高一第二讲和差倍半降次辅助角公式应用

高中数学：两角和、差及倍角公式练习

高中数学：两角和、差及倍角公式练习 1．(新疆乌鲁木齐一诊)2cos10°－sin20° sin70° 的值是( C ) A ．12 B ．32 C ． 3 D ． 2 解析：原式＝ 2cos (30°－20°)－sin20° sin70° ＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20° cos20°＝ 3. 2．(山西五校联考)若cos θ＝23,θ为第四象限角,则cos ? ???? θ＋π4的值为( B ) A ． 2＋10 6 B ． 22＋10 6 C ．2－106 D ．22－106 解析：由cos θ＝2 3,θ为第四象限角, 得sin θ＝－5 3, 故cos ? ???? θ＋π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×? ????23＋53＝22＋106.故选B ． 3．若α∈? ????π2，π,且3cos2α＝sin ? ???? π4－α,则sin2α的值为( C ) A ．－1 18 B ．1 18 C ．－1718 D ．1718 解析：由3cos2α＝sin ? ?? ?? π4－α可得

3(cos 2 α－sin 2 α)＝2 2(cos α－sin α), 又由α∈? ???? π2，π可知cos α－sin α≠0, 于是3(cos α＋sin α)＝2 2, 所以1＋2sin α·cos α＝1 18, 故sin2α＝－17 18.故选C ． 4．已知锐角α,β满足sin α－cos α＝1 6,tan α＋tan β＋3tan α·tan β＝3,则α,β的大小关系是( B ) A ．α＜π 4＜β B ．β＜π 4＜α C ．π 4＜α＜β D ．π 4＜β＜α 解析：∵α为锐角,sin α－cos α＝1 6＞0, ∴π4＜α＜π2 . 又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3, ∴tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝3, ∴α＋β＝π3,又α＞π4,∴β＜π 4＜α. 5．在△ABC 中,sin A ＝513,cos B ＝3 5,则cos C ＝( A ) A ．－1665 B ．－5665 C ．± 1665 D ．± 5665 解析：∵B 为三角形的内角,cos B ＝3 5＞0, ∴B 为锐角,∴sin B ＝1－cos 2B ＝4 5,

辅助角公式_教案

辅助角公式 一、教学目标 1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式 二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取 三、教学过程 1、复习?引入 两角和与差的正弦公式 ()sin αβ+=_________________________________ ()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα??+ ??? =_____________________ 反之, αα 化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 （1 1cos 2 αα+ （2 ）sin αα 2、辅助角公式?推导 对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ sin cos )) a b αααααβ+==+ 其中辅助角β 由cos sin ββ?=????=?? β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b ------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。

3、例题?反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式. （11cos 2αα- （2）ααcos sin + （3αα （4）ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα- （2）ααsin cos - （3）cos αα- 例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。 例42)cos()12123x x ππ+ ++=，且 02 x π-<<，求sin cos x x -的值。 4、小结?思考 （1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定? （2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的 一个三角比的形式？ 5、作业布置 (1)3cos 66ππαα????+-+ ? ????? =________________（化为)sin(βα+A ()0A >的形式） (2) 、关于x 的方程12sin x x k =有解，求实数k 的取值范围。 (3)、已知46sin 4m x x m -=-，求实数m 的取值范围。 (4)、利用辅助角公式化简： ()sin801cos50??? 四、教学反思

三角函数诱导公式、万能公式、和差化积公式、倍角公式等公式总结及其推导

三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα

三角函数的两角和差及倍角公式练习题

三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · ； 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec

12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。

降幂公式、辅助角公式应用

降幂公式、辅助角公式应用 降幂公式 (cosα)^2=(1+cos2α)/2 (sinα)^2=(1-cos2α)/2 (tanα)^2=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式如下 直接运用二倍角公式就是升幂，将公式Cos2α变形后可得到降幂公式： cos2α=(cosα)^2－(sinα)^2=2(cosα)^2－1=1－2(sinα)^2 cos2α=2(cosα)^2－1,(cosα)^2=(cos2α+1)/2 co s2α=1－2(sinα)^2,(sinα)^2=(1-cos2α)/2 降幂公式 例10、（2008惠州三模）已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2 +-= （I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）求函数?? ? ???∈2, 0)(πx x f 在的值域. 解：x x x x f cos sin sin 3)(2 +-=x x 2sin 2 1 22cos 13+-? -= 232cos 232sin 21-+= x x 23)32sin(-+=πx （I ）ππ ==2 2T （II ）∴2 0π ≤ ≤x ∴ 3 43 23 π π π ≤ + ≤x ∴ 1)32sin(23≤+≤-πx 所以)(x f 的值域为：?? ? ???--232,3 点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。 例11、（2008广东六校联考）已知向量a ρ＝(cos 23x ，sin 23 x )，b ?＝(2 sin 2cos x x ， -)，且x ∈[0， 2 π ]． （1）求b a ? ?+ （2）设函数b a x f ??+=)(+b a ? ??，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。 解：（I ）由已知条件： 2 0π ≤≤x ， 得：33(cos cos ,sin sin )2222x x x x a b +=+-r r

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec

12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。

三角函数的两角及差与倍角公式练习题.doc

三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若 sin 3 ( 2 ), tan 1 ,则 tan( ) 的值是 5 2 A ．2 B ．－ 2 2 2 C ． D ． 11 11 2、如果 sin x 3cosx, 那么 sin x · cosx 的值是 1 1 2 3 A ． B ． C ． D ． 6 5 9 10 3、如果 tan( ) 2 , tan( ) 1 ,那么 tan( )的值是 5 4 4 4 13 3 13 13 A ． B ． C ． D ． 18 22 22 18 4、若 f (sin x) cos2x, 则 f 3 等于 2 1 3 1 3 A ． B ． C ． D ． 2 2 2 2 5、在 ABC 中， sin A · sin B cosA · cosB, 则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6 、角 终边过点 (4,3) ，角 终边过点 ( 7, 1)，则 sin() ； 7 、若 tan 3，则 2 所在象限是 ； 8 、已知 cot 4 3，则 2 sin cos ； cos 2 sin 9 、 tan 65 tan 70 tan65·tan 70 ； 10、 化简 3sin 2x 3 cos2x 。 三、解答题： 11、求 sec100 tan 240·csc100 的值。

12、已知3 ，求(1 tan )(1 tan )的值。4 13、已知cos2 3 , 求 sin 4 cos4的值。 5 14、已知tan, tan 是方程x 2 3x 5 0的两个根， 求 sin 2 ( ) 2 sin( ) ·cos( ) 的值。

辅助角公式及其应用

辅助角公式及应用微课教案 单位：封开县江口中学 授课教师： 吴英欢 （授课内容属人教A 版必修4第3.2辅助角公式） 一、教学目标 （1）了解辅助角公式推导 （2）能利用辅助角公式进行简单的三角函数化简并求最值。 二、重点难点 （1）重点：能利用辅助角公式进行简单的三角函数化简并求最值。 （2）难点：辅助角公式推导 三、教学内容 1.学前测评 ________ )sin()1(=+βα ________ )sin()2(=-βα ________ )6sin()3(=+πx ________)65sin()4(=+ πx ________)6 5sin()5(=-πx ________)6sin()6(=-π x 2. 思考： 通过前面四个题目我们发现，是不是任何一个同角的异名函数可以转换成一个角的三角函数值呢？如果能，那么又是怎么转化的呢?那么这节课我们就来研究一下这个问题。 3.探究新知 例1：将 asinx+bcosx 化为一个角的三角函数形式 解：①若a=0或b=0时，asinx+bcosx 已经是一个角的三角函数形式 ，无需化简，故有ab ≠0. ②从三角函数的定义出发进行推导 在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b) 所示,则总有一个角 ,它的终边经过点P(a,b). 设OP=r,r= ,由三角函数的定义知 sin b r ? ==cos a r ?== 所以sin cos a x b x + sin cos x x ??=+ ?

