圆的相关证明及计算 专题训练题

三数学中考复习 圆 专题训练题
1. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别于与BC 、AC 交于点D 、E ，过点D 作DF⊥AC 于点F.
(1) 求证：DF 是⊙O 的切线；(2) 若⊙O 的半径为2，BC ＝22，求DF 的长．
2. 如图，BD 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果BO ＝65 cm ，DO ＝15 cm ，当BD 绕点O 旋转90°时，求刮雨刷BD 扫过的面积
3. 如图，△ABD 是⊙O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是⊙O 外一点且∠DBC＝∠A，连接OE 延长与圆相交于点F ，与BC 相交于点C.
(1) 求证：BC 是⊙O 的切线；(2) 若⊙O 的半径为6，BC ＝8，求弦BD 的长．
4. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，点D 是BC ︵的中点，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F.
(1) 求证：DE 是⊙O 的切线；(2) 若OF ＝2，求AC 的长度．
5. 如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E
(1) 求证：BD＝BE；(2) 若DE＝2，BD＝5，求CE的长．
6. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.
(1) 求证：PO平分∠APC；(2) 连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥A C.
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F.(1) 求证：DE⊥AC；(2) 若AB＝10，AE＝8，求BF的长．
8. 如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE.
(1)若AD＝DB，OC＝5，求切线AC的长；(2)求证：ED是⊙O的切线．
9. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE.
(1) 求证：CE是⊙O的切线；(2) 若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长．
参考答案：
1. (1) 证明：连接OD ，如解图，∵OB ＝OD ，∴∠ABC ＝∠ODB，
∵AB ＝AC ，∴∠ABC＝∠ACB，∴OD ∥AC ，
∵DF ⊥AC ，∴DF ⊥OD ，∴DF 是⊙O 的切线；
(2) 解：连接AD ，如解图，∵AB 是⊙O 的直径，
∴AD ⊥BC ，又∵AB＝AC ，∴BD ＝DC ＝2，∴AD ＝AB 2－BD 2＝42－（2）2＝14， ∵DF ⊥AC ，∴△ADC∽△DFC，∴AD DF ＝AC DC ，∴14DF ＝42
，∴DF ＝72. 2. 解：在△AOC 和△BOD 中，∵OC ＝OD ，AC ＝BD ，OA ＝OB ，∴△AOC ≌△BOD ，∴阴影部分的面积为扇环的面积，
即S 阴影＝S 扇形AOB －S 扇形COD ＝14π(OA 2－OC 2)＝14
π×(652－152)＝1000π(cm 2) 3. (1) 证明：连接OB ，如解图所示，∵E 是弦BD 的中点，
∴BE ＝DE ，OE ⊥BD ，BF ︵＝DF ︵＝12
BD ︵，∴∠BOE ＝∠BAD，∠OBE ＋∠BOE＝90°， ∵∠DBC ＝∠BAD，∴∠BOE ＝∠DBC，
∴∠OBE ＋∠DBC＝90°，∴∠OBC ＝90°，
即BC⊥OB，∴BC 是⊙O 的切线；
(2) 解：∵OB＝6，BC ＝8，BC ⊥OB ，∴OC ＝OB 2＋BC 2＝10，∵S △OBC ＝12OC·BE＝12
OB·BC， ∴BE ＝OB·BC OC ＝6×810
＝4.8，∴BD ＝2BE ＝9.6，即弦BD 的长为9.6. 4. 证明：如解图①，连接OD 、AD ，∵点D 是BC ︵的中点，
∴BD ︵＝CD ︵，∴∠DAO ＝∠DAC，∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ODA，
∴∠DAC ＝∠ODA，∴OD ∥AE ，∵DE ⊥AE ，∴∠AED ＝90°，
∴∠AED ＝∠ODE＝90°，∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线；
(2) 解：如解图②，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，
