三角函数的综合应用

三角函数的综合应用
1． 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .
(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎡⎦
⎤－π3，π
3，求x 的值； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．
解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6＋1. 由2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＝1－3，得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－3
2. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π
6，
∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4
.
(2)当－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π
2
＋2k π(k ∈Z )，
即－π3＋k π≤x ≤π
6
＋k π(k ∈Z )时，函数y ＝f (x )单调递增，即函数y ＝f (x )的单调增区间为
⎣⎡⎦
⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，
2． 已知向量a ＝(cos x ＋3sin x ，3sin x )，b ＝(cos x －3sin x ，2cos x )，函数f (x )＝a ·b －
cos 2x .
(1)求函数f (x )的值域；
(2)若f (θ)＝1
5，θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，求sin 2θ的值． 解 (1)f (x )＝a ·b －cos 2x
＝(cos x ＋3sin x )(cos x －3sin x )＋3sin x ·2cos x －cos 2x ＝cos 2x －3sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝cos 2x －sin 2x －2sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6－1， f (x )的值域为[－3,1]．
(2)由(1)知f (θ)＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2θ＋π
6－1， 由题设2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6－1＝1
5，即sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＝35， ∵θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，∴2θ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π2，5π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＝－45
， ∴sin 2θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2θ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6sin π
6 ＝35×3
2－⎝⎛⎭⎫－45×12＝33＋410
.
3． 已知向量m ＝⎝
⎛⎭⎫sin A ，1
2与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角． (1)求角A 的大小；
(2)若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值． 解 (1)∵m ∥n ，∴sin A ·(sin A ＋3cos A )－3
2＝0.
∴
1－cos 2A 2＋32sin 2A －32＝0，即32sin 2A －1
2
cos 2A ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1. ∵A ∈(0，π)，∴2A －π
6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6. 故2A －π6＝π2，A ＝π
3
.
(2)∵BC ＝2，由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝4，
又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)，
从而S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤3
4×4＝ 3.
即△ABC 面积S 的最大值为 3.
4． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a
b
.
(1)求
sin C
sin A
的值； (2)若B 为钝角，b ＝10，求a 的取值范围． 解 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C
＝k ， 则
3c －a b ＝3k sin C －k sin A k sin B ＝3sin C －sin A
sin B
， 所以cos A －3cos C cos B ＝3sin C －sin A sin B
，
即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )．
又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin C
sin A ＝3.
(2)由
sin C
sin A
＝3得c ＝3a . 由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋c >
b a 2＋
c 2<b 2，又b ＝10，所以5
2<a <10.
5． 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫其中x ∈R ，A >0，ω>0，－π2<φ<π
2的部分图象如图所示．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)已知函数f (x )的图象上的三点M ，N ，P 的横坐标分别为－1,1,5，求sin ∠MNP 的值． 解 (1)由图可知，A ＝1，最小正周期T ＝4×2＝8. 由T ＝2πω＝8，得ω＝π
4
.
又f (1)＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，且－π2<φ<π
2， 所以π4＋φ＝π2，解得φ＝π
4.
所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.
(2)因为f (－1)＝0，f (1)＝1， f (5)＝sin ⎝⎛⎭⎫
5π4＋π4＝－1，
所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)． 所以|MN |＝5，|PN |＝20，|MP |＝37. 由余弦定理得 cos ∠MNP ＝
5＋20－3725×20
＝－3
5.
因为∠MNP ∈(0，π)，所以sin ∠MNP ＝4
5
.
6． 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中
0<α<x <π.
(1)若α＝π
4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；
(2)若a 与b 的夹角为π
3
，且a ⊥c ，求tan 2α的值．
解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π
4
，
∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．
令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎫π
4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2. 则y ＝t 2＋2t －1＝⎝
⎛⎭⎫t ＋
222－3
2
，－1<t <2， ∴t ＝－
22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22
， ∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π，∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π
12. ∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.
(2)∵a 与b 的夹角为π
3
，
∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．
∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3
.
∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π
3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋3
2cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35
.。