两样本的非参数检验
两独立样本t检验和非参数检验的实证分析
两独立样本t检验和非参数检验的实证分析摘要：教学质量是靠具体课程完成，课程的建设是教学质量提升的重要环节和基本保证。
本文简述了概率论与数理统计重点课程建设的必要性，重点在于对课程建设前后分层随机抽样得来的样本进行实证分析。
实证分析主要从基本统计分析、参数检验、非参数检验三个大的方面进行，尤其是非参数检验方面，又具体利用了三种不同的检验法进行分析推断。
关键词：t检验；非参数检验；显著性水平；频数分析概率论与数理统计是我国高等院校理工类、经济类、管理类各专业的一门重要公共课程，同时也是一门应用广泛，适用性强的工具课。
此门课程的教学为学生的其他专业课及其将来毕业后的工作、继续深造等方面奠定必要的数学，而且对培养学生的逻辑思维能力、分析判断问题能力、统计观点、应用能力和创新能力均有着特殊而又重要的作用，是培养高素质综合型人才的重要保证。
笔者本身是东华理工大学理学院的一线教师，这两年来，同时在江西财经大学统计学院读研究生。
在此期间，笔者主持的“概率论与数理统计”重点课程建设项目小组一直在努力的探索和研究，收获了一些成果。
本文的主要目的是针对进行重点课程建设这几年来，对搜集到的学生该门课程的考试成绩从统计学的角度进行实证分析。
尤其是从参数检验和非参数统计两个重要角度进行探究，论证这几年来进行课程建设是否让学生成绩取得了明显的提高。
一、基本统计分析对数据的分析首先从基本统计分析入手。
通过基本统计分析，掌握数据的基本统计特征，同时迅速把握数据的总体分布形态。
而基本统计分析往往先从频数分析开始，由于成绩数据均为定距型数据，直接采用频数分析不利于对其分布形态的把握，因此先对数据分组后再进行频数分析。
SPSS频数分析的操作如下：选择菜单【Analyze】→【Decriptive】→【Frequencie】，结果如下：从上面的统计表中可以看出，进行重点课程建设后，平均分有了明显的提高，而且从频数分布表可以看出，第3组第4组即中高分数段百分数有了明显提升。
两配对样本非参数检验
Wilcoxon检验结果如下两表所示。
出现了一个差值等于零的个案，删除此个 案，于是样本容量从10变成了9。符号为 正的有9个，秩和为45，符号为负的有0个， 秩和为0。这样，统计量W=0，构造的 Z=-2.673，近似相伴概率值p=Pr{｜Z｜ >=-2.673}=0.008，（Z服从标准正态分 布。）因而拒绝原假设，认为训练前后学 生的成绩有显著性差异。
训练后成绩
70.00 71.00 65.00 68.00 50.00 55.00 75.00 70.00 65.00 70.00
实验步骤
图10-23 在菜单中选择“2 Related Samples”命令
图10-24 “TwoRelatedSamples Tests” 对话框
设置配对 的样本
配对样本的几种检验方法，（其 中Marginal Homogeneity检 验是McNemar检验针对多取值 有序数据的推广方法）
01
按照符号检验的方法，将 第二组样本的各个观察值 减去第一组样本对应的观 察值，如果得到差值是一 个正数，则记为正号；差 值为负数，则记为负号。 （出现差值等于０时，删 除此个案，样本数ｎ相应 地减少。）
02
保留差值数据。根据差值 数据的绝对值大小按升序 排序，并求出相应的秩。
03
分别计算符号为正号的秩 和 W+、负号秩总合 W− 以及正号平均秩、 负号平均秩。
SPSS中有以下3种两配对样本非参数检验方法。
1．两配对样本的McNemar(麦克尼马尔)变化显著性检验
1 McNemar变化显著性检验以研究对象自身为对 照，检验其两组样本变化是否显著。 原假设：样本来自的两配对总体分布无显著差异。
非参数卡方、单样本K-S、两个独立样本检验
非参数卡方检验1.理论非参数检验是在总体分布未知或知道甚少的情况下，不依赖于总体布形态，在总体分布情况不明时，用来检验不同样本是否来自同一总体的统计方法进。
由于非参数检验方法在推断过程中不涉及有关总体分布的参数，因而得名为“非参数”检验。
