2 建筑结构及受力分析平面力系

2.1.3 平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例 2. 8】 托架 ABC 如图 2. 16a 所示，杆 AC 中点受集中力 F ＝ 60 kN 作用。 如不计杆自重，试求杆 BC 和铰 A 所受的力。
2.2 力矩和力偶
2.2.1 力矩
1. 力对点之矩
一个力对某点 O 的力矩等于该力的大小与 O 点到力作用线垂直距离的乘积。 以符号MO(F)表示，即： MO(F) ＝ ± Fd 式中 O 点称为力矩中心，简称矩心；d 称为臂(力和力臂是使物体发生转动的两个必不可少的因素)；其正 负号用以区别力使物体绕矩心转动的方向；通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之 力矩为负。 力矩的单位决定于力和力臂的单位，在国际单位制中通常用 N· m 或 kN· m，有时工程中还采用工程单位 制 kgf· m。 在给定的平面内，力矩由两个因素决定：一是它的大小，二是它的转向。
2 平面力系
建筑结构及受力分析
2.1 平面汇交力系 2.2 力矩和力偶
2.3 平面一般力系 2.4 平面平行力系的平衡方程
目
录
2.1 平面汇交力系
2.1.1 力的合成与分解
1. 合力与分力的概念
作用于刚体上的力系，如果可以用一个力 R 代替而不改变原力系对刚体的作用效果，则这个力 R 称为原 力系的合力，而原力系的各力就是合力 R 的分力。
2.2.2 力偶
【例 2. 12】 如图所示结构，荷载 F1 ＝ F2 ＝ 20 kN，试求 A、B 两支座的约束反力(不计杆自重)。
2.2.2 力偶
【例 2. 13】求图 2. 23a 所示梁的支座反力。
2.3 平面一般力系
2.3.1 力的平移定理
力的平移定理：作用在刚体上的力，可以平行移动到刚体上的任意一点，但必须同时附加一个力偶，其 力偶矩等于原力对新作用点的矩。
2.2.2 力偶
1. 力偶的概念
(1) 力偶的定义 在力学中，把这种大小相等、方向相反、作用线互相平行但不共线的二力组成的力系，称为力偶，写成 (F，F′)。 力偶两力之间的垂直距离 d 称为力偶臂。 (2) 力偶矩 力偶矩是用来度量力偶对物体转动效果的大小。 它等于力偶中的任一个力与力偶臂的乘积。 以符号 M(F， F′)表示，或简写为 M，即 M ＝ ± Fd 力偶矩的单位与力矩的单位相同。 在国际单位制中通常用 N· m 或 kN· m，在工程单位制中通常用 kgf· m。 力偶对物体的转动效果取决于力偶的三要素，即力偶矩的大小、力偶的转向以及力偶的作用平面。
2.3.1 力的平移定理
【例 2. 14】 如图 2. 25a 所示，柱子上作用有一集中力 F ＝ 20 kN，它的作用线偏离柱子轴线的距离 e ＝ 3 cm，试将力 F 平移到柱子轴线 O 点上。
2.3.2 平面一般力系的平衡条件
平面一般力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和主矩都等于零。 即
平面平行力系平衡的必要和充分条件是：力系中所有各力在与力作用线平行的轴上投影的代数和为零； 力系中所有各力对任一矩心力矩的代数和为零。
2.4 平面平行力系的平衡方程
【例 2. 18】 已知外伸梁承受荷载如图 2. 30a 所示。 均布荷载 q ＝ 10 kN / m，集中荷载F ＝ 20 kN，力偶 MC ＝ 10 kN· m。 试求支座 A、B 的约束反力。
2.3.2 平面一般力系的平衡条件
【例 2. 16】 求图 2. 27a 所示悬臂梁支座 A 的约束反力。
2.3.2 平面一般力系的平衡条件
【例 2. 17】 求图 2. 28a 所示外伸梁支座上 A、B 的约束反力。
2.4 平面平行力系的平衡方程
2.4 平面平行力系的平衡方程
在平面力系中，如果各力的作用线互相平行，这种力系称为平面平行力系。 平面平行力系的平衡方程只 有两个：
2.2.2 力偶
(3) 力偶的特性 ① 力偶中的两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。 ② 力偶不能与力等效，只能与另一个力偶等效。 同一平面内的两个力偶等 效的条件是力偶矩的大小相等和转动方向相同。 ③ 力偶不能用力平衡，而只能用力偶去平衡。 ④ 力偶可以在它的作用平面内任意移动和转动，而不会改变它对物体的作用。
2.1.2 平面汇交力系与平衡的几何法
【例 2. 2】 试求图 2.7 中水平力 F 和垂直力 N 的合力，F ＝ 6 kN，N ＝ 12 kN。
2.1.2 平面汇交力系与平衡的几何法
(2) 平面多个汇交力的合成 在求两个以上力的合力时，可将力的三角形法则推广为力的多边形法则。
2.1.2 平面汇交力系与平衡的几何法
2. 力的分解
作用在刚体上的两个汇交力可以合成一个合力。 反之，作用在刚体上的一个力也可以分解为两个分力。
2.1.1 力的合成与分解
最常用的分解方法是将已知力沿正交的水平方向和铅垂方向分解。按照三角公式可得下列关系： F1 ＝ Fcosα F2 ＝ Fsinα 式中 α 为力 F 与 x 方向的夹角。
