数学建模生产计划有关问题解析
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201数学建模生产计划
摘要
本文主要研究足球生产计划的规划问题。
对于问题一足球总成本包括生产成本与储存成本,又由于足球各月的生产成本、储存成本率及需求量已知,故各月足球的生产量对总成本起决定因素。在此建立总成本与足球生产量之间的关系,运用Matlab求出了总成本的最优解。
对于问题二储存成本率的大小影响了储存成本的高低,要使总成本最低,在储存成本率变化的情况下必须不断调整足球各月生产量,我们在Matlab中运用散点法,取了501个点,进而对图形进行线性拟合,得出储存成本率减小时各月足球生产量的变化情况。
对于问题三考虑到储存容量不能用储存成本率直接由函数表达,因此在Matlab 采用散点法结合表格分析法对501个点进行分析可得到储存成本率为0.39%时,储存容量达到最大。
关键词:最优解散点法线性拟合表格分析法
问题的重述
皮革公司在6个月的规划中根据市场调查预计足球需求量分别是10,000、15,000、30,000、35,000、25,000和10,000,在满足需求量的情况下使总成本最低,其包括生产成本及库存成本。根据预测,今后六个月的足球的生产单位成本分别是$12.50、$12.55、$12.70、$12.80、$12.85和$12.95,而每一个足球在每个月中的持有成本是该月生产成本的5%。目前公司的存货是5,000,每个月足球最大产量为30,000,而公司在扣掉需求后,月底的库存量最多只能储存10,000个足球。
问题一、建立数学模型,并求出按时满足需求量的条件下,使生产总成本和储存成本最小化的生产计划。
问题二、如若储存成本率降低,生产计划会怎样变化?
问题三、储存成本率是多少时?储存容量达到极限。
问题的分析
问题一要求在足球的需求量一定的情况下,使生产总成本和储存成本最小。又足球的生产成本和储存成本率已知,故只需要建立生产总成本和储存成本与各月足球的生产量之间的优化模型,运用Matlab即可求出足球生产总成本和储存成本的最优化组合。
问题二需要求出在生产总成本和储存成本最低的条件下,生产计划随储存成本率变化而变化的情况,即储存成本率降低,各月足球生产量的变化趋势。因为生产总成本和储存成本与各月足球生产量并非线性关系,在此,我们采用散点法,在Matlab中求出总成本与各月足球生产量一系列的点,进而对其进行拟合,分析出生产计划随储存成本率变化而变化的情况。
问题三要求在储存容量达到极限时的成本率的大小。根据各月生产率随持有费变化而变化的关系,可求得尽量使每个月的库存量达到最大,但因四月初只有1万件产品,四月产量只有3万件,而四月需求量为3.5万件,因而四月末库存只有0.5万件。又直接建立储存容量与储存成本率的函数关系较为困难。
在此,采取表格分析法,将各月生产量随储存成本变化进一步细化,来取得当储存量达到极限时储存成本率的值。
问题的假设
1、公司预计需求量与实际需求量不影响公司的生产计划;
2、足球的月生产量均以万为单位;
符号约束
a:第i个月足球的生产成本(i=1,2, (6)
i
b:第i个月足球的储存量(i=1,2, (5)
i
c:第i个月足球的需求量(i=1,2, (6)
i
x:第i个月足球的生产量(i=1,2, (6)
i
r:储存成本率
W:足球生产的总成本
模型的建立与求解
设总成本=生产总成本+存储成本,即
[]6
1
()i i i i i i W x a x b ra ==++∑; (式5-1)
其中,i a 为第i 个月足球的生产成本、r 为储存成本率,数据在问题中均已给出。i b 为第i 个月足球的储存量,其值为第i-1个月足球的储存量与其生产量之和减去第i-1个月的销售量。即
111i i i i b b x c ---=+-,(i=2,3,…6);(式5-2)
已给出第一个月的库存为0.5万件,即10.5b =;(式5-3)
又公司月底的库存量最多只能储存1万个足球,故1i b ≤;(式5-4) 公司每个月足球的最大产量是3万个,所以3i x ≤;(式5-5) 又第4各月足球的需求量为3.5万个,则40.5b ≥;(式5-6) 根据问题,可建立以下表格
一月 二月 三月 四月 五月 六月 单位成本 12.5 12.55 12.7 12.8 12.85 12.95 需求量(万)
10
15
30
35
25
10
(一)总成本最小值的求解
此问中,已给出r =0.5,将已知数据带入(5-1),可得
12345611223344556612.512.5512.712.812.8512.955%[12.5()12.55()12.7()12.8()12.85()12.95()]
W x x x x x x x y x y x y x y x y x y =+++++++++++++++++;(式5-7)
经化简得
12345616.317515.742515.26514.7314.1413.597516.08375W x x x x x x =+++++-;(式5-8) 其中:
1121231234123451234560.5 1.5;23;56;8.59.5;1112;1213;03,1,2,3,4,5,6;
i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i ≤≤≤+≤
≤++≤≤+++≤≤++++≤≤+++++≤≤≤=
用MATLAB 求解得:(程序见附表)
[0.5,2,3,3,2.5,1]
162.4835
x W ==
即每月产量如下
使用Matlab绘制储存成本率r下降时各月产量散点图得:(程序见附录1)
图一:生产量随储存成本率变化总图
由于总图数据过于冗杂,因而进一步对总图进行了分解得到以下的分图:
00.51 1.52 2.53 3.54 4.55
储存成本
生
产
量(
万)
00.51 1.52 2.53 3.54 4.55
储存成本
生
产