∵OD ∥AE ，∴∠DOB ＝∠EAB，∵∠DFO ＝∠ACB＝90°，
∴△DFO ∽△BCA ，∴OF AC ＝OD AB ＝12，即2AC ＝12
，∴AC ＝4. 5. (1) 证明：设∠BAD＝α，∵AD 平分∠BAC，∴∠CAD ＝∠BAD＝α，
∵AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∴∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝90°－2α，
∵BD 是⊙O 的切线，∴BD⊥AB，∴∠DBE ＝2α，∠BED ＝∠BAD＋∠ABC＝90°－α，
∴∠D ＝180°－∠DBE－∠BED＝90°－α，∴∠D ＝∠BED，∴BD ＝BE ；
(2) 解：设AD 交⊙O 于点F ，CE ＝x ，则AC ＝2x ，连接BF ，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB ＝90°，∵BD ＝BE ，DE ＝2，
∴FE ＝FD ＝1，∵BD ＝5，∴BF ＝2，∵∠BAD ＋∠D＝90°，∠D ＋∠FBD＝90°，
∴∠FBD＝∠BAD＝α，∴tan α＝FD BF ＝12，∴AB ＝BF sin α＝25
5
＝25， 在Rt △ABC 中，由勾股定理可知(2x)2＋(x ＋5)2＝(25)2，
∴解得x ＝－5(舍去)或x ＝355，∴CE ＝355
. 6. 证明：(1) 如解图，连接OB ，
∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，又OA ＝OB ，∴PO 平分∠APC；
(2) ∵OA⊥AP，OB ⊥BP ，∴∠CAP ＝∠OBP＝90°，∵∠C ＝30°，∴∠APC ＝90°－30°＝60°，∵PO 平分∠APC，
∴∠OPC ＝12∠APC＝12×60°＝30°，∴∠POB ＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°，又∵OD＝OB ，∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD ＝60°，∴∠DBP ＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，∴∠DBP ＝∠C，∴DB ∥AC. 7. 解：(1) 如解图，连接OD 、AD ，
∵DE 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥DE ，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵AB ＝AC ，∴D 是BC 的中
点，又∵O 是AB 中点，∴OD ∥AC ，∴DE ⊥AC ；
(1) ∵AB＝10，∴OB ＝OD ＝5，由(1)得OD∥AC，∴△ODE ∽△AEF ，∴OD AE ＝OF AF ＝BF ＋OB BF ＋AB
，设BF ＝x ，AE ＝8，∴58＝x ＋5x ＋10，解得：x ＝103，经检验x ＝103是原分式方程的根，且符合题意，∴BF ＝103
8. 解：(1)解：连接CD ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC ＝90°，
即CD ⊥AB ，∵AD ＝DB ，OC ＝5，∴CD 是AB 的垂直平分线，∴
AC ＝BC ＝2OC ＝10
(2) 证明：连接OD ，如图所示，∵∠ADC ＝90°，
E 为AC 的中点，∴DE ＝EC ＝12
AC ，∴∠1＝∠2， ∵OD ＝OC ，∴∠3＝∠4，∵AC 切⊙O 于点C ，
∴AC ⊥OC ，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，
即DE⊥OD，∴ED 是⊙O 的切线
9. (1)证明：连接OC ，如解图所示：∵BD 是⊙O 的切线，∴∠CBE ＝∠A，∠ABD ＝90°，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＋∠BCO＝90°，∠BCD ＝90°，∵E 是BD 中点，
∴CE ＝12
BD ＝BE ，∴∠BCE ＝∠CBE＝∠A，∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A，∴∠ACO ＝∠BCE，∴∠BCE ＋∠BCO＝90°， 即∠OCE＝90°，CE ⊥OC ，∴CE 是⊙O 的切线；
(2)解：∵∠ACB＝90°，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22
＝25，
∵tanA ＝BD AB ＝BC AC ＝24＝12，∴BD ＝12AB ＝5，∴CE ＝12BD ＝52.。