北师大版必修3数学知识点
高一、高二数学同步系列 必修3 北师大版 第一章 §2(2.1)
等可能抽样
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】 判断下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样(正 确的打√，错误的打×) (1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本( )
(2)箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在
C.与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些
D. 与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取 的可能性不一定 解析 在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相 等，与第几次抽样无关，故A，C，D不正确，B正确.
答案 B
课前预习
课堂应用 【例2】 为迎接2016年里约热内卢奥运会，奥委会现从报名的某
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的；
(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样. 如果三个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样.
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【训练1】 在简单随机抽样中，某一个体被抽到的可能性( A.与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些 B.与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等
)
青海参加抗震救灾工作；
④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子 中无放回地抽出6个号签.
A.0
C.2
B.1
D.3
课前预习 课堂互动 课堂反馈
解析
根据简单随机抽样的特点逐个判断.①不是简单随机抽样.
因为一儿童从玩具箱的 20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再 拿一件，连续玩了5件它不是“逐个”抽取.②不是简单随机抽样. 虽然“一次性抽取 ”和 “逐个抽取 ”不影响个体被抽到的可能 性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.③不是简单随机抽
北师大版高中数学必修三：1.7+相关性
数学学科教学设计其中两个变量x，y具有相关关系的是( )精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
北师大版数学必修三课件：第3章§2 2.2 建立概率模型
评析:法(一) 利用树状图列出了试验的所有可能结果(共24
Байду номын сангаас
种),可以计算4个人依次摸球的任何一个事件的概率.
法(二) 利用试验结果的对称性,只考虑前两个人摸球的情 况,所有可能结果减少为12种. 法(三)只考虑球的颜色,对2个白球不加区分,所有可能结 果减少为6种. 法(四)只考虑第二个人摸出的球的情况,所有可能的结果 变为4种,该模型最简单！
例2.口袋里装有1个白球和1个黑球,这 2 个球除了颜色外
完全相同,2 个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二 个人摸到白球的概率.
分析:1.完成一次试验是指什么？
2.总的基本事件数是多少？ 3.符合要求的基本事件数是多少？
1 答案： 2
第 一 人
第 二 人
第 一 人
第 二 人
变式1.袋里装有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完
1 现1,2,3,4,5,6点的概率都是_______. 6
(2)若考虑向上的点数是奇数还是偶数,则分别出现奇数
1 或偶数的概率都是________. 2
(3)若要在掷一粒均匀骰子的试验中,欲使每一个结果出
现的概率都是1/3,怎么办?
把骰子的6个面分为3组(如相对两面为一组),分别涂 上三种不同的颜色.
能的结果用“树状图”直观地表示出来.
四个球分别用
1
2
1 2
表示,用树状图表示
所有可能的结果如下: 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1
1
2 2 1 2 2 1
2 2 2 1 1 2
1 2 1
1 2 1 1
高中数学 第一章第九节《最小二乘估计》教学课件 北师大版必修3
C. y=2x+1
D. y=x-1
解析：因为x 1 2 3 4 2.5, y 3.5而回归直线必过点 4
（x, y）,所以把点2.5，3.5代入各个选项检验知. 14
小结：
1.如何求线性回归方程（公式法） 2.线性回归方程系数的含义 3.线性回归方程的应用
15
1.设一个回归方程为y=3-1.2x，则变量x增加一个单位时
( A)
A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加1.2个单位
C.y平均减少3个单位
D.y平均减少3个单位
2.在一次实验中，测得（x,y）的四组值为(1，2)，(2，3)，
4)，(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为（ ）A
A.y=x+1 B. y=x+2
4 4.41 24.92
2.38 2.685 3.008 3.315 3.654 3.99 4.32 4.641 27.993
b
x1y1 xn yn nx y
x12
xn2
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
