30第九章 连续时间：微分方程
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
数值分析第九章常微分方程数值解法
松弛法
通过迭代更新函数值并逐步放松约束 条件来逼近解，适用于刚性和非刚性 问题。
利用线性组合迭代函数值来逼近解， 具有更高的收敛速度和稳定性。
03
数值解法的稳定性分析
数值解法的稳定性定义
数值解法的稳定性是指当微分方程的初值有微小的扰动时， 其数值解的近似值的变化情况。如果数值解在微小扰动下变 化较小，则称该数值方法是稳定的。
更高的精度和稳定性。
数值逼近法
泰勒级数法
将微分方程的解展开为泰勒级数，通过截断级数来逼 近解。
多项式逼近法
利用多项式来逼近微分方程的解，通过选取合适的基 函数和系数来提高逼近精度。
样条插值法
利用样条函数来逼近微分方程的解，具有更好的光滑 性和连续性。
迭代法
雅可比迭代法
通过迭代更新函数值来逼近微分方程 的解，具有简单易行的优点。
初值和边界条件的处理
根据实际问题，合理设定初值和边界 条件，以获得更准确的数值解。
收敛性和误差分析
对数值解进行收敛性和误差分析，评 估解的精度和稳定性。
数值解法的应用案例分析
人口增长模型
通过数值解法求解人口增长模型，预测未来人口数量，为政策制 定提供依据。
化学反应动力学
利用数值解法研究化学反应的动力学过程，模拟反应过程和结果。
数值分析第九章常微分方 程数值解法
• 引言 • 常微分方程数值解法的基本思想 • 数值解法的稳定性分析 • 数值解法的收敛性和误差分析 • 数值解法的实现和应用案例
01
引言
常微分方程的应用背景
自然科学
描述物理、化学、生物等自然 现象的变化规律。
工程领域
控制系统设计、航天器轨道计 算等。
微分方程笔记总结
微分方程笔记总结
一、微分方程的基本概念
微分方程是描述某一变量关于时间的导数或微分满足一定关系的方程。
它通常用于描述自然现象和社会现象的变化规律，如物理学、工程学、经济学等领域。
微分方程一般形式为：y' = f(x, y) 或 dy/dx = f(x, y)
其中，y 是未知函数，x 是自变量，f(x, y) 是已知函数。
二、微分方程的解
微分方程的解是指满足方程的函数。
对于给定的微分方程，我们需要找到满足该方程的函数，以便描述某一变量的变化规律。
三、微分方程的分类
根据微分方程中变量的个数和方程的形式，微分方程可以分为以下几类：
1. 常微分方程：只含有一个变量的微分方程。
2. 偏微分方程：含有两个或多个变量的微分方程。
3. 线性微分方程：方程中的未知函数和其导数是线性组合的微分方程。
4. 非线性微分方程：方程中的未知函数和其导数不是线性组合的微分方程。
四、微分方程的解法
对于不同类型的微分方程，解法也不同。
以下是一些常见的解法：
1. 分离变量法：将方程中的变量分离，转化为可求解的一阶常微分方程。
2. 积分因子法：通过引入积分因子，将高阶微分方程转化为可求解的一阶微分方程组。
3. 参数式解法：通过引入参数，将微分方程转化为参数方程组，从而求解未知函数。
4. 幂级数解法：将未知函数表示为幂级数形式，然后代入微分方程求解未知系数。
5. 数值解法：对于难以解析求解的微分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
第九章偏微分方程差分方法汇总
第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。
由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。
偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。
差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。
本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。
9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。
当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。
椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。
满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。
用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。
差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。
设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。
微分动力系统原理
微分动力系统原理
微分动力系统是一种描述连续时间系统演化的数学工具。
它的核心思想是利用微分方程来描述系统随时间变化的规律。
微分方程描述了系统的状态随时间的变化率，而微分动力学系统则通过对微分方程的求解，可以得到系统在不同时间点的状态。
微分动力系统的基本原理是，通过考察系统的状态变化率来研究系统的特征和演化规律。
系统的状态可以由状态变量来描述，而状态变量的变化率可以由微分方程来表示。
例如，对于一个简单的一阶微分方程，可以表示为：dx/dt = f(x)，其中x表示
系统的状态变量，t表示时间，f(x)表示状态变量变化率关于状态变量的函数。
对于给定的初始状态x0，通过求解微分方程，可以得到系统
在不同时间点的状态。
这个求解过程可以是解析的，也可以是数值的。
通过研究系统在不同初始状态下的演化规律，可以揭示系统的特征和行为，进而深入理解系统的动力学特性。
微分动力系统的研究可以涉及到多个方面，包括稳定性分析、周期解的存在和性质、边界吸引子、混沌现象等。
通过对微分方程的定性分析和数值模拟，可以得到系统的演化图像，以及系统可能具有的特殊性质和行为。
总之，微分动力系统是一种描述连续时间系统演化的数学工具，通过对微分方程的求解和分析，可以揭示系统的动力学特征和规律。
它在多个科学领域中都有广泛的应用，包括物理学、生物学、化学等。
常微分方程
, cn ) 的一个邻域，使得
, c1 ′ , c1 , c2 ′ , c2 , , cn ′ cn ( n 1) cn
≠0
( n 1) ( n 1) , , c1 c2
,
则称 y = ( x, c1 ,
, cn ) 含有n个相互独立的常数。
y 例： = c1 cos x + c2 sin x 是 y′′ + y = 0 的通解。 因为 y′ = c1 sin x + c2 cos x 而
是
在 (∞, +∞)上的解。
2
y = tan(t )
例：xdx +
x = 1+ x
'
在 (
π π
, ) 上的解。 2 2
ydy = 0 有隐式解 x 2 + y 2 = C （ C 为任意常数）。
n 阶方程的通解： 把含有 n 个相互独立的任意常数
c 称为 c1，c 2， ， n 的解 y＝ x1，c1， ，c n） n 阶方程的通解。 （
耦合摆的动态演示
摆长减小的单摆
我们只研究这样一个方程:
θ( t ) 2 2 t 10 θ ( t ) + 2 θ( t ) =0 t 10 t 10 t
用Maple7编写的单摆模型的动态示意图
1.1.2 微分方程的基本概念
凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。例如：
用maple 7解双摆的运动微分方程
2 2 θ1 ( t ) = 10 θ2 ( t ) 20 θ1 ( t ) t
2
2 2 θ2 ( t ) = 20 θ1 ( t ) 20 θ2 ( t ) t
第九章 微分方程
二、确定函数关系式 y c1 sin( x c 2 ) 所含的参数,使其 满足初始条件 y x 1 , yx 0 .
练习题答案
一、1、3； 2、2； 3、1； 4、2.
二、C1 1, C 2 . 2
第九章 微分方程
第二节 一阶微分方程
§9.2 一阶微分方程 复习：
例 y y，
y y 0，
特解 y 2ex；
特解 y 2sin x cos x；
（3）初始条件: 用来确定任意常数的条件. 如：
T
t 0
100
y
x 1
2
一般地，一阶微分方程y' f ( x, y)的初始条件为：
y
x x0
y0
一般地，二阶微分方程y'' f ( x, y, y' )的初始条件为：
通解
特殊情形：
