浙江省杭州市西湖区九年级(上)期末数学试卷
浙江杭州西湖区2022-2023学年数学九年级第一学期期末监测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）．A ．220x x -=B ．2410x x -=+C ．23520x x -+=D ．22430x x -+= 2．如图，,AC BD 是O 内两条互相垂直的直径，则ACB ∠的度数是（ ）A ．30B ．36C ．45D ．723．若整数a 使关于x 的分式方程122ax x -+＝2有整数解，且使关于x 的不等式组125262x x x a++⎧≤⎪⎨⎪->⎩至少有4个整数解，则满足条件的所有整数a 的和是（ ）A ．﹣14B ．﹣17C ．﹣20D ．﹣234．如图，已知A ，B 是反比例函数y= k x（k ＞0，x ＞0）图象上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ．设三角形OMP 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=2∠A ，则cosB 等于（ ）A ．32B ．12C ．3D ．336．如图，由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，则这个几何体的主视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．用配方法解方程2x -4x +3=0，下列配方正确的是（ ）A ．2(2)x -=1B ．2(2)x +=1C ．2(2)x -=7D ．2(2)x -=48．如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上（不与A 、C 重合），点D 在AC 的延长线上，连接BD 交⊙O 于点E ，若∠AOB=3∠ADB ，则（ ）A ．DE=EB B 2DE=EBC 3DE=DOD ．DE=OB 9．已知抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a ，则抛物线的顶点不可能在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．反比例函数y=16t x -的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是（ ） A ．t ＜16 B ．t ＞16 C ．t≤16 D ．t≥16二、填空题(每小题3分,共24分)11．高为8米的旗杆在水平地面上的影子长为6米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为_____米．12．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的7个小球，其中红球2个，黑球5个，若再放入m 个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于45，则m 的值为 ． 13．若点()3,8A 、()4,B m -在同一个反比例函数的图象上，则m 的值为________．14．计算：sin30°=_____． 15．如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转55︒得到ADE ∆，点B 的对应点是点D ，直线BC 与直线DE 所夹的锐角是_______.16．如图，点A 、B 、C 在半径为9的⊙O 上，AB 的长为，则∠ACB 的大小是___．17．方程24x =的根是__________.18．剪掉边长为2的正方形纸片4个直角，得到一个正八边形，则这个正八边形的边长为____________.三、解答题(共66分)19．（10分）直线1y k x b =+与双曲线2k y x=只有一个交点12A （，），且与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，AD 垂直平分OB ，交x 轴于点D ． （1）求直线1y k x b =+、双曲线2k y x=的解析式； （2）过点B 作x 轴的垂线交双曲线2k y x =于点E ，求 ABE ∆的面积．20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线myx=和直线y=kx+b交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，2），BC⊥y轴于点C，且OC=6BC．（1）求双曲线和直线的解析式；（2）直接写出不等式mkx bx>+的解集．21．（6分）如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，AP BPPD CD=．（1）求证：∠APD＝∠C；（2）如果AB＝3，DC＝2，求AP的长．22．（8分）如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥于点E，点M在O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.（1）若16CD =，4BE =，求O 的直径；（2）若M D ∠=∠，求D ∠的度数.23．（8分）若x 1、x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则方程的两个根x 1、x 2和系数a 、b 、c 有如下关系：12b x x a +=-，12c x x a⋅=.我们把它们称为根与系数关系定理. 如果设二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象与x 轴的两个交点为A(x 1，0)，B(x 2，0).利用根与系数关系定理我们又可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB=12x x -=21212()4x x x x +-=24()b c a a --=224b ac a -=24b ac a - 请你参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象与x 轴的两个交点为A(x 1，0)，B(x 2，0)，抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形.(1)当△ABC 为等腰直角三角形时，直接写出b 2-4ac 的值；(2)当△ABC 为等腰三角形，且∠ACB=120°时，直接写出b 2-4ac 的值；(3)设抛物线y=x 2+mx+5与x 轴的两个交点为A 、B ，顶点为C ，且∠ACB=90°，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB=120°. 24．（8分）某旅馆一共有客房30间，在国庆期间，老板通过观察记录发现，当所有房间都有旅客入住时，每间客房净赚600元，客房价格每提高50元，则会少租出去1个房间．同时没有旅客入住的房间，需要花费50元来进行卫生打理．（1）求出每天利润w 的最大值，并求出利润最大时，有多少间客房入住了旅客．（2）若老板希望每天的利润不低于19500元，且租出去的客房数量最少，求出此时每间客房的利润．25．（10分）如图，在坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点()30A -,和()10B ,，与y 轴交于点C .直线//t AC .()1抛物线的解析式为 .直线AC 的解析式为 ；()2若直线l 与抛物线只有一个公共点，求直线l 的解析式；()3设抛物线的顶点关于y 轴的对称点为M ，点N 是抛物线对称轴上一动点，如果直线MN 与抛物线在x 轴上方的部分形成了封闭图形(记为图形G).请结合函数的图象，直接写出点N的纵坐标t的取值范围.26．（10分）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点．(1)求证：AB与⊙O相切；(2)若AB＝4，求线段GF的长．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】分别计算出每个方程的判别式即可判断．【详解】A、∵△=4-4×1×0=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；B、∵△=16-4×1×（-1）=20＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；C、∵△=25-4×3×2=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；D、∵△=16-4×2×3=-8＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、C【分析】根据直径的定义与等腰三角形的性质即可求解．