第五讲 穷举算法
算法——穷举法
算法——穷举法穷举法是一种常见的求解问题的算法，也被称为暴力搜索或者暴力枚举。
它的基本思想是穷尽所有可能的情况，从中找出满足问题要求的最优解或者符合条件的解。
在实际问题中，穷举法可以解决很多难题，比如寻找最短路径、最小值、最大值等等。
穷举法的求解过程相对容易理解，而且实现起来很简单。
但是，随着问题规模的增加，穷举法的时间复杂度会非常高，计算机的计算能力往往无法承载。
因此，在使用穷举法时，需要掌握一些技巧有效地减少计算量。
穷举法基本步骤：1.确定问题的解空间解空间是指可以取到的所有解组成的集合。
需要明确问题的解空间，方便穷举法从中查找到符合条件的解。
例如，对于求1~100中所有偶数的和这个问题，解空间就是所有偶数的集合{2,4,6,...,100}。
2.确定问题的约束条件约束条件是指解必须满足的限制条件。
例如，对于求1~100中所有偶数的和这个问题，约束条件就是偶数。
3.进行穷举搜索穷举搜索就是从解空间中挨个枚举每一个解，判断是否满足约束条件。
对每一组解都进行判断，找到满足要求的最优解或者符合条件的解。
例如，在求1~100中所有偶数的和这个问题中，需要从所有偶数中挨个枚举每一个偶数，将其累加到结果变量中。
4.分析求解结果分析求解结果，检验是否符合问题的要求。
如果结果合法，那么就是要求的最优解或者符合条件的解。
如果结果不合法，那么需要继续搜索其他可能的解。
穷举法的优缺点优点：1.穷举法可以求解各种难点问题，尤其是在面对离散的问题时效果非常显著。
2.穷举法思路简单，易于理解，实现也相对较简单。
3.穷举法保证能够搜索到所有可能的解，因此能够找到最优解或者符合条件的解。
1.穷举法遍历所有可能的解，当问题规模较大时，时间复杂度非常高，计算量大，效率低。
2.部分问题的解空间很难找到或没有固定的解空间，导致穷举策略无从下手。
3.穷举法没有明确的评估标准，求得的解无法与其他算法进行比较。
穷举法使用技巧1.剪枝技术穷举法的时间复杂度往往比较高，因此需要使用剪枝技术，减少不必要的计算。
多重循环(穷举算法)
所
有情况逐一判断来得到结果。 2、明确穷举的范围 3、明确选出的数据必须符合什么条件
拓展练习3
书P107/2(马克思数学问题）
马克思手稿中的数学题：有30个人，其中有男 人、女人和小孩，在一家饭馆吃饭共花了50先令；每 个男人花3先令，每个女人花2先令，每个小孩花1先 令，问男人、女人和小孩各有几人？
四、拓展练习2：
有一道写于纸上的数学题被雨水淋湿，其中有两个数字 已模糊不清（3□＋42）×6＝47□ 你能设计找出这两个 数吗？
分析： （3□＋42）×6＝47□
穷举范围:
a:0~9
b:0~9
a
0~9
b
0~9 符合条件: 让等式成立 即 ：3□＋42）×6＝47□
课后小结
利用穷举法解决问题的方法，要注意以下几个方面：
一、什么是穷举算法
穷举算法就是把所有可能的情况一一列举，带入实 际，一个个检验是否是符合。如果有符合条件的数据 就把它输出。利用了计算机的高速，可以在很短的时 间内搜索完毕。
二、穷举算法应用举例：
情景： 某同学登录自己的QQ号时发现由于较长时间没有 使用已经记不清了 ，你能帮他设计程序找回密码吗， 他的密码是5位数，67xx8，其中百位数和十位数字他 不记得了，但他记得该密码能被67和78整除。
思考：
有一个小游戏被加密了，我们知道它的密码只有 一位，你如何去破译该密码？ 用 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 逐一去试 如果要破译两位自然数的密码，你如何去手动破译？ 用 00、01、02……09； 10、11、12……19； … 90、91、92……99； 依次类推直至找出正确的密码。
分析问题： 设计算法：
穷举法算法案例
穷举法算法案例穷举法，又称为暴力搜索或者暴力破解，是一种简单直接的算法，它通过尝试所有可能的情况来寻找问题的解。
虽然在某些情况下效率不高，但在一些小规模问题或者需要精确解的情况下，穷举法仍然是一个有效的解决方案。
下面我们将通过几个案例来了解穷举法的具体应用。
案例一，寻找素数。
素数是指除了1和自身外没有其他因数的自然数，例如2、3、5、7等。
我们可以通过穷举法来寻找一定范围内的所有素数。
