
z
4kN F 2=
18号槽钢
解：1. 由静力平衡方程求出支座反力为：10.0kN F ,2.5kN F RB RA == 2. 作弯矩图，最大弯矩在截面C ，且,m 2.5kN M C ⋅= 最大负弯矩在B 截面，且,m -4kN M B ⋅=的
3. 查表的18号槽钢,111cm I 4Z = 5.16cm,y 1=,1.84cm y 2=
4. 对于截面B ，弯矩为负，
最大拉应力发生在上边缘各点，且,66.3MPa I y M Z
2
B B
max ==
t σ 最大压应力发生在下边缘各点，,186MPa I y M Z
1
B B
cmax ==
σ 对于截面C,弯矩为正，最大拉应力发生在截面下边缘各点
,116MPa I y M Z
1
C C max ==
t σ 综上所述，梁的最大拉应力,116MPa
max =t σ发生在C 截面的下边缘各点， 最大压应力,186MPa
max =c σ发生在B 截面的下边缘各点。
§9.4 横力弯曲时的剪应力
一、矩形截面梁
1. 切应力的方向及沿宽度方向的分布假设：
（1）横截面上各点处的切应力方向均平行于剪力Q F . （2）切应力沿截面的宽度方向呈均匀分布。
2. 切应力计算公式
b
I S F Z *Z Q =
τ
切应力沿高度方向的分布规律
)y -4
h (2I F b I S F 22Z Q Z *Z
Q ==τ
当02
=±
=τ时，h
y ，即横截面的上下边缘处，切应力对于零，当y=0时，切应力最大，即最大切应力发生在中性轴上，且
A F 2312
bh 8h F I 8h F Q
32Q Z
2Q max
=⨯
=
=τ 二、圆形截面梁
A
F 34R 34F Q 2Q
max ==
πτ
三、工字型截面梁
§9.5 提高弯曲强度的措施
一、合理安排梁的受力情况 1. 合理调整支座。
2. 合理按排荷载。
二、选择合理的梁截面 1. 合理选择截面形式。
2. 根据材料选择截面。
3. 采用等强度梁
（1）必须满足正应力强度条件。
（2）必须满足剪应力强度条件。