量(
万)
00.51 1.52 2.53 3.54 4.55
储存成本
生
产
量(
万)
00.51 1.52 2.53 3.54 4.55
储存成本
生
产
量(
万)
00.51 1.52 2.53 3.54 4.55
储存成本
生
产
量(
万)
00.51 1.52 2.53 3.54 4.55
储存成本
生
产
量(
万)
图2:生产量随储存成本率变化总图
图1:生产量随存储成本变化图
由图可见,
1、当存储成本下降至1.1% ,二月份产量增加0.5万件,三月份产量减少0.5
万件,其他不变;
2、当存储成本下降至0.7%,三月份及五月份产量均增加0.5万件,四月份
及六月份产量均减少0.5万件,其他不变;
3、当存储成本下降至0.5%,四月份产量增加0.5万件,六月份产量减少0.5
万件,其他不变;
4、当存储成本下降至0.4%,一月份产量增加0.62万件,二月份产量减少0.62
万件,其他不变;
5、当存储成本下降至0.3%,一月份产量增加0.38万件,二月份产量减少0.38
万件,其他不变;
持有费r 一月份产量二月份产量三月份产量四月份产量五月份产量六月份产量5% 0.5 2 3 3 2.5 1
1.10% 0.5
2.5 2.5 3 2.5 1
0.70% 0.5 2.5 3 2.5 3 0.5 0.50% 0.5 2.5 3 3 3 0
0.40% 1.12 1.88 3 3 3 0
0.30% 1.5 1.5 3 3 3 0
表2:持有费改变时各月产量
(三)储存容量达到极限时,储存成本率的求解
某皮革公司生产足球,它必须确定每个月生产多少足球。该公司决定以6个月为一个规划周期;根据市场调查,今后6个月的预计需求量分别是10,000、15,000、30,000、35,000、25,000和10,000.该公司希望按时满足这些需求量。它目前的存货是5,000,该公司可以用该月的生产量来满足该月的需求量(公司有一整个月的时间来生产,而需求则在月底发生);在每个月中,该公司的最大产量是30,000个足球,而公司在扣掉需求后,月底的库存量最多只能储存10,000个足球。预测今后六个月的足球的生产单位成本分别是$12.50、$12.55、$12.70、$12.80、$12.85和$12.95;而每一个足球在每个月中的持有成本是该月生产成本的5%。(这个成本包含了库存的成本和将货物搁置在仓库的成本。)而足球的销售金额和这次的生产决策无关,因为不管销售的金额为何,该公司都打算尽可能满足顾客的需求,因此该公司希望确定使生产总成本和储存成本最低的生产计划。
建立数学模型,并求出按时满足需求量的条件下,使生产总成本和储存成本最小化的生产计划。如果降低,生产计划会怎样变化?储存成本率是多少时?储存容量达到极限。
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3.在编辑页面如实填写队长、第一队员、第二队员信息。 4.单击“提交信息”,提交竞赛报名。 请如实填写选手信息,参赛选手信息审核通过后不能再编辑,如需修改请联系所在培养单位的负责 老师。 ----结束 后续处理 参赛队完成参赛信息提交后,需等待培养单位审核。审核通过,才完成参赛报名。 参赛队可在“选手中心 > 选手首页”菜单下查看资料审核状态: ●审核前: ●审核通过: ●未审核通过: 未审核通过,参赛队可单击“编辑资料”进入“参赛选手资料上报”页面,修改参赛选 手信息后重新提交审批。
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第二目标:总产量不低于万吨; {} ?????=-++++ -- 12500000 350200500min 223212 d d x x x d 第三目标:玉米产量不超过万吨,大豆产量不少于万吨,小麦产量以 万吨为宜, {} ?????=-++ -+ 6000000 500min 3313 d d x d {} ?????=-++--2000000 200m in 4424d d x d {} ?? ???=-+++-+-500000035min 55255d d x d d 第四目标:农场现能提供5000 吨化肥;若不够,可在市场高价购买,但希望 高价采购量愈少愈好. {} ?????=-++++ -+ 5000000 15.02.012.0min 663216 d d x x x d 模型求解:(见附件) 种植面积: 玉米:亩 土豆:亩 小麦:亩 能够得到一个满足条件的种植计划 附件: model : sets : L/1..4/:p,z,goal; V/1..3/:x; HN/1..1/:b; SN/1..6/:g,dp,dm; HC(HN,V):a; SC(SN,V):c; Obj(L,SN):wp,wm; endsets data : p=; goal=0;
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1992-2010年全国大学生本科数学建模试题分析: 此分析主要针对相关问题的主要解法分类,首先我们来看历年试题的相关解法: 赛题解法 92A题施肥效果分析回归分析数据拟合 92B题实验数据分解离散模型、组合最优化 93A非线性交调的频率设计拟合、规划 93B足球队排名图论、层次分析、整数规划 94A逢山开路图论、插值、动态规划 94B锁具装箱问题图论、组合数学 95A飞行管理问题非线性规划、线性规划 95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论 96A最优捕鱼策略微分方程、优化 96B节水洗衣机非线性规划 97A零件的参数设计非线性规划 97B截断切割的最优排列随机模拟、图论 98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划 98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化 