具体做法是从2开始，依次判断每个数是否能被2到该数平方根之间的所有数整除，如果不能则该数是素数。
这种方法虽然效率不高，但对于小范围内的素数搜索是可行的。
案例二，密码破解。
在密码学中，穷举法常常被用来破解简单的密码，例如暴力破解4位数字密码。
假设密码由0-9的数字组成，那么一共有10000种可能的密码组合。
通过穷举法，我们可以依次尝试每一种组合，直到找到正确的密码。
当然，对于更复杂的密码，穷举法可能需要花费更长的时间，但在一些情况下仍然是有效的。
案例三，旅行推销员问题。
旅行推销员问题是一个经典的组合优化问题，假设有n个城市，推销员需要从某个城市出发，经过每个城市一次，最终回到出发的城市，要求找到一条最短的路径。
穷举法可以用来解决这个问题，具体做法是列举出所有可能的路径，计算它们的长度，最终找到最短的路径。
虽然对于大规模的问题来说，穷举法并不是最优的解决方案，但在小规模问题上仍然是可行的。
总结。
穷举法作为一种简单直接的算法，在一些情况下仍然具有一定的应用价值。
然而，需要注意的是，穷举法在处理大规模问题时可能会面临效率低下的问题，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的算法。
希望通过上述案例的介绍，能够让大家对穷举法有一个更加深入的了解。
穷举算法
var t,x:integer; s,st:string; c:char; begin for x:=123 to 321 do{枚举所有可能的解} begin t:=0; str(x,st);{把整数x转化为字符串，存放在st中} str(x*2,s); st:=st+s; str(x*3,s); st:=st+s; for c:='1' to '9' do{枚举9个字符，判断是否都在st中} if pos(c,st)<>0 then inc(t) else break;{如果不在st 中，则退出循环} if t=9 then writeln(x,' ',x*2,' ',x*3); end; end.
var k:integer; a,b,c,d,x :real; begin read(a,b,c,d); for k:=-10000 to 10000 do begin x:=k/100; if a*x*x*x+b*x*x+c*x+d=0 then write(x:0:2,' '); end; end.
穷举算法
搜索方法——穷举算法穷举法，常常称之为枚举法，是指从可能的集合中一一穷举各个元素，用题目给定的约束条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。
能使命题成立者，即为问题的解。
穷举是最简单，最基础，也是通常被认为非常没效率的算法，但是。
穷举拥有很多优点，它在算法中占有一席之地。
首先，穷举具有准确性，只要时间足够，正确的穷举得出的结论是绝对正确的；其次，穷举拥有全面性，因为它是对所有方案的全面搜索，所以，它能够得出所有的解。
采用穷举算法解题的基本思路：（1）确定穷举对象、穷举范围和判定条件；（2）一一列举可能的解，验证是否是问题的解例题：谁是小偷Description警察抓住A B C D四名罪犯，其中一人是小偷。
审问A 说："我不是小偷"。
B说"C是小偷"。
C说"小偷肯定是D"。
D说"C在冤枉人"。
现在已经知道四个人中三人说的是真话，一个人说假话，问小偷到底是谁？Sample OutputC代码如下：Var a,b,c,d:integer;beginfor a:=0 to 1 do beginfor b:=0 to 1 do beginfor c:=0 to 1 do beginfor d:=0 to 1 do beginif a+b+c+d=1 then beginif ord(a=0)+ord(c=1)+ord(d=1)+ord(d<>1)=3 then begin if a=1 then writeln('A');if b=1 then writeln('B');if c=1 then writeln('C');if d=1 then writeln('D');end;end;end;end;end;end;end.再看一眼条件：审问A说："我不是小偷"。