x
a y bx
0.733333333 0.694166667
回归方程预测值
2.050833333
13
课堂练习：
高中数学必修３第一章第 九节《最小二乘估计》教
学课件
1
最小二乘估计
2
问题导入：
上一节课我们学习了人的身高与右手 一拃长之间近似存在着线性关系，这种 线性关系可以有多种方法来进行刻画， 那么用什么样的线性关系刻画会更好？ 这就是本节课我们要讨论的问题。
最小二乘估计
3
问题1：
用什么样的线性关系刻画会更 好一些？
想法：保证这条直线与所有点都近 （也就是距离最小）。
北师版高三数学知识点
北师版高三数学知识点高三是学生们最后一年，也是备战高考的冲刺时期。
数学是高考的重要科目之一，对于北师版高三数学知识点的掌握，不仅可以提高学生的数学水平，还有助于他们在考试中取得好成绩。
下面将介绍北师版高三数学知识点的几个重要内容。
1. 三角函数在高三数学中，三角函数是一个重要的知识点。
它涉及到正弦函数、余弦函数、正切函数等内容。
学生需要掌握三角函数的基本定义、性质和简单的求解方法。
同时，他们还需要了解三角函数在几何图形中的应用。
2. 平面向量平面向量是高三数学中的又一个重要知识点。
学生需要了解向量的概念、加减法、数量积和向量积等基本运算。
此外，他们还需要掌握平面向量在几何中的应用，比如求解线段的长度、角度等问题。
3. 数列与数列的极限数列与数列的极限也是高三数学的重要内容。
学生需要了解数列的基本定义、性质和常见的数列形式，比如等差数列、等比数列等。
此外，他们还需要学会求解数列的极限，包括极限的性质和计算方法。
4. 导数与微分导数与微分是高三数学的核心内容之一。
学生需要了解导数的定义、性质和常见的求导法则，比如常数法则、幂函数法则等。
同时，他们还需要学会应用导数解决相关的数学问题，比如求函数的最大值、最小值等。
5. 三角函数的导数与积分三角函数的导数与积分也是高三数学中重要的内容。
学生需要掌握常见三角函数的导数和积分表达式，以及应用导数和积分求解数学问题的方法。
此外，他们还需要学会处理带有三角函数的复合函数和反函数的求导和积分问题。
6. 解析几何解析几何是高三数学中的重难点之一。
学生需要了解平面直角坐标系和平面方程的基本概念和性质，掌握直线和曲线的方程、性质和相关的解析几何问题的求解方法。
7. 概率与统计概率与统计是高三数学中的另一个重要内容。
学生需要了解概率的基本概念和性质，掌握概率的计算方法和常见的概率分布。
此外，他们还需要学会统计的基本方法和概念，比如样本调查、频率分布等。
以上是北师版高三数学知识点的一些重要内容。
北师大版高中数学必修知识点总结
北师大版高中数学必修知识点总结高中数学是高中阶段的一门重要学科，对学生的思维逻辑能力、数学分析能力以及解决实际问题的能力有很大的帮助。
下面是北师大版高中数学必修的知识点总结。
一、函数与方程1.函数的定义与性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
2.初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
3.函数的图像与性质：函数图像的平移、翻折和缩放等。
4.方程与不等式：一元一次方程、一元一次不等式、二次方程、二次不等式等。
二、数列与数学归纳法1.数列的概念与表示：等差数列、等比数列、等差数列与等比数列的相互转化。
2.数列的通项公式：求通项公式、求和公式等。
3.数列的前n项和与无限项和：有限等差数列求和、有限等比数列求和、无限等差数列求和、无限等比数列求和等。
4.数学归纳法的基本思想与应用。
三、平面向量1.向量的概念与运算：向量的表示、向量的加法、向量的数乘、数量积、向量积等。
2.向量的模、方向角、坐标与坐标运算：向量的模、方向角与坐标之间的关系、向量的坐标运算等。
3.平面向量的应用：向量的共线性、向量的法则等。
四、三角函数与解三角形1.角度与弧度制：角度与弧度的转化、正角和负角等。
2.三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
3.三角函数的诱导公式：和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式等。
4.三角函数的图像与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像、最小正周期与变换等。
5.解三角形：海伦公式、正弦定理、余弦定理等。
6.三角函数的应用：三角函数的模型求解等。
五、平面几何和立体几何1.平面几何基本概念：点、直线、线段、射线、角的概念与性质等。
2.平面几何的证明方法：直接证明、间接证明、反证法等。
3.圆的性质与判定：圆的定义、弧、弦、切线、正切、割线、弓形与线段的关系等。
4.圆锥曲线：椭圆、双曲线的定义与性质。
5.空间几何基本概念：点、直线、平面、直线与平面的位置关系等。
6.空间几何的投影：点到线的距离、点到平面的距离、线到平面的距离等。
高中高中数学北师大版必修3课件第3章§1-1.1 1.2精选ppt课件
(3)①根据历史上的天气记录以及新搜集到的天气变化材料， 对于今天的降雨因素做出详尽的分析，得到了降雨可能性的 估计：“今天南京的降水概率是 60%，广州的降水概率是 70%.”如何理解“今天南京的降水概率是 60%，广州的降水 概率是 70%”？有没有可能“南京今天降雨了，而广州没有 降雨”？请从概率的角度做出解释． ②据报道：2011 年日本 9 级地震是“千年一遇”的大地震．在 这里，“千年一遇”是什么意思？
解：(1)选 A.因为抛掷一枚均匀的硬币，正面向上的概率为 0.5，此人连续抛掷一枚均匀的硬币 24 000 次，则正面向上的 次数应接近 0.5×24 000＝12 000 次，所给的答案中只有 12 012 这个数最接近 12 000，所以选 A. (2)②③ (3)①贫困地区的频率依次为 0.533，0.540，0.520，0.520，0.512， 0.503. 发达地区的频率依次为：0.567，0.580，0.560，0.555，0.552， 0.550. ②估计贫困地区和发达地区参加测试的儿童得 60 分以上的 概率分别为 0.520 和 0.560.