99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟 99B钻井布局0-1规划、图论 00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题 01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建 01B 公交车调度问题多目标规划 02A车灯线光源的优化非线性规划 02B彩票问题单目标决策 03A SARS的传播微分方程、差分方程 03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题 04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化 04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化 05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理 05B DVD在线租赁随机规划、整数规划 06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化 06B Hiv病毒问题线性规划、回归分析 07A 人口问题微分方程、数据处理、优化 07B 乘公交,看奥运多目标规划、动态规划、图论、0-1规划08A 照相机问题非线性方程组、优化 08B大学学费问题数据收集和处理、统计分析、回归分析09A 制动器试验台的控制方法分析微元分析法 09B 眼科病床的合理安排层次分析法整数规划动态规划 10A 储油罐的变位识别与罐容表标定非线性规划多元拟合 10B 2010年上海世博会影响力的定量评估数据收集和处理,层次分析法时间序列分析
数学建模全国赛07年A题一等奖论文
关于中国人口增长趋势的研究 【摘要】 本文从中国的实际情况和人口增长的特点出发,针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等,提出了Logistic、灰色预测、动态模拟等方法进行建模预测。 首先,本文建立了Logistic阻滞增长模型,在最简单的假设下,依照中国人口的历史数据,运用线形最小二乘法对其进行拟合,对2007至2020年的人口数目进行了预测,得出在2015年时,中国人口有13.59亿。在此模型中,由于并没有考虑人口的年龄、出生人数男女比例等因素,只是粗略的进行了预测,所以只对中短期人口做了预测,理论上很好,实用性不强,有一定的局限性。 然后,为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响,本文建立了GM(1,1) 灰色预测模型,对2007至2050年的人口数目进行了预测,同时还用1990至2005年的人口数据对模型进行了误差检验,结果表明,此模型的精度较高,适合中长期的预测,得出2030年时,中国人口有14.135亿。与阻滞增长模型相同,本模型也没有考虑年龄一类的因素,只是做出了人口总数的预测,没有进一步深入。 为了对人口结构、男女比例、人口老龄化等作深入研究,本文利用动态模拟的方法建立模型三,并对数据作了如下处理:取平均消除异常值、对死亡率拟合、求出2001年市镇乡男女各年龄人口数目、城镇化水平拟合。在此基础上,预测出人口的峰值,适婚年龄的男女数量的差值,人口老龄化程度,城镇化水平,人口抚养比以及我国“人口红利”时期。在模型求解的过程中,还对政府部门提出了一些有针对性的建议。此模型可以对未来人口做出细致的预测,但是需要处理的数据量较大,并且对初始数据的准确性要求较高。接着,我们对对模型三进行了改进,考虑人为因素的作用,加入控制因子,使得所预测的结果更具有实际意义。 在灵敏度分析中,首先针对死亡率发展因子θ进行了灵敏度分析,发现人口数量对于θ的灵敏度并不高,然后对男女出生比例进行灵敏度分析得出其灵敏度系数为0.8850,最后对妇女生育率进行了灵敏度分析,发现在生育率在由低到高的变化过程中,其灵敏度在不断增大。 最后,本文对模型进行了评价,特别指出了各个模型的优缺点,同时也对模型进行了合理性分析,针对我国的人口情况给政府提出了建议。 关键字:Logistic模型灰色预测动态模拟 Compertz函数
数学建模期末考试2018A试的题目与答案
华南农业大学期末考试试卷(A卷) 2012-2013学年第二学期考试科目:数学建模 考试类型:(闭卷)考试考试时间:120 分钟 学号姓名年级专业 一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起;羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1.2.3.4.当i在此岸时记x i = 1.否则为0;此岸的状态下用s = (x1.x2.x3.x4)表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u1, u2, u3, u4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合;(3分) (2) 写出该问题的所有允许决策集合;(3分) (3) 写出该问题的状态转移率。(3分) (4) 利用图解法给出渡河方案. (3分) 解:(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状(3分) (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} (6分) (3) s k+1 = s k + (-1) k d k (9分) (4)方法:人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。(12分) . .