AC BD是O内两条互相垂直的直径，【详解】∵,∴AC⊥BD又OB=OC∴ACB ∠=180902︒-︒=45 故选C ．【点睛】此题主要考查圆内的角度求解，解题的关键是熟知圆内等腰三角形的性质．3、A【解析】根据不等式组求出a 的范围，然后再根据分式方程求出a 的范围，从而确定a 满足条件的所有整数值，求和即可.【详解】不等式组整理得：22x x a ≤⎧⎨>+⎩, 由不等式组至少有4个整数解，得到a +2＜﹣1，解得：a ＜﹣3，分式方程去分母得：12﹣ax ＝2x +4，解得：x ＝82a +， ∵分式方程有整数解且a 是整数∴a +2＝±1、±2、±4、±8， 即a ＝﹣1、﹣3、0、﹣4、2、﹣6、6、﹣10，又∵x ＝82a +≠﹣2， ∴a ≠﹣6，由a ＜﹣3得：a ＝﹣10或﹣4，∴所有满足条件的a 的和是﹣14，故选：A ．【点睛】本题主要考查含参数的分式方程和一元一次不等式组的综合，熟练掌握分式方程和一元一次不等式组的解法，是解题的关键，特别注意，要检验分式方程的增根.4、A【分析】结合点P 的运动，将点P 的运动路线分成O→A 、A→B 、B→C 三段位置来进行分析三角形OMP 面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．【详解】设∠AOM=α，点P 运动的速度为a ，当点P从点O运动到点A的过程中，S=(cos)(sin)122at atαα⋅⋅⋅=a2•cosα•sinα•t2，由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为12k，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；故选A．点睛：本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在O→A、A→B、B→C三段位置时三角形OMP的面积计算方式．5、B【详解】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠B=2∠A，∴∠A+2∠A=90°，∴∠A=30°，∴∠B=60°，∴cosB=1 2故选B【点睛】本题考查三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．6、A【分析】由左视图可得出这个几何体有2层，由俯视图可得出这个几何体最底层有4个小正方体．分情况讨论即可得出答案．【详解】解：由题意可得出这个几何体最底层有4个小正方体，有2层，当第二层第一列有1个小正方体时，主视图为选项B；当第二层第二列有1个小正方体时，主视图为选项C；当第二层第一列,第二列分别有1个小正方体时，主视图为选项D；故选：A．【点睛】本题考查的知识点是简单几何体的三视图，根据所给三视图能够还原几何体是解此题的关键．7、A【解析】用配方法解方程2x -4x+3=0，移项得：2x -4x =-3，配方得：2x -4x +4=1，即2(2)x -=1.故选A.8、D【解析】解：连接EO .∴∠B =∠OEB ，∵∠OEB =∠D +∠DOE ，∠AOB =3∠D ，∴∠B +∠D =3∠D ，∴∠D +∠DOE +∠D =3∠D ，∴∠DOE =∠D ，∴ED =EO =OB ，故选D.9、D【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．【详解】抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a 的顶点的横坐标为：x ＝﹣212a +＝﹣a ﹣12， 纵坐标为：y ＝()()224214a a a --+＝﹣2a ﹣14， ∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y ＝2x +34， ∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．10、B【分析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出x 2﹣2x+1﹣6t=0，又因两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，根据根的判别式以及根与系数的关系可求解．【详解】由题意可得：﹣x+2=16t x-， 所以x 2﹣2x+1﹣6t=0，∵两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数， ∴2)2(4(16)0160t t -⎧--⎨-⎩＞＜ 解不等式组，得t ＞16． 故选：B ．点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是利用两个函数的解析式构成方程，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解.二、填空题(每小题3分,共24分)11、40【分析】根据投影的实际应用，在同一时刻太阳光线平行，不同物体的实际高度与影长之比相等建立方程，可求出答案.【详解】解：设建筑物的的高为x 米，可得方程： 8=630x ，解得：x =40 答：此建筑物的高度为40米.故答案是：40.【点睛】本题主要考察投影中的实际应用，正确理解相似三角形在平行投影中的应用是解题的关键.12、1． 【解析】试题分析：根据题意得：57m m ++=45，解得：m=1．故答案为1． 考点：概率公式．13、6- 【分析】设反比例函数的解析式为k y x =（k 为常数，k≠0），把A （3，8）代入函数解析式求出k ，得出函数解析式，把B 点的坐标代入，即可求出答案．【详解】解：设反比例函数的解析式为kyx=(k为常数,k≠0)，把A(3,8)代入函数解析式得：k=24，即24yx =，把B点的坐标代入得：2464m==--，故答案为−6.【点睛】考查待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键.14、【解析】根据sin30°=直接解答即可．【详解】sin30°=.【点睛】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练的掌握特殊角的三角函数值.15、55︒【分析】延长DE交AC于点O，延长BC交DE的延长线于点F，然后根据旋转的性质分别求出∠EAC=55°，∠AED=∠ACB，再根据对顶角相等，可得出∠DFB=∠EAC=55°.【详解】解：延长DE交AC于点O，延长BC交DE的延长线于点F由题意可得：∠EAC=55°，∠AED=∠ACB∴∠AEF=∠ACF又∵∠AOE=∠FOC∴∠DFB=∠EAC=55°故答案为：55°【点睛】本题考查旋转的性质，掌握旋转图形对应角相等是本题的解题关键.16、20°．【分析】连接OA 、OB ，由弧长公式的92180n ππ⨯⨯=可求得∠AOB ，然后再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB ．【详解】解：连接OA 、OB ，由弧长公式的92180n ππ⨯⨯=可求得∠AOB=40°， 再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB=20°．故答案为：20°【点睛】本题考查弧长公式；圆周角定理，题目难度不大，掌握公式正确计算是解题关键．17、122,2x x ==-【分析】由题意根据直接开平方法的步骤求出x 的解即可．【详解】解：∵24x =，∴x=±2，∴122,2x x ==-．故答案为：122,2x x ==-．【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．18、222【分析】设腰长为x ，则正八边形边长2-2x ，根据勾股定理列方程，解方程即可求出正八边形的边．【详解】割掉的四个直角三角形都是等腰直角三角形，∴设腰长为x ，则正八边形边长2-2x ,()22222x x x ∴+=-，12x ∴=，22x =(222222x ∴-=-=.故答案为：2.【点睛】本题考查了正方形和正八边形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是设出未知数用列方程的方法解决几何问题．三、解答题(共66分)19、（1）24y x =-+；2y x =；（2）12ABE S ∆=． 【分析】（1）由题意利用待定系数法求一次函数以及反比例函数解析式即可；（2）根据题意求出BE 和BD 的值，运用三角形面积公式即可得解.【详解】解：（1）由已知得OD 1=，OB 2DO 2==，∴B 20（，）. 