可测函数的定义及简单性质1
可测函数的定义及其简单性质
第一节 可测函数的定义及其简单性质
新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）
yi
Ei {x : yi1 f (x) yi}
yi-1
yi1 i yi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
n
(L)
[ a ,b ]
f
( x)dx
lim
0
i 1
i mEi
问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测度)?
仍为E上的可测函数。
a-g(x) r f(x)
证明：只要证 a
R, E[
f ga]
E[ f
可测，
a g ]
任取x E[ f ag],则f (x) a g(x)
从而r Q,使f (x) r a g(x)
即x
(
rQ
E[
f
r ]
E[
g
ar
]
)
任取x E[ f ag],则f (x) a g(x)
a g ]
任取x E[ f ag],则f (x) a g(x)
从而r Q,使f (x) r a g(x)
即x
(
rQ
E[
f
r ]
E[
g
ar
]
)
⑵可测函数类关于四则运算封闭
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,
则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)
即:若f(x)是E上的可测函数, E1 E, E1 可测， 则f(x)限制在E1上也是可测函数；
反之，若
E
n 1
En
,
f(x)限制在En上是可测函数，
浅谈Borel可测函数及其性质
测 函数开展 研究 ， Ｂ ｒｌ 、 ｏｅ 可测 函数做 进 对 ｏ ｅ集 Ｂ ｒｌ
一
Hale Waihona Puke （ ）若 Ａ ∈ ｒ， ４ ∈ ｒ； ２ 贝 Ａ
（ ）若 Ａ ∈ Ｆ ｎ一 １ ２ ３ ）贝 ∈ ｒ ３ （ ， ，… ， Ｕ Ａ ，
月＝ ｌ
步 讨论 ， 出 Ｂ ｒｌ 、 ｏｅ 可测 函数 一些重 要 得 ｏ ｅ集 Ｂ ｒｌ
结论 和性 质．
称 ｒ是 一个 代 数．
１ Ｂ ｒｌ 与 Ｂｏｅ 可测 函数 ｏｅ集 ｒｌ
１ 基本 概念 ． １
定义 ３
中（ 或一 般拓 扑 空 间 ｘ 中）包 含
开集 的 代数称 为 Ｒ （ ｘ） Ｂ ｒｌ 代 数 （ 或 的 ｏｅ 一 包
我们知 道 型集 与 Ｇ 型集 是 Ｂ ｒ１ ， ｏ ｅ集 而
中图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ４ １ 文献 标 识 码 ： Ｂ
Ｏ 弓ｌ 吾
的多． 了给 出 Ｂ ｒｌ 的定 义 ， 立不 依赖 于距 为 ｏｅ 集 建 离 概念 的极 限理 论 ， 文 先 给 出 比距 离 空 间 （ 本 Ｘ，
） 广泛 的拓扑 空间 的定 义． 更
实 变 函数 是高等 数学专 业 中一 门重 要 的专业
些 新 的结 果．
与 连 续 函 数 的关 系 ， ｏｅ可 测 函数 与 Ｌ ｂｓ ｕ 可 测 函数 的 关 系 作 了 比较 深入 的研 究 ， 得 到 了 Ｂ ｒｌ Ｂ ｒｌ ｅｅｇ ｅ 并 ｏｅ可测 函数
一
关 键 词 ： ｏｅ集 ；ｏｅ 可测 函数 ； 数 ； 代 数 ； 扑 与拓 扑 空 间 Ｂ ｒｌ Ｂ ｒｌ 基 拓
集 合族 ， 满足下述 条件 ： 且
1.5 可测集与可测函数(讲义)
1.5 可测集与可测函数1.5.1 可测集与可测函数定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且E X E ∈=R， 则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。
特别地，当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集；当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集.注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。
定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ⊂，f 是定义在E 上的有限实函数。
若对一切实数c ，集(){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。
特别地，当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数； 当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。
定理1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ⊂上的有限实函数。