美国大学生数学建模竞赛组队和比赛流程
数学模型的组队非常重要,三个人的团队一定要有分工明确而且互有合作,三个人都有其各自的特长,这样在某方面的问题的处理上才会保持高效率。 三个人的分工可以分为这几个方面: 数学员:学习过很多数模相关的方法、知识,无论是对实际问题还是数学理论都有着比较敏感的思维能力,知道一个问题该怎样一步步经过化简而变为数学问题,而在数学上又有哪些相关的方法能够求解,他可以不能熟练地编程,但是要精通算法,能够一定程度上帮助程序员想算法,总之,数学员要做到的是能够把一个问题清晰地用数学关系定义,然后给出求解的方向; 程序员:负责实现数学员的想法,因为作为数学员,要完成大部分的模型建立工作,因此调试程序这类工作就必须交给程序员来分担了,一些程序细节程序员必须非常明白,需要出图,出数据的地方必须能够非常迅速地给出;ACM的参赛选手是个不错的选择,他们的程序调试能力能够节约大量的时间,提高在有限时间内工作的工作效率; 写手:在全文的写作中,数学员负责搭建模型的框架结构,程序员负责计算结果并与数学员讨论,进而形成模型部分的全部内容,而写手要做的。就是在此基础之上,将所有的图表,文字以一定的结构形式予以表达,注意写手时刻要从评委,也就是论文阅读者的角度考虑问题,在全文中形成一个完整地逻辑框架。同时要做好排版的工作,最终能够把数学员建立的模型和程序员算出的结果以最清晰的方式体现在论文中。一个好的写手能够清晰地分辨出模型中重要和次要的部分,这样对成文是有非常大的意义的。因为论文是评委能够唯一看到的成果,所以写手的水平直接决定了获奖的高低,重要性也不言而喻了。 三个人至少都能够擅长一方面的工作,同时相互之间也有交叉,这样,不至于在任何一个环节卡壳而没有人能够解决。因为每一项工作的工作量都比较庞大,因此,在准备的过程中就应该按照这个分工去准备而不要想着通吃。这样才真正达到了团队协作的效果。 比赛流程:对于比赛流程,在三天的国赛里,我们应该用这样一种安排方式:第一天:定题+资
数学建模 工厂最优生产计划模型
数学建模与数学实验 课程设计报告 学院数理学院专业数学与应用数学 班级学号 学生姓名指导教师 2015年6月 工厂最优生产计划模型 【摘要】本文针对工厂利用两种原料生产三种商品制定最优生产计划的问题,建立优化 问题的线性规划模型。在求解中得到了在不同生产计划下收益最优化的各产品的产量安排策略、最大收益,以及最优化生产计划的灵敏度分析。 对于问题一,通过合理的假设,首先根据题中所给的条件找出工厂收益的决定条件,利用线性规划列出目标函数MAX。由题目中所得,工厂原料及价格的约束条件下运用lingo 软件算出最优生产条件下最大收益为1920元,其次是不同产品的产量。 对于问题二,灵敏度分析是研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围变化时,最优基保持不变。对产品结构优化制定及调整提供了有效的帮助。根据问题一所给的数据,运用lingo软件做灵敏度分析。 关键词:最优化线性规划灵敏度分析 LINGO 一、问题重述 某工厂利用两种原料甲、乙生产A1、A2、A3三种产品。如果每月可供应的原料数量(单位:t),每万件产品所需各种原料的数量及每万件产品的价格如下表所示:(1)试制定每月和最优生产计划,使得总收益最大; (2)对求得的最优生产计划进行灵敏度分析。 、模型 假设 ( 产品加工时不考虑排队等待加工的问题。 (2)假设工厂的原材料足够多,不会出现原材料断货的情况。
(3)忽略生产设备对产品加工的影响。 (4)假设工厂的原材料得到充分利用,无原材料浪费的现象。 三、符号说明 Xij (i=1,2,;j=1,2,3;)表示两种原料分别生产出产品的数量(万件); Max 为最大总收益; A1,A2,A3为三种产品。 四、模型分析 问题一分析:对于问题一的目标是制定每月和最优生产计划,求其最大生产效益。由题中所给的条件找出工厂收益的决定条件,利用线性规划列出目标函数MAX 。由题目中所得,工厂原料工厂原料及价格的约束,列出约束条件。 