非参数检验优势：检验条件宽松，适应性强。
针对，非正态、方差不等的已及分布形态未知的数据均适用。
检验方法灵活，用途广泛。
运用符号检验、符号秩检验解决不能直接进行四则运算的定类和定序数据。
非参数检验的计算相对简单，易于理解。
但非参数检验方法对总体分布假定不多，缺乏针对性，且使用的是等级或符号秩，而不是实际数值，容易失去较多信息。
非参数卡方检验：用于检验样本数据的分布是否与某种特定分布情况相同。
非参数卡方检验通过三步检验：1.卡方统计量：X2=B 其中K 是样本分类的个数，0表示实际观测的频数，B 表示理论分布下的频数。
2.拟合优度检验：A.对总体分布建立假设。
B.抽样并编制频率分布表。
C.以原假设为真，导出期望频率。
D.计算统计量。
E.确定自由度，并查x2表，得到临界值。
F.比较x2值与临界值，做出判断。
3.独立性检验A.对总体分布建立假设。
B.抽样并编制r*c 列联表。
C.计算理论频数。
D.计算检验统计量。
E.确定自由度，并查x2表，得到临界值。
F.比较x2值与临界值，做出判断。
2.非参数卡方检验操作步骤第一步：将需检验的数据导入spss中并进行赋值后，点击分析非参数检验、旧对话框、卡方。
图2操作步骤第一步第二步：进入图中对话框后点击，首先将需检验的数据放入检验变量列表中，后在期望值选项中所以类别相等或者值（值：需要手动输入具体的分布情况）。
如果特殊情况需要调整检验置信区间，点击精确，进入图中下方对话框后点击蒙特卡洛法框里收到填入。
点击继续、确定。
图3操作步骤第二步第三步：如果需要看描述统计结果和四分位数值可以点击选项、勾选描述、四分位数。
点击继续、确实。
图4操作步骤第二步3.非参数卡方检验结果然后非参数卡方检验的描述统计、卡方检验频率表、检验统计结果就出来了。
两配对样本非参数检验详解演示文稿
原假设为：样本来自的两配对样本总体的 分布无显著差异。
检验步骤：
１．按照符号检验的方法，将第二组样本的 各个观察值减去第一组样本对应的观察值，如果 得到差值是一个正数，则记为正号；差值为负数， 则记为负号。（出现差值等于０时，删除此个案， 样本数ｎ相应地减少。）
McNemar变化显著性检验以研究对象自身 为对照，检验其两组样本变化是否显著。
原假设：样本来自的两配对总体分布无显 著差异。
McNemar变化显著性检验要求待检验的两 组样本的观察值是二分类数据，在实际分析中 有一定的局限性。
McNemar变化显著性检验基本方法采用二 项分布检验。它通过对两组样本前后变化的频 率，计算二项分布的概率值。
５．根据检验统计量计算相伴概率值，与 设定的显著性水平进行比较作出检验判断。
10.7.2 SPSS中实现过程
研究问题 分析10个学生接受某种方法进行训练的效
果，收集到这些学生在训练前、后的成绩，如 表10-9所示。表格的每一行表示一个学生的4 个成绩。其中第一列表示，训练前的成绩是否 合格，0表示不合格，1表示合格；第二列表示 训练后的成绩是否合格，0表示不合格，1表示 合格；第三列表示训练前学生的具体成绩；第 四列表示训练后学生的具体成绩。问训练前后 学生的成绩是否存在显著差异？
如果得到的概率值小于或等于用户的显著 性水平，则应拒绝零假设H0，认为两配对样 本来自的总体分布有显著差异；如果概率值大 于显著性水平，则不能拒绝零假设H0，认为两 配对样本来自的2
3．两配对样本的Wilcoxon符号平均秩 检验
两配对样本的符号检验考虑了总体数据变 化的性质，但没有考虑两组样本变化的程度。
两样本Wilcoxon秩和检验
• 检验概述 • 检验原理 • 检验步骤 • 结果解读 • 注意事项
目录
Part
01
检验概述
定义
定义
两样本Wilcoxon秩和检验是一种非参数统计检验方法，用于比较两个独立样本来自的总 体分布是否相同。
特点
该方法基于对观察值排序后赋予秩，然后利用秩次进行统计分析，对数据分布没有严格 要求，适用于非正态分布的数据。
检验依据
如果两个样本来自同一总体，则它们的秩和应该比较接近；如果两 个样本来自不同的总体，则它们的秩和应该有显著差异。