将点A 、点B 坐标代入1y k x b =+，得1102k 2k b b =+⎧⎨=+⎩，解得1k 24b =-⎧⎨=⎩， 直线解析式为y 2x 4=-+；将点A 坐标代入2k y x=得2k 2=， ∴反比例函数的解析式为2y x =. （2）∵E 和B 同横轴坐标，∴当x 2=时2y 1x==，即 BE 1= ， ∵B 20（，），A 12（，），D （1，0） ∴BD=1，即为ΔABE 以BE 为底的高， ∴ΔABE 11S BE ?DB 22==. 【点睛】本题考查反比例函数和几何图形的综合问题，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式以及运用数形结合思维分析是解题的关键.20、（1）双曲线的解析式为6y x=-，直线的解析式为y=﹣2x ﹣4；（2）﹣3＜x ＜0或x ＞1. 【分析】（1）将A 坐标代入反比例解析式中求出m 的值，确定出反比例解析式，根据OC=6BC ，且B 在反比例图象上，设B 坐标为（a ，﹣6a ），代入反比例解析式中求出a 的值，确定出B 坐标，将A 与B 坐标代入一次函数解析式中求出k 与b 的值，即可确定出一次函数解析式；（2）根据一次函数与反比例函数的两交点A 与B 的横坐标，以及0，将x 轴分为四个范围，找出反比例图象在一次函数图象上方时x 的范围即可.【详解】（1）∵点A （﹣3，2）在双曲线m y x=上， ∴m 23=-，解得m=﹣6， ∴双曲线的解析式为6y x=-， ∵点B 在双曲线6y x =-上，且OC=6BC ， 设点B 的坐标为（a ，﹣6a ）， ∴66a a-=-，解得：a=±1（负值舍去），∴点B 的坐标为（1，﹣6）， ∵直线y=kx+b 过点A ，B ，∴3k b 2{k b 6-+=+=-，解得：k 2{b 4=-=-， ∴直线的解析式为y=﹣2x ﹣4；（2）根据图象得：不等式m >kx b x +的解集为﹣3＜x ＜0或x ＞1.21、（1）见解析；（2【分析】（1）通过证明Rt △ABP ∽Rt △PCD ，可得∠B=∠C ，∠APB=∠CDP ，由外角性质可得结论；（2）通过证明△APC ∽△ADP ，可得=AP AD AC AP，即可求解． 【详解】证明：（1）∵PA ⊥AB ，DP ⊥BC ，∴∠BAP ＝∠DPC ＝90°， ∵=AP BP PD CD∴=AP PD BP CD ， ∴Rt △ABP ∽Rt △PCD ，∴∠B ＝∠C ，∠APB ＝∠CDP ，∵∠DPB ＝∠C+∠CDP ＝∠APB+∠APD ，∴∠APD ＝∠C ；（2）∵∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ＝3，且CD ＝2，∵∠APD ＝∠C ，∠CAP ＝∠PAD ，∴△APC ∽△ADP ， ∴=AP AD AC AP, ∴AP 2＝1×3＝3∴AP ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,熟练掌握和应用是解题的关键.22、（1）1；（2）30【分析】（1）由CD ＝16，BE ＝4，根据垂径定理得出CE ＝DE ＝8，设⊙O 的半径为r ，则4OE r =-，根据勾股定理即可求得结果；（2）由∠M ＝∠D ，∠DOB ＝2∠D ，结合直角三角形可以求得结果；（2）由OM ＝OB 得到∠B ＝∠M ，根据三角形外角性质得∠DOB ＝∠B ＋∠M ＝2∠B ，则2∠B ＋∠D ＝90°，加上∠B ＝∠D ，所以2∠D ＋∠D ＝90°，然后解方程即可得∠D 的度数；【详解】解：（1）∵AB ⊥CD ，CD ＝16，∴CE ＝DE ＝8，设OB r =，又∵BE ＝4，∴4OE r =-∴()22248r r =-+，解得：10r =，∴⊙O 的直径是1．（2）∵OM ＝OB ，∴∠B ＝∠M ，∴∠DOB ＝∠B ＋∠M ＝2∠B ，∵∠DOB ＋∠D ＝90°，∴2∠B ＋∠D ＝90°，∵M D ∠=∠，∴∠B ＝∠D ，∴2∠D ＋∠D ＝90°，【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．23、 (1)4；(2)43；(3)抛物线25y x mx =++向上平移23个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使得ACB ∠度数由90°变为120°. 【分析】（1）根据上述结论及直角三角形的性质列出等式，计算出即可；（2）根据上述结论及含120°的等腰三角形的边角关系，列出方程，解出方程即可；（3）根据（1）中结论，计算出m 的值，设出平移后的函数解析式，根据（2）中结论，列出等量关系即可解出．【详解】解：(1)由 y=ax 2+bx+c(a≠0)可知顶点C 24(,)24b ac b a a-- ∵240b ac ->，∴当△ABC 为等腰直角三角形时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：24||4ac b a-=2142b ac a -⋅，化简得244b ac -=故答案为：4(2) 由 y=ax 2+bx+c(a≠0)可知顶点C 24(,)24b ac b a a -- 如图，过点C 作CD ⊥AB 交AB 于点D ，∵∠ACB=120°，∴∠A=30°∵tan30°=33， 即224||CD 34=AD 34|2|ac b a b aca -=-，又因为240b ac ->， ∴化简得2443b ac -=故答案为：43(3)∵90ACB ∠=︒2244,204b ac m ∴-=-=即 26m ∴=± 因为向左或向右平移时ACB ∠的度数不变,所以只需将抛物线2265y x x =±+向上或向下平移使120ACB ∠=︒,然后向左或向右平移任意个单位即可. 设向上或向下平移后的抛物线的解析式为:2265n y x x =±++,平移后120ACB ∠=︒，24424,24-20-4,n 333b ac n ∴-===即解得 所以，抛物线25y x mx =++向上平移23个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使得ACB ∠度数由90︒变为120︒. 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合应用题，难度适中，关键是能够根据特殊三角形的性质列出关系式．24、（1）21600元，8或9间；（2）15间，1元【分析】（1）设每个房间价格提高50x 元，可列利润w ＝（30﹣x ）（600+50x ）﹣50x ，将此函数配方为顶点式，即可得到答案；（2）将（1）中关系式﹣50x 2+850x+18000＝19500，求出x 的值，由租出去的客房数量最少即（30﹣x ）最小，得到x 取最大值15，再代入利润关系式求得每间客房的利润即可.【详解】解：（1）设每个房间价格提高50x 元，则租出去的房间数量为（30﹣x ）间，由题意得，利润w ＝（30﹣x ）（600+50x ）﹣50x＝﹣50x 2+850x+18000＝﹣50（x ﹣8.5）2+21612.5因为x 为正整数所以当x ＝8或9时，利润w 有最大值，w max ＝21600；（2）当w ＝19500时，﹣50x 2+850x+18000＝19500解得x 1＝2，x 2＝15，∵要租出去的房间最少∴x ＝15，此时每个房间的利润为600+50×15＝1． 【点睛】此题考查二次函数的实际应用，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键，注意（1）x 应为正整数，故而x 应为对称轴x=8.5两侧的整数8或9.25、（1）223,3y x x y x =--+=+；（2）214y x =+；（3）24t ≤<. 【分析】(1)将两点坐标直接代入可求出b ，c 的值，进而求出抛物线解析式为223y x x =--+，得出C 的坐标，从而求出直线AC 的解析式为y=x+3.(2)设直线l 的解析式为y x b =+，直线l 与抛物线只有一个公共点，方程223x b x x +=--+有两个相等的实数根，再利用根的判别式即可求出b 的值.(3)抛物线的顶点坐标为（-1，4），关于y 轴的对称点为M （1，4），可确定M 在直线AC 上，分直线MN 不在直线AC 下方和直线MN 在直线AC 下方两种情况分析即可得解.【详解】解：()1将A ，B 坐标代入解析式得出b=-2，c=3,∴抛物线的解析式为：223y x x =--+当x=0 时，y=3，C 的坐标为（0，3），根据A ，C 坐标可求出直线AC 的解析式为y=x+3. ()2直线//l AC ，∴设直线l 的解析式为y x b =+.直线l 与抛物线只有一个公共点，∴方程223x b x x +=--+有两个相等的实数根，∴()234630=--=， 解得214b =. ∴直线l 的解析式为214y x =+. ()324t ≤<.解析：如图所示，()222314y x x x =--+=-++，∴抛物线的顶点坐标为()1,4-.∴抛物线的顶点(1,4)-关于y 轴的对称点为()1,4M .当1x =时，3134y x =+=+=，∴点M 在直线AC 上.