计算机算法：穷举法
穷举法穷举法是程序设计中使用最为普遍的一种基础算法。
计算机的特点之一就是运算速度快、善于重复做一件事情，“穷举法”正是基于这一特点的最古老算法。
它一般是在一时半会找不到解决问题的更好途径，即从数学上找不到求解的公式或规律时，根据问题中的“约束条件”，将求解的所有可能情况一一列举出来，然后再逐一验证它否符合整个问题的求解要求，从而得到问题的所有解。
示例1：求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A,B,C为1~3之间的整数。
【分析】本题非常简单，即枚举变量A，B，C的所有可能取值情况，对每种取值情况判断是否符合表达式即可。
【算法】算法用伪代码描述如下：for A:=1 to 3 dofor B:=1 to 3 dofor C:=1 to 3 doif(A+B=C) thenwriteln(A,’’,B,’’C);【流程图】所谓穷举法，指的是从可能的解的集合中一一枚举各元素，用题目给定的检验条件判定那些是无用的，哪些是有用的。
能使命题成立的，即为解。
在本案例中解变量有3个：A，B，C。
其中：解变量A的可能取值范围A∈｛1,2,3｝解变量B的可能取值范围B∈｛1,2,3｝解变量C的可能取值范围C∈｛1,2,3｝从而问题的可能解有3*3*3=27个，可能解集在上述可能解集中，满足题目给定的检验条件（A+B==C）的解元素，即为问题的解。
穷举法的适用范围：其一，能确定解变量（枚举变量）的个数n，其二，每个解变量Ai（1<=i<=n）的可能值能确定范围且能连续取得。
设解变量的个数是n，Ai1----解变量Ai的最小值；Aik----解变量Ai的最大值（1≤i≤n）；即A11≤A1≤A1k，Ai1≤Ai≤Aik，……，An1≤An≤Ank算法框架如下（伪代码）：for A1←A11 to A1k do……for Ai←Ai1 to Aik do……for An←An1 to Ank doif状态（A1,…,Ai,…,An）满足检验条件then 输出问题的解穷举法（枚举法）的特点是算法简单，但是有时运算量大。
常用算法-穷举法
常⽤算法-穷举法穷举法⼜称为枚举法，它是在计算机算法设计中⽤得最多的⼀种编程思想。
它的实现⽅式是：在已知答案范围的情况下，依次地枚举该范围内所有的取值，并对每个取值进⾏考查，确定是否满⾜条件。
经过循环遍历之后，筛选出符合要求的结果来。
这种⽅法充分利⽤了计算机运算速度快的特点，思路简单直接，能够解决⼤部分的问题。
什么样的问题适合使⽤穷举法来解决呢？归纳起来，遇到了如下的三种情况，将优先考虑使⽤穷举法：1. 答案的范围已知：虽然事先并不知道确切的结果，但能预计到结果会落在哪个取值范围内。
譬如说：①求1－100之间所有的素数：⽆论结果如何，都在1－100的范围之内。
②求2000－2015年间有⼏个⽉的13号是周⽇？这15年间共有180个⽉，⽉份的个数最多不会超过180③验证1000以内的哥德巴赫猜想：即找出1000之内所有的合数，看是否能够分解为两个质数之和。
如果仔细观察，将会发现许多题⽬的结果范围都是已知的，都可以使⽤穷举法来实现。
2. 答案的结果是离散的，不是连续的。
如果要求出1－2之间所有的⼩数，就⽆法⽤穷举法来实现，因为其结果是⽆限连续的。
3. 对时间上的要求不严格。
蓝桥杯⽐赛中的许多题⽬对于算法的设计是有时间要求的，有时会⾮常苛刻。
如果⽤穷举法则耗时过长，不可取。
例如求出21位的⽔仙花数，使⽤穷举法可能会花费30分钟的时间。
⽽蓝桥杯试题通常要求时间限制在1秒钟之内完成，少数会延长⾄3分钟。
在这种情况下，必须使⽤新的算法来解决问题。
下⾯举个经典的例⼦：100块砖100⼈来搬，男⼈⼀⼈搬4块，⼥⼈⼀⼈搬3块，⼩孩3⼈抬⼀块，问男，⼥，⼩孩各⼏⼈？若设男，⼥，⼩孩⼈数分别为X， Y， Z，则只能够列出两个等式： X+Y+Z＝100 4*X+3*Y+Z/3＝100 。
三个未知数两个等式，⽆法求解。
这就只能够使⽤穷举法来实现，具体做法如下：先确定每种类型⼈员的数量的取值范围，由题意可知，男⼈X的取值范围是0~100/4＝25 ⼥⼈Y的取值范围是0~100/3＝33 ⼩孩的取值范围是0~99（必须不⼤于100且为3的倍数）。
穷举法