问题二分析:研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围变化时,最优基保持不变。通过软件数据进行分析。 五、模型建立与求解 问题一的求解: 建立模型: 题目的目标是寻求总利益最大化,而利润为两种原料生产的六种产品所获得的利润之和。 设Xij (i=1,2,;j=1,2,3;)表示两种原料分别生产出产品的数量(万件) 则目标函数:max=12(x11+x21)+5(x12+x22)+4(x13+x23) 约束条件: 1)原料供应:4x11+3x12+x13<=180; 2x21+6x22+3x23<=200 2)非负约束:x11,x12,x13,x21,x22,x23>=0 所以模型为: max=12(x11+x21)+5(x12+x22)+4(x13+x23) 200x x 6x 2180 x x 34x 232221131211<=++<=++ 0x >=ij (i=1,2;j=1,2,3且为整数)} 模型求解: model : max =12*x11+12*x21+5*x12+5*x22+4*x13+4*x23; 4*x11+3*x12+x13<=180; 2*x21+6*x22+3*x23<=200; End 计算结果: Global optimal solution found. Objective value: Infeasibilities: Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost
数学建模比赛总结
数学建模比赛总结 我是广西电力职业技术学院发电厂及电力系统专业的一名学生,我很高兴有机会参加20XX年的数学建模竞赛并幸运地获得了广西二等奖。首先要感谢的是学校、学院领导及老师对我们队的支持和帮助。特别要感谢施宁清老师、覃州老师、麦宏元老师、陶国飞老师等老师一直以来对我们精心的辅导和鼓励,才有我们队获奖的机会。参加数学建模竞赛是一件很有意义的事情,它不仅能锻炼每个参赛者连续工作的能力、创造性的思维、把各方面的知识综合运用的能力、熟练使有用计算机以及计算机软件的能力,而更重要的是锻炼了参赛者与伙伴合作、共同完成某项工作的能力。 今年的这个暑假是个不平凡的暑假,我们参加20XX全国数目竞赛的同学都只有一般的时间,因为还有一半的时间是用来进行培训的。起初参加学校的数学建模选修课,我只是对于数学的爱好,那是的我根本不知道什么是数学建模,更不知道它的魅力何在?我们有一个30多人组成数模之家,其中有几个大家长,那就是我们的指导老师。他们为了我们花了很多功夫和时间。我们培训只有短短的一个月,而要在一个月内让一个初学者变成一个能参加全国比赛的选手,是多么大的挑战啊?老师在图书馆的阅览室为我们上模模培训课,从最数模软件Lingo到Mathematic,再到Spss等,
从简单的线性规划到层次分析法,从牛奶配送问题到NBA赛事分析,老师指导我们一步一步走向数模,去零落数模的魅力! 在这次竞赛当中,我们队的三个人我,黄国志,张高做了很好的分工,一个人主要写论文、另一个人主要收集资料还要协助写论文,而我主要在计算机上编程序进行计算。我们队首先选择了题目C,开赛第一天我们就在讨论C题,确定了基本思路,但是到了下午,我们的思路断了,3个人都没了思路然后我开始看题目D,题目D是学生宿舍的分析,这个题很类似于我们培训时老师讲评过的NBA赛事分析题,于是我们想可不可以运用相同或者类似的方法思路去求解D 题呢?我们就开始集中全力对D题展开分析进行计算。下午我们已经有了比较清晰的思路去求解D题了,最后在晚上决定悬着D题来做。第二天,我们在网上查阅了很多相关的资料,数据。然后我进行计算机模拟,即根据我得到的数据用数学软件如Matlab把我们要的图形模拟出来,把实际的东西转化为数字来计算,然后我负责编辑图形和输入软件进行求解,而他们两个人负责去讨论并把他们想到的新思路告诉我,然后开始写论文。写论文是一件很繁琐的事,因此要用的时间也多,这样等到我把一些基本的结果得出来时正好给他们加到论文里面去,在模拟时要用很多时间,而这些时间都是计算机在工作,所以我就利用这段时间去他们写论文,
数学建模课程及答案.