则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集()E c f d ≤<是可测集。
证 设f 是可测函数，由于()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以()E c f d ≤<是可测集。
可测函数的定义及其简单性质
可测函数是指函数的值对应的集合在 测度空间中是可测的。
实值函数的可测性
实值可测函数
如果对于每个 $x$，集合 ${y: f(x)=y}$ 是可测的，则称 $f$ 是实值可测函数。
解释
实值可测函数是指函数的值域在实数轴上对应的集合是可测的。
函数可测的充要条件
充要条件
如果 $f$ 是从 $(X,Sigma,mu)$ 到 $(Y,Gamma)$ 的函数，则 $f$ 是可测的充 要条件是对于每个 $y in Y$，集合 ${x: f(x)=y}$ 是可测的。
重要性及应用领域
可测函数在实变函数理论中占据重要 地位，它是研究积分、微分等数学概 念的基础。
可测函数的应用领域非常广泛，包括 概率论、统计学、微分方程、积分方 程等领域，是现代数学的重要分支之 一。
02 可测函数定义
定义
定义
如果对于每个 $x$，集合 $A_x$ 是可 测的，则称 $f$ 是可测函数。
未来可测函数的研究将更加注重与其他数学分支的交叉融合，
03
如分析、几何、拓扑等，以推动数学学科的发展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
可测函数在研究函数的可导性方面也有着重要的应 用，例如在研究函数的导数和极值时。
动态系统的行为
可测函数在研究动态系统的行为方面也有着 重要的应用，例如在研究系统的稳定性时。
05 结论
可测函数的重要性和意义
1
可测函数是概率论和统计学中的基本概念，它对 于描述随机现象和预测未来事件具有重要意义。
2
可测函数的定义基于可测集的概念，通过将样本 空间划分为可测集，可以更好地理解随机现象的 内在规律和性质。
详细描述
可测函数的定义及简单性质1
补充:特征函数定义1 设X 是非空全集 ， , 称为集合A 的特征函数.显然的充分必要条件是A=B .例如：取，，则特征函数如图图1-13-1 特征函数 定理1（1）；（2）；X A ⊂A x A x x A ∉∈⎩⎨⎧=01)(χ）X x x x B A ∈=()()(χχ[]0,1X =1,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0)(1)(≡=≡=x A x X A A A χφχ充分必要条件是；充分必要条件是)(,)()(X x x x B A B A ∈∀≤⊂χχ充分必要条件是（3）.特别 时；（4） ； （5） ；（6）；（7） 设 是任一集列，则；（8）存在，且当极限存在时，.证明 仅证（3），（7）. ；（3） 任意，.当时，；当 时，；同理；)()()()(x x x x B A B A B A χχχχ-+=φ=B A )()()(x x x B A B A χχχ+= )()()(x x x B A B A χχχ= )](1)[()(\x x x B A B A χχχ-=)(min )(,)(max )(x x x x A A A A ααααααχχχχααΛ∈Λ∈==Λ∈Λ∈{}k A )(lim )()(lim )(lim lim x x x x kkkkkkA kA A kA χχχχ==)()(lim lim X x x A k A k k k ∈∞→∞→任意，存在的充分必要条件是χ)()(lim )(lim X x x x kkkA k A ∈=∞→χχX x ∈B A B A x ⊂∈)(1111)()()(x x x x x x B A B A B A χχ==-+=-+B A x \∈)(1001)()()(x x x x B A B A B A χχχχ==-+=-+)()()()(\x x x x AB x B A B A B A χχχχ=-+∈有当 时，有.（7） 设 是任一集列，则；（7） 先证任意，存在使，故，从而.又由特征函数定义知，所以；当，存在自然数N ，，故 ,，而，所以也有，故.再证任意时，存在自然数N ，，故,从而，而，所以；cB A x )( ∈)(0000)()()(x x x x B A B A B A χχχχ==-+=-+{}k A )(lim )()(lim )(lim lim x x x x kkkkkkA kA A kA χχχ==lim ()lim ()kkkA A kx x χχ=kkA x X x lim ,∈∈当i k A )2,1( =i ik A x ∈1)(=x ik A χlim ()1k A kx χ=()1kkA x χ=lim ()lim ()kkkA A kx x χχ=kkA x lim ∉时取N k >k A x ∉0)(=x k A χ)(N k >lim ()0k A kx χ=从而lim ()0kkA x χ=lim ()lim ()kkkA A kx x χχ=lim ()lim ()kkkA A kx x χχ=x X ∀∈lim ()lim ()kkkA A kx x χχ=,x X ∈当lim kkx A ∈时取N k >k x A ∈()1kA x χ=)(N k >lim ()1kA k x χ=lim ()1kkA x χ=lim ()lim ()kkkA A kx x χχ=当时，.