波的能流密度
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第三节 波的能量 能流密度
§ 9.3 波的能量一、波的能量波是质点振动状态的传播，是质点振动相位的传播，外观上有波形在传播，但在传播过程中并不伴随物质传播，但伴随着能量迁移。
波是能量传递的一种方式。
对于“流动着”的能量，要用由能量密度 和能流密度两个概念来描述。
1 波的振动动能当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能。
设在密度为ρ的介质中，有一列沿x 轴传播的平面简谐波。
在波线上坐标为x 处取一个体积元d V ，其质量d m =ρ d V其波方程该体积元的振动速度为该体积元d V 的动能为2 波的势能介质发生弹性形变，因而具有弹性势能。
可以证明，因为介质形变，体积元d V 的势能与动能相等结论：在波的传播过程中，弹性介质体积元中的动能和势能在任何时刻都是相等的，它们同时最大，同时为零。
3 t 时刻体积元d V 的总能量为这一部分介质的能量是不守恒的，它随时间按正弦平方的函数关系而变化，所cos ()x y A ω t u =-ωsin ()y x v A ω t t u ∂==--∂222p k 1d d d sin ()2x E E VA t u ρωω==-k p d d d E E E =+)(sin d 222u x t VA -=ωωρ2222k 11d d ρd ωsin ω()22x E mv VA t u ==-Y x以能量是以波的形式沿着波的传播方向以速度u 传播。
二、能量密度能量密度：单位体积介质中的波动能量称为波的能量密度，用 W 表示平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值称为平均能量密度，用 W 表示三、能流密度波的能量不守恒，它随时间作周期性变化。
波中每个质元左右都和介质中相邻的质元有相互作用的弹性力，在波的传播过程中，通过弹性力做功，质元不断地从波源方向接受能量，又不断地向后传递能量，因此在这部分中，机械能是不守恒的。
将能量的传播与水的流动相比拟，称为能流。
大学物理 波的能量能流密度
单位体积内的能量 w dE dV
w
dE dV
A2 2 sin2[(t
x u
)
0
]
5、一个周期内的平均能量密度
w 1 T
T wdt 1
0
T
T 0
A2
2
s
in
2[(t
x u
)
0
]dt
1 2 A2
2
sin2 1 1 cos2
2
这说明：w 2、A2
dE
(dV
) A2
2
sin 2[(t
x) u
0 ]
对任一介质体积元来说，不断从波源方向的介质中吸收能
量，又不断地向后面的介质传递能量。这说明波动是传递能
量的一种方式，且能量传播的速度就是波速。
孤立的谐振子系统总能量守恒。
第十章 波动
4
物理学
第4五、版 能量密度
10-3 波的能量 能流密度
dEk
1 2
dV 2 A2
s
in2[(t x
u 第十章 波动
)
0
]
1
物第理五2版、学 dv 内的波动势能
10-3 波的能量 能流密度
体积元因形变而具有弹性势能
在横ห้องสมุดไป่ตู้中，产生切变
y
y
o
x
x
y
x
x
h
lim tg x
h
x0
y y x x
u
A s in
物理学
第五版
10-3 波的能量能流密度
平均能量密度
一个周期内能量密度的平均值。 一个周期内能量密度的平均值。
第十章 波动
5
物理学
第五版
1010-3 波的能量 能流密度
1 T 1 T x 2 2 2 w = ∫ wdt = ∫0 ρA ω sin ω( t − u )dt T 0 T T 1 x 2 2 2π ρA ω ∫0 sin ( t − )dt = T =π ω T T u T 1 1 x π 2 2 2 2 2π w = ρA ω = ρA ω ∫0 sin ( t − )d( t ) π T u T 2
1 A2ω2 x 2 = YSdx sin [ω(t − )] 2 2 u u
1 x 2 2 2 Wp = ρ A ω sin [ω(t − )]∆V = W k 2 u
第十章 波动
3
物理学
第五版
1010-3 波的能量 能流密度 体积中质点的总能量： 考虑 ∆V 体积中质点的总能量：
2 2 2
x W = Wk +Wp= ρA ω sin ω( t − )∆V u 说明： 说明：
∫
π
0
sin 2 θ ⋅ dθ = π 2
第十章 波动
6
物理学
第五版
1010-3 波的能量 能流密度 二、波的能流和能流密度 波的能流和能流密度
u
∆S
能流: 能流:单位时间内通过介质中某一 截面的能量。 截面的能量。 p = wu∆S 平均能流：在一个周期内能流的平均值。 平均能流：在一个周期内能流的平均值。
物理学
第五版
一、波的能量 波的能量
1010-3 波的能量 能流密度
波动是振动状态的传播过程， 波动是振动状态的传播过程，伴随着振动能量 的传播。 的传播。 振动动能 + 形变势能 = 波的能量 以纵波为例: 以纵波为例:
大学物理-波的能量 能流密度
2πr2
)
(1
2πr1
)
如果2 1即相干波源S1、S2同位相
则
2π
r1
r2
2π
r1 r2 称为波程差（波走过的路程之差）
水
的 衍
波 的 衍
射
射
19
三 波的干涉
1 波的叠加原理 波传播的独立性：两列波在某区域相遇
后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不 干扰.