《数学建模课程》练习题一 一、填空题 1. 设开始时的人口数为0x ,时刻t 的人口数为)(t x ,若人口增长率是常数r ,那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 。 2. 设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是 3600)1(35)(--=t p t G ,其中)(t p 为该商品的价格函数,那麽该商品的均衡价格 是 。 3. 某服装店经营的某种服装平均每天卖出110件,进货一次的手续费为200元,存储费用为每件0.01元/天,店主不希望出现缺货现象,则最优进货周期与最优进货量分别为 。 4. 一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 . 5.设开始时的人口数为0x ,时刻t 的人口数为)(t x ,若允许的最大人口数为m x ,人口增长率由sx r x r -=)(表示,则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 . 6. 在夏季博览会上,商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关: (1)参加展览会的人数n ; (2)气温T 超过C 10; (3)冰淇淋的售价p . 由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 . 7、若银行的年利率是x %,则需要 时间,存入的钱才可翻番. 若每个小长方形街路的 8. 如图是一个邮路,邮递员从邮局A 出发走遍所有长方形街路后再返回邮局. 边长横向均为1km ,纵向均为2km ,则他至少要走 km.. A 9. 设某种新产品的社会需求量为无限,开始时的生产量为100件,且设产品生产的增长率控制在0.1,t 时刻产品量为)(t x ,则)(t x = . 10. 商店以10元/件的进价购进衬衫,若衬衫的需求量模型是802,Q p p =-是销售单价(元/件),为获得最大利润,商店的出售价是 . 二、分析判断题 1.从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题,需要哪些数据资料(至少列举3个),要做些甚麽建模的具体的前期工作(至少列举3个) ,建立何种数学模型:一座高层办公楼有四部电梯,早晨上班时间非常拥挤,该如何解决。
数学建模竞赛统计回归分析相关练习题
1. 一个班有7名男性工人,他们的身高和体重列于下表 请把他们分成若干类并指出每一类的特征。这里身高以米为单位,体重以千克为单位。 2.有两种跳蚤共10只,分别测得它们四个指标值如表。 样本号甲种乙种 X3 X4 X1 X2 X3 X4 X1 X 2 1 189 245 137 163 181 305 184 209 2 192 260 132 217 158 237 13 3 188 3 217 276 141 192 18 4 300 166 231 4 221 299 142 213 171 273 162 213 5 171 239 128 158 181 297 163 224 1)用距离判别法建立判别准则。 2)问(192, 287, 141,198 和(197, 303, 170, 205 各属于哪一种? 3.考察温度x对产量y的影响,测得下列10组数据: 求y关于x的线性回归方程,检验回归效果是否显著,并预测 x=42C时产量的估值 4. 在研究化学动力学反应过程中,建立了一个反应速度和反应物 %-备 含量的数学模型,形式为y — 1 +卩2为+ P3X 2 +P4X3 其中i…,飞是未知参数,X1,X2,X3是三种反应物(氢,门戊烷, 异构戊烷)的含量,y是反应速度?今测得一组数据如表,试由此确定参数订…宀
序号反应速度y 氢X1 n戊烷X2 异构戊烷X3 1 8.55 470 300 10 2 3.79 285 80 10 3 4.82 470 300 120 4 0.02 470 80 120 5 2.75 470 80 10 6 14.39 100 190 10 7 2.54 100 80 65 8 4.35 470 190 65 9 13.00 100 300 54 10 8.50 100 300 120 11 0.05 100 80 120 12 11.32 285 300 10 13 3.13 285 190 120 5. 主成分与卡方检验已课件为主
数学模型的定义
一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义,因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义:“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说,数学模型就是为了某种目的,用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明: 数学是在实际应用的需求中产生的,要解决实际问题就必需建立数学模型,从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如,欧几里德几何就是一个古老的数学模型,牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天,数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透,过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化,数量化,需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起,计算机的普及和广泛应用,数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必需的各种信息,尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的、合理的简化,用精确的语言作出假设,是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为,所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别主次,而且为了使处理方法简单,应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系,利用对象的内在规律和适当的数学工具,构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时,我们便会进入一个广阔的应用数学天地,这里在高数、概率老人的膝下,有许多可爱的孩子们,他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多,真是泱泱大国,别有洞天。