)x ?=+ 例4：求函数x x y cos 3sin +=的周期，最大和最小值。 2)3(12222=+=+b a 分析： 解析：x x y cos 3sin += )23sin 21(2cox x + = )3sin sin 3(cos 2cox x π π += )3sin(2π +=x ， 所以函数周期为π2，最大值为2，最小值为-2. 4.课堂小结 （1）辅助角公式：sin cos a x b x + )x ?=+ （2）两个应用：利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质解决函数问题；⒉三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题 5. 达标测评 （1）.把下列各式化为一个角的三角函数形式 x x cos 2 1sin 23+ x x cos sin -- x x cos sin +- )6cos(3)6sin(3ππ+-+ -x x (2).R x x x ∈+=,cos sin 3y 已知函数 （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图象可由y ＝sinx （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

三角函数和差及倍角公式讲义.docx

教育学科教师辅导讲义 教学内容 一、 上次作业检查与讲解； 二、 学习要求及方法的培养： 三、 知识点分析、讲解与训练: Mite 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sin (° ± 0) = sin QCOS 0 土 cos osin 0 —令空?》sin 2a = 2 sin a cos a (o±0) = cosfzcos^ + sinc^sin p — cos2a = cos?(7-sin 2 a -2cos 2 a-\ = l-2sin 2 a 7 1+COS 2Q n cos 「a= ---------- 2 .9 l — cos2o sirr a= ---------- 2 r 2 tan a tan 2a = ------- - l-tarr a 二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系, 注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三 观察代数式的结构特点。基本的技巧有： (1) 巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变 换.如 G = (Q + 0)-0 = (Q -0) + 0, 2Q = (G + 0) + (Q -0) , 2a = (0 + a)-(0-a), 心=2?呼,呼十号俘") ⑵三角函数名互化(切割化弦)， ⑶公式变形使用(tana 土tan0 = tan (仅±0)(1^tanotan")。 1 I y zy I / cos 等),

(4)三角函数次数的降升(降幕公式：cos2 6Z = —-—, sin%= —与升幕公式： 2 2 1+ cos 2a = 2 cos2a , 1-cos 2a = 2 sin2a)。

三角函数基础,两角和与差、倍角公式

练习： 一、填空题 1． α是第二象限角，则2 α 是第 象限角. 2．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 . 同角三角函数的基本关系公式: αααtan cos sin = ααα cot sin cos = 1cot tan =?αα 1cos sin 22=+αα 1?“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 2 2 =+αα 2tan 2 cos 2sin ααα = 2?上述关系（公式）都必须在定义域允许的围成立。 3?由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系). ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系). ③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 二、讲解例： 例1化简：ο440sin 12- 解：原式οοο ο ο 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简 解：) sin 1)(sin 1() sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+--- -+++= 原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2 222ααααα ααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角，Θ αα α ααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+= ∴原式 （注意象限、符号） 例3求证： α α ααcos sin 1sin 1cos +=- 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足

三角函数的两角和差及倍角公式练习题之欧阳学文创编

三角函数的两角和差及倍角公式练 习题 欧阳学文 一、选择题： 1、若)tan(,2 1 tan ),2 (53sin βαβπαπα-= <<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ． 3 10 3、如果的值是那么)4 tan(,4 1)4 tan(,5 2)tan(παπββα+=-=+ A ．1318 B ． 322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ? ? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ． 32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题：

6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=； 7、若αα23tan ，则=所在象限是； 8、已知=+-=?? ? ??+θθθθθπ sin 2cos cos sin 234cot ，则； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan ·； 10、化简3232sin cos x x + =。 三、解答题： 11、求的值。 ·??+?100csc 240tan 100sec 12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(4 3βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 235 44θθθ=+ 14、已知 )sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。 答案： 一、 1、B 2、D 提示: tanx = 3, 所求12 2sin x , 用万能公式。 3、B 提示: ()απ αββπ+ =+--? ? ?? ?44 4、A 提示: 把x =π3 代入

辅助角公式

辅助角公式Revised on November 25, 2020

推导 对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形 ，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则 ，因此 就是所求辅助角公式。 又因为 ，且-π/2<φ<π/2，所以 ，于是上述公式还可以写成 该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况） ，设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则 ，因此 同理， ，上式化成 若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则 再根据 得 记忆 很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。 其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。 例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。 疑问 为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。 提出者

