微积分第九章微分方程
《经济数学微积分》微分方程
ln y kx C1 (C1为任意常数） y ekxC1 即 y ekx eC1
令 C eC1 ,得 y Cekx
例 3 衰变问题: 铀的衰变速度与未衰变原子含
量 M 成正比,已知 M t0 M 0,求衰变过程中铀含
量 M (t )随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 dM , 由题设条件
其中比例常数k=a-b，a为自然出生率，b 为自然死亡率.
3、商品的价格调整模型 设某商品在时刻t的售价为P,需求函数
和供给函数分别为
D(P) a bP 与 S(P) c dP
其中a、b、c、d均为正常数，那么在时刻t 的售价P(t)对于时间t的变化率与该商品在同 一时刻的超额需求量D(P)-S(P)成正比，则有
d2 x dt 2
k 2C1
cos kt
k 2C2
sin kt,
将
d2 x dt 2
和x的表达式代入原方程
,
得
k 2 (C1 cos kt C2 sin kt )
k 2 (C1 cos kt C2 sin kt ) 0
故 x C1 coskt C2 sin kt 是原方程的解.
dx
x A,
2.解法 作变量代换
u y, x
即 y xu,
dy u x du ,
dx 代入原式,得
u
dx x
du
(u),
dx
du (u) u
= dx x
可分离变量的方程
例4 求解微分方程 ( x 3 y 3 )dx 3 xy 2dy
解
dy dx
x3 y3 3 xy2
y x
3
1
3
y x
2
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
微积分中的微分方程和积分方程
微分方程和积分方程是微积分中重要的两个分支，它们在多个科学领域中具有广泛应用的价值。
微分方程是描述函数变化率的方程，而积分方程是描述函数与其积分之间的关系的方程。
它们之间有密切的联系和互相补充的作用。
微分方程是以未知函数及其导数之间的关系为基础的方程，它描述了函数的变化率。
微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程仅涉及一个自变量，而偏微分方程涉及多个自变量。
微分方程不仅仅是数学中的一种工具，更是自然科学和工程领域中描述物理现象的重要工具之一。
微分方程的解是解析计算和数值计算的基础，也是理解和研究动力学系统的关键。
例如，牛顿第二定律中的运动方程、电路中的电流变化、生物中的生长模型等，都可以通过微分方程来描述和求解。
微分方程的解法有很多种，常见的方法有分离变量法、常系数齐次方程法、特殊形式微分方程法等。
积分方程是将函数与积分联系起来的方程，它描述了函数与其积分之间的关系。
在微积分中，我们常常使用积分方程来求解一些复杂的问题，尤其是在求解微分方程的时候。
通过对微分方程进行积分，可以得到积分方程，从而得到解析解或数值解。
积分方程在工程技术中的应用非常广泛。
例如，电动力学中的库仑定律、弹簧振子的运动规律、化学反应的速率等，都可以通过积分方程来描述和求解。
积分方程的求解方法有很多种，常见的方法有变量代换法、逐次积分法、分部积分法等。
微分方程和积分方程在科学研究中具有重要的地位，无论是在数学领域还是在物理、化学、生物等科学领域中，它们都有着广泛的应用。
通过对微分方程和积分方程的研究，我们可以更深入地理解和解释各种自然现象和工程问题。
总之，微分方程和积分方程是微积分中的重要内容，它们对于理解和解决各类科学问题起着关键作用。
微分方程和积分方程之间相互依存、相辅相成，互为理论基础和应用工具。
不管在理论研究还是实际应用中，微分方程和积分方程都具有不可替代的地位。
通过深入学习和研究微分方程和积分方程，我们将能够更好地掌握微积分的核心思想和方法，提高数学分析和问题求解的能力。
微分方程的基本概念
第九章 微分方程对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. -------傅里叶微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.第一节 微分方程的基本概念一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.在物理学、力学、经济管理科学等领域我们可以看到许多表述自然定律和运行机理的微分方程的例子.分布图示★ 引 言★ 微分方程的概念★ 例1★ 例2★ 微分方程解的概念★ 例3★ 例4 ★ 内容小结★ 习题9—1内容要点一、微分方程的概念我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是：,0),,,,()(='''n y y y y x F (1.5)其中x 为自变量，)(x y y =是未知函数.如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程).,,,,()1()(-'=n n y y y x f y (1.6)以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数f 在所讨论的范围内连续.如果方程(1.6)可表为如下形式：)()()()(1)1(1)(x g y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- (1.7)则称方程(1.7)为n 阶线性微分方程. 