①当直线MN 不在直线AC 下方时，直线MN 能与抛物线在第二象限的部分形成封闭图形.当1x =-时，3132y x =+=-+=.当直线MN 与直线AC 重合，即动点N 落在直线AC 上时，点N 的坐标为()1,2-.随着点N 沿抛物线对称轴向上运动，图形G 逐渐变小，直至直线MN 与x 轴平行时，图形G 消失，此时点N 与抛物线的顶点重合，动点N 的坐标是()1,4-，②当直线MN 在直线AC 下方时，直线MN 不能与抛物线的任何部分形成封闭图形.综上，点N 的纵坐标t 的取值范围是24t ≤<.【点睛】本题是一道二次函数与一次函数相结合的综合性题目，根据点坐标求出抛物线与直线的解析式是解题的关键.考查了学生对数据的综合分析能力，数形结合的能力，是一道很好的题目.26、（1）见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）过点O 作OM ⊥AB ，垂足是M .证明OM 等于圆的半径OD 即可；（2）过点O 作ON ⊥BE ，垂足是N ，连接OF ，由垂径定理得出NG ＝NF ＝12GF .证出四边形OMBN 是矩形，在Rt OBM △利用三角函数求得OM 和BM 的长，则BN 和ON 即可求得，在Rt ONF 中利用勾股定理求得NF ，即可得出GF 的长．试题解析：()1如图，∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC ，∴∠ADO ＝∠AMO ＝90°. ∵△ABC 是等边三角形，AO ⊥BC ，∴∠DAO ＝∠MAO ，∴OM ＝OD .∴AB 与⊙O 相切；()2如图，过点O 作ON ⊥BE ，垂足是N ，连接OF ， 则NG ＝NF ＝12GF .∵O 是BC 的中点， ∴OB ＝2.在Rt △OBM 中，∠MBO ＝60°，∴∠BOM ＝30°，∴BM ＝12BO ＝1， ∴OM 23OB BM -=∵BE ⊥AB ，∴四边形OMBN 是矩形，∴ON ＝BM ＝1.∵OF ＝OM 3由勾股定理得NF ()2231-2 ∴GF ＝2NF ＝2.。
2018-2019学年浙江省杭州市西湖区九年级(上)期末数学试卷(含答案)
2018-2019学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.1．（3分）已知，则的值为（）A．B．C．D．2．（3分）如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°3．（3分）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（）A．任意两个矩形B．两个边长不等的正五边形C．任意两个平行四边形D．两个等腰三角形4．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，则黄球的个数为（）A．16B．12C．8D．45．（3分）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y＝5（x+2）2+3B．y＝5（x﹣2）2+3C．y＝5（x+2）2﹣3D．y＝5（x﹣2）2﹣36．（3分）如图，正方形OABC的边长为8，点P在AB上，CP交OB于点Q．若S△BPQ＝，则OQ长为（）A．6B．C．D．7．（3分）一元二次方程x2+bx+c＝0有一个根为x＝﹣3，则二次函数y＝2x2﹣bx﹣c的图象必过点（）A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（﹣3，27）D．（3，27）8．（3分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于（）A．B．C．4D．39．（3分）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，x可取任意实数），下列说法正确的是（）①存在实数p、q（p≠q）有ap2+bp+c＝aq2+bq+c，则ax2+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q）②存在实数m、n、s（m、n、s互不相等），使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c③如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c④如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c．A．①④B．②③C．③④D．④10．（3分）在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，若AD＝6，CD＝10，则＝（）A．B．C．D．二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．（4分）抛物线y＝2x2﹣2x与x轴的交点坐标为．12．（4分）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于，则密码的位数至少要设置位．13．（4分）把10cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，其中较长的线段的长为cm．14．（4分）已知△ABC内接于半径为2的⊙O，若BC＝，则∠A＝．15．（4分）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S1，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF＝，S1：S2：S3＝．16．（4分）已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是．三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（6分）求半径为3的圆的内接正方形的边长．18．（8分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中只装有3个除标号外完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中只装有3个除标号外完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，由此确定点M坐标为（x，y）．（1）写出点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率．19．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD2＝BD•CD，记△ADB的面积为S△ADB，△CDA的面积为S△CDA．（1）求证：△ADB∽△CDA；（2）若S△ADB：S△CDA＝1：4，求tan B．20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10123…y…105212…（1）当x＝4时，求y的值；（2）当y＜10时，求x的取值范围．21．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝BC，AC＝2，cos A＝．（1）求BC与BC边上高的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．22．（12分）已知两个函数：y1＝ax+4，y2＝a（x﹣）（x﹣4）（a≠0）．（1）求证：y1的图象经过点M（0，4）；（2）当a＞0，﹣2≤x≤2时，若y＝y2﹣y1的最大值为4，求a的值；（3）当a＞0，x＜2时，比较函数值y1与y2的大小．23．（12分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，O为BC边中点，BC＝8，点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合），点H、F是线段AC上的动点，且EF∥GH∥BC．设点O到EF、GH的距离分别为x、y．（1）若△EOF的面积为S：①用关于x的代数式表示线段EF的长；②求S的最大值；（2）以点O为圆心，当以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合时，求x与y应满足的关系式，并求x的取值范围．2018-2019学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.1．（3分）已知，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由可设a＝3x，b＝2x，把a＝3x，b＝2x代入，故选：A．2．