，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。[1]在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用。同治七年，李善兰到北京担任同文馆天文﹑算学部长﹐执教达13年之久﹐为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献。 李善兰为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献。 继之后，李善兰成为清代数学史上的又一杰出代表。他一生翻译西方科技书籍甚多，将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传入中国，对促进近代科学的发展作出卓越贡献。[1] 公式应用 例1 求sinθ/(2cosθ+√5)的最大值 解：设sinθ/(2cosθ+√5)=k 则sinθ-2kcosθ=√5k ∴√[1+(-2k)2]sin(θ+α)=√5k 平方得k2=sin2(θ+α)/[5-4sin2(θ+α)] 令t=sin2(θ+α) t∈[0,1]则k2=t/(5-4t)=1/(5/t-4) 当t=1时有kmax=1 辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化 例2 化简5sina-12cosa 解：5sina-12cosa =13(5/13*sina-12/13*cosa) =13(cosbsina-sinbcosa) =13sin(a-b) 其中，cosb=5/13,sinb=12/13 例3 π/6≤a≤π/4 ,求sin2a+2sinacosa+3cos2a的最小值

《辅助角公式应用》专题(简单题)

《辅助角公式应用》专题 2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名 授之以鱼，不若授之以渔。 化下列代数式为一个角的三角函数 1sin 22 αα+； cos αα+； a sin x ＋ b cos x ＝a 2＋b 2x x ??+?? ＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2 )． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝ a a 2＋ b 2，sin φ＝b a 2＋b 2， 【求周期】 1.求函数x x y 4sin 4cos 3+= 的最小正周期。 2.求函数y x x x =+ -+24432cos()cos()sin ππ 的最小正周期。

小结：将三角式化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。 【求值】 1.求函数x x y 4sin 4cos 3+= 的最大值。 2.函数y ＝2sin ????π3－x －cos ??? ?π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3.2)cos()12123x x ππ+ ++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。 4.已知)4x y πθ+= +，)4x y π θ-=-，求证：221x y +=

【求单调区间】 求函数x x y 4sin 4cos 3+= 的单调递增区间。 （2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212 k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63 k k k Z ππππ++∈ 已知函数()3f x x x =-，求： （1）求函数()f x 的周期、最大值以及取得最大值自变量x 的取值范围. （2）求函数()f x 的单调区间、对称中心. （3）函数()f x 由函数sin y x =的图像如何变换得到的？

倍角公式与半角公式习题(绝对物超所值)

两角和与差的三角函数 1．若4 cos 5α= ，且()0,απ∈，则tg 2 α= ． 2．（本小题满分12分）已知函数 ()sin() 6f x A x π ω=+(0,0)A ω>>的最小正周期为6T π=，且(2)2f π=． （1）求()f x 的表达式； （2）设 ,[0,] 2π αβ∈， 16(3)5f απ+= ，520 (3)213f πβ+=- ，求cos()αβ-的值． 3．在非等腰△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且a=3，c=4，C=2A ． （Ⅰ）求cosA 及b 的值； （Ⅱ）求cos(3π –2A)的值． 4．已知31)6sin(=-απ，则)3 (2cos απ +的值是（ ） A ． 97 B ．31 C ．31- D ．9 7- 5．若4cos 5θ=- ，θ是第三象限的角,则 1tan 21tan 2 θ θ-+=（ ） A ．12 B ．12- C ．3 5 D ．-2 6．己知 ,sin 3cos 5a R a a ∈+=，则tan 2a=_________． 7．已知==+ απ α2sin ,54 )4cos(则 . 8．已知==+απα2sin ,5 4 )4cos(则 . 9．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且a b >，已知4 cos 5 C = ，32c =，2 221sin cos sin cos sin 222 B A A B C ++=． （Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）求cos()B C -的值． 10．已知函数()2sin()(0,)6 f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2 ()3 f α= ，(0,)8πα∈，求cos 2α的值. 11．已知函数2 ()2sin cos 2sin 1()f x x x x x R =-+∈．

化一公式,辅助角公式教案

化一公式（第一课时） 一、教材分析 化一公式在必修4的教材中并没有出现专门的一节进行讲解，是因为化一公式的本质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。 二、教学重点 对特殊角的化一公式的应用，两角和正弦的逆应用。知道要从系数中提出22b a +. 三、教学难点 对22b a +的探究，理解为什么要提这个出来。 四、教学过程 （一）、知识回顾引入 前面我们学习了两角和的正弦公式，大家回顾一下应该等于： αββαβαcos sin cos sin )sin(+=+ 那我们看一下 ?? ? ??+απ3sin =απαπsin 3cos cos 3sin +ααsin 21cos 23+= 则那么请同学看下面两个题应该等于多少 例一：化简下面式子 （1）=+ααcos 2 2sin 22 （2）=+ααcos 2 3sin 21 解释：第一个式子中的2 2可以看成4cos ,4sin ππ,变式后利用两角和正弦的逆应用课进行化简。第二个式子中的21和2 3可以看成3sin ,3cos ππ。 （二）、新授知识 那么现在我们来看下一个题： 例二：化简下面式子 （1）=+ααcos 2sin 2 （2）ααcos 3sin += （提示学生和例一的关系，让学生自己转化到例一去）