不过我们应当牢记,建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用,因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法,特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算,许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来,因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,能否对模型结果
数学建模 生产计划问题
第一题:生产计划安排 2)产品ABC的利润分别在什么范围内变动时,上述最优方案不变 3)如果劳动力数量不增,材料不足时可从市场购买,每单位元,问该厂要不要购进原材料扩大生产,以购多少为宜 4)如果生产一种新产品D,单件劳动力消耗8个单位,材料消耗2个单位,每件可获利3元,问该种产品是否值得生产 答: max3x1+x2+4x3! 利润最大值目标函数x1,x2,x3分别为甲乙丙的生产数量 st!限制条件 6x1+3x2+5x3<45! 劳动力的限制条件 3x1+4x2+5x3<30! 材料的限制条件 End!结束限制条件 得到以下结果 1.生产产品甲5件,丙3件,可以得到最大利润,27元 2.甲利润在—元之间变动,最优生产计划不变 3. max3x1+x2+4x3 st 6x1+3x2+5x3<45 end 可得到生产产品乙9件时利润最大,最大利润为36元,应该购入原材料扩大生产,购入15个单位 4. max3x1+x2+4x3+3x4 st 6x1+3x2+5x3+8x4<45 3x1+4x2+5x3+2x4<30 end ginx1 ginx2 ginx3 ginx4 利润没有增加,不值得生产 第二题:工程进度问题 某城市在未来的五年内将启动四个城市住房改造工程,每项工程有不同的开始时间,工程周期也不一样,下表提供了这些项目的基本数据。
工程1和工程4必须在规定的周期内全部完成,必要时,其余的二项工程可以在预算的限制内完成部分。然而,每个工程在他的规定时间内必须至少完成25%。每年底,工程完成的部分立刻入住,并且实现一定比例的收入。例如,如果工程1在第一年完成40%,在第三年完成剩下的60%,在五年计划范围内的相应收入是*50(第二年)+*50(第三年)+(+)*50(第四年)+(+)*50(第五年)=(4*+2*)*50(单位:万元)。试为工程确定最优的时间进度表,使得五年内的总收入达到最大。 答: 假设某年某工程的完成量为Xij, i表示工程的代号,i=1,2,3,j表示年数,j=1,2,3,如第一年工程1完成X11,工程3完成X31,到第二年工程已完成X12,工程3完成X32。 另有一个投入与完成的关系,即第一年的投入总费用的40%,该工程在年底就完成40%,工程1利润: 50*X11+50*(X11+X12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13) 工程2利润: 70*X22+70*(X22+X23)+70*(X22+X23+X24) 工程3利润: 20*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34) 工程4利润: 20*X43+20*(X43+X44) max(50*X11+50*(x11+x12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13))+(70*X22+70*(X22+X23) )+70*(X22+X23+X24)+(150*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34)) +(20*X43+20*(X43+X44)) st 5000*X11+15000*X31=3000 5000*X12+8000*X22+15000*X32=6000 5000*X13+8000*X23+15000*X33+1200*X43=7000 8000*X24+15000*X34+12000*X44=7000 8000*X25+15000*X35=7000 X11+X12+X13=1 X22+X23+X24+X25≥ X22+X23+X24+X25≤1 X31+X32+X33+X34+X35≥ X31+X32+X33+X34+X35≤1 X43+X44=1 全为大于零的数
数学建模课后答案
第一章 4.在1、3节“椅子能在不平的地面上放稳不”的假设条件中,将四脚的连线呈正方形改为长方形,其余不变。试构造模型并求解。 答:相邻两椅脚与地面距离之与分别定义为)()(a g a f 和。f 与g 都就是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地,所以对于任意的a ,)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后,对角线互换,0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样,改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题: 已 知 a a g a f 是和)()(的连续函数,对任意 0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且,0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ,使0)()(00==a g a f 证:令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则, 由g f 和的连续性知h 也就是连续函数。 根据连续函数的基本性质, 必存在0a (0<0a <π/2)使0)(0=a h ,即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=?a g a f ,所以0)()(00==a g a f