（3分）如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°【解答】解：∠APB＝∠AOB＝×40°＝20°．故选：C．3．（3分）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（）A．任意两个矩形B．两个边长不等的正五边形C．任意两个平行四边形D．两个等腰三角形【解答】解：A任意两个矩形，可以判断它们的边的比不相等，但能判断对应的角相等．所以不相似；B两个边长不等的正五边形，能判断对应角相等，也能判断对应边的比相等．所以相似；C任意两个平行四边形，不能判断对应的角相等，也不能判断对应边的比相等．所以不相似；D、两个等腰三角形，不能判断对应的角相等，也不能判断对应边的比相等．所以不相似．故选：B．4．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，则黄球的个数为（）A．16B．12C．8D．4【解答】解：设黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解得：x＝4．故选：D．5．（3分）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y＝5（x+2）2+3B．y＝5（x﹣2）2+3C．y＝5（x+2）2﹣3D．y＝5（x﹣2）2﹣3【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣2）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝5（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣2）2﹣3．故选：D．6．（3分）如图，正方形OABC的边长为8，点P在AB上，CP交OB于点Q．若S△BPQ＝，则OQ长为（）A．6B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCO是正方形，∴AB∥OC，∴△PBQ∽△COQ，∴＝（）2＝，∴OC＝3PB，∵OC＝8，∴PB＝，∵＝＝，BO＝8，∴OQ＝×8＝6，故选：B．7．（3分）一元二次方程x2+bx+c＝0有一个根为x＝﹣3，则二次函数y＝2x2﹣bx﹣c的图象必过点（）A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（﹣3，27）D．（3，27）【解答】解：把x＝﹣3代入方程x2+bx+c＝0得9﹣3b+c＝0，则3b﹣c＝9，当x＝﹣3时，y＝2x2﹣bx﹣c＝18+3b﹣c＝18+9＝27，所以二次函数y＝2x2﹣bx﹣c的图象必过点（﹣3，27）．故选：C．8．（3分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于（）A．B．C．4D．3【解答】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴＝，∴DE＝BF＝6，∵AH⊥BC，∴CH＝BH，而CA＝AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH＝BF＝3．故选：D．9．（3分）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，x可取任意实数），下列说法正确的是（）①存在实数p、q（p≠q）有ap2+bp+c＝aq2+bq+c，则ax2+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q）②存在实数m、n、s（m、n、s互不相等），使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c③如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c④如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c．A．①④B．②③C．③④D．④【解答】解：存在实数p、q（p≠q）有ap2+bp+c＝aq2+bq+c，但是p，q不一定是以y ＝ax2+bx+c为函数与x轴的两个交点，故①错误；令y＝ax2+bx+c，根据二次函数的对称性，只存在两个实数m、n、使am2+bm+c＝an2+bn+c；故②错误；若ac＞0，当a＞0，c＞0时，且△≤0，不存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，故③错误；故选：D．10．（3分）在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，若AD＝6，CD＝10，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，由翻折不变性可知：AB＝AE＝10，AD＝AG＝6，BF＝EF，DH＝HG，∴EG＝4，在Rt△ADER中，DE＝＝＝8，∴EC＝10﹣8＝2，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中有：x2＝22+（6﹣x）2，∴x＝，设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，∴y＝3，∴EH＝5，∴＝＝，故选：A．二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．（4分）抛物线y＝2x2﹣2x与x轴的交点坐标为（0，0），（1，0）．【解答】解：当y＝0时，2x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（1，0）．故答案为（0，0），（1，0）．12．（4分）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于，则密码的位数至少要设置4位．【解答】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为；取两位数时一次就拨对密码的概率为；取三位数时一次就拨对密码的概率为；取四位数时一次就拨对密码的概率为．故一次就拨对的概率小于，密码的位数至少需要4位．故答案为：4．13．（4分）把10cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，其中较长的线段的长为5（﹣1）cm．【解答】解：较长线段的长度＝×10cm＝5（﹣1）cm．故答案为5（﹣1）．14．（4分）已知△ABC内接于半径为2的⊙O，若BC＝，则∠A＝60°．【解答】解：作直径BD，连接CD，则∠BCD＝90°，在Rt△BCD中，sin D＝＝，∴∠D＝60°，由圆周角定理得，∠A＝∠D＝60°，故答案为：60°．15．（4分）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S1，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF＝4：9，S1：S2：S3＝16：81：36．【解答】解：∵AE：ED＝5：4，∴DE：AD＝4：9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝＝，∴＝（）2＝，＝，∴S1：S2：S3＝16：81：36，故答案为：4：9，16：81：36．16．（4分）已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是4．【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上，∴n＝﹣m2﹣3m+3，∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，∴当m＝﹣1时，m+n有最大值4．故答案为：4．三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（6分）求半径为3的圆的内接正方形的边长．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴∠OBE＝45°；而OE⊥BC，∴BE＝CE；而OB＝3，∴sin45°＝，cos45°＝，∴OE＝，BE＝，∴BC＝3，故半径为3的圆内接正方形的边长为3．18．（8分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中只装有3个除标号外完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中只装有3个除标号外完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，由此确定点M坐标为（x，y）．