波的叠加性：在相遇区，任一质点的振 动为二波单独在该点引起的振动的合成.
20
2 波的干涉
频率相同、振动 方向平行、相位相同 或相位差恒定的两列 波相遇时，使某些地 方振动始终加强，而 使另一些地方振动始 终减弱的现象，称为 波的干涉现象.
波是如何传播的？ 传播又有什么现象？ 这些现象有什么规律？
一 惠更斯原理
介质中波动传播到的各点都可以看作是 发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这 些子波的包络就是新的波前.
ut
平
球
面
面
R1
O
R2
波
波
18
二 波的衍射
波在传播过程中遇到障碍物，能绕过障 碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.
波
一 波动能量的传播
1 波Байду номын сангаас能量
波的传播是能量的传播，传播过程中，
介质中的质点运动，具有动能
W
，介质形变
k
具有势能 W p .
1
以棒dW中k 哪哪传12播里里d的m最最v纵大小2 波，？12为例dV分v析2 波y 动A能co量s的(t 传ux播) .
v y Asin(t x )
t
u
振动动能
波的能流密度
近来在超声延时方面有新的发展，因为它的波速比电磁波速低。 近来在超声延时方面有新的发展，因为它的波速比电磁波速低。
10
超声波、 • 超声波、次声波
* 次声波
特点一 频率在10 频率在 －4～20赫芝之间 赫芝之间 的机械波，人耳听不到。 的机械波，人耳听不到。 特点二 由于它具有衰减极小的特点， 由于它具有衰减极小的特点， 衰减极小的特点 具有远距离传播的突出特点。 具有远距离传播的突出特点。 已形成现代声学的一个新的 分支—次声学 次声学。 分支 次声学。 因为大气湍流、火山爆发、地震、 因为大气湍流、火山爆发、地震、 陨石落地、雷暴、 陨石落地、雷暴、磁暴等大规模自 用途 然活动中，都有次声波产生，因此， 然活动中，都有次声波产生，因此， 它是研究地球、海洋、 它是研究地球、海洋、大气等大规 模运动的有力的工具。 模运动的有力的工具。
y
∆y
A B
o o
A
∆x
B
2
质元形变： 质元形变：
2
∂y 1 ∂y [(∆x) + (∆y) ] − ∆x = ∆x1+ − ∆x ≈ 2 ∂x ∂x 质元的形变势能： 质元的形变势能： 2 1 ∂y = 1 FdxA 2 k 2 sin 2 (ω t − kx ) dE p ≈ F × 2 ∂x 2 ∂x
1 ε = T
∫
T
0
εdt =
ρA2ω 2
T
∫
T
0
1 sin (ω t − kx)dt = ρA 2ω 2 2
2
4
二、波的能流密度 波的强度 单位时间内通过截面 单位时间内通过截面 S 的能量等于体积 uS中的 中的 能量，称为能流 能流。 能量，称为能流。 E = ε uS 单位时间内通过垂直于波的传播方向的 通过垂直于波的传播方向的单位面 单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面 上的能量叫做能流密度 能流密度。 积上的能量叫做能流密度。 r dE 写成矢量式： J= = ε u 写成矢量式： J = ε u dS 一个周期内能流密度大小的平均值称为波的强度 波的强度。 一个周期内能流密度大小的平均值称为波的强度。
10
超声波、 • 超声波、次声波
* 次声波
特点一 频率在10 频率在 －4～20赫芝之间 赫芝之间 的机械波，人耳听不到。 的机械波，人耳听不到。 特点二 由于它具有衰减极小的特点， 由于它具有衰减极小的特点， 衰减极小的特点 具有远距离传播的突出特点。 具有远距离传播的突出特点。 已形成现代声学的一个新的 分支—次声学 次声学。 分支 次声学。 因为大气湍流、火山爆发、地震、 因为大气湍流、火山爆发、地震、 陨石落地、雷暴、 陨石落地、雷暴、磁暴等大规模自 用途 然活动中，都有次声波产生，因此， 然活动中，都有次声波产生，因此， 它是研究地球、海洋、 它是研究地球、海洋、大气等大规 模运动的有力的工具。 模运动的有力的工具。
