Agauss消元s

，对A
(k )实行
一系列初等行变换：(Ei − mik Ek ) → Ei , (i = k +1,", n)。得：
⎡ ⎢
a1(11)
A (2)
=
⎢ ⎢
0
⎢
⎢⎣ 0
a1(21)
a
(2 22
)
"
a
(2) n2
" " " "
a1(1n)
a
( 2
2) n
a
(2 nn
)
a1(,1n) + 1
a
(2) 2,n
+1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
,
⎥
a
(2) n,n
+1
⎥⎦
j=2,3,…,n+1.
where A(1) = A
a (1) ij
=
解:
x4 = 1 x3 = (13 −13x4 ) / 3 = 0 x2 = −(7 + 5x4 + x3 ) = −(7 + 5 + 0) = 2 x1 = 4 − 3x4 − x2 = 4 − 3 − 2 = −1 所以，解为 （x1, x2 , x3, x4 )T = (−1 ,2,0 ,1)T
(i
=
2,3,", n)
如上解三角形方程组的 方法称为回代法
(Forward - Substituti on Process).
例1、 用回代法求解线性方程 组
⎧x1 + x2
+ x4 = 4
⎪⎪ ⎨ ⎪
− x2 − x3 − 5x4 = − 7 3x3 + 13x4 = 13
⎪⎩
−13x4 = −13
%Output—X is the solution to the system AX=b
1
下三角(lower - triangula r)方程组的一般形式为：
⎧a11 x1
= b1
⎪⎪⎪⎨a21"x1"+ a"22"x2"""
= b2
⎪⎩an1x1 + an2 x2 + " + ann xn = bn
6.1 Linear Systems of Equations
introduction
如果未知量的个数为 n ,而且关于这些未知量
x1,x2, … ,xn 的幂次都是一次的(线性的),那末, n 个方程
a11x1+a12x2+ … +a1nxn=b1
┆┆ ┆
(1)
an1x1+an2x2+ … +annxn=bn
求xi(i=1,… n)需要(n2-1)n!次乘法， n次除法。
总计算量为
N=[(n2-1)n!+n]flop 设在1011flop /s
n=20, N= 9.707×1020 flop 则需9.707×109秒≈ 307.81年。
的计算机上计算，
这个计算量是大得惊人的. 对于上百个未知量的方程组, 运算量就更大了.因此克莱姆规则在理论上尽管是完善的,但 在实际计算中却没有什么实用价值.本章我们将重点讨论求解 线性方程组的其它有效的数值方法.
1.Equation Ei can be multiplied by any constant λ with the resulting equation used in place of Ei .This operation is Denoted (λEi ) →(Ei ); 2.Equation Ej can be multiplied by any constant λ and added to equation Ei with the resulting equation used in place of Ei .This operation is denoted (Ei+λEj ) →(Ei ). 3.Equations Ei and Ej can be transposed in order. This operation is denoted(Ei←→ Ej ).
First form the augmented matrix(增广矩阵) :
Combining A and b to form the augmented matrix :
A = [ A, b]
[ A,b]
=
⎡ a11
⎢ ⎢
a
21
⎢
a12
a22 "
" " "
a1n a2n
b1 b2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
=
构成一个含 n 个未知量的线性方程组,称为 n 阶线性方程 组 其中,系数a11,…,a1n,a21, …,a2n, …,an1, …,ann 是给定的 常数;b1, …,bn 也是给定的常数,通常称为常数项,或称为方 程组的右端.
方程组(1)也常用矩阵的形式表示,写为
Ax=b
由线性代数的克莱姆(cramer)规则可知,如果方程组(1)的系 数矩阵A的行列式(一般记为D=︱A︱)不等于零,那末,这个方程组 有唯一解, 它可表示为
其中 aii ≠ 0, i = 1,2,", n
下三角形方程组可以参 照上三角形方程组的解 法来求解，
下三角形方程组的求解 顺序是从第一个方程开 始，按从上到下
的顺序，依次解出： x1, x2 ,", xn ,其计算公式为：
⎧ ⎪
x1
=
b1
/
a11
i −1
∑ ⎨
⎪⎩
xi
=
(bi
−
k =1
aik xk ) / aii
a11x1 + a12 x2 + .............................. + a1n xn = b1 a22x2 + ............................. + a2n xn = b2 ....................................... = .. a x n−1n−1 n−1 + a x n−1n n = bn−1
a11x1 + a12 x2 +"+ a1n xn = b1 E1
a21x1 + a22x2 +"+ a2nxn = b2 E2
(6.1)
# an1x1 + an2x2 +"+ ann xn = bn En
Ax=b
2. Gaussian Elimination (高斯消元法)
高斯消元法是一个古老的直接法,由它改进得 到的选主元法,是目前计算机上常用于求低阶 稠密矩阵方程组的有效方法,其特点就是通过 消元将一般线性方程组的求解问 = bn / a nn
n=length(b); X=zeros(n,1);
n
X(n)=b(n)/A(n,n);
∑ xi = (bi −
a ik x k ) / a ii for i=n-1:-1:1
k =i+1
X(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)* X(i+1:n))/A(i,i);
A=[1 1 0 1;0 –1 –1 –5;0 0 3 13;0 0 0 –13] b=[4 –7 13 –13]’ X=backsub(A,b)
例2 用回代法求解线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
2 x1 x1 +
x2
=2 =2
⎪⎩3x1 + 2 x2 + 4 x3 = 9
解:
∑ ⎧
⎪
x1
⎨ ⎪⎩
xi
= =
b1 / a11
⎡ a11
⎢ ⎢
a
21
⎢
a12
a22 "
" " "
a1n a2n
a1,n+1 ⎤
a2
,
n
+1
⎥ ⎥
⎥
=
A
⎢ ⎣
a
n1
an2 " ann
bn
⎥ ⎦
⎢ ⎢⎣ a n1
an2 " ann
⎥ an,n+1 ⎥⎦
where，ai,n+1 = bi , (i = 1, 2," , n).
P348
Second Elimination k=1:
a
ij
,
a
(1) i ,n +
1
=
bi
i, j = 1," , n
Eliminate the coefficient of x1 in ith row.
k=2:
Provided
a (2) 22
≠
0, let
m i2
=
a (2) i2
a (2) 22
(Ei - mi2 E2)→（Ei ) i=3,4,…n:
i−1
(bi −
k =1
aik
xk
)
/
aii
i = 2,3,", n
x1 = 2 / 2 = 1
三角形方程组的计算量
求解一xx个32 ==三((9角2 −−形13方)×/1程1−=组21需×1n)次/ 4除=法1与∑i=n（1 i
−
1)
=
1 2
n(n
−
1)次乘法。
所共以1，n(解n +为1)
2
( ) ≈（O x1n,2x2f,loxp3 )