可测函数的定义及简单性质1
1.5 可测集与可测函数(讲义)
1.5 可测集与可测函数1.5.1 可测集与可测函数定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且E X E ∈=R， 则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。
特别地，当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集；当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集.注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。
定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ⊂，f 是定义在E 上的有限实函数。
若对一切实数c ，集(){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。
特别地，当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数； 当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。
定理1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ⊂上的有限实函数。
则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集()E c f d ≤<是可测集。
证 设f 是可测函数，由于()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以()E c f d ≤<是可测集。
可测函数的定义及简单性质1
对于b>0，c<0，b·(±∞)=±∞，c·(±∞)= ∞，(±∞)·（±∞）=+∞，
（+∞）·（-∞）=（-∞）·（+∞）=-∞，0·（±∞）=（±∞）·0=0，
对 ， ，对 ， ，
但（+∞）-（+∞），（±∞）+（ ∞），（-∞）-（-∞）均无意义.
图3-1-3下方图形
例2如果 是 中可测子集 的示性函数：
则 ，这都是 中的可测集.
例3设 为可测集 上的非负简单函数,即 ,其中 , 为两两不交的可测集,则 为可测集,且 .
证明不难证明 ,其中 也互不相交.
而 为 中的可测集,且
,
所以 .
（3）任意 ，.当 时，
；
当 时，
；
同理 ；
当 时，有
.
（7）设 是任一集列，则
；
（7）先证
任意 ，存在 使 ，故 ，从而 .又由特征函数定义知 ，所以 ；
当 ，存在自然数N， ， 故 , ，而 ，所以也有 ，故 .
再证
任意 时，存在自然数N， ， 故 ,从而 ，而 ，所以 ；
当 时， .由下限集的定义知,存在无穷多个 ,使 于是 ,从而 ,所以 ,因此 .
（1） = ，其中 为两两不交的可测集，
（2）在每个 上 = ，即 = ，亦即 ，
其中 表示 的特征函数，则称 为 上的简单函数.
图3-1-1简单函数
显然 = 及 =
均为其定义域上的简单函数.
图3-1-2符号函数
可以证明，可测集 上的两个简单函数 的和、差及乘积仍为 上的简单函数；当 时， 也是 上的简单函数.
可测函数的定义及其简单性质
可测函数是指函数的值对应的集合在 测度空间中是可测的。
实值函数的可测性
实值可测函数
如果对于每个 $x$，集合 ${y: f(x)=y}$ 是可测的，则称 $f$ 是实值可测函数。
解释
实值可测函数是指函数的值域在实数轴上对应的集合是可测的。
函数可测的充要条件
充要条件
如果 $f$ 是从 $(X,Sigma,mu)$ 到 $(Y,Gamma)$ 的函数，则 $f$ 是可测的充 要条件是对于每个 $y in Y$，集合 ${x: f(x)=y}$ 是可测的。
重要性及应用领域
可测函数在实变函数理论中占据重要 地位，它是研究积分、微分等数学概 念的基础。
可测函数的应用领域非常广泛，包括 概率论、统计学、微分方程、积分方 程等领域，是现代数学的重要分支之 一。
02 可测函数定义
定义
定义
如果对于每个 $x$，集合 $A_x$ 是可 测的，则称 $f$ 是可测函数。
未来可测函数的研究将更加注重与其他数学分支的交叉融合，
03
如分析、几何、拓扑等，以推动数学学科的发展。
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感谢您的观看
可测函数在研究函数的可导性方面也有着重要的应 用，例如在研究函数的导数和极值时。
动态系统的行为
可测函数在研究动态系统的行为方面也有着 重要的应用，例如在研究系统的稳定性时。
05 结论
可测函数的重要性和意义
1
可测函数是概率论和统计学中的基本概念，它对 于描述随机现象和预测未来事件具有重要意义。
2
可测函数的定义基于可测集的概念，通过将样本 空间划分为可测集，可以更好地理解随机现象的 内在规律和性质。
详细描述
borel 可测函数
borel 可测函数引言在数学中，可测函数是一个重要的概念。
而在可测函数的理论中，Borel 可测函数则是一个特殊的概念，起到了重要的作用。