y
∆y
A B
o o
A
∆x
B
2
质元形变： 质元形变：
2
∂y 1 ∂y [(∆x) + (∆y) ] − ∆x = ∆x1+ − ∆x ≈ 2 ∂x ∂x 质元的形变势能： 质元的形变势能： 2 1 ∂y = 1 FdxA 2 k 2 sin 2 (ω t − kx ) dE p ≈ F × 2 ∂x 2 ∂x
1 ε = T
∫
T
0
εdt =
ρA2ω 2
T
∫
T
0
1 sin (ω t − kx)dt = ρA 2ω 2 2
2
4
二、波的能流密度 波的强度 单位时间内通过截面 单位时间内通过截面 S 的能量等于体积 uS中的 中的 能量，称为能流 能流。 能量，称为能流。 E = ε uS 单位时间内通过垂直于波的传播方向的 通过垂直于波的传播方向的单位面 单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面 上的能量叫做能流密度 能流密度。 积上的能量叫做能流密度。 r dE 写成矢量式： J= = ε u 写成矢量式： J = ε u dS 一个周期内能流密度大小的平均值称为波的强度 波的强度。 一个周期内能流密度大小的平均值称为波的强度。
13-3 波的能量能流密度
sin 2 t
x u
dE
dEk
dEP
dVA2 2
s in 2 t
x u
讨 论 (1)在波动传播的介质中，任一体积元的
动能、势能、总机械能均随 x,t 作周期性变
化，且变化是同相位的.
与简谐弹簧振子的振动能量变化规律是不同的.
第十三章 波动
5
物理学
下册
13-3 波的能量 能流密度
x, v
简谐运动能量图
0
o
xt
Tt
vt
x Acost v A sint
能量
E 1 kA2 2
Ep
1 kA2 2
cos2 t
o T T 3T T
42 4
t
E 1 m 2 A2 sin2 t
k2
第十三章 波动
6
物理学
下册
讨论
13-3 波的能量 能流密度
0
y
y y
y
x
y =Acosu ( t- x /u)
0
x x+x
证 介质无吸收，通过两个球面的平均
能流相等. w1uS1 w2uS2
即
1 2
A12
2u
4π
r12
1 2
A22 2u4π
r22
A1 r2 A2 r1
s2
s1 r2
y A0r0 cos (t r )
r1
r
u
第十三章 波动
15
下册
13-3 波的能量 能流密度
1 2A2 2
1 2A2 4
o
u
t = t0
wk
wp
x
第十三章 波动
11
§9.4 波的能量 平均能流密度
§9.4 波的能量 * 平均能流密度
波是振动状态的传播，相位的传播，同时 也是能量的传播.
波在弹性媒质中传播时，各质元都在振动。 每个质元，有振动速度而具有振动动能；因发生 形变而具有形变势能， 两者之和称此媒质中弹性 波的能量。 对于“流动着”的能量，要由能量密度和 能流密度两个概念来描述。
弹性体的剪切形变
切应变：
y A x sin ( t ) x u u
2 1 1 体元势能：dE p G 2dV GA2 2 sin2 (t x )dV 2 2 u u x 2 2 2 2 1 2 A sin ( t )dV (u G ) u x 体元总能： dE dEk dE p 2 A2 sin 2 ( t )dV u
二、平均能流密度
能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量. 平均能流：
P uS
u
平均能流密度 (波的强度 )： 通过垂直于波传播方向的单 位面积的平均能流.