由下限集的定义知,存在无穷多个,使于是,从而,所以,因此.第三章 可测函数为了建立新的积分即Lebesgue 积分，我们需要介绍一类比连续函数更为广泛的重要函数——可测函数，这类函数与连续函数有着密切的联系.首先我们拓广函数的概念，以下我们提到的函数都是指定义在中某点集上的实值函数，且允许它取值±∞.另外，我们规定：(+∞)+（+∞）=+∞，（-∞）+（-∞）=-∞，对于任意实数a ，总有a +(+∞)=(+∞)+a =+∞，a +(-∞)=-∞，对于b >0，c <0，b ·(±∞)=±∞，c ·(±∞)= ∞，(±∞)·（±∞）=+∞， （+∞）·（-∞）=（-∞）·（+∞）=-∞，0·（±∞）=（±∞）·0=0，对，，对，，但（+∞）-（+∞），（±∞）+（∞），（-∞）-（-∞）均无意义.§1 可测函数的定义及简单性质可测函数的定义方法很多，本节我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数，即先给出简单函数，再用简单函数的极限定义非负可测函数,然后通过分析非负可测函数的特性给出一般可测函数的定义.lim kkx A ∉lim ()0kkA x χ=ik A ,i k x A ∉()0k i A x χ=lim ()0k A kx χ=lim ()lim ()kkkA A kx x χχ=lim ()lim ()kkkA A kx x χχ=x X ∀∈nR ∞≠b o b =∞o c ≠∞=o c一、可测函数的定义及等价定义1．简单函数定义1 设为一个可测集，为定义在上的实函数，如果（1）=，其中为两两不交的可测集，（2）在每个上=，即= ，亦即，其中表示的特征函数，则称为上的简单函数.图3-1-1 简单函数显然= 及 =E nR ⊂)(x f E E mi iE1=i E i E )(x f i c )(x f ⎩⎨⎧1C C m 1E x E x m ∈∈∑==mi E i x c x f i 1)()(χ)(x iE χi E )(x fE )(x D ⎩⎨⎧01上的无理点为上的有理点为]1,0[]1,0[x x )sgn(x ⎪⎩⎪⎨⎧-101000<=>x x x均为其定义域上的简单函数.图3-1-2 符号函数可以证明，可测集上的两个简单函数的和、差及乘积仍为上的简单函数；当时，也是上的简单函数.另外，若是G 上的函数，是可测集上的简单函数，且 ，则仍为上的简单函数.例1 证明可测集上的两个简单函数的和仍为上的简单函数证明 设是上的简单函数，下证也是上的简单函数.事实上，设，E )(),(x g x f E 0)(≠x g )()(x g x f E )(u f 1R ⊂)(x g u =nR E ⊂)(E g G ⊂)]([x g f E E )(),(x g x f E ()(),f x g x E ()()f x g x +E ()()()()11,i j n mi A j B i j f x a x g x b x χχ====∑∑()()11,,nmi j i k j l i j E A B A A i k B B j k =====∅≠=∅≠那么，其中则是个互不相交的可测集，且所以是上的简单函数.定义2 设为上的非负实函数, 集合{}称为在上的下方图形, 记为 ,当时,简记为.图3-1-3 下方图形 例2 如果是中可测子集的示性函数：()1111n m n mi j i j i j i j E A B A B ====⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()1,2,,;1,2,i n j m == i jA B mn ()()()()()()()()11111111i j i j i j i j nmnmmni A j B i A B j A B i j i j j i n mi j A B i j f x g x a x b x a x b x a b x χχχχχ========+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑∑()()f xg x +E )(x f n R E ⊂)(0,),(x f y E x y x <≤∈1+⊂n R )(x f E ),(f E G n E R =()Gf ()E x ϕnR E ()1,,0,,E x E x x E ϕ∈⎧=⎨∉⎩当当则，这都是中的可测集.