本文将对 Borel 可测函数进行全面、详细、完整且深入地探讨。
一、可测函数的定义可测函数最早起源于测度论的研究。
假设给定一个测度空间（X, Σ, μ），其中X 是一个非空集合，Σ 是 X 的一个σ-代数，μ 是定义在Σ 上的一个测度。
那么一个函数f : X → ℝ（或者是f : X → ℂ）被称为可测函数，如果对于任意的实数 a，有集合{x ∈ X : f(x) > a} 在σ-代数Σ 中。
换句话说，可测函数是一个这样的函数，其反像集在给定的σ-代数中。
二、Borel 可测函数的概念Borel 可测函数是可测函数的一种特殊情况，其定义如下：如果一个函数 f : X → ℝ（或者是 f : X → ℂ）的每一个实数 a 的反像集{x ∈ X : f(x) > a} 都属于所给测度空间的Borel σ-代数，那么这个函数被称为 Borel 可测函数。
三、Borel 可测函数的性质Borel 可测函数有许多重要的性质，下面将介绍其中的一些性质。
1. Borel 可测函数的基本性质Borel 可测函数的一个重要性质是：任意两个 Borel 可测函数的和、差、积、商（当分母不为零时）仍然是 Borel 可测函数。
这个性质可以从 Borel 可测函数的定义中直接推导出来，并且在实际应用中非常有用。
2. 可测函数的逼近性质对于一个 Borel 可测函数，可以用简单函数逼近它。
简单函数是指一个形式为有限个指示函数之和的函数形式。
具体而言，对于一个 Borel 可测函数 f : X → ℝ，可以找到一个递增的简单函数序列{φ_n}，使得它们逐点收敛到 f。
3. Borel 可测函数的连续性性质Borel 可测函数在某些情况下具有连续性。
例如，如果 f 是一个定义在闭区间 [a, b] 上的 Borel 可测函数，且对于该区间上的任意一个点 x，存在一个开邻域 U_x，使得 f 在 U_x 上连续，那么 f 在区间 [a, b] 上是连续的。
第四章可测函数
§1 可测函数及其性质 §2 叶果洛夫定理 §3 可测函数的构造 §4 依测度收敛
§1 可测函数及其性质
要点：可测函数是利用勒贝格可测集来刻画的，勒贝格可 测函数是勒贝格积分的基本对象。
记号：一个定义在 E Rn 上的实函数 f (x) 确定了E的一组
子集
E f a x | xE, f (x) a
不是一个函数值，而是一个集合
可测函数等价定义 设f (x)是定义在可测集E上的实函数，对于任何有限实数a,b (a b)
f (x) 在E上可测 （1）E f a 都可测。
（2） E f a 都可测。 （3） E f a 都可测。 （4）Ea f b 都可测。
推论：设 f (x)在E上可测，则 E f a 总可测，不论 a 是有 限实数或 即：可测集E上的常值函数是可测函数。
函数 n 的极限函数，其中 1(x) 2(x)
注：1°简单函数仅取有限个实数值，且每个值是在一个可测子集上取的。 2°简单函数列的极限函数不一定是简单函数，甚至某些点处极限函数
可能为 ，然而简单函数一定是可测函数。
5、几乎处处成立
设 是一个与集合E的点 x 有关的命题，如果存在E的子集 M，适合 mM 0 ，使得 在E\M上恒成立，即E\E[ 成 立]=零测度集，则我们称 在E上几乎处处成立， 或说
n
fn
(x)
G(x)
lim n
fn (x)
也在E上可测，特别当
F ( x)
lim n
fn(x) 存在时，
它也在可测。
4、简单函数及其性质
（1）定义：设f (x) 的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1,..., Es 即 E Ei ，使 f (x)在每个 Ei上都等于某常数 c ，则称 f (x)
可测函数
第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构.§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时——————————————————————————————1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数.2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数若1ni i E E ==⋃ (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0i iE ix E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩ 注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续0lim ()()x x f x f x →=若000,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x x O f x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x f O O δεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取[]x E f a ∈>, 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,x f x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f O E O a δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a O E E δ>⋂⊂.