（1）写出点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率．【解答】解：（1）列表如下：012﹣1（0，﹣1）（1，﹣1）（2，﹣1）﹣2（0，﹣2）（1，﹣2）（2，﹣2）0（0，0）（1，0）（2，0）共有9种等可能的结果数；（2）满足点（x，y）落在函数y＝﹣x+1的图象上的结果有2个，即（2，﹣1），（1，0 ），所以点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率＝．19．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD2＝BD•CD，记△ADB的面积为S△ADB，△CDA的面积为S△CDA．（1）求证：△ADB∽△CDA；（2）若S△ADB：S△CDA＝1：4，求tan B．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AD2＝BD•CD，∴，∴△ADB∽△CDA；（2）∵△ADB∽△CDA，∴S△ADB：S△CDA＝（）2＝1：4，∴tan B＝＝2．20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10123…y…105212…（1）当x＝4时，求y的值；（2）当y＜10时，求x的取值范围．【解答】解：（1）由表可知，二次函数的对称轴为直线x＝2，所以，x＝4时，y＝5；（2）由表可知，二次函数的对称轴为直线x＝2，x＝﹣1或5时，y＝10，所以，y＜10时，x的取值范围为﹣1＜x＜5．21．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝BC，AC＝2，cos A＝．（1）求BC与BC边上高的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．【解答】解：（1）作BH⊥AC于H，如图，∵BA＝BC，∴AH＝CH＝1，在Rt△ABH中，cos A＝，∴AB＝＝5，∴BH＝＝2；设BC边的高为h，则BC•h＝AC•BH，∴h＝＝即BC与BC边上高的长分别为5，；（2）作DE⊥AC于E，如图，设AE＝x，在Rt△ADE中，cos A＝＝，∴AD＝5x，∴DE＝2x，∵DC＝DB＝5﹣5x，CE＝2﹣x，在Rt△CDE中，（2x）2+（2﹣x）2＝（5﹣5x）2，解得x＝，∴AD＝5x＝，BD＝5﹣5x＝，∴＝＝．22．（12分）已知两个函数：y1＝ax+4，y2＝a（x﹣）（x﹣4）（a≠0）．（1）求证：y1的图象经过点M（0，4）；（2）当a＞0，﹣2≤x≤2时，若y＝y2﹣y1的最大值为4，求a的值；（3）当a＞0，x＜2时，比较函数值y1与y2的大小．【解答】解：（1）证明：当x＝0时，y1＝0+4＝4，∴点M（0，4）在y1的图象上，即y1的图象经过点M（0，4）；（2）∵y1＝ax+4，y2＝a（x﹣）（x﹣4）（a≠0）．∴y＝y2﹣y1＝a（x﹣）（x﹣4）﹣（ax+4），即y＝，∵a＞0，对称轴为x＝＞2，∴当﹣2≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴当x＝﹣2时，y取最大值为4a+11a+2a﹣4＝17a﹣4，∵y＝y2﹣y1的最大值为4，∴17a﹣4＝4，解得，a＝；（3）由（2）知y＝y2﹣y1＝，当a＞0，x＜2时，随x的增大而减小，当x＝2时，y＝y2﹣y1＝4a﹣11a+2a﹣4＝﹣5﹣4＜0，又当y＝0时，＝0，即2ax2﹣11ax+4a﹣8＝0，x＝，∵△＝121a2﹣32a2+64a＝89a2+64a＞0，∴，根据二次函数的增减性可得，当＜x＜2时，y2﹣y1＜0，即y2＜y1；当x＝时，y2﹣y1＝0，即y2＝y1；当x＜时，y2﹣y1＞0，即y2＞y1．23．（12分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，O为BC边中点，BC＝8，点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合），点H、F是线段AC上的动点，且EF∥GH∥BC．设点O到EF、GH的距离分别为x、y．（1）若△EOF的面积为S：①用关于x的代数式表示线段EF的长；②求S的最大值；（2）以点O为圆心，当以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合时，求x与y应满足的关系式，并求x的取值范围．【解答】解：（1）①如图1，连接OA，交EF于M，∵AB＝AC，O为BC边中点，∴OA⊥BC，∵EF∥BC，∴AM⊥EF，∵BC＝8，∴OB＝BC＝4，在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝＝3，∵点O到EF的距离为为x，∴OM＝x，∴AM＝OA﹣OM＝3﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴，∴EF＝（2﹣x）；②由①知，EF＝（3﹣x），∴S＝S△OEF＝×（3﹣x）•x＝﹣（x2﹣3x）＝﹣（x﹣）2+3，∵﹣＜0，∴当x＝时，S最大＝3；（2）如图2，∵以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合，∴OE＝OG，过点O作OD⊥AB于D，∴DE＝DG，连接OA，由（1）知，OA⊥BC，OA＝3，在Rt△AOB中，sin B＝＝，cos A＝＝，过点E作EP⊥BC于P，PE＝x，在Rt△BPE中，sin B＝，∴BE＝＝x，过点G作DQ⊥BC于Q，GQ＝y，在Rt△BQG中，BG＝＝y，∴DE＝EG＝（BG﹣BE）＝（y﹣x），在Rt△BDO中，BD＝OB•cos B＝4×＝，∴DE＝BD﹣BE＝﹣x，∴（y﹣x）＝﹣x，∴y＝﹣x+（Ⅰ）∵点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合），∴0＜y＜3（Ⅱ），由（Ⅰ）（Ⅱ）得，﹣＜x＜∵x＞0，∴0＜x＜即：y＝﹣x+（0＜x＜）．。
2022-2023学年浙江杭州西湖区数学九上期末经典试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，点D 在以AC 为直径的⊙O 上，如果∠BDC ＝20°，那么∠ACB 的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．60°D ．70°2．若ABC ∆与DEF ∆的相似比为1：4，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为（ ） A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：163．下列说法正确的是（ ）A ．了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查B ．一组数据3，6，6，7，9的中位数是6C ．从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000D ．一组数据1，2，3，4，5的方差是104．已知2x =3y (y≠0)，则下面结论成立的是（ ）A ．32x y =B ．23x y=C ．23x y = D ．23x y = 5．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A ，那么此用电器的可变电阻应( )A ．不小于4.8ΩB ．不大于4.8ΩC ．不小于14ΩD ．不大于14Ω6．将函数22y x =的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，可得到的抛物线是：（ ） A ．22(1)3y x =-- B ．2y 2(x 1)3=-+ C ．22(1)3y x =+- D ．2y 2(x 1)3=++7．铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y ＝－112x 2＋23x ＋53.则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10 m8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB 、OD ，若∠BOD = ∠BCD ，则∠A 的度数为（ ）A ．60°B ．70°C ．50°D ．45°9．一元二次方程x （3x+2）＝6（3x+2）的解是（ ） A ．x ＝6B ．x ＝﹣23C ．x 1＝6，x 2＝﹣23 D ．x 1＝﹣6，x 2＝2310．如图，BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，AB BC =，∠AOB＝60°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°11．