cmin>sum if (_____________) { cmin=sum; for (i=1;i<=n;i++) d[i]=b[i]; } j=n; b[j]==k while( _______ ) j=j-1; b[j]=b[j]+1; for(i=j+1;j<=n;j++) b[i]=1; ___________; } printf(“%40d”,cmin); for(i=1;i<=n;i++) printf(“%d”,d[i]); }
例1．找完全数 ． 古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外）。 例如28的因子是1、2、4、7、14，且1+2+4+7+14=28，则28是一个完 全数。编写一个程序求2~10000内的所有完全数。 分析： 分析 1.本题只需一个枚举变量a即可，它的范围是2~10000； 2.验证完全数的条件是：所有因子的和等于该数据本身； 3.找出所有因子、并求出因子和是关键的一步，可采用循环完成分解因 子和求因子和。
从上例可知，穷举法是一种比较笨拙的算法，因为它需要列举出许多个可能解来 一一验证，程序往往需要运行很长时间，效率较低。但是，穷举法也有自己的优 点，它思路简单，容易编写程序，只要时间足够，穷举法能够很容易地求出问题 的全部正确解。 针对穷举法效率较低的缺点，在设计穷举算法时，我们必须注意以下二点： ①考虑枚举变量一定要慎重，枚举变量应尽量少，尽量通过计算而不是枚举来确 定变量。 ②枚举前应尽可能多地将不符合条件的情况预先排除，以缩小枚举范围。
练习：2．将n个整数分成k组(k≤n,要求每组不能为空),显然这k个部分均可 得到一个各自的和s1,s2,……sk,定义整数P为: P=(S1-S2)^2+(S1一S3)^2+……+(S1-Sk)^2+(s2-s3)^2+……+(Sk-1Sk)^2 问题求解:求出一种分法,使P为最小(若有多种方案仅记一种) 程序说明: 程序说明: 数组: a[1],a[2],...a[n]存放原数 s[1],s[2],...,s[k]存放每个部分的和 b[1],b[2],...,b[n]穷举用临时空间 d[1],d[2],...,d[n]存放最佳方案
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第五讲穷举算法学习重点：1、了解穷举法的基本概念及用穷举法设计算法的基本过程。
2、能够根据具体问题的要求，使用穷举法设计算法，编写程序求解问题。
3、能对穷举法编写的程序进行优化学习过程：穷举算法是学生在学完了QB基本语句后最早接触到的算法。
一些简单的穷举算法题目如求水仙花数、找出缺失的数字等和小学生的数学学习紧密结合，程序也比较容易实现，因此学生的学习兴趣还是很高的。
近几年的省小学生程序设计竞赛中也常出现穷举算法的题目，如：2001年题四算24；2002年题三求素数个数与素数个数最多的排列；2005年回文数个数等题目，有些题虽然说用穷举算法实现比较勉强（如2002年题三的后半题求出素数个数最多的排列），但在考试时，如果一时想不出更好的办法，用穷举算法也不失为一种明智的选择。
穷举法，常常称之为枚举法，是指从可能的集合中一一穷举各个元素，用题目给定的约束条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。
能使命题成立者，即为问题的解。
穷举是最简单，最基础，也是通常被认为非常没效率的算法，但是。
穷举拥有很多优点，它在算法中占有一席之地。
首先，穷举具有准确性，只要时间足够，正确的穷举得出的结论是绝对正确的；其次，穷举拥有全面性，因为它是对所有方案的全面搜索，所以，它能够得出所有的解。
采用穷举算法解题的基本思路：（1）确定穷举对象、穷举范围和判定条件；（2）一一列举可能的解，验证是否是问题的解一、穷举算法的实现在前面基础语句（for语句）的学习中，其实我们就用到了穷举。
比如培训教材p77【例5-7】打印九九乘法表中，被乘数A和乘数B都从1-9一一列举。
这样，九九乘法表中就不会遗失任何一句乘法口诀；在p79【例5-9】的数学灯谜题中，我们也是用了一一列举的方法，找出了A、B、C、D的取值范围。