令[](,)x f a x x E G O δ>∈=⋃则G 为开集，当然为可测集，且另外[][](,)(,)[]()()x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E δδ>>>∈∈⋂=⋃⋂=⋃⋂⊂所以[][](,)()x f a f a x x E E O E G E δ>>∈⊂⋃⋂=⋂，故[]f a E G E >=⋂为可测集性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数()f x 必为可测函数。
14、可测函数定义及简单性质(一)
ⅱ）f(x)在集合E上连续
注3
ⅰ’）定义在集合E 上的实函数 f(x) 在一点连续的定义 设f(x)为E上有限实函数， 若∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得f ( N （x0，δ） ∩ E) ⊂ N （f (x0 )，ε）
思考
若集合 E是孤立点集, 则定义在集合 E上的实函数 f(x)在E上连续吗?说明理由. 当E=(a，b)时,与数分中连续的定义一样
注1 由定义，函数可测讨论的是集合可测——实函中函数的讨论方法主要是集合分析法
)，若 ∀a ∈ R, E[ f ≥ a] 可
2、 可测函数举例
例1(104页7) 设f(x)是 R 1 中的可测子集E上的单调函数，证明： f(x) 在E上 可测。
证：不妨设f ( x)单增，对∀a ∈ R, 则 inf { x | f ( x) ≥ a, x ∈ E} = xa
3）证明定理3 当f(x)既是 E1 上又是 E2 的可测函数， f(x)也是 E1 ∪ E上 的可测函数 2
证明：
记E = E1 ∪ E2
由E[ x | f ( x) ≥ a] = E1[ x | f ( x) ≥ a] ∪ E2 [ x | f ( x) ≥ a]
可知E[ x | f ( x) ≥ a]也为可测集
5、定理5 定义在可测集 E上的可测函数列的上下确界函数、上下极限函数必可测。 6、定理5推论2 可测函数列的极限函数若存在，则也必可测。
7、定理6 定义在可测集 E上的函数可测充要条件是它的的正部与负部函数均可测。
总结
可测函数对四则运算、绝对值运算、上下确界运算、 上下极限运算、极限运算、正负部运算等均封闭。
由 f 单调增知下面的集合为可测集
存在
第三章可测函数
第三章 可测函数为了引进新的积分，我们还需要引进一类重要的函数即可测集上的可测函数，这类函数一方面与数学分析中的连续函数有着密切的联系，另一方面比连续函数更为广泛、应用价值更大.这里我们需要强调，今后所提到的函数都是指定义在n R 中某点集上的单值实函数，且允许它的值可以取±∞（±∞也称为非正常实数，通常的实数称为有限实数或实数）.另外，我们规定：(+∞)+（+∞）=+∞，（-∞）+（-∞）=-∞，对于任意实数a ，总有a +(+∞)=(+∞)+a =+∞，a +(-∞)=-∞，对于b >0，c <0，b ·(±∞)=±∞，c ·(±∞)= ∞，(±∞)·（±∞）=+∞， （+∞）·（-∞）=（-∞）·（+∞）=-∞，0·（±∞）=（±∞）·0=0， 对∞≠b ，o b =∞，对o c ≠，∞=oc， 但（+∞）-（+∞），（±∞）+（ ∞），（-∞）-（-∞）均无意义.§1 可测函数的定义及简单性质可测函数的定义方法很多，本节，我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数，即先给出简单的可测函数，然后分析这些函数的测度特性从而归纳出一般可测函数的定义.一、可测函数的定义及等价定义1．简单函数定义1 设E n R ⊂为一个可测集，)(x f 为定义在E 上的实函数，如果 （1）E = mi i E 1=，其中i E 为两两不交的可测集，（2）在每个i E 上)(x f =i c ，即)(x f = ⎩⎨⎧1C C m1E x E x m ∈∈ ，亦即∑==m i E i x c x f i 1)()(χ，其中)(x i E χ表示i E 的特征函数，则称)(x f 为E 上的简单函数.显然)(x D =⎩⎨⎧01 上的无理点为上的有理点为]1,0[]1,0[x x 及 )sgn(x =⎪⎩⎪⎨⎧-10100<=>x x x 均为其定义域上的简单函数.注 只有当可测集E 的分解为有限不交可测分解，且在每个小可测集上)(x f 的取值为常数时，)(x f 才是E 上的简单函数.可以证明，可测集E 上的两个简单函数)(),(x g x f 的和、差及乘积仍为E 上的简单函数，且当0)(≠x g 时，)()(x g x f 也是E 上的简单函数。
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例1证明可测集 上的两个简单函数 的和仍为 上的简单函数
证明设 是 上的简单函数，下证 也是 上的简单函数.事实上，
设 ，
那么 ，其中
则 是 个互不相交的可测集，且
所以 是 上的简单函数.