解答：（1）??? ??+=??? ? ??+4sin 2cos 22sin 222πααα （2）??? ??+=??? ? ??+3sin 2cos 23sin 212πααα 为什么要提2出来呢？ 因为提出来后可以在里面创造出特殊角的三角函数，是我们想要的 那么刚才的这些题我们都比较容易看出他们和特殊角之间的关系，那么如果遇到较为复杂的系数我们该提多少出来呢？ 例三：化简下面式子 =+x b x a cos sin （让学生思考并讨论） 学生讨论后指出这里应该提出22b a +，因为里面剩下的 2222,b a b b a a ++刚好 可以构一个角的正弦与余弦。 所以)sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a ，我们把这种把两三角函数变为一个三角函数的公式称为化一公式。 由此我们就可以处理任何类似的式子了 例三：化简下面式子 =+x x cos 53sin 153 解答：先观察，把153与53的公因式53先提出来，变为x x cos sin 3+，再利用公式，提出21322=+，可以变为??? ??+=??? ? ??+6sin 56cos 21sin 2356πx x x 练习：化简下面式子： （1）x x sin 23cos 23- （2）x x cos sin 3+ （3）x x cos 4 6sin 42+ （让学生上来做并讲解） （三）总结 同学们你们来说说这节课你收获到了什么？ 1，化一公式 2，逆向思维 3，化归的思想 （四）作业 练习册

角函数中辅助角公式的应用

辅助角公式在高考三角题中得应用 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx = ++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。 上式中的 a a b 2 2 +与 b a b 2 2 +的平方和为1，故可记a a b 2 2 +=cos θ， b a b 2 2 +=sin θ，则 。 )x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2 2 22θ++=θ+θ+= 由此我们得到结论：asinx+bcosx= a b x 22++sin()θ，（*）其中θ由 a a b b a b 2 2 2 2 +=+=cos , sin θθ来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多 个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。 一. 求周期 例1 求函数y x x x =+ -+244 32cos()cos()sin π π 的最小正周期。 解： ) 6 x 2sin(2x 2cos x 2sin 3x 2sin 3)2 x 2sin(x 2sin 3)4x sin()4x cos(2y π +=+=+π +=+π +π+= 所以函数y 的最小正周期T=π。 评注：将三角式化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。 二. 求最值 例2. 已知函数f(x)=cos 4 x-2sinxcosx-sin 4 x 。若x ∈[, ]02 π ，求f(x)的最大值和最小值。