例3 设为可测集上的非负简单函数,即,其中, 为两两不交的可测集, 则为可测集, 且.证明 不难证明,其中也互不相交.而为中的可测集, 且,所以.)(0,),(x f y E x y x <≤∈()[)()[),0,1,0,1n E E G E E G R ϕϕ=⨯=⨯1n R +)(x f nR E ⊂∑==mi E i x c x f i 1)()(χ1mii E E == i E ),(f E G imi i E m c f E mG ∑==1),(1(,)(,)mi i G E f G E f == ),(f E G i ),0[})(0,),{(),(i i i i i c E c x f y E x y x f E G ⨯==<≤∈=1+n R i i i i i i i mE c c m mE c E m f E mG =⋅=⨯=),0[)),0[(),(∑∑====mi ii mi i mE c f E mG f E mG 11),(),(。
borel 可测函数
borel 可测函数引言在数学中，可测函数是一个重要的概念。
而在可测函数的理论中，Borel 可测函数则是一个特殊的概念，起到了重要的作用。
本文将对 Borel 可测函数进行全面、详细、完整且深入地探讨。
一、可测函数的定义可测函数最早起源于测度论的研究。
假设给定一个测度空间（X, Σ, μ），其中X 是一个非空集合，Σ 是 X 的一个σ-代数，μ 是定义在Σ 上的一个测度。
那么一个函数f : X → ℝ（或者是f : X → ℂ）被称为可测函数，如果对于任意的实数 a，有集合{x ∈ X : f(x) > a} 在σ-代数Σ 中。
换句话说，可测函数是一个这样的函数，其反像集在给定的σ-代数中。
二、Borel 可测函数的概念Borel 可测函数是可测函数的一种特殊情况，其定义如下：如果一个函数 f : X → ℝ（或者是 f : X → ℂ）的每一个实数 a 的反像集{x ∈ X : f(x) > a} 都属于所给测度空间的Borel σ-代数，那么这个函数被称为 Borel 可测函数。
三、Borel 可测函数的性质Borel 可测函数有许多重要的性质，下面将介绍其中的一些性质。
1. Borel 可测函数的基本性质Borel 可测函数的一个重要性质是：任意两个 Borel 可测函数的和、差、积、商（当分母不为零时）仍然是 Borel 可测函数。
这个性质可以从 Borel 可测函数的定义中直接推导出来，并且在实际应用中非常有用。
2. 可测函数的逼近性质对于一个 Borel 可测函数，可以用简单函数逼近它。
简单函数是指一个形式为有限个指示函数之和的函数形式。
具体而言，对于一个 Borel 可测函数 f : X → ℝ，可以找到一个递增的简单函数序列{φ_n}，使得它们逐点收敛到 f。
3. Borel 可测函数的连续性性质Borel 可测函数在某些情况下具有连续性。
例如，如果 f 是一个定义在闭区间 [a, b] 上的 Borel 可测函数，且对于该区间上的任意一个点 x，存在一个开邻域 U_x，使得 f 在 U_x 上连续，那么 f 在区间 [a, b] 上是连续的。
可测函数与连续函数
连续。由引理 1， 作
引理证毕。
定理 1（Lusin）设 为可测集 上几乎处处有限的可测函数，则对任意的
，有沿 连续的函数 使
，并且
。（去掉一个小测度集，在留下的集合上连续）
证明：不失一般性设 在 上处处有限。
先设 是有限可测集。由定理 2.3，有 上的简单函数列 ,使 。现对每一 ,由引理 2.2，存在沿 连续的函数
，使
，
令 ,
则
并且在
上
。
由于 有界,所以存在
的有界闭子集 ,使得 在 上一致收敛于 并且
。再由定理 2.2， 沿 连续.这样由引理 2.1， 作为 上
的函数可以开拓成沿 连续的函数 。此时 样我们在 有界的条件下证明了定理。
。这
对一般的
，此时对每一整数 ，令
则 都是有界的。从而由上段证明，对每一 ，存在 的闭子集 ,使 沿 连续，并且
一、基本概念
1、几乎处处：
给定一个可测集 E，假如存在 E 的一个子集 ， 在 上处处成立，则称性质 P 在 E 上几乎处处成立。
，且使得性质 P
2、可测函数：
设
是 Lebesgue 可测集， 是 上的实值函数。假如对于任意实数
都是可测集，则称 是 上的 Lebesgue 可测函数（简称 是 上的可测函数）。 3、几乎处处有限的可测函数：
此时
是闭集，并且 沿 连续。由引理 2.1， 作为 上的函数
可以开拓成 上的连续的函数 ，并且
。
定理证毕。
推论 若 是 上几乎处处有限的可测函数，则对任何 ，有 上连
续函数 ，使
，并且
。
定理 2 设 为可测集， 为 上的实函数，如果对任何 ，存在闭集
第四章可测函数
§1 可测函数及其性质 §2 叶果洛夫定理 §3 可测函数的构造 §4 依测度收敛