下表是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分x ，y 的对应值：x … ﹣1 ﹣1212132252 3 …y … 2 m ﹣1﹣74﹣2﹣74﹣1 142 …可以推断m 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．14D ．212．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝40°，则∠D 的度数为( )A ．140°B ．135°C ．130°D ．125°二、填空题（每题4分，共24分）13．如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象．（1）甲的速度______乙的速度．（大于、等于、小于） （2）甲乙二人在______时相遇；（3）路程为150千米时，甲行驶了______小时，乙行驶了______小时．14．在一个不透(明的袋子中装有除了颜色外其余均相同的8个小球，其中红球3个，黑球5个，若再放入m 个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于45，则m 的值为__________． 15．已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为_____． 16．如图，以点O 为位似中心，将OAB ∆放大后得到OCD ∆，2,3OA AC ==，则ABCD=____．17．如图，已知AD ∥EF ∥BC ，如果AE =2EB ，DF =6，那么CD 的长为_____．18．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC 的度数为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）已知抛物线的顶点坐标为（1，2），且经过点（3，10）求这条抛物线的解析式． 20．（8分）已知一次函数y 1=ax+b 的图象与反比例函数y 2=的图象相交于A 、B 两点，坐标分别为（—2，4）、（4，—2）．（1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB 的面积；（3）直线AB 上是否存在一点P （A 除外），使△ABO 与以B ﹑P 、O 为顶点的三角形相似？若存在，直接写出顶点P 的坐标．21．（8分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研其性质——运用函数解决问题”的学习过程．如图，在平面直角坐标系中己经绘制了一条直线1l ．另一函数2y 与x 的函数关系如下表：x… －6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 …2y… －2－0.251 1.752 1.75 1－0.25－2－4.25－7 －10.25－14…（1）求直线1l 的解析式；（2）请根据列表中的数据，绘制出函数2y 的近似图像；（3）请根据所学知识并结合上述信息拟合出函数2y 的解折式，并求出2y 与1l 的交点坐标． 22．（10分）如图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与反比例函数y ＝2k x的图象相交于A ，B 两点，点A 的坐标为（﹣1，3），点B 的坐标为（3，n ）． （1）求这两个函数的表达式；（2）点P 在线段AB 上，且S △APO ：S △BOP ＝1：3，求点P 的坐标．23．（10分）直线1y k x b =+与双曲线2k y x=只有一个交点12A （，），且与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，AD 垂直平分OB ，交x 轴于点D ．（1）求直线1y k x b =+、双曲线2k y x =的解析式； （2）过点B 作x 轴的垂线交双曲线2ky x=于点E ，求 ABE ∆的面积．24．（10分）如下图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ．另一边交CB 的延长线于点G ．（1）观察猜想：线段EF 与线段EG 的数量关系是 ；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB a 、BC b =，求EFEG的值． 25．（12分）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标； （3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标. 26．用适当的方法解一元二次方程： （1）x 2+4x ﹣12＝0 （2）2x 2﹣4x +1＝0参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、D【分析】由AC 为⊙O 的直径，可得∠ABC ＝90°，根据圆周角定理即可求得答案. 【详解】∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°，∵∠BAC ＝∠BDC ＝20°， ∴9070ACB BAC ∠=︒-∠=︒. 故选：D . 【点睛】本题考查了圆周角定理，正确理解直径所对的圆周角是直角，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键. 2、C【分析】根据相似三角形的性质解答即可.【详解】解：∵ABC ∆与DEF ∆的相似比为1：4，∴ABC ∆与DEF ∆的周长比为：1：4. 故选：C. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于应知应会题型，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键. 3、B【解析】选项A ，了解飞行员视力的达标率应使用全面调查，此选项错误；选项B ，一组数据3，6，6，7，9的数的个数是奇数，故中位数是处于中间位置的数6，此选项正确；选项C ，从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量应该是200，此选项错误；选项D ，一组数据1，2，3，4，5的平均数=15（1+2+3+4+5）=3，方差=15［（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2］=2，此选项错误． 故答案选B ． 4、A【解析】试题解析：A 、两边都除以2y ，得32x y =，故A 符合题意；B 、两边除以不同的整式，故B 不符合题意；C 、两边都除以2y ，得32x y =，故C 不符合题意； D 、两边除以不同的整式，故D 不符合题意； 故选A ．5、A【分析】先由图象过点（1，6），求出U 的值．再由蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A ，求出用电器的可变电阻的取值范围．【详解】解：由物理知识可知：I=，其中过点（1，6），故U=41，当I ≤10时，由R ≥4.1．故选A ． 【点睛】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数y=的图象是双曲线，当k ＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k ＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 6、C【分析】先根据“左加右减”的原则求出函数y=-1x 2的图象向左平移2个单位所得函数的解析式，再根据“上加下减”的原则求出所得函数图象向下平移1个单位的函数解析式．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将函数22y x 的图象向左平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将函数y=2（x+1）2的图象向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2-1． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 7、D【分析】依题意，该二次函数与x 轴的交点的x 值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x 的正数值． 【详解】把y=0代入y=-112x 1+23x+53得：-112x 1+23x+=0，解之得：x 1=2，x 1=-1． 又x ＞0，解得x=2． 故选D ． 