上式表明，平面一般力系处于平衡的必要和充分条件是：力系中所有各力分别在 x 轴和y 轴上投影的代 数和等于零，力系中各力对任意一点力矩的代数和等于零。
2.3.2 平面一般力系的平衡条件
【例 2. 15】 图 2. 26a 所示一简支梁，在 C 点和 D 点上分别作用有集中力 F。 试求 A、B两支座的约束反 力。
2.1.1 力的合成与分解
【例 2. 1】 物体重力 G ＝ 30 kN，放在与水平面成 30°角的斜面上，试求物体的下滑力及其对斜面的压 力。
2.1.2 平面汇交力系与平衡的几何法
1. 平面汇交力系合成的几何法
(1) 平面两个汇交力的合成 设在刚体 A 点上作用有两汇交力 F1和 F2，力 F1水平向右，F2与水平方向成 β角且朝向右上方。 试求它们 的合力。
【例 2. 3】 已知 O 点作用有 5 个力，F1 ＝40 kN，F2 ＝20 kN，F3 ＝ 60 kN，F4 ＝50 kN，F5＝30 kN，方 向如图 2. 9a 所示，试用几何法求平面汇交力系的合力 R。
2.1.2 平面汇交力系与平衡的几何法
2. 平面汇交力系平衡的几何条件
物体是沿着合力的指向作机械运动，要使物体保持平衡(处于静止或作等速直线运动)，则必须合力等于零。 平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是：力多边形自行封闭。
2.1.3 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2. 平面汇交力系平衡的解析条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零。 在解析法中，合力为
欲使 R ＝ 0，则必须：
上式表明平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在两坐标轴上投影的代数和等于零。
2.1.3 平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例 2. 7】 用解析法求解例 2. 4。
2.1.2 平面汇交力系与平衡的几何法
【例 2. 5】 如图 2. 12a 所示一水平梁 AB，在梁中点 C 作用着倾斜力 F ＝ 20 kN，不计梁自重。 试用几 何法求支座 A 和 B 的反力。
2.1.3 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1. 力在坐标轴上的投影
力在坐标轴上的投影是一个代数量，它有正负号规定：凡投影的指向 与坐标轴的正方向一致时，投影值为正号，反之则为负号。 投影 Fx 和 Fy 的数值可按三角函数公式求得
利用几何平衡条件，可以解决两类问题： ① 检验刚体在平面汇交力系作用下是否平衡。 ② 当刚体处于平衡时，利用平衡条件求解力系中任意两个未知力。
2.1.2 平面汇交力系与平衡的几何法
【例 2. 4】 杆 AC 和杆 BC 铰接于 C，两杆的另一端分别支承在墙上。 在 C 点悬挂重物G ＝ 60 kN，如图 2.11a 所示。 如不计杆重，试用几何法求两杆所受的力。
2.2.2 力偶
2. 平面力偶系的合成与平衡条件
(1) 平面力偶系的合成 作用在物体上同一平面内两个以上的力偶，称为平面力偶系。平面力偶系合成的结果就是合力偶。 合力 偶矩等于平面力偶系中各力偶矩的代数和。 即
(2) 平面力偶系的平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和为零。 上的投影 Fx和 Fy，则力 F 的大小和它 与 x 轴的夹角 α，可根据勾股定理和三角关系求得：
力 F 的指向需根据 Fx和 Fy的正负号确定。
2.1.3 平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例 2. 6】 已知力 F1 ＝ 30 kN，F2 ＝ 20 kN，F3 ＝ 50 kN，F4 ＝ 60 kN，F5 ＝ 30 kN，各力方向如图所示， 求各力在 x 轴和 y 轴上的投影。
2.2.1 力矩
【例 2. 11】 矩形板 ABCD，AB ＝ 100 mm，BC ＝ 80 mm，若力 F ＝ 20 N，α ＝ 30°，试分别计算力 F 对 A、B、C、D 各点的力矩。
2.2.1 力矩
3. 力矩平衡条件
设在具有固定转动中心的物体上作用有平面力系 F1、F2、F3、…、Fn，各力对转动中心 O点的力矩分别 为 MO(F1)、MO(F2)、MO(F3)、…、MO(Fn)，则该物体处于转动平衡的必要和充分条件是：各力对转动中心 O 点之矩的代数和等于零，即合力矩等于零。 用公式表示为
2.2.1 力矩
【例 2. 9】 如图所示，试求柱 A 处的各力 F1、F2、F3、F4对柱脚 B 的力矩。
2.2.1 力矩
2. 合力矩定理
合力矩定理 ：平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对于该点力矩的代数和。
【例 2. 10】 构件尺寸如图所示，力 F ＝ 4 kN，与水平方向的夹角为 60°，作用在 D 点，试求力 F 对 A 点之矩。