3．在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天 降水概率为 85%”，这是指( ) A．明天该地区有 85%的地区降水，其他 15%地区不降水 B．明天该地区约有 85%的时间降水，其他时间不降水 C．气象台的专家中，有 85%的人认为会降水，另外 15%的 专家认为不降水 D．明天该地区降水的可能性为 85% 解析：选 D.概率的本质含义是事件发生的可能性大小，因此 D 正确．
4．先后抛掷两枚均匀的硬币，观察落地后硬币的正反面情况， 则下列哪个事件的概率最大________． (1)至少一枚硬币正面向上； (2)只有一枚硬币正面向上； (3)两枚硬币都是正面向上； (4)两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上． 解析：抛掷两枚硬币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”， “反反”四种情况，至少有一枚硬币正面向上包括三种情况， 其概率最大． 答案：(1)
数学北师大版必修3教案： 第三章概率§3 含解析 精品
§3 模拟方法——概率的应用整体设计教学分析这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书中选的例题都是比较简单的.随机模拟部分是本节的重点内容.几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子.本节的教学需要一些实物模型为教具,教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.在这个过程中,要让学生体会结果的随机性与规律性,体会随着试验次数的增加,结果的精度会越来越高.几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为0,则它出现的概率为0,但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1,但它不是必然事件.三维目标1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P(A)=)(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度构成事件A ,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.重点难点教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.复习古典概型的两个基本特点：(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学习几何概型.思路2.图1中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?图1为解决这个问题,我们学习几何概型.思路 3.在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.推进新课新知探究提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭,假设射箭能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反).每种结果出现的概率相等,P(正,正)=P(正,反)=P(反,正)=P(反,反)=41.两次出现相同面的概率为41+41=21. (2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如图2,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31,图2于是事件A 发生的概率为P(A)=31. 第二个问题,如图3,记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为41×π×1222 cm 2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.图3(3)硬币落地后会出现四种结果(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的,而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的,即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几何概型.几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式： P(A)=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . (6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.应用示例思路1例1 判断下列试验中事件发生的概率是古典概型,还是几何概型.(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;(2)如图4所示,有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.图4活动：学生紧紧抓住古典概型与几何概型的区别与联系,然后判断.解：(1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;(2)游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性,而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.例 2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.活动：学生分析,教师引导,假设他在0—60之间的任一时刻,打开收音机是等可能的,但0—60之间有无数个时刻,不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率,因为他在0—60之间的任一时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,所以可用几何概型的概率计算公式计算.图5解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A,打开收音机的时刻位于［50,60］时间段内则事件A 发生.由几何概型的求概率公式得P(A)=6160)5060(=-，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为61. 打开收音机的时刻X 是随机的,可以是0—60之间的任何时刻,且是等可能的.我们称X 服从［0,60］上的均匀分布,X 称为［0,60］上的均匀随机数.变式训练某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上).解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记A g ={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,故P(A g )=53=Ω的长度的长度g . 点评：通过实例初步体会几何概型的意义.思路2例 1 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于20分钟的概率.活动：假设他在0—60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：设A={等待的时间不多于20分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于［40,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)=60)4060(-=31. 即此人等车时间不多于20分钟的概率为31. 点评：在本例中,到站等车的时刻X 是随机的,可以是0到60之间的任何一刻,并且是等可能的,我们称X 服从［0,60］上的均匀分布,X 为［0,60］上的均匀随机数.变式训练在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.