§1 可测函数及其性质
要点：可测函数是利用勒贝格可测集来刻画的，勒贝格可 测函数是勒贝格积分的基本对象。
记号：一个定义在 E Rn 上的实函数 f (x) 确定了E的一组
子集
E f a x | xE, f (x) a
不是一个函数值，而是一个集合
可测函数等价定义 设f (x)是定义在可测集E上的实函数，对于任何有限实数a,b (a b)
f (x) 在E上可测 （1）E f a 都可测。
（2） E f a 都可测。 （3） E f a 都可测。 （4）Ea f b 都可测。
推论：设 f (x)在E上可测，则 E f a 总可测，不论 a 是有 限实数或 即：可测集E上的常值函数是可测函数。
函数 n 的极限函数，其中 1(x) 2(x)
注：1°简单函数仅取有限个实数值，且每个值是在一个可测子集上取的。 2°简单函数列的极限函数不一定是简单函数，甚至某些点处极限函数
可能为 ，然而简单函数一定是可测函数。
5、几乎处处成立
设 是一个与集合E的点 x 有关的命题，如果存在E的子集 M，适合 mM 0 ，使得 在E\M上恒成立，即E\E[ 成 立]=零测度集，则我们称 在E上几乎处处成立， 或说
n
fn
(x)
G(x)
lim n
fn (x)
也在E上可测，特别当
F ( x)
lim n
fn(x) 存在时，
它也在可测。
4、简单函数及其性质
（1）定义：设f (x) 的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1,..., Es 即 E Ei ，使 f (x)在每个 Ei上都等于某常数 c ，则称 f (x)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对于b>0，c<0，b·(±∞)=±∞，c·(±∞)= ∞，(±∞)·（±∞）=+∞，
（+∞）·（-∞）=（-∞）·（+∞）=-∞，0·（±∞）=（±∞）·0=0，
对 ， ，对 ， ，
但（+∞）-（+∞），（±∞）+（ ∞），（-∞）-（-∞）均无意义.
图3-1-3下方图形
例2如果 是 中可测子集 的示性函数：
则 ，这都是 中的可测集.
例3设 为可测集 上的非负简单函数,即 ,其中 , 为两两不交的可测集,则 为可测集,且 .
证明不难证明 ,其中 也互不相交.
而 为 中的可测集,且
,
所以 .
（3）任意 ，.当 时，
；
当 时，
；
同理 ；
当 时，有
.
（7）设 是任一集列，则
；
（7）先证
任意 ，存在 使 ，故 ，从而 .又由特征函数定义知 ，所以 ；
当 ，存在自然数N， ， 故 , ，而 ，所以也有 ，故 .
再证
任意 时，存在自然数N， ， 故 ,从而 ，而 ，所以 ；
当 时， .由下限集的定义知,存在无穷多个 ,使 于是 ,从而 ,所以 ,因此 .
（1） = ，其中 为两两不交的可测集，
（2）在每个 上 = ，即 = ，亦即 ，
其中 表示 的特征函数，则称 为 上的简单函数.
图3-1-1简单函数
显然 = 及 =
均为其定义域上的简单函数.
图3-1-2符号函数
可以证明，可测集 上的两个简单函数 的和、差及乘积仍为 上的简单函数；当 时， 也是 上的简单函数.
补充:特征函数
定义1设X是非空全集， ,称
为集合A的特征函数.
显然 的充分必要条件是A=B.
例如：取 ， ，则特征函数如图
图1-13-1特征函数
定理1
（1） ；
（2） ；
（3） .特别 时
；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7）设 是任一集列，则
；
（8） 存在，
且当极限存在Biblioteka ，.证明仅证（3），（7）.；
另外，若 是G 上的函数， 是可测集 上的简单函数，且 ，则 仍为 上的简单函数.
例1证明可测集 上的两个简单函数 的和仍为 上的简单函数
证明设 是 上的简单函数，下证 也是 上的简单函数.事实上，
设 ，
那么 ，其中
则 是 个互不相交的可测集，且
所以 是 上的简单函数.
定义2设 为 上的非负实函数,集合{ } 称为 在 上的下方图形,记为 ,当 时,简记为 .
§1 可测函数的定义及简单性质
可测函数的定义方法很多，本节我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数，即先给出简单函数，再用简单函数的极限定义非负可测函数,然后通过分析非负可测函数的特性给出一般可测函数的定义.
一、可测函数的定义及等价定义
1．简单函数
定义1设 为一个可测集， 为定义在 上的实函数，如果
第三章可测函数
为了建立新的积分即Lebesgue积分，我们需要介绍一类比连续函数更为广泛的重要函数——可测函数，这类函数与连续函数有着密切的联系.
首先我们拓广函数的概念，以下我们提到的函数都是指定义在 中某点集上的实值函数，且允许它取值±∞.另外，我们规定：
(+∞)+（+∞）=+∞，（-∞）+（-∞）=-∞，