其中),(1x a ),(2x a , )(x a n 和)(x g 均为自变量x 的已知函数.不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程.在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，有,0))(,)(),(),(,()(='''x x x x x F n ϕϕϕϕ则称函数)(x y ϕ=为微分方程(1.5)在区间I 上的解.二、微分方程的解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）.注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件. 例如，条件(1.2)和(1.4)分别是微分方程(1.1)和(1.3)的初始条件.带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.例题选讲微分方程的概念例1（E01）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则可建立起函数)(t T 满足的微分方程)20(--=T k dt dT(1)其中k )0(>k 为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.根据题意，)(t T T =还需满足条件.100|0==t T (2)例2（E02）设一质量为m 的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度α成正比，即αm F =，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是0=t ，物体下落的距离x 与时间t 的函数关系为)(t x x =，则可建立起函数)(t x 满足的微分方程g dt xd =22其中g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.根据题意，)(t x x =还需满足条件.0,0)0(0===t dt dxx微分方程的解 例3（E03）验证函数kt C kt C x sin cos 21+=是微分方程)0(0222≠=+k x k dt xd的通解, 并求该微分方程满足初值条件0|,|00====t t dt dxA x 的特解. 解 求出题设函数的一阶及二阶导数:)1(,cos sin 21kt k C kt k C dtdx+-=).sin cos (11222kt k C kt k C k dt xd +-= 把它们代入题设微分方程, 得0)sin cos ()sin cos (212212≡+++-kt C kt C k kt C kt C k因此题设函数是微分方程的解. 又题设函数含有两个相互独立的任意常数, 而题设微分方程是二阶微分方程, 所以题设函数是微分方程的通解.将初值条件A x t ==0|代入通解kt C kt C x sin cos 21+=中得, 得;1A C = 将初值条件0|0==t dt dx代入（1）, 得,02=C于是, 所求的特解为.cos kt A x =例4 验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程0sin 2cot =--x x x y dx dy的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得dxdy,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dx dy代入方程左边得x x x y dxdysin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，得C +=402π.42π-=C从而所求特解为.s i n 422x x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π.。
微积分教学课件第9章微分方程
解: 方程变 dy2 形 y为 y2,令 u y , 则有
dx x x
x
uxu2uu2
分离变量 u2duudxx
即 1 1dudx
u1 u
x
积分得 lnu1lnxlnC, 即 x(u1) C
u
u
代回原变量得通解 x(yx)C y(C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
Yy
1 (Xx) y
y
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
Xxyy
x yy x, 即 yy2x0 Q o
P xx
微积分
微积分
第9章 微分方程
9.1 基本概念 9.2 一阶方程求解 9.3 可隆阶高阶方程举例
微积分
9.1 微分方程的基本概念
几何问题 引例
物理问题
微分方程的基本概念
微积分
引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dx x
解法: 令 u y , 则yux, dy uxdu ,
x
dx
dx
代入原方程得 uxdu (u)
dx
分离变量:
du dx
(u)u x
两边积分, 得
du
(u)u
dxx
积分后再用 y 代替 u, 便得原方程的通解. x
微积分中的微分方程