例2 小明家的晚报在下午5：30—6：30之间任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6：00—7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐,则晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？活动：学生读题,设法利用几何概型公式求得概率.解：建立平面直角坐标系,如图5中x=6,x=7,y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域G.设晚餐在x(6≤x≤7)时开始,晚报在y(5.5≤y≤6.5)时被送到,这个结果与平面上的点(x,y)对应.于是试验的所有可能结果就与G 中的所有点一一对应.图5由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.晚报在晚餐开始之前被送到,当且仅当y<x,因此图5中的阴影区域g 就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”.容易求得g 的面积为87,G 的面积为1.由几何概型的概率公式,“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为P(A)=87=的面积的面积G g . 变式训练在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的10毫升种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率.解：取出10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为A,则P(A)=0.01.答：取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.知能训练1.已知地铁列车每10 min 一班,在车站停1 min,求乘客到达站台立即乘上车的概率. 答案：由几何概型知,所求事件A 的概率为P(A)=111. 2.两根相距6 m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2 m 的概率.答案：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A,则P(A)=62=31. 3.在500 mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是( )A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定 答案：C提示：由于取水样的随机性,所求事件A ：“在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比5002=0.004. 4.平面上画了一些彼此相距2a 的平行线,把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.图6答案：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A,为了确定硬币的位置,由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM,垂足为M,如图6所示,这样线段OM 长度(记作OM)的取值范围就是［0,a ］,只有当r ＜OM≤a 时硬币不与平行线相碰,所以所求事件A 的概率就是P(A)=ar a a a r -=的长度的长度],0[],(. 拓展提升1.约会问题两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.解：因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲、乙两人各自到达的时刻)组成.以8点钟作为计算时间的起点,设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω：{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形.以x,y 分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|≤20.图7这是一个几何概型问题,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,能会面的点的区域用阴影标出(如图7).所求概率为P=95604060222=-=的面积的面积G g . 2.〔蒲丰(Buffon)投针问题〕平面上画很多平行线,间距为a.向此平面投掷长为l(l<a)的针,求此针与任一平行线相交的概率.解：以针的任一位置为样本点,它可以由两个数决定：针的中点与最接近的平行线之间的距离x,针与平行线的交角φ(见图8).样本空间为Ω：{(φ,x)|0≤φ≤π,0≤x≤2a }为一矩形.针与平行线相交的充要条件是g ：x≤21sinφ(见图9). 所求概率是P=ππϕϕπa l a d l g 22sin )2(0=∙∙=Ω⎰的面积的面积.图8 图9注：因为概率P 可以用多次重复试验的频率来近似,由此可以得到π的近似值.方法是重复投针N 次(或一次投针若干枚,总计N 枚),统计与平行线相交的次数n,则P≈N n .又因a 与l 都可精确测量,故从N n a l ≈π2,可解得π≈anlN 2.历史上有不少人做过这个试验.做得最好的一位投掷了3 408次,算得π≈3.141 592 9,其精确度已经达到小数点后第六位.设计一个随机试验,通过大量重复试验得到某种结果,以确定我们感兴趣的某个量,由此而发展的蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法为这种计算提供了一种途径.课堂小结几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.作业习题3—3 A 组1、2.设计感想本节课首先对古典概型进行了复习,使学生掌握古典概型的适用条件,巩固了古典概型的概率计算公式,接着设计了多个试验,从课题的引入,到问题的提出都非常有针对性,引人入胜,接着从新的问题中引出几何概型这一不同于古典概型的又一概率模型,并通过探究,归纳出几何概型的概率计算公式,同时比较了古典概型和几何概型的区别和联系,通过思路1和思路2两种不同的例题类型和层次,加深理解和运用,由于它们与实际生活联系密切,所以要反复练习,达到为我们的工作与生活服务,然而这部分内容在高考中是新内容,因此同学们要高度重视,全面把握,争取获得好成绩.。
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北师大版数学必修3知识点
普查全面和系统，了解国情与国力，耗费大量人物财；
抽样迅速与及时，科学可靠省三力。
抽取应有随机性，公平就是“不放回”。
抽取编号再准备，记录编号找样本。
随机数法位数齐。号段一定要注意。
分层抽样代表强，差异明显要分开，确定层次算比例；
系统抽样总体多，一个号码取数据，注意剔除多余的。
条形量大要频数，折线有意看波动；
扇形组成见比例，茎叶一片信息齐。
集中趋势平中众，方差标准描波动。
单位问题很纠结，按照课本守本分。
数据同加减，平均数要变，方差却不变；
数据同乘除，平均数随变，方差变平方。
矩形面积是频率，率乘中点平均数；
中位左右面积等，重心给力平均数。
画图别省O原点，横纵轴有术语留；
分组力求取整数，画图频率除组距；
不涂阴影没数据，规范大方显能力。
线性加上非线性，散点一图点相关；
因果关系为函数，近似函数为线性；
线性回归求方程，所需数出满分批。
解决问题某一类，算法概括普遍性；
逻辑程序看语言，有穷还要不唯一。
有限循环流程图，入口出口各有一；
圆角矩形起至框，平行四边是输框；
计算赋值矩形框，判断弄好意自明。
框图不是迷宫路，改卷不是你做主。
赋值变量只有一，等式不是不等式；
左边变量右边式，赋值一句换千秋。
基本语句条循环，复合If与For句；
还有语句Do Loop,语言不再数学化。
频率随机关次数，次数增加近概率；
概率稳定已确定，取值应为【0，1】。
古典概型有限性，等可能也不能丢；
几何不属古典型，数形结合展智慧。
互斥不能同发生，对立一定是互斥；
互斥和事还随机，对立和事为必然。