dy f ( x) dx
dy g ( y) dx
y f ( x)dx C
1 g ( y)dy x C
解微分方程：xy ' y ln y 0
解 分离变量
1 1 dy dx y ln y x
ln ln y ln x ln C,
两边积分
ln y Cx,
一阶方程的一般形式为 F ( x , y , y ) 0
初值问题： y f ( x , y )
y x x0 y 0
这个方程虽然简单，但常常很难求出解的表达式 本节只讨论几种特殊类型的一阶微分方程的解法。
教学任务
• 可分离变 量的微分 方程
分离变量法
• 齐次微分 方程
变量代换
《生物建模仿真》学习指南
《生物建模仿真》学习指南一、学习目的《生物建模仿真》是生物医学工程本科的专业基础课程，也是现代生物科学、医学、医学等相关专业教育教学的重要内容之一。
建模与仿真是分析、研究和设计各类系统，特别是诸如生命系统这类复杂系统的重要知识结构。
本课程的学习目的：1. 学习系统建模与计算机仿真的基本理论和方法。
2. 通过学习生物建模仿真的典型实例，学习和培养解决生物建模仿真实际问题的创新能力和实践能力。
二、课程理论部分学习指南课程理论学习分两个部分：第一部分包括第1章到第6章，内容是数学模型建模的基本理论和方法，计算机仿真的基本理论和方法，以及建模与仿真的校核、验证和确认（VV A）技术。
第二部分从第7章到第10章，通过学习生物系统建模仿真的4个典型范例，以点带面，培养应用建模仿真的基本理论与方法，解决生物系统实际问题的能力。
以下是理论课每个知识结构的主要内容、知识点、重点难点和学习质量的自我监测指标。
第1章生物建模仿真概论1. 学习目的了解建模仿真基本概念及生物建模仿真的研究与应用进展动态。
2. 学习内容(1)系统模型的定义、分类。
(2)系统仿真的基本概念、基本步骤、分类和计算机仿真。
(3)生物建模与仿真的研究与应用进展动态。
3. 知识点系统模型，计算机仿真4. 重点与难点系统建模的基本原理：模型与系统的相似性，根据建模要求定义相似性。
第2章系统的数学模型和建模方法2.1 数学模型的分类1. 学习目的学习数学模型的状态集合分类和时间集合分类。
2. 学习内容(1)数学模型的状态集合分类和时间集合分类。
(2)连续状态模型：连续时间模型，离散时间模型。
3. 知识点连续状态模型与离散事件模型，连续时间与离散时间模型4. 重点与难点连续状态模型中的连续时间模型，及其对应的时间离散计算机仿真模型。
5. 学习质量的自我监测标准：本章节自测与评估。
2.2 连续状态系统模型1. 学习目的学习连续状态系统中连续时间数学模型基本概念及其4类模型的数学表达式，了解对应的离散时间模型基本概念。
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• 索罗—斯旺新古典增长模型 新古典生产函数 Y Y (K, L) 边际产品为正但递减
Y K
2Y 0, K 2
0
Y L
0,
2Y L2
0
一次齐次（规模报酬不变）性
Y (K,L) Y (K, L)
人均项目表示为
y (k)
净投资：
K I K S K sY K
同除 L可得
K / L sy k s(k) k
yk a
该非齐次方程的通解为 y(x) y y(0)eax
定义
• y(x) y，y 收敛于y ，y 的时间路径是稳定的
在上例中，当且仅当 a 0时，y(x) y
• 伯努利方程
dy ay cym dx
m 其中a 和 c为常数或者 x 的函数， 为任意除0和1之外的
实数，两边同除 ym 可得
形式 P(D)y 0的通解则非齐次方程 P(D) y f (x) 的通解
为 y yc yp 。
第3节 一阶常系数线性微分方程
最简单形式
dy ay f (x) dx
定理 其非齐次方程的特解为
y(x) eax x eas f (s)ds 0
特殊情形 dy ay k dx
其一个特解（潜在均衡点）为
dt
为常系数的一阶线性微分方程，一特解（潜在均衡点）为
通解为
P
ab
P(t) P cegt
其中c为任意常数而g (b a)
当且仅当 g 0时P(t) P ，因 0条件即为b a
在正常商品时，供给曲线不后仰，条件满足
• 马歇尔供求函数：
PD
a
Q a
PS
b
Q b
动态调整过程：
dQ dt
•
•
待试特解
.