微分方程是微积分的一个重要应用领域，研究的是含有未知函数的导数或微分的方程。
微分方程在物理学、经济学、生物学以及工程学等领域中都有广泛的应用，在求解实际问题中起着重要的作用。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只含有一个自变量的方程，而偏微分方程是含有多个自变量的方程。
本文将主要讨论常微分方程中的微分方程。
微分方程的基本形式为：$$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$这个方程可以理解为函数y对自变量x的变化率就是f(x,y)。
微分方程的求解过程可以分为两个步骤：1）求解齐次方程；2）求解非齐次方程。
对于齐次微分方程$$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$$通过变量代换，令y = vx，可以将齐次方程转化为可分离变量方程$$v\frac{dv}{dx}+v=f(v)$$其中，在得到v的解后，将v代入y = vx，可以得到原齐次微分方程的解。
对于非齐次微分方程，又可以分为两种情况。
1）线性微分方程$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，p(x)和q(x)都是已知函数。
线性微分方程可以通过常数变易法进行求解。
先求解对应的齐次方程，然后再求解非齐次方程。
根据线性微分方程的齐次方程可以得到一组线性无关的解，将其线性组合并加上非齐次方程的一个特解，就可以得到原方程的通解。
2）可化为线性微分方程的方程$$\frac{dy}{dx} = p(x)y^2+q(x)y+r(x)$$这类方程可以通过变量代换将其化为线性微分方程进行求解。
微分方程的求解方法还有很多种，比如分离变量法、恒等变换法、参数法等等，每种方法都有其适用的问题类型。
除了求解微分方程的方法，微分方程还有一些重要的概念和定理。
比如初值问题，就是给定了一个初值条件，要求求解满足初值条件的微分方程的解。
而皮卡-林德勒夫定理则保证了微分方程在一定条件下具有唯一解的存在性。
数值分析25_第九章常微分方程数值法9。19。2欧拉法
所以隐式Euler方法也是一种一阶方法，该方法的局部截断误差的主项 h2 为 yxn ，仅与显式Euler方法的局部截断误差的主项反一个符号。 2 梯形方法也是一种隐式单步法，类似可得其局部截断误差
h Rn,h y xn 1 y xn f xn，y xn f xn 1，y xn 1 2
n 1
。
对于隐式公式，通常采用预估-校正技术，即先用显式公式计算，得到
预估值，然后以预估值作为隐式公式的迭代初值，用隐式公式迭代一次得 到 校正值，称为预估-校正技术。例如，用显式Euler公式作预估，用梯形公式 作校正，即
0
yn 1 yn hf xn，yn ，
h 0 yn 1 yn f xn，yn f xn 1，yn 1 ，n 0，。 1， 2
从
x0 处的初值 y0 开始，按（2）可逐步计算以后各点上的值。称 （2）式为显式Euler。由于（3）式的右端隐含有待求函数值 yn 1 ，
不能逐步显式计算，称（3 ）式为隐式Euler公式或后退Euler公式。如果
将（2）和（3）两式作算术平均，就得梯形公式。
华长生制作 8
yn 1 yn
解 本题有 并代入h=0.1得
f ( x，y) x y 1，y0 1。如果用Euler方法，由（2）
yn1 yn hf ( xn , yn ) yn 0.1( xn yn 1) 0.1xn 0.9 yn 0.1
同理，用隐式Euler方法有 yn 1 yn hf xn 1 , yn 1 yn 0.1 xn 1 yn 1 1 yn 0.1xn 1 0.1yn 1 0.1
微积分9章2线性微分方程
= ce ∫
1 dx x
= ce ln x = cx
dy = 2y dx dy = 2y 【解 】 dx
(5)
⇒
dy − 2y = 0 dx
[ p( x ) = −2 ]
y = ce
− ( −2 ) dx
∫
= ce
2 dx
∫
= ce 2 x
5 16
( 6)
dy = y cos x dx dy = y cos x ⇒ dy − (cos x ) y = 0 dx dx
[ p( x ) = 1 ]
y = ce
= ce − x
( 2) y ′ = y
【解 】 y ′ = y ⇒ y ′ − y = 0
[ p( x ) = −1 ]
y = ce
− ( −1) dx
∫
∫ dx = ce x = ce
[ p( x ) = x ]
− x2
4 16
1 2
( 3) y′ + xy = 0
= ( x + 1) ( x + 1) 2 + c 2 1 = ( x + 1) 4 + c ( x + 1) 2 2
注意
求解一阶线性微分方程， (1) 求解一阶线性微分方程，直接使用通解公式即
可。不必像教材中使用常数变易法，因为计算量太大。 不必像教材中使用常数变易法，因为计算量太大。
14 16
dx 1 + x = y2 或 dy y 这就是说， 当作未知函数， 这就是说，如果把 x 当作未知函数，那么所给出的方程是
一阶线性微分方程。 一阶线性微分方程。 【解】根据一阶线性微分方程的通解公式
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第九章 微分方程一、教学目标及基本要求（1） 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。