P 1 I u A2 2 u S 2 1 2 2 I 不吸收能量, 显然：
x 位移：y A cos ( t ) u
振动速度：
v y x A sin ( t ) t u
1 2 2 1 2 2 2 2
x 体元动能： dEk dVv A sin ( t )dV u
一、波的能量分布
x 位移：y A cos ( t ) u
2、能量密度与平均能量密度 能量密度：单位体积介质中的波动能量.
dE x 2 2 2 A sin (t ) dV u
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.
1 1 x 2 2 2 dt A sin (t )dt T0 T0 u
波是振动状态的传播，相位的传播，同时 也是能量的传播.
波在弹性媒质中传播时，各质元都在振动。 每个质元，有振动速度而具有振动动能；因发生 形变而具有形变势能， 两者之和称此媒质中弹性 波的能量。 对于“流动着”的能量，要由能量密度和 能流密度两个概念来描述。
弹性体的剪切形变
切应变：
y A x sin ( t ) x u u
2 1 1 体元势能：dE p G 2dV GA2 2 sin2 (t x )dV 2 2 u u x 2 2 2 2 1 2 A sin ( t )dV (u G ) u x 体元总能： dE dEk dE p 2 A2 sin 2 ( t )dV u
二、平均能流密度
能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量. 平均能流：
P uS
u
平均能流密度 (波的强度 )： 通过垂直于波传播方向的单 位面积的平均能流.
P 1 I u A2 2 u S 2 1 2 2 I 不吸收能量, 显然：
x 位移：y A cos ( t ) u
振动速度：
v y x A sin ( t ) t u
1 2 2 1 2 2 2 2
x 体元动能： dEk dVv A sin ( t )dV u
一、波的能量分布
x 位移：y A cos ( t ) u
2、能量密度与平均能量密度 能量密度：单位体积介质中的波动能量.
dE x 2 2 2 A sin (t ) dV u
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.
1 1 x 2 2 2 dt A sin (t )dt T0 T0 u
波的能量能流密度
1.波动的动能
以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
O O
波函数
x
dx
x
y dy
y
x
x y x y A cos ( t ) v A si n ( t ) t u u
•质元的动能
1 1 2 dWk dm v dV v 2 2 2
1 x 2 2 2 dWk dVA si n ( t ) 2 u
① 任一时刻介质元的动能等于势能，且相位相同，与振动系 统的动能与势能总有π/2相位差不同。 ② 振动系统的机械能守恒，而波动过程中，能量不守恒。波 动过程中，沿波的传播方向，介质元不断地通过振动由后面的 质元获得能量，又不断地把能量传播给前面的质元，波是能量 传递的一种形式。 ③ 在平衡位置时质元具有最大动能和势能，在最大振幅处动 能和势能为零。在回到平衡位置时从相邻质元吸收能量，离开 时放出能量。
1 x 2 2 2 dWk dWp dVA si n ( t ) 2 u 表明：质元的总能量随时间作周期性变 3.波动的能量 化，时而达到最大值，时而为零 x dW dWk dWp dVA2 2 si n2 ( t ) u 4.结论 意味着：在由波传播的细棒中有能量在传播
2.波动的势能
弹性势能 O
1 2 dWP k dy 2
F l E S l
F
弹性模量
x
dx
O
y y dy
u E
x x
ES l l
1 1 dy 2 2 dWP k dy ESdx( ) 2 2 dx
SE k dx
1 dy 2 y A si n ( t x ) 2 u dV ( ) x u u 2 dx 1 x 2 2 2 dVA si n ( t ) 2 u
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积上的能量叫做能流密度。
J dE u
写成矢量式：
J
u
dS
一个周期内能流密度大小的平均值称为波的强度。
I J 1
T Jdt u
T
