数列通项及数列求和1

数列通项及数列求和类型1 )(1n f a a n n +=+ ，利用累加法(逐差相加法)求解。

例 在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。

解：∵111n a ==时，21324312123.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=⎫⎪-=⎪⎪-=⎬⎪⎪-=-⎪⎭时,这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222n n n a -+= (n N *∈).例 在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *∈),求n a 。

解：n=1时, 1a =121232343112222.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=⎫⎪-=⎪⎪-=⎬⎪⎪⎪-=⎭时,以上n-1个等式累加得21122...2n n a a --=+++=12(12)12n ---=22n-，故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满足该式 ∴21n n a =- (n N *∈)。

变式一 :已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

变式二已知数列{}n a 满足11a =，nn a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =________变式三 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．变式四：在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式.类型2 n n a n f a )(1=+ 利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。

解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-∙+⨯-⨯∙⋅⋅⋅∙+---∙+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=--- 。

变式 在数列{}n a 中, n a >0,221112,(1)n n n n a na n a a a ++==++,求n a .提示：依题意分解因式可得11[(1)]()0n n n n n a na a a +++-+=，而n a >0,所以1(1)0n n n a na ++-=，即11n n a n a n +=+。

例 已知数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和n n a n S 2=. （Ⅰ）求证：n n a n na 21+=+; （Ⅱ）记n n S b ln =，n T 为{}n b 的前n 项和，求n enT --的值.解：（1）由n n a n S 2=①，得121)1(+++=n n a n S ②，②-①得：n n a n na 21+=+.（2）由n n a n na 21+=+求得)1(1+=n n a n .∴12+==n na n S n n ，)1ln(ln ln +-==n n Sb n n (ln1ln 2)(ln 2ln3)(ln3ln 4)(ln ln(1))ln(1)n T n n n =-+-+-++-+=-+∴1)1ln(=-=-+-n e n e n T n .类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）解（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .分析 构造新数列{}n a p +，其中p 为常数，使之成为公比是n a 的系数2的等比数列。

变式:已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式；类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q，得：q q a q p qa n n n n 111+∙=++引入辅助数列{}n b （其中nnn qa b =），得：qb q p b n n 11+=+再待定系数法解决。

例 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⋅，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解： 1232n n n a a +=+⋅两边除以12n +得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-= 故数列{}2nna 是以112122a ==为首，以32为公差的等差数列 由等差数列的通项公式，得：31(1)22n n a n =+-， 所以数列{}n a 的通项公式为：31()222nn a n =-。

其他类型例 数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。

由025312=+-++n n n a a a ，得)(32112n n n n a a a a -=-+++，且a b a a -=-12。

则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，32为公比的等比数列，于是11)32)((-+-=-n n n a b a a 。

把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入，得a b a a -=-12，)32()(23⋅-=-a b a a ，234)32()(⋅-=-a b a a ，∙∙∙21)32)((---=-n n n a b a a 。

把以上各式相加，得])32()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(321)32(11a b n ---=-。

a b b a a a b a n n n 23)32)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。

变式:已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ （I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式； 例：已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

解：取倒数：11113131---+=+⋅=n n n n a a a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n a 1是等差数列，3)1(111⋅-+=n a a n 3)1(1⋅-+=n 231-=⇒n a n变式:已知数列{n a }满足132a =，且11321n n n na a a n --=+-（2n ≥n N *∈）()I 求数列{n a }的通项公式。

解：把原式变形成112(1)3n n n n a a n a na --+-= 两边同除以1n n a a +得 即111233n n n n a a --=+ …… ⑴构造新数列{}nna λ+，使其成为公比q= 13的等比数列 即111()3n n n n a a λλ--+=+整理得：11233n n n n a a λ--=- 满足⑴式使2233λ-= ∴1λ=-∴数列{1}n n a -是首项为11113a -=-，q= 13的等比数列∴11111()()333n nn n a --=-=- ∴331n n nn a ⋅=-。

例 求数列的前n 项和： ,231,,71,41,1112-++++-n a a a n 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n当1=a 时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

通项分解（裂项）如：111)1(1+-=+n n n n1111()()n n k k n n k=-++； 例、求和：()11321211+++⨯+⨯n n分析：由()()()1111+-+=+=n n n n n n a n =()()111+-++n n n n n n =111+-n n 解：原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111113121211n n n n=111+-n =1+n n例 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和。

练习1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+1111...243546(1)(3)n n ++++∙∙∙++=_________ 例 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 例．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，101=a ，1091+=+n n S a . ⑴求证：}{lg n a 是等差数列.⑵设n T 是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+))(lg (lg 31n n a a 的前n 项和，求使)5(412m m T n-> 对所有的*∈N n 都成立的最大正整数m 的值例 已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145.(1)求数列{b n }的通项b n ；(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论.例、已知二次函数)0()(2≠+=a bx ax x f ，其导函数为26)('-=x x f ，数列}{n a 的前n 项和为n S ，点),(n S n (n ∈N *) 均在函数)(x f y =的图像上．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求使得20mT n <对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ；解：（Ⅰ）∴)(56*N n n a n ∈-=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得)161561(21]5)1(6)[56(331+--=-+-==+n n n n a a b n n n ， ∴)1611(21)]161561()13171()711[(211+-=+--++-+-==∑=n n n b T ni i n ， ∴要使)(20)1611(21*N n m n ∈<+-恒成立，只要20)]1611(21[max mn <+-， 又∵21)1611(21<+-n ，∴只要2021m ≤，即10≥m ，∴m 的最小整数为10例．（湖北卷）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数y ＝3x －2的图像上。