（2） 掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。
（3） 会用降阶法解下列方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f yn '='''=''=。
（4） 理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。
（5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
（6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
（7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。
二、本章教学内容的重点和难点1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念；2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法；3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法；4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。
三、本章教学内容的深化和拓宽：1、分离变量法的理论根据；2、常用的变量代换；3、怎样列微分方程解应用题；4、黎卡提方程；5、全微分方程的推广；6、二阶齐次方程；7、高阶微分方程的补充；8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。
本章的思考题和习题 解下列方程（第1-6题）1、2)0(,)1(==+'+y x y y x2、()[]f dx x f ee xf xxx,)(02⎰+=可微 3、21222sin 22sin 1X e y x y y x ++='∙+4、0)3(24=+-xydx dy x y5、21)0(,1)0(,022-='=='+''y y y x y6、2y y y x y '-'+'=7、已知可微函数)(x f 满足⎰-=+x x f f x f xx f dxx f 12)()1(,1)()()(和求； 8、已知)(,,1)(21)(10x f f x f da ax f 求可微+=⎰；9、求与曲线族C y x =+2232相交成45角的曲线；10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？§9.1 微分方程的基本概念一、内容要点：先从实例引入建立几个微分方程的模型，引入微分方程的一系列概念；常微分方程：常微分方程的阶数、解、通解、全部解、特解、积分曲线族的定义； 二、教学要求和注意点了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以及积分曲线说明1：一个微分方程加上初始条件和初值问题的解是对某实际问题两种等价的描述形式。
前者强调的是运动的过程，是系统的机理；后者强调的则是运动的结果，是系统的输出。
说明2：可分离变量的微分方程虽然简单，但它是求解各种微分方程的基础，要求学生必须熟练掌握。
定义1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种最高阶导数的阶数为方程的阶数。
如： 12=+'+''xy y y 二阶方程；02=+'xy y 一阶方程；x y ='''三阶方程，等等 讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程好解。
解之，x y ='''，方程两边三次积分，得方程的解3221421241C x C x C x y +++=（321,,C C C 为任意常数）。
当4241x y =时，也满足方程。
可见 3221421241C x C x C x y +++=包括了所有的解的形式。
则称它为通解。
定义2：称满足微分方程的函数为方程的解。
若方程的解种含有相互独立的任意常数，常数的个数恰好等于方程的阶数，则称此解为方程的通解；称不含任意常数的解为方程的特解。
注1:通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解注2：一阶方程的几种形式：一般形式：0),,(='y y x F ，从这个方程种有可能解出y '，也有可能解不出来；一阶显式方程：),(y x f y ='；对称形式：),(),(y x Q y x P dx dy =或0=+Qdy Pdx注3：在一阶方程种，x 和y 的关系是等价的.因此，有时可将x 看成函数，y 看做变量。
§9.2 可分离变量的微分方程一、内容要点：可分离变量的方程及其他可化为变量可分离的方程的定义及解法。
本单元的讲课提纲：然后再讲具体的类型与解法—可分离变量的方程与分离变量法。
重点是微分方程的阶、通解与特解等概念，分离变量法。
难点是利用微分方程建立数学模型关键是判别可分离变量方程的方法，以及具体积分方法。
二、教学要求和注意点掌握可分离变量微分方程的解法注意问题：⎰dx x )(φ通常只表示一个原函数，积分常数C 有时写成C C ln ,ln定义1：称能改写为形式：dx x g dy y f )()(=的一阶方程为可分离变量方程。
注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况。