dt u
1 A2 2u
T0
T0
2
5
例1：一球面波源的功率为 100W，则距波源 10m 处，波的平均能流密度 I 是多少？
声波是机械纵波
频率高于20000赫兹的叫做超声波。
20到20000赫兹之间能引起听
觉的称为可闻声波，简称声波。 20Hz
20000Hz
研 频率低于20赫兹的叫做次声波； 声波
究 的
* 声的产生、传播和接收。为听觉服务，如
分 声音的音质、音响效果；声学在建筑学方面
类 的应用，噪声的避免等。
： * 利用声的传播特性研究媒质的微观结构；
它是研究地球、海洋、大气等大规
模运动的有力的工具。
11
解：I
P S
P
4r
2
100
4 102
1 （W •m
4 2 ）
例2：有一波在介质中传播，已知u=103 m/s， A=1.0104m， =103Hz，若介质的密度为 800 kg/m3，求：①该波的平均能流密度； ② 1分钟内垂直通过一面积 S = 410 4 m2 的总
Sdx
能量密度在一个周期内的平均值为平均能量密度
1 T dt A2 2 T sin2 ( t kx)dt 1 A 2 2
T0
T0
2
4
二、波的能流密度 波的强度
单位时间内通过截面 S 的能量等于体积 uS中的
能量，称为能流。
E uS
单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面
sin2 (
t
kx)
u F
k
l
dEp dEk
y
y A B
质元的势能和
o
x
x
动能同步变化
3
质元波动能量： dE dEp dEk l dxA2 2 sin 2 ( t kx) SdxA2 2 sin2 ( t kx)
介质中单位体积内的能量，叫做能量密度 dE A2 2 sin2 ( t kx)
近来在超声延时方面有新的发展，因为它的波速比电磁波速低。
10
* 次声波
特点一
频率在10－4～20赫芝之间 的机械波，人耳听不到。
由于它具有衰减极小的特点，
特点二
具有远距离传播的突出特点。
已形成现代声学的一个新的
分支—次声学。
因为大气湍流、火山爆发、地震、
用途
陨石落地、雷暴、磁暴等大规模自 然活动中，都有次声波产生，因此，
解能：量I 。 1 A 2 2u 2 2 A2 2u
2 2 2 800 103 (1.0 10 4 103 )2 1.58 105 w m-2
E ISt 1.58 105 4.0 10 4 60 3792 J 6
三、声波、超声波和次声波
利用声波的作用来促进化学反应，为科技服务。
声的概念不再局限于听觉范围，几乎是振动和机械
波的同义词。
7
声强
I 1 2 A2u
2
由此可知，声强与频率的平方，振幅的平方成 正比。利用超声波可获得极大的声强。
引起听觉的声波不仅有频率范围，而且有声强 范围。一般正常人对于1000Hz 的声波，听觉的 上限约为1W/m2 ，下限约10-12 W/m2 。试验表 明，人耳听觉并非与声强成正比，而是与声强 的对数大致面正比。
8
* 声强级
由于可闻声强的数量级相差悬殊，通常用声强 级来描述声强的强弱。
规定声强 I0=10-12瓦/米2作为测定声强的标准 定义声强级L为：
L log I I0
L 10 log I I0
单位为贝耳(Bel) 单位为分贝(dB)
如炮声声强 1瓦/米2 ，声强级120分贝。
有的地方规定户外声音不得大于100分贝。
9
超声波、次声波
特点
* 超声波：频率高，波长短，定向传播性好；
穿透性好，在液体、固体中传播时，衰 减很小，能量高等。
定位、测距、探伤、显象，随着激光全息的 用途 发展声全息也日益发展，它在地质、医学等
领域有重要的意义；
由于能量大而集中可用来切削、焊接，钻孔， 清洗机件还可用来处理种子和催化。 超声波的传播速度对于介质的密度、浓度、成分、 温度、压力的变化很敏感。利用这些可间接测量 其他有关物理量。这种非声量的声测法具有测量 精密度高、速度快的优点；
波的能流密度 强度 声强级
1
一、简谐波的能量密度
弹性介质中取一线元 dx，其质量 dm=ldx
由于波质元振动速度：v y A sin( t kx)
t
质元动能：dE k
1 dm 2
v2
1 2
l dxA2 2
sin2 ( t
kx)
y
y A B
o
x x
o
AB
x
2
质元形变： [(x)2 (y)2 ]1 2 x
x
1
y
2
1
2
x
1
y
2
x
2 x
质元的形变势能：
dEp
F
1 2
y x
2
1 2
FdxA2k 2