下面我们再看两道例题：1、搬运砖头【问题描述】36 块砖， 36 人搬。
男搬 4 ，女搬 3 ，两个小儿抬一砖。
要求一次全搬完。
问需男、女、小儿各若干？【问题分析】题目要我们找出符合条件的男生、女生和小孩的人数。
答案显然是一组数据。
首先分析一下问题所涉及的情况。
对于男生来说，至少要有一人；每个男生可以搬4 块砖，那么 36 块砖最多 9 个男生足够，共有 9 种不同取值。
同样，女生有 12 种不同取值。
两个小孩抬一块砖，至少要有两个小孩，最多 36 个，并且小孩的人数必须是个偶数，所以小孩的人数可以取 18 种不同的值。
最坏情况下，男生、女生和小孩的人数可以是9 × 12 × 18 ＝ 1944 种不同组合。
假设男生人数为 x ，女生人数为 y ，小孩人数为 z 。
可以构建一个三重循环求出最终结果。
【程序清单】 rem 5_1.basfor x=1 to 9for y=1 to 12for z=2 to 36 step 2if x*4+y*3+z/2=36 then print x,y,znext znext ynext xend2、方格内填字符【问题描述】在5个连成一串的方格内填入“a”和“b”，但“b”不能填在相邻两格内。
打印出所有填法和总方案数。
【问题分析】(1)用五重循环列举；（2）由于QB中FOR语句不能直接列举字符，所以用“A”和“B”的ASCII码作为循环的初值和终值；（3）需排除含“BB”、“AAAAA”的各种情况。
【程序清单】REM 5_2.bass = 0bb = 132: aaaaa = 325 ’连续填“BB”的ASCII和为132，“AAAAA”为325；FOR a = 65 TO 66FOR b = 65 TO 66FOR c = 65 TO 66FOR d = 65 TO 66FOR e = 65 TO 66x = a + b + c + d + e: ab = a + b: bc = b + c: cd = c + d: de = d + e IF x <> 325 AND ab <> bb AND bc <> bb AND cd <> bb AND de <> bb THEN PRINT CHR$(a); CHR$(b); CHR$(c); CHR$(d); CHR$(e): s = s + 1NEXT e, d, c, b, aPRINT s3、简单的24点【问题描述】从键盘输入4个整数（每个数均大于等于1），算一算能否凑成24点。
（说明：数字的顺序不能改变，并按从左到右的次序运算，不考虑运算符的优先级别）例如：输入2，2，6，1则输出为：2+2*6*12+2*6/12*2*6*12*2*6/1输入：4，8，10，2则输出：4+8+10+24*8-10+2【问题分析】4个数中需填入3处运算符，每一处运算符都应该有“+”、“-”、“*”、“/”四种可能的情况，因此，可以用三重循环一一列举；每一处运算符确定后，与它相邻的两个数就有一个结果，这个结果根据运算符来定，可能是两数的和或差或积或商，我们用SELECT CASE语句来处理；最后打印结果时，为了能打印出运算符，还是需要SELECT CASE 语句。
【程序清单】Rem 5_3.basINPUT a, b, c, dFOR i = 1 TO 4 ’列举第一处的运算符SELECT CASE iCASE 1: x = a + bCASE 2: x = a - bCASE 3: x = a * bCASE 4: x = a / bEND SELECTFOR j = 1 TO 4 ’列举第二处的运算符SELECT CASE jCASE 1: y = x + cCASE 2: y = x - cCASE 3: y = x * cCASE 4: y = x / cEND SELECTFOR k = 1 TO 4 ’列举第三处的运算符 SELECT CASE kCASE 1: z = y + dCASE 2: z = y - dCASE 3: z = y * dCASE 4: z = y / dEND SELECTIF z = 24 THENPRINT a;SELECT CASE iCASE 1: PRINT "+";CASE 2: PRINT "-";CASE 3: PRINT "*";CASE 4: PRINT "/";END SELECTPRINT b;SELECT CASE jCASE 1: PRINT "+";CASE 2: PRINT "-";CASE 3: PRINT "*";CASE 4: PRINT "/";END SELECTPRINT c;SELECT CASE kCASE 1: PRINT "+";CASE 2: PRINT "-";CASE 3: PRINT "*";CASE 4: PRINT "/";END SELECTPRINT dEND IFNEXT kNEXT jNEXT iEND【想一想】能不能简化打印语句，去掉里面的三个SELECT CASE语句？【教法指导】在本单元的学习中，对我们的教学对象——小学生进行该算法教学的时候，我们首先应该让他们了解什么是穷举法？教学的设计可以从游戏入手：（1）请一个小朋友（小X）任意想一个4位数，写在纸上；（2）请全体同学猜，这个数是几？（3）每次说出一个数，裁判（老师）回答“对或错”在所有同学猜过一遍后（可能会有同学猜出这个数，可以多次重复玩这个游戏），老师可以请同学们思考，怎样才能百发百中地猜中这个数呢？（老师可以将他们的回答引导到从1000-9999，一个数不漏地猜这样的结论上来）。
游戏结束，老师布置作业，请同学们编一个程序，使用随机函数，模拟刚才的游戏过程。
程序清单：Randomize timerX=int(rnd*9000)+1000I=1000Do while I<>xI=I+1loopprint “zhe ge shu shi :”;iEnd老师可以根据这个程序说明什么叫“穷举算法”。
二、穷举算法的优化4、九头鸟问题（培训教材P205例10－61）【问题分析】穷举对象：九头鸟、鸡、兔；穷举范围：九头鸟：１～１００鸡：１～１００兔：１～１００判定条件：头和脚都等于１００；（程序见p205 REM L10-6A）这段程序是没有优化的程序，在教学中，老师要分析最糟糕的情况下（找不到合适的解）需循环的次数，然后让同学们上机试一下，体会一下运行时间。
然后按p206 REM L10-6B 减少循环次数及REM L10-6C 减少穷举对象来优化程序。
从程序的优化过程中，学生们能体会到使用穷举算法时，对程序优化的重要性。
书上的三段程序建议让学生都能上机试验，加深体会。
P207的程序可以布置数学基础好的同学自己学习。
5、巧填数字【问题描述】将１～６这六个数字分别填到下面的圆圈中，使三角形的每边上的三个数的和相等，一共有多少种方案？编程打印这些方案。
（不需要按题目的格式打印）【问题分析】穷举对象：A,B,C,D,E,F穷举范围：每一个对象都从1～6判定条件：（1）A、B、C、D、E、F互不相等（2）A+B+C=C+D+E=A+F+E对于小学生来说，如何判定6个变量的取值分别是1～6的数，并且互不相等可能是这题的难点。
在学习了一唯数组后，很容易想到的是：把这6个简单变量分别赋值给X(1)～X(6)，然后用一个二重循环来判断有没有重复的值：Flag=0 (标记)For i=1 to 5For j=i+1 to 6If a(i)=a(j) then flag=1Next j,i这段小程序的适用范围很广，它可以用来判断出任意六个数是否互不相等。
但在本题，由于已知的数是1～6的连续整数，因此可用更少的语句来实现。
只要满足：A+B+C+D+E+F=21且A*B*C*D*E*F=720 就能判别出A～F一定是互不相等的数。
【程序清单】Rem 5_5.basS = 0FOR A = 1 TO 6FOR B = 1 TO 6FOR C = 1 TO 6FOR D = 1 TO 6FOR E = 1 TO 6FOR F = 1 TO 6X = A + B + C + D + E + FY = A * B * C * D * E * FIF (X = 21) AND (Y = 720) AND (A + B + C = C + D + E) AND (A + B + C = A + F + E) THEN PRINT A; B; C; D; E; F : S = S + 1NEXT F, E, D, C, B, APRINT "S="; SEND程序的优化：在小学数学的范围内，学生们可以做的改进是：减少一个循环语句，从而使效率提高6倍。