定理1：若)()(y f y F ='，)()(x g x G =，则dx x g dy y f )()(=的通解为C x G y F +=)()( 证： （1）先证C x G y F +=)()(是方程的解。
两边对x 求导，得)()(x g dxdyy f =，即dx x g dy y f )()(= 故C x G y F +=)()(是方程的解（2）设)(x y ϕ=是方程的任一解，则dx x g dx x x f )()()]([='ϕϕ 两边关于x 积分，得⎰⎰='dx x g dx x x f )()()]([ϕϕ又 )(x F 是)(x f 的一个原函数，)(x G 是)(x g 的一个原函数 则C x G x F +=)()]([ϕ，即)(x y ϕ=在C x G y F +=)()(中 所以， C x G y F +=)()(为dx x g dy y f )()(=的通解。
注1:可分离变量方程的解法：先分离变量，再两边积分，即得通解。
注2：用来确定通解中的任意常数的条件，称为方程的初始条件。
【例1】 求0sin cos cos sin =-ydy x ydx x 的通解，并求满足初始条件4)0(π=y 的特解。
解：方程可变为dy yydx x x cos sin cos sin =，两边积分，得C y x ln cos ln cos ln --=- 即 x C y c o s c o s =为方程的通解。
又4)0(π=y ，代入，得 0cos 4cosC =π22=∴C 即满足初始条件的特解为 x y cos 22cos = 【例2】 求yx ey +='的通解。
解：由y x yx e e ey =='+，分离变量，得dx e edyx y =，两边积分，得 c e e x y +=--，即为方程的隐式通解。
二、可化为齐次方程的方程经⎩⎨⎧+=+=k Y y h X x 变换将行如111c y b x a cby ax dx dy ++++=方程化为齐次方程。
【例3】 求11++--=y x y x dx dy 的通解。
解：令⎩⎨⎧+=+=k Y y h X x ，则)1()1(++++--+-=k h Y X k h Y X dX dY 令⎩⎨⎧=++=--0101k h k h ⎩⎨⎧-==⇒10k h 即 ⎩⎨⎧-==1Y y Xx 方程变为：Y X Y X dX dY +-=，令XYu = 代入，得 X dX du u u u -=--+2211，积分，得 2221CX u u =--，由 XY u =代回，得 通解为： 221121Cx x y x y =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- （其中C 为任意常数）§9.3 齐次方程内容要点：齐次方程的定义及求解公式，可化为齐次方程的定义以及解法 本单元的讲课提纲齐次方程的判别和解法不算困难，难在寻找相应的变量代换的问题，变量代换法比较灵活，可多举一些各类型的例题，让学生多见识一些变量代换，以便学生活跃思路，积累经验。
重点是齐次方程与变量代换法，难点是寻找变量代换。
作业：同步训练习题 一、齐次方程定义1：称能改写成形式：⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 的微分方程为一阶齐次方程。
我们下面来看看齐次方程解的情形： 令xyu =，即ux y =，代入方程，得 )(u f dxduxu =+，分离变量，得x dx u f u du =-)(两边积分，解出u ，再将xyu =回代，即得通解。
【例1】 求 0)(22=-++xdy dx y x y 的通解。
解：原方程可化为21⎪⎭⎫⎝⎛++=x y x y dx dy ，令x y u =，即ux y =，代入方程，得 21u u dxduxu ++=+，化简 xdx u du -=+21 积分，得 x c u u =++21，将xyu =回代，得通解为c y x y =++22 二、可化为齐次方程的方程 经⎩⎨⎧+=+=k Y y h X x 变换将行如111c y b x a cby ax dx dy ++++=方程化为齐次方程。
【例4】 求11++--=y x y x dx dy 的通解。
解：令⎩⎨⎧+=+=k Y y h X x ，则)1()1(++++--+-=k h Y X k h Y X dX dY 令⎩⎨⎧=++=--0101k h k h ⎩⎨⎧-==⇒10k h 即 ⎩⎨⎧-==1Y y Xx 方程变为：Y X Y X dX dY +-=，令XYu = 代入，得 X dX du u u u -=--+2211，积分，得 2221CX u u =--，由 XY u =代回，得 通解为： 221121Cx x y x y =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- （其中C 为任意常数）§9.4 一阶线性微分方程一、内容要点：一阶线性微分方程的形式及求解公式，伯努利方程的形式及解法 本单元的讲课提纲（1）讲线性非齐次的一阶方程的解法时，要交待变易常数的想法并加强练习，这对今后讲二阶线性方程和线性方程组的常数变易法是有益的。
（2）导出线性非齐次一阶方程的求通解公式以后，可顺利导出满足条件00)(y x y =的特解公式，还应指出两点：第一，当C x Q x P ∈),(),(时，线性方程的解总可通过两次积分求得，第二，揭示通解结构。