结果解释
根据计算出的秩和，可以判断两个样本是否具有统计学上的显著差 异。
Part
03
检验步骤
数据准备
收集数据
收集两个样本的数据，确 保数据来源可靠且无异常 值。
数据清洗
对数据进行清洗，处理缺 失值、异常值和离群点。
秩的பைடு நூலகம்性
秩具有传递性，即如果数据点a小 于数据点b，且数据点b小于数据点 c，则数据点a的秩小于数据点c的 秩。
秩和的概念
秩和
将两个样本的秩分别相加，即为秩和 。
秩和的特性
秩和越大，说明两个样本的数值越接 近；秩和越小，说明两个样本的数值 差异越大。
Wilcoxon秩和检验的原理
检验步骤
首先对两个样本进行配对，然后计算每对数据的差的绝对值，再 将这些绝对值转化为秩，最后计算两组秩的和。
数据转换
对数据进行适当的转换， 以符合检验的要求。
配对样本的收集与整理
配对设计
确保两个样本之间存在配对关系，即它们应该来自相同的总体或具有相似的特 征。
数据整理
将两个样本的数据整理在一起，以便进行比较和分析。
第7讲 独立样本(两样本)非参数检验2：KS检验
统计量 D=0.71，大于临界值0.5，落在拒绝域 拒绝零假设，两班员工被投诉分布不同，即两班员工服务 质量存在显著差异。
1 - 18
作者：刘永亮，河北大学经济学院
非参数 统计 ☆
K-S双样本检验的SPSS实现
可以用SPSS直接打开Excel文件，操作 ：文件—打开—数据，
软件实现过程（数据见“投诉.xls”和信息台.sav)
1-7
作者：刘永亮，河北大学经济学院
非参数 统计
启下，知新
第7 讲
两样本KS检验
1-8
作者：刘永亮，河北大学经济学院
非参数 统计
看例题，思考
•
创新思考
1-9
作者：刘永亮，河北大学经济学院
非参数 统计
求两组的累计频率
投诉次数 0 1 2 3
第一班频数
第二班频 数
第一班累计频数
第二班累计频数
第一班累 计频率
第一班被投诉次数 2 0 7 1 1 0 1 2 1 2 4
第二班被投诉次数
3 5 4 2 3 7 4 4 6
请问两班的服务水平是否相同？用Mann Whitney U检 验 附Mann-Whitney临界值表和Excel数据文件：信息台.xls ）。
1-2
作者：刘永亮，河北大学经济学院
非参数 Mann-Whitney 统计
样本容量不相 等时， 注意1： 小的为m 注意2： p是接受 域的概率（1-α)
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作者：刘永亮，河北大学经济学院
非参数 统计
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作者：刘永亮，河北大学经济学院
非参数 统计
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资料来源：《非参数统计方法（1995）》P236-237
非参数检验
非参数检验的优点：
①适用范围广，不论样本来自的 总体分布形式如何，都可适用；
②某些非参数检验方法计算简便， 研究者在急需获得初步统计结果时可 采用；
的总体分布不同。 α=0.05
2．混合编秩
依据两组数值由小到大编秩，结果 见上表。
3．求秩和并确定检验统计量T
把两组秩次分别相加求出两组的秩 和值，R1=315.5，R2=149.5。因乳 酸钙组样本含量较小，故 T=R2=149.5。
4．确定P值和作出推断结论 以较小样本含量为n1，n1=14, n2n1=2，查附表6，两样本比较秩和检验 用T界值表（双侧）。
当n1>20或（n2-n1）>10时，附表6 中查不到P值，则可采用正态近似法求u 值来确定P值，其公式如下：
u T n1(N 1) / 2 0.5 n1n2(N 1) 12
上式中T为检验统计量值，n1、n2 分别为两样本含量，N=n1+n2，0.5这 连续性校正数。上式为无相同秩次时使 用或作为相同秩次较少时的近似值。当 两样本相同秩次较多（超过总样本数的 25%）时，应按下式进行校正，u经校 正后可略增大，P值则相应减小。
