江西省各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(15)复数与推理证明

江西省各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（15）复数与
推理证明
一、选择题:
2. (江西省吉安县二中2013年4月高三月考)i 是虚数单位，则
1i
i
+的虚部是（ ） A ．
12i B ．12i - C ．12 D ．12
-
【解析】1i i +=i 2
1
21+，选C ．
1. (江西省赣州市十二县市2013届高三第二学期期中联考理)已知11m
ni i =-+，其中
,m n R ∈， i 为虚数单位，则m ni +=（ ）
A ．12i + B.2i + C.12i - D.2i - 【答案】B
1．（江西省九校2013届高三第二次联考理）已知z 是纯虚数，2
1z i
+-是实数，那么z 的共轭复数是（ ）
A ．2i
B ．i
C ．一i
D ．-2i
【答案】A
2．（江西省九校2013届高三第二次联考文）若将复数
i
i
-+11表示为a + bi （a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a + b =（ ）
A ．0
B ．1
C ．–1
D ．2 【答案】B
1．(江西师大附中、鹰潭一中2013年4月高三联考文)已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且
1xi y i -=-+，则(1)x y i ++=（ ）
A ．2
B ．2i -
C ．4-
D ．2i
【答案】D
2. (江西省新余市2013届高三第二次模拟文)已知i
是虚数单位，则3
在复平面内对
应的点位于
A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B
1. (江西省宜春市2013届高三4月模拟文)i 为虚数单位，如果2
2221i
z a a i
=+-+-为纯虚数，那么实数a 的值为（ ）
A. 1
B. 3或1-
C. 3-
D.1 或3-
【答案】D
7. (江西省宜春市2013届高三4月模拟文)如下图所示，当2≥n 时，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n 个点，若第n 个图案中总的点数记为n a ，则
12310a a a a ++++= （ ）
A. 126
B. 135
C. 136
D. 140 【答案】C 1. （江西省八所老牌重点中学2013届高三下学期第一次联考文）若复数1z i =-(i 为虚数单位), z 是z 的共轭复数,则z z ⋅的实部为 A ．1-
B ．1
C ．0
D ． 2
【答案】D 二、填空题:
14. (江西省吉安县二中2013年4月高三月考)（文科） 给出下列等式：
π2cos 4=，
π2cos 8=，
π2cos 16
， ……请从中归纳出第n ()
n ∈*N
个等式：
2
n 个 ．
【解析】易得第n ()
n ∈*N
2
n =个1
2cos n +π2；
n=1 n=2
n=3 n=4
n=5
14．(江西省赣州市十二县市2013届高三第二学期期中联考文)设
1
2cos x A x +
=成立，可
得
2212cos 2x A x +
=，3312cos3,,x A x += 由此推得*
1()n n x n N x +∈= ．
【答案】2cos nA
13．(江西师大附中、鹰潭一中2013年4月高三联考文)若数轴上不同的两点,A B 分别与实数12,x x 对应，则线段AB 的中点M 与实数
12
2
x x +对应，由此结论类比到平面得，若平面上不共线的三点,,A B C 分别与二元实数对112233(,),(,),(,)x y x y x y 对应，则ABC ∆的重心
G 与 对应.
【答案】123123,33x x x y y y ++++⎛⎫
⎪⎝⎭
三、解答题:
21. (江西省吉安县二中2013年4月高三月考)理科（本小题14分）已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值.
（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()
()f b f a f x b a
-'=-.试用这个结论证明：
若121x x -<<，函数121112
()()
()()()f x f x g x x x f x x x -=
-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有
()()f x g x >；（Ⅲ）已知正数,,,,,321n λλλλ 满足,1321=++++n λλλλ 求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数n x x x x ,,,,321 ,都有
()()()()n n n n x f x f x f x x x f λλλλλλ+++>+++ 22112211
21.（理科）解：（Ⅰ）1()1f x m x '=++. 由(0)0f '=，得1m =-，此时()1
x f x x '=-+. 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 在区间(1,0)-上单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减.
∴函数()f x 在0x =处取得极大值，故1m =-.…………………………3分
（Ⅱ）令121112
()()
()()()()()()f x f x h x f x g x f x x x f x x x -=-=----，………4分
则1212
()()
()()f x f x h x f x x x -''=--.函数()f x 在12(,)x x x ∈上可导，∴存在
012(,)
x x x ∈，使得12012
()()
()f x f x f x x x -'=-.
又111)(-+=
'x x f 000011()()()11(1)(1)
x x h x f x f x x x x x -'''∴=-=-=++++ 当10(,)x x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，1()()0h x h x ∴>=； 当02(,)x x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，2()()0h x h x ∴>=；
故对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >.…………………………8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明.
①当2n =时，121λλ+=Q ，且10λ>，20λ>，
112212(,)x x x x λλ∴+∈，∴由（Ⅱ）得()()f x g x >，即
121122112211112212
()()
()()()()()f x f x f x x x x x f x f x f x x x λλλλλλ-+>+-+=+-，
∴当2n =时，结论成立.…………………………9分
②假设当(2)n k k =≥时结论成立，即当,1321=++++k λλλλ 时，
()()()()k k k k x f x f x f x x x f λλλλλλ+++>+++ 22112211. 当1n k =+时，
设正数,,,,121+k λλλ 满足,11321=+++++k λλλλ 令k m λλλλ++++= 321，
,,,,2
21
1m
m m k
k λμλμλμ=
=
=
则11=++k m λ，且121=+++k μμμ .
()()[]112211112211++++++++=++++k k k k k k k k x x x x m f x x x x f λμμμλλλλ
()()()()()()()()()
1112211112211112211)
(++++++++++>++++>++++>k k k k k k k k k k k k x f x f x f x f x f x f m x f m x f m x f x x x mf λλλλλμμμλμμμ …………13分
∴当1n k =+时，结论也成立.
综上由①②，对任意2n ≥，n N ∈，结论恒成立. ……………………14分。