两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用

). 1(≠k 高一数学 一、本讲教学内容 两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用 二、典型例题选讲 例1 已知)tan()tan(βαβα+?=-k 求证： .112sin 2sin k k -+=βα 分析 注意到已知条件中的角βα-、βα+与欲证等式中的角α2、β2的关系： ),()(2βαβαα-++=),()(2βαβαβ--+=因此可用两角和与差的正弦公式变形，再用已知条件代入进行证 明. 证： )]()sin[()]()sin[(22sin βαβαβαβαβα--+-++=sjin =) sin()cos()cos()sin() sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-?+--?+-?++-?+= )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++= .11)tan()tan()tan()tan(k k k k -+=+?-++?++βαβαβαβα 评析 本题也可以由已知得)tan()tan(βαβα+-=k ，代入右边，得=+--+-+ =-+) tan() tan(1)tan() tan(111βαβαβαβαk k )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++ ,cos cos ) sin(cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin tan tan B A B A B A B A B A B B A A B A ?±=??±?=±=± .2sin 2sin )]()sin[()]()sin[(11βαβαβαβαβα=--+-++=-+∴ k k 例2 已知,4 3 sin sin = +β α求βαcos cos +的取值范围. 分析 βαcos cos +难以直接用βαsin sin +的式子来表达，因此设t =+βαcos cos ，并找出t 应满足的等式，从而求出βαcos cos +的取值范围. 解 令t =+βαcos cos ，① 由已知，4 3 sin sin = +β α. ② ①2+②2 ：,16 9sin sin sin 2sin cos cos cos 2cos 22222+ =+?+++?+t ββααββαα ,169)cos(222+ =-+t βα ).cos(216232βα-+=t ].16 55,0[,1)cos(12∈∴≤-≤-t βα ],455,455[- ∈t 即].4 55 ,455[cos cos -∈+βα 例3 求函数x x x x x f cos sin 3cos sin )(?+-=的值域 分析 )(x f 的解析式中既有x sin ，又有x cos ，若由1cos sin 22=+x x 将x cos 表示成x 2sin 1-±或将x sin 表示 成x 2cos 1-±，都会出现根式，且需要讨论符号，因此这种做法不可取.注意到x x x x cos sin 21)cos (sin 2?-=-，因此可作代换：,cos sin t x x =-则x x cos sin ?和x x cos sin -都可以用t 表示，)(x f 就可以变形为t 的二次函数，再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得)(x f 的值域. 解 令,cos sin x x t -= 则,cos sin 212 x x t ?-= .2 1cos sin 2 t x x -=? .2 3 61)31(232323213cos sin 3cos sin )(222++--=++-=-? +=?+-=t t t t t x x x x x f ].2,2[).4 sin(2)4sin cos 4cos (sin 2cos sin -∈∴-=?-?=-=t x x x x x t π ππ 当;352361)(,31max =+==x f t 当.22 3 232)2(23)(,22min --=+---=-=x f t )(x f ∴的值域为}.35 223{≤≤--y y 评析 相应于)4 sin(2cos sin π - = -x x x ，还有更一般的情况：

和差公式及倍角公式的运用

和差公式及倍角公式的运用 一、和差公式 ; tan tan 1tan tan )tan(,sin sin cos cos )cos(,sin cos cos sin )sin(β αβ αβαβαβαβαβαβαβα 二、倍角公式 α α ααααααααα22222tan 1tan 22tan ,1cos 2sin 21sin cos 2cos , cos sin 22sin 三、应用类型 （题型一）-----给角求值 例1、求)280cos(200cos )160sin(100sin 0000 的值． 【解析】原式=2130sin )10sin 20cos 20sin 10(cos 00000 ． 或原式=.2 1 60cos )80cos 20cos 20sin 80(sin 00000 例2、计算025.22sin 21 的结果等于 （ ）． A ． 2 1 B ．22 C ．33 D ．23 【解析】2 2 45cos 5.22sin 210 2 ． 答案：B 例3、已知3 2 sin α，则)2cos(απ 的值为 （ ）． A ．35 B ．91 C ．9 1 D ．35 【解析】9 1 19421sin 2)sin 21(2cos )2cos(2 2 ααααπ．

答案：B 例4、已知α为第三象限角，5 3 cos α，则 α2tan ． 【解析】∵α为第三象限角，5 3cos α， ∴5 4)5 3(1cos 1sin 2 2 αα， 于是 3 4 cos sin tan ααα， ∴724)3 4(134 2tan 1tan 22tan 2 2 α αα． 例5、求000070sin 50sin 30sin 10sin 的值． 【解析】法一：利用二倍角公式的变形公式 解：∵αααcos sin 22sin ，∴α α αcos 22sin sin ， ∴原式=00 000070cos 2140sin 50cos 2100sin 2110cos 220sin ??? =00000020sin 240sin 40sin 280sin 2180sin 220sin ???=16 1 ． 法二：先将正弦变成为余弦，再逆用二倍角公式 解：原式=00020cos 40cos 21 80cos ???=00080cos 40cos 20cos 2 1 =0000020sin 280cos 40cos 20cos 20sin 221? =000020sin 480cos 40cos 40sin =0 0020 sin 880cos 80sin =0020sin 16160sin =161． 或原式=00020cos 40cos 21 80cos ???=00080cos 40cos 20cos 2 1 =16120sin 160sin 16120sin 80cos 80sin 8180cos 40cos 20sin 240sin 210 00000 000 ? ? ??． 提示：∵αααcos sin 22sin ，∴α ααsin 22sin cos ，因此.20sin 240sin 20cos 000