式中，Ri为各组的秩和，ni为各组 样本含量，N为总样本含量。
当各组相同秩次较多时，可对H值进 行校正，按下式求值。
Hc H c
C 1
(t
3 j
t
j
)
(N3 N)
4．确定P值和作出推断结论
当组数K=3，每组样本含量ni≤5时， 可查附表7（H界值表）得到P值。若 k>3或ni>5时，H值的分布近似于自 由度为k-1的χ2分布，此时可查附表 4χ2界值表得到P值。最后按P值作出 推断结论。
两样本分布的Kolmogorov-Smirnov检验
12.6 多个独立样本检验
K independent Samples Test
通过分析多个样本数据，推断它们的分布是否存在显著性差异。方 法有三种：
Median：是通过对中位数的研究来实现推断的 K－W：是通过对推广的平均秩的研究来实现推断的 J－T：与两个独立样本检验的Mann-Whitney U类似
经典统计的多数检验都假定了总 体的背景分布。 但也有些没有假定总体分布的具 体形式，仅仅依赖于数据观测值 的相对大小（秩）或零假设下等 可能的概率等和数据本身的具体 总体分布无关的性质进行检验。 这都称为非参数检验。
为什么用非参数方法？
这些非参数检验在总体分布未知时有很大的优越 性。这时如果利用传统的假定分布已知的检验， 就会产生错误甚至灾难。 非参数检验总是比传统检验安全。 但是在总体分布形式已知时，非参数检验就不如 传统方法效率高。这是因为非参数方法利用的信 息要少些。往往在传统方法可以拒绝零假设的情 况，非参数检验无法拒绝。 但非参数统计在总体未知时效率要比传统方法要 高，有时要高很多。是否用非参数统计方法，要 根据对总体分布的了解程度来确定。
Analyze－> Nonparametric Tests－> Binomial Test Variable: tbh 由 于 这 是 一 个 均 匀 分 布 检 测 ， 使 用 默 认 选 择 （ Test
Proportion：0.5）； 比较有用的结果：两组个数和sig=1.00>0.5，不能拒绝零假
TBH 2
31 21 1.469 .142
12.4 一个样本柯尔莫哥洛夫-斯米诺夫检验 1-Sample Kolmogorov-Smirnov test
卡方检验与非参数检验
卡方检验与非参数检验卡方检验与非参数检验是统计学中常用的两种假设检验方法。
它们在样本数据不满足正态分布或方差齐性等假设条件的情况下，仍可以进行假设检验，因此被称为非参数检验方法。
本文将详细介绍卡方检验与非参数检验的原理、应用以及比较。
一、卡方检验卡方检验是一种用于检验两个或多个分类变量之间是否存在相关性的统计方法。
它将实际观察到的频数与期望的频数进行比较，从而判断两个分类变量是否存在相关性。
卡方检验主要包括卡方拟合度检验、卡方独立性检验和卡方配对检验等。
1.卡方拟合度检验卡方拟合度检验适用于比较观察到的频数与理论上期望的频数是否有显著差异。
例如，我们可以通过卡方拟合度检验来判断一组骰子的点数是否是均匀分布的。
该方法首先根据理论假设计算每个类别的期望频数，然后计算观察频数与期望频数的差异，并根据差异的大小判断是否有显著差异。
2.卡方独立性检验卡方独立性检验适用于比较两个分类变量之间是否存在相关性。
例如，我们可以使用卡方独立性检验来判断性别与喜好类别之间是否存在相关性。
该方法首先根据理论假设计算每个类别的期望频数，然后计算观察频数与期望频数的差异，并根据差异的大小判断是否有显著差异。
3.卡方配对检验卡方配对检验适用于比较同一组体在两个时间点或处理条件下的观测值是否有差异。
例如，我们可以使用卡方配对检验来判断一种药物在服药前后对疾病症状的治疗效果。
该方法通过比较观察值和期望值之间的差异来判断是否有显著差异。
非参数检验是一种不依赖于总体分布的统计方法，它不对总体的分布形态做出任何假设，因此适用于任何类型的数据。
常见的非参数检验方法包括Wilcoxon符号秩检验、Mann-Whitney U检验、Kruskal-Wallis H检验等。
