高等数学第一章 函数

y arcsin 2 x 2 不是函数关系。 x y 不是函数关系。 2 x y x 研究 与 y 是不是相同的函数关系。 x 不是 研究 y x与y x 2 是不是相同的函数关系。
补集 A U \ A
例19 如果 A 1, 2,3, 4 , B 1,3,5,7
则 A \ B 2, 4
A
A
例20 设参加考试的学生为全集， 如果 A 表示及格的学生集合，则 A 表示不及格
的学生集合。
例21 某地区有100个工厂，其中80个生产甲种机床，
以集合 A表示这些工厂；61个生产乙种机床，以
则 A B a, b, c , A B a, b
例16 设 A 为某单位会英语的人的集合， B 为会
日语的集合，则
A B 表示会英语或会日语的人的集合， A B 表示既会英语又会日语的人的集合。
例17 设 A x 1 x 1 , B x x 0 则
A B C A B C ; (3). 分配律： A B C A C B C , A B C A C B C ; c c c c (4). 对偶律： A B A B , A B Ac B c .
注: M 为数集
M *表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
通常： A, B, C , D, 表集合.
a, b, c, d , 表元素.
只含有限个元素的集合，称为有限集
不是有限集的集合，称为无限集
元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 例如：若 Q 表示全体有理数的集合，则 3 Q, 2 Q 5 注：集合具有确定性的特征。
第一章
微积分基础
函数
函数 — 研究对象 极限 — 研究工具
微积分主要包括：函数、极限、连续、 导数（微分）、积分、级数
§1.1 集合 §1.2 实数集 §1.3 函数关系 §1.4 分段函数 §1.5 建立函数关系的例题 §1.6 函数的几种简单性质 §1.7 反函数与复合函数 §1.8 初等函数 §1.9 函数图形的简单组合与变换
x o
b
x
（四）邻域
点的 邻域:

a
去心 邻域:


a
a

x
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 . 左 邻域 :
右 邻域 :
例如，(1) x 5 0.5 x (4.5,5.5)
0.5 为半径的邻域。 表示点 5 为中心，
例如，(2) 0 x 1 2 x (1,1) (1,3) 表示点 1 为中心， 2 为半径的空心邻域。
A B x x 1 , A B x 0 x 1
例18 如果 A 为全体有理数集合， B 为全体无理
数集合，则 A B x x为实数 ,


A B
定义 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
B A
差集
A \ B x
且 x B
A\ B
2 x 3x 2 2 例１ 解绝对值不等式
2 2 x 3 x 2 2 x 3x 4 0 2 2 解: x 3 x 2 2 2 x 3 x 2 2 x 3 x 0
x 1 0 x 1 0 x 1 x 4 0 x 4 0 , or x 4 0 1 x 4 x 0 x 0 x x 3 0 , or x 3, or x 0 x 3 0 x 3 0
例24 设 A a, b , 则
A A a, a , a, b , b, a , b, b
例25 设 R 为全体实数的集合，则
R R
记
R2
为笛卡尔直角坐标平面上的全体点集
例26 设 A B x 1 x 3 , 则
A B ( x, y) 1 x 3,1 y 3
第一章
§1.1 集合
（一） 集合定义
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 几个集合的例子 例1. 2007年1月1日在北京出生的人。 例2. 方程 x 2 5 x 6 0 的根。 例3. 全体偶数。 例4. 直线 x y 1 0 上的所有的点。
B A, 工厂的数目 55 25 6 86(个)
(4) 甲、乙两种机床都不生产的工厂集合：
B A, 工厂的数目 100 86 14(个)
（六）集合的运算律:
设A、B、C为任意三个集合，则 (1). 交换律： A B B A, A B B A;
(2). 结合律： A B C A B C ,
(二) 函数关系
定义. 设 D是非空实数集合, 若存在一个对应规则 f , 使得 有唯一确定的实数 与之对应 , 则称 f 为定义在D上 的一个函数关系, 记作
y f ( x),
任意
D
f
x称为自变量， y 称为因变量。 集合 D 称为函数 f 的定义域 ; 记作 D( f ). 函数值的集合 f ( x) x D , 称为 f 的 值域 ； 记作 Z ( f ).
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .
若
且 ,
则称 A 与 B 相等,
,
A
B
记作 A B .
例11
例12 设 A 1, 2,3, 4,5 , B 1,3,5 ，则
例13 5 x 6 0 ,
（三）区间
开区间 ( a , b ) x a x b
a o b 闭区间 [ a , b ] x a x b
o
半开区间
x
a
b
x
上述区间, 称为有限区间. a与b称为区间端点. 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
正无穷大 无限区间
负无穷大
o
a
解集为 : 1 x 4 x 3, or x 0 (1,0) (3, 4)
§1.3 函数关系
(一) 关系
(二) 函数关系 (三) 函数记号 (四) 函数定义域 (五) 多值函数 (六) 隐函数
(一) 关系
两个数量关系的例子 例1 设集合 X Y R ，对于 X 中的每一个 x 与 Y 中的所有小于 x 的实数 y 相对应， 这就是实数集上 y x 的关系。
集合 B 表示这些工厂；55个两种机床都生产。试用 集合表示下列各类工厂，并计算各类工厂的数目： (1) 生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂；
(2) 生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂；
(3) 甲、乙两种机床至少生产其中一种的工厂； (4) 甲、乙两种机床都不生产的工厂。
配合文图解
解：(1) 生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂集合： A \ B, 工厂的数目 80 55 25(个) (2) 生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂集合： B \ A, 工厂的数目 61 55 6(个) (3) 甲、乙两种机床至少生产其中一种的工厂集合：
满足 y x 的点集 ( x, y) y x , x X , y Y 为半平面
例2 设集合 X Y R ，对于 X 中的每一个 x 与 Y 中的实数 2 x 相对应，
这就是实数集上 y 2 x 的关系。 满足 y 2 x 的点集( x, y) y 2 x , x X , y Y 为直线
证明略：只选择(2)(4)来证！并用文氏图说明。
例22 利用集合的运算律证明：
( A B) ( A B) B
证明：由分配律，
( A B) ( A B) ( A A) B)
U B
B
(七) 集合的笛卡尔乘积
定义 给定两个集合 A, B，定义笛卡尔乘积:
(2) 描述法： M a a 所具有的特征 例7. 方程 x 2 5 x 6 0 的根构成的集合。 2 x 5x 6 0 x 例8. 全体偶数的集合。
例: 整数集合 Z x x N 或 x N
x
x 2n, n为整数
p p Z, q N , 有理数集 Q q 实数集合 R x x 为有理数或无理数
“很小的数”
“健康的学生”
都不是这里讲的集合。
(二) 集合的表示法：
(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
并用“

”括起来。
例5 由 a, b, c, d 四个元素组成的集合 A ，表示为 A a, b, c, d 例6 由方程 x 2 5 x 6 0 的根所构成的集合 A ， 表示为 A 2,3 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an 自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n ,
若 x0 D( f ), 则称 f ( x)在点 x x0 处有定 义。 x0 对应的 y 值，记作 f ( x0 ) 或 y x x ，
称为当 x x0 时，函数 y f ( x) 的函数值。
0
注意: 函数的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值 域 . 例3 例4 例5 例6
A B ( x , y) x A , y B
例23 设 A 1, 2,3, 4 , B 2,3 则
A B 1, 2 , 1,3 , 2, 2 , 2,3 , 3, 2 , 3,3 , 4, 2 , 4,3