8 第二章
10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘,给出几种简便有效的排列方法,使加工出尽可能多的圆盘。
第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少,则设 kx q x q -=0)( (1)k 就是产量增加一个单位时成本的降低 , 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将(1)(2)(3)代入(4)求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--=
数学建模竞赛中常用软件的操作
数学建模竞赛中常用软件的操作本节主要介绍数学建模竞赛中常用软件MATLAB和Lingo的一些基本操作。 一、Desktop简介 在桌面双击MA TLABb图标,或双击安装目录C:\Program Files\MATLAB\R2012a\bin下的MA TLAB文件。启动后默认界面如下图。 图1 Desktop操作桌面的外貌 1. Command Window 该窗口是进行MATLAB各种操作的主要窗口。在该窗内可以输入各类指令、函数、表达式;显示除了图形外所有的运算结果,错误时,给出相关出错提示。 指令输入完后只有按回车键【Enter】才能执行;如果输入的指令不含赋值号,计算结果被赋于默认的变量ans。 变量名和函数名对大小写敏感,变量第一个字符必须是英文字母,最多包含63个字符(英文、数字和下划线),不能包括空格、标点、运算符;不能使MA TLAB的关键词和自用的变量名(eps,pi等)函数名(sin,exp等)、文件夹名(rwt,toolbox等)。 在Matlab中有一些固定变量,例如 (1) ans:在没有定义变量名时,系统默认变量名为ans; (2) eps:容许误差,非常小的数; (3) pi:即圆周率 ; (4) i, j:虚数单位;
(5) inf:表示正无穷大,由1/0运算产生; (6) NaN(Not A Number):表示不定值,由inf/inf或0/0运算产生; (7) nargin:函数的输入变量数目; (8) nargout:函数的输出变量数目。 在MA TLAB中,控制流关键字if, for, end等用蓝色字体表示;输入指令中的非控制指令、数字显示为黑色字体;字符串显示为紫色字体;注释为绿色字体;警告信息为红色字体。 2 工作空间浏览器 工作空间(Workspace)窗口用于浏览MATLAB中的变量。在工作空间窗口内,用户可以方便地查看、编辑存储的数据变量。 表1 工作空间浏览器主要功能及其操作方法 工作空间常用的管理指令有: (1)who及whos:查询指令 (2)clear:清除工作空间中的所有变量 clear var1 var2:清除工作空间中的变量var1和var2 (3)saveFileName :把全部内存变量保存为Filename.mat文件
数学建模(工厂资源规划问题)
工厂资源规划问题 冉光明 2010070102019 信息与计算科学 指导老师:赵姣珍
目录 摘要 (1) 关键词 (1) 问题的提出 (2) 问题重述与分析 (3) 符号说明 (4) 模型假设 (4) 模型建立与求解 (5) 模型检验 (9) 模型推广 (10) 参考文献 (11) 附录 (12)
摘要:本问题是个优化问题。问题首先选择合适的决策变量即各种产品数,然后通过决策变量来表达约束条件和目标函数,再利用matlab或lingo编写程序,求得最优产品品种计划;最后通过优化模型对问题作以解释,得出当技术服务消耗33小时、劳动力消耗67小时、不消耗行政管理时,得到的是最优品种规划。 问题一回答:当技术服务消耗33小时、劳动力消耗67小时、不消耗行政管理时, 时,若使产品品产品III不值得生产。用matlab运算分析,当产品III的利润增加至25 3 种计划最优,此时需要消耗技术服务29h,劳动力消耗46h,行政管理消耗25h。 问题二回答:利用lingo得到当技术服务增加1h时,利润增加2.5元;劳动力增加1h,利润增加1元;行政管理的增减不会影响利润。 问题三回答:增加的决策变量,调整目标函数。当技术服务消耗33h,劳动力消耗17h,不消耗行政管理,新增量50h时,管理部门采取这样的决策得到最优的产品品种规划。 问题四回答:增加新的约束条件,此时当技术服务消耗32h,劳动力消耗58h,行政管理消耗10h时,得到最优产品品种规划。 本文对模型的求解给出在线性约束条件下的获利最多的产品品种规划。 关键词:线性规划;优化模型;最优品种规划
问题的提出 某工厂制造三种产品,生产这三种产品需要三种资源:技术服务、劳动力和行政管理。下表列出了三种单位产品对每种资源的需要量: 资源利润 技术服务劳动力行政管理 产品I 1 10 2 10 II 1 4 2 6 III 1 5 6 4 现有100h的技术服务、600h劳动力和300h的行政管理时间可使用,求最优产品品种规划。且回答下列问题: ⑴若产品III值得生产的话,它的利润是多少?假使将产品III的利润增加至25/3元,求获利最多的产品品种规划。 ⑵确定全部资源的影子价格。 ⑶制造部门提出建议,要生产一种新产品,该种产品需要技术服务1h、劳动力4h 和行政管理4h。销售部门预测这种产品售出时有8元的单位利润。管理部门应有怎样的决策? ⑷假定该工厂至少生产10件产品III,试确定最优产品品种规划。