待试特解
f (x)
.
cax
ax
c1 sin bx c2 cos bx c0 c1x L cn xn
sin bx或者cosbx
而 那么 •即
K knL Lk
k s(k) (n )k
k (n )k s(k)
潜在均衡（稳态）处
k 0
稳态人均消费
c* (k*) (n )k* k *为 s 的函数，有
k* k* (s) dk* / ds 0
则
c*(s) (k*(s)) (n )k*(s)
Dn y a1Dn1 y L an1Dy an y f (x) 也可写作
P(D) y f (x)
线性算子性质： （i） P(D)( y1 y2 ) P(D) y1 P(D) y2
（ii）P(D)(cy) cP(D) y
• 定理
令 y p为线性微分方程P(D) y f (x) 的特解而 yc 为相应齐次
第九章 连续时间：微分方程
第1节 定义
• 微分方程就是涉及导数的方程 dy x 5 dx
d2y dx2
3x
dy dx
2
y
0
2z x2
2z y 2
x2
y
• 偏微分方程，常微分方程
• n 阶线性常微分方程
dny dy n
a1
d n1 y dy n 1
L
an1
dy dy
an
y
f (x)
• 常系数微分方程 齐次形式
需求函数：PD PD (Q)
供给函数：PS PS (Q) 动态假设：数量会随着购买者愿意支付的价格与供给者愿 意接受价格之间的差异变化而变化
• 瓦尔拉斯均衡
• 马歇尔
• 瓦尔拉斯线性模型：
QD aP
QD bP
动态调整过程
dP dt
(QD
QS
)
0
代入可得
dP (a b)P ( )
1 dz 6z 7 2 dx
其解为
z
c1e12 x
7 6
原方程的解为
y
c1e12 x
7 6
1/ 2
第4节 利用一阶微分方程进行动态 经济分析
• 在供求模型背后的动态变化 瓦尔拉斯供求模型
需求函数： QD QD (P) 供给函数： QS QS (P)
动态假设：价格随着剩余需求的变化而变化 马歇尔供求模型
求最大化稳态消费水平的储蓄水平
• 稳态
dc* dc* dk* ((k*) (n )) dk*
ds dk* ds
ds
令其等于零，可得
(k*) (n )
资本积累的黄金律水平
第5节 二阶线性常系数微分方程
d2y dx2
p
dy dx
qy
f
(x)
• 齐次方程的通解
定理
令y1, y2为如下齐次方程的特解
ym dy ay1m c dx
令
z y1m
从而
dz dz dy (1 m) ym dy
dx dy dx
dx
则微分方程可写为
•例
1 dz az c 1 m dx
同除 y3
dy 6 y 7 y3 dx
y3 dy 6 y2 7 dx
令 z y，2 从而 dz / dx 2 y3dy / dx ，则
P(D)
y
d2y dx2
p
dy dx
qy
0
其中 y1 不是 y2的常数倍，则该方程的通解为 y c1 y1 c2 y2，
其中c1, c2 为任意常数
• 定义
• 辅助方程: m2 pm q 0
• 情形1：不等实根 定理
辅助方程根为不等实根m1和 m2，则该齐次方程的通解为 y c1em1x c2em2x
• 情形2：相等实根 辅助方程有相等实根m1 m2 r，则该齐次方程的通解为
y (c1 c2 x)erx
• 情形3：共轭复根 辅助方程根为共轭复根m1 a bi 和 m2 a bi ，齐次方程 的通解为
y eax (c1 cos bx c2 sin bx)
• 非齐次方程的特解 待定系数法实质上是根据函数对特解进行有依据的猜测。
• 定理
n 阶线性常微分方程（线性或者非线性）的通解是 x的函
数 y ，其中刚好有个任意常数。
y y(x; c1,K , cn，) 其中 c1,K , cn 为任意常数
• 初始条件与特解
第2节 线性微分方程
求导数学算子D
线性算子 P(D) Dn a1Dn1 L an1D an
• 则一般 n 阶线性常微分方程可写作
PD
PS
代入可得
0
dQ dt
1 b
1 a
Q
b
a
一特解（潜在均衡点）：
通解为
Q a b
ab
Q(t) Q ceht
其中c 为任意常数而
h
1 b
1 a
当且仅当h 0 时Q(t) Q ，因 0 ，条件也即
11 ba
在通常情况下这一条件也满足
• 但在吉芬物品与正斜率供给曲线，或者后仰供给曲线与正 常物品相联系时，两动态假设冲突，一方认为价格和数量 时间路径稳定，而另一方认为其不稳定。