定义2设 为 上的非负实函数,集合{ } 称为 在 上的下方图形,记为 ,当 时,简记为 .
§1 可测函数的定义及简单性质
可测函数的定义方法很多，本节我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数，即先给出简单函数，再用简单函数的极限定义非负可测函数,然后通过分析非负可测函数的特性给出一般可测函数的定义.
一、可测函数的定义及等价定义
1．简单函数
定义1设 为一个可测集， 为定义在 上的实函数，如果
图3-1-3下方图形
例2如果 是 中可测子集 的示性函数：
则 ，这都是 中的可测集.
例3设 为可测集 上的非负简单函数,即 ,其中 , 为两两不交的可测集,则 为可测集,且 .
证明不难证明 ,其中 也互不相交.
而 为 中的可测集,且
,
所以 .
（3）任意 ，.当 时，
；
当 时，
；
同理 ；
当 时，有
.
（7）设 是任一集列，则
；
（7）先证
任意 ，存在 使 ，故 ，从而 .又由特征函数定义知 ，所以 ；
当 ，存在自然数N， ， 故 , ，而 ，所以也有 ，故 .
再证
任意 时，存在自然数N， ， 故 ,从而 ，而 ，所以 ；
当 时， .由下限集的定义知,存在无穷多个 ,使 于是 ,从而 ,所以 ,因此 .
对于任意实数a，总有a+(+∞)=(+∞)+a=+∞，a+(-∞)=-∞，
对于b>0，c<0，b·(±∞)=±∞，c·(±∞)= ∞，(±∞)·（±∞）=+∞，
（+∞）·（-∞）=（-∞）·（+∞）=-∞，0·（±∞）=（±∞）·0=0，
对 ， ，对 ， ，
但（+∞）-（+∞），（±∞）+（ ∞），（-∞）-（-∞）均无意义.
（1） = ，其中 为两两不交的可测集，
（2）在每个 上 = ，即 = ，亦即 ，
其中 表示 的特征函数，则称 为 上的简单函数.
图3-1-1简单函数
显然 = 及 =
均为其定义域上的简单函数.
图3-1-2符号函数
可以证明，可测集 上的两个简单函数 的和、差及乘积仍为 上的简单函数；当 时， 也是 上的简单函数.
第三章可测函数
为了建立新的积分即Lebesgue积分，我们需要介绍一类比连续函数更为广泛的重要函数——可测函数，这类函数与连续函数有着密切的联系.
首先我们拓广函数的概念，以下我们提到的函数都是指定义在 中某点集上的实值函数，且允许它取值±∞.另外，我们规定：
(+∞)+（+∞）=+∞，（-∞）+（-∞）=-∞，
补充:特征函数
定义1设X是非空全集， ,称
为集合A的特征函数.
显然 的充分必要条件是A=B.
例如：取 ， ，则特征函数如图
图1-13Байду номын сангаас1特征函数
定理1
（1） ；
（2） ；
（3） .特别 时
；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7）设 是任一集列，则
；
（8） 存在，
且当极限存在时，
.
证明仅证（3），（7）.；