1. Wilcoxon符号秩检验Wilcoxon符号秩检验适用于比较两组配对样本数据是否存在差异。
例如，我们可以使用Wilcoxon符号秩检验来判断一种药物在服药前后对患者血压的影响。
非参数检验 表格
非参数检验介绍在统计学中，非参数检验是一种用于比较两个或多个样本之间差异的方法，而不要求对样本数据的总体分布作出假设。
与参数检验相比，非参数检验更加灵活，可以用于各种类型的数据以及各种情况下的推断分析。
什么是参数检验？在介绍非参数检验之前，我们先来了解一下参数检验。
参数检验是基于对总体分布的假设进行统计推断的方法。
在参数检验中，我们假设样本数据服从某种特定的分布（如正态分布），然后使用样本数据对该分布的参数进行估计，并基于这些参数进行统计推断。
非参数检验的优势与参数检验相比，非参数检验具有以下优势： 1. 更广泛的适用性：非参数方法不依赖于总体分布的假设，因此适用于各种类型的数据，无论其分布形态是什么样的。
2. 没有数据分布的假设：非参数方法不需要对数据的总体分布做出任何假设，因此可以应用于无法满足正态分布等假设的数据集。
3. 更具鲁棒性：非参数方法对异常值和偏离分布的数据更具有鲁棒性，能够更好地处理不完美的数据。
常见的非参数检验方法接下来，我们将介绍一些常见的非参数检验方法，以及它们适用的情况。
Mann-Whitney U检验Mann-Whitney U检验（也称为Wilcoxon秩和检验）用于比较两个独立样本的差异。
它适用于数据不满足正态分布假设且数据量较小的情况。
该检验基于将两个样本的观测值合并并对其进行排序，然后计算秩和值来比较两个样本的总体分布差异。
Kruskal-Wallis检验Kruskal-Wallis检验用于比较三个或多个独立样本的差异。
它可以看作是一种非参数的方差分析方法，适用于数据不满足正态分布假设的情况。
该检验基于将所有样本的观测值合并并对其进行排序，然后计算秩和值来比较不同样本的总体分布差异。
Wilcoxon符号秩检验Wilcoxon符号秩检验（也称为Wilcoxon符号秩和检验）用于比较两个配对样本的差异。
它适用于数据不满足正态分布假设的情况。
该检验基于对配对差值的绝对值进行排序，然后计算秩和值来判断两个样本差异是否显著。
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▪ 3.7 Kolmogorov-Smirnov检验法（独立样本）
3.1 符号检验法（Sign Test）
▪ 3.1.1 基本思路与检验步骤（同第二章）
设有两个连续总体x,y,累积的分布函数分别为F(x),F(y)。
随机的分别从两个总体中抽取数目为n的样本数据，
(3)确 定 拒 绝 域
a .计
算
p.P (K
k)
P (S
2)
1 212
2
c
i 1
2
i 0
1 (1 1 2 6 6 ) 0 .0 1 9 2 8 7 4096
( E x c e l 计 算 “ = B I N O M D I S T ( 2 ,1 2 ,0 .5 ,T R U E )”)
解 ： （ 1） 提 出 假 设
H 0 : P ( xi yi) P ( xi yi)
H 1 : P ( xi yi) P ( xi yi)
这 里 x i为 第 一 次 测 试 的 成 绩 ， y i为 第 二 次 测 试 的 成 绩 。
（ 2） 计 算 检 验 统 计 量
S 2, S 10, n 2 10 12, m in(S , S ) 2
2
（3）确定拒绝域
P(K
k)
k i0
(K
i)
k i0
cni (12)i
(1)ni 2
如果2P,拒绝H0;否则不能拒绝H（ 0 双侧）
如果P,拒绝H0;否则不能拒绝H（ 0 单侧）
也可以查表确定拒绝域。
3.1.2 应用
▪ 例.为帮助学生通过自学提高对知识的掌握， 有关专家编辑了符合教学大纲的教学参考 资料。为了研究“教学参考资料对于指导 学生自学是否有效”这一问题，随机选取 了15名学生进行测试，学生使用参考资料 前的试卷（A）得分与使用参考资料后的 试卷(B)得分列在下表内（A卷与B卷的范 围，内容与难度相当）:
3.1.2 应用
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A卷成绩 70 70 70 70 75 75 75 75 75 78 76 75 79 72 75 B卷成绩 75 80 70 76 71 75 82 86 70 80 80 75 80 83 83
这些资料能否说明参考资料能够促进学生掌握知识 0.05
▪ 利用两个相关样本进行研究，对于某些问题是 很方便的。但现实中要做到很好配对并不容易。 若由于配对不当或无法配对，就要使用两个独 立样本的非参数检验方法：Brown-Mood检验 法，Mann-Whitney-Wilcoxon检验法，Wald-
Wolfowitz游程检验法， 2 检验法，
Kolmogorov-Smirnov检验法等。两个独立样 本可以各自从两施 两种处理而形成。
▪ 在抽取样本时有两种形式：相关的和独立 的。若第一次抽样的所有样本某一属性的 测量结果，不影响第二次抽样的所有样本 同一属性的测量结果，则这种抽样是独立 的，若第一次抽样的测量结果影响另一次 抽样测量结果，则这种抽样是相关的。为 了避免或者尽量减少由于其他因素影响引 起的两组之间的附加差异，得到更准确地 结论，研究中通常采用两个相关的样本。
可以采用位置参数进行判断。若两个样本的总体具有相
同的分布，则中位数应相同，即在n个数对中，Xi大于 yi的个数与Xi小于yi的个数应相差不大。
检验步骤:（1）提出假设
H 0 : P ( xi yi) P ( xi yi)对所有 i H 1 : P ( xi yi) P ( xi yi)对某一 i 如果关心的是某一总体 中位数是否大于另一 总体中位数，则可建立 单侧备择： H : P ( xi yi) P ( xi yi) xi有大于 yi的趋向 H : P ( xi yi) P ( xi yi) yi有大于 xi的趋向
第三章 两样本非参数检验
在单样本非参数检验中，研究者可以解决诸如一个 总体的中心是否等于一个已知的值，某个随机变量 是否服从某种特定的分布，某个序列是否具有随机 性等问题。然而在实际中，更受注意的往往是比较 两个总体的位置参数。比如，两种训练方法中哪一 种更出成绩，两种汽油中哪一种污染更小，两种营 销策略中哪种更有效，两种药物哪一种的治疗效果 更好等等，这就需要使用两样本的非参数方法，第 三章中所介绍的方法大都适用。
▪ 相关样本的获取有两种方式：
▪ 1.让每一研究对象做自身的对照者
▪ 2.将研究对象两两配对，分别给每一对两 个成员以不同的处理。在进行配对时，应 让每一对在可能影响处理结果的其他因素 方面尽量相似，以尽量避免和减少附加差 异。一般来说，用研究对象自身作为对照 者要优于配对方法，因为在配对过程中很 难完全控制住其他的影响因素。两个相关 样本的非参数检验方法主要有符号检验法 和Wilcoxon符号秩和检验法。
▪ 本章主要介绍两个相关样本和两个独立样本的非 参数检验方法，包括：
▪ 3.1 符号检验法（相关样本） ▪ 3.2 Wilcoxon符号秩和检验法（相关样本） ▪ 3.3 Brown-Mood检验法（独立样本） ▪ 3.4 Mann-Whitney-Wilcoxon检验法（独立样本） ▪ 3.5 Wald-Wolfowitz游程检验法（独立样本）
(x1, x2,....x..n.)
和 (y1,y2,L,yn)
将它们 配对得到 (x1, y1) (x2, y2) .....x.n(,yn)
若研究的问题是它们是否具有相同的分布，即F(x)=F(y) 是否成立，由于x,y的总体分布未知，而研究者也不关
心它们的具体分布形式，只是关心分布是否相同，因而
（2）计算检验统计量
与单样本的符号检验相同，两个相关样本的符 号检验也定义S 和S 为检验统计量。S 为xi, yi 差值符号为负的数目。若零假设为真，xi yi的 配对数目与xi yi的配对数目相等。S ，S 的抽 样分布是二项分布B(n, 12),n是配对数目，S S n；1 是各自出现的概率。