8、A【分析】根据圆内接四边形的性质，构建方程解决问题即可． 【详解】设∠BAD=x ，则∠BOD=2x ，∵∠BCD=∠BOD=2x ，∠BAD ＋∠BCD=180°，∴3x=180°，∴x=60°，∴∠BAD=60°.故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．9、C【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求出答案．【详解】解：∵x（3x+2）＝6（3x+2），∴（x﹣6）（3x+2）＝0，∴x＝6或x＝23 -，故选：C．【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键.10、D【解析】试题分析：直接根据圆周角定理求解．连结OC，如图，∵AB=BC，∴∠BDC=12∠BOC=12∠AOB=12×60°=30°．故选D．考点：圆周角定理．11、C【分析】首先根据表中的x、y的值确定抛物线的对称轴，然后根据对称性确定m的值即可．【详解】解：观察表格发现该二次函数的图象经过点（12，﹣74）和（32，﹣74），所以对称轴为x＝13222+＝1，∵511122⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， ∴点（﹣12，m ）和（52，14）关于对称轴对称， ∴m ＝14， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是通过表格信息确定抛物线的对称轴． 12、C【分析】根据圆周角定理可知90ACB ∠=︒，再由三角形的内角和可得50B ∠=︒，最后根据圆内接四边形的性质即可得. 【详解】AB 是半圆O 的直径90ACB ∴∠=︒（圆周角定理）9050B BAC ∴∠=︒-∠=︒180130D B ∴∠=︒-∠=︒（圆内接四边形的对角互补）故选：C. 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理、圆内接四边形的性质，掌握灵活运用各定理和性质是解题关键.二、填空题（每题4分，共24分） 13、 (1)、小于；(2)、6；(3)、9、4【解析】试题分析：根据图像可得：甲的速度小于乙的速度；两人在6时相遇；甲行驶了9小时，乙行驶了4小时. 考点：函数图像的应用 14、1【分析】由概率=所求情况数与总情况数之比，根据随机摸出一个球是黑球的概率等于45可得方程，继而求得答案． 【详解】根据题意得：5485m m +=+， 解得：7m =． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15、1【分析】根据题意首先求出m n +，再将所求式子因式分解，最后代入求值即可．【详解】把1x =代入一元二次方程20x mx n ++=得1m n +=-，所以()()2222211m mn n m n ++=+=-=.故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及因式分解求代数式的值，明确方程的解的意义即熟练因式分解是解决问题的关键．16、25． 【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．【详解】解：∵以点O 为位似中心，将OAB ∆放大后得到OCD ∆，2,3OA AC ==， ∴22235OA AB OC CD ===+． 故答案为25． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．17、9【解析】∵AD ∥EF ∥BC ，2AE DF BE FC==,∴DF=6, ∴FC=3,DC=DF+FC=9,故答案为9. 18、110°【解析】试题分析：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC ，∴∠BDC=∠BOC ﹣∠B=100°﹣30°=70°，∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，故答案为110°．考点：圆周角定理．三、解答题（共78分）19、y ＝1（x ﹣1）1+1．【分析】根据题意设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）1+1，代入（3，10）求解即可．【详解】解：根据题意设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）1+1，把（3，10）代入得a （3﹣1）1+1＝10，解得a ＝1，所以抛物线解析式为y ＝1（x ﹣1）1+1．【点睛】本题考查了抛物线的问题，掌握抛物线的性质以及解析法、待定系数法是解题的关键．20、（1）y=-x+2 ，y=8x -；（2）AOB 的面积为6；（3）（73，13-）． 【详解】（1）将点（－2，4）、（4，－2）代入y 1=ax+b ，得2442k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：12k b =-⎧⎨=⎩， ∴y=-x+2 ，将点（－2，4）代入y 2=k x ，得k ＝－8， ∴y=8x-； （2）在y=-x+2中，当y ＝0时，x ＝2，所以一次函数与x 轴交点是（2，0），故△AOB 的面积为=112422622⨯⨯+⨯⨯=；（3）∵OA ＝OB =∴△OAB 是等腰三角形，∵△ABO 与△BPO 相似，∴△BPO 也是等腰三角形，故只有一种情况，即P 在OB 的垂直平分线上，设P （x ，-x+2）则22222422x x x x ， 解得：73x =， ∴顶点P 的坐标为（73，13-）. 21、（1）132y x =-；（2）见解析；（3）交点为()2,2-和()8,7-- 【分析】（1）根据待定系数法即可求出直线1l 的解析式；（2）描点连线即可；（3）根据图象得出函数为二次函数，顶点坐标为(-2，2)，用待定系数法即可求出抛物线的解析式，解方程组即可得出2y 与1l 交点坐标．【详解】（1）设直线1l 的解析式为y =kx +m ．由图象可知，直线1l 过点(6，0)，(0，-3)，∴603k m m +=⎧⎨=-⎩，解得：123k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴132y x =-； （2）图象如图：（3）由图象可知：函数2y 为抛物线，顶点为()2,2-．设其解析式为：()222y a x =++从表中选一点()0,1代入得： 1=4a +2，解出：14a =-， ∴()221224y x =-++， 即22114y x x =--+． 联立两个解析式：2132114y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩， 解得：22x y =⎧⎨=-⎩或87x y =-⎧⎨=-⎩，∴交点为()2,2-和()8,7--．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象求出一次函数和二次函数的解析式是解答本题的关键．22、（1）反比例函数解析式为y ＝﹣3x；一次函数解析式为y ＝﹣x +2；（2）P 点坐标为（0，2）． 【分析】（1））先把点A 点坐标代入y=2k x 中求出k 2得到反比例函数解析式为y=-3x ；再把B （3，n ）代入y=-3x 中求出n 得到得B （3，-1），然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）设P （x ，-x+2），利用三角形面积公式得到AP ：PB=1：3，即PB=3PA ，根据两点间的距离公式得到（x-3）2+（-x+2+1）2=9[（x+1）2+（-x+2-3）2]，然后解方程求出x 即可得到P 点坐标．【详解】（1）把点A （﹣1，3）代入y ＝2k x 得k 2＝﹣1×3＝﹣3，则反比例函数解析式为y ＝﹣3x ； 把B （3，n ）代入y ＝﹣3x得3n ＝﹣3，解得n ＝﹣1，则B （3，﹣1）， 把A （﹣1，3），B （3，﹣1）代入y ＝k 1x +b 得11331k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得1k 1b 2=-⎧⎨=⎩， ∴一次函数解析式为y ＝﹣x +2；（2）设P （x ，﹣x +2），∵S △APO ：S △BOP ＝1：3，∴AP ：PB ＝1：3，即PB ＝3PA ， ∴（x ﹣3）2+（﹣x +2+1）2＝9[（x +1）2+（﹣x +2﹣3）2]，解得x 1＝0，x 2＝﹣3（舍去），∴P 点坐标为（0，2）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．23、（1）24y x =-+；2y x =；（2）12ABE S ∆=． 【分析】（1）由题意利用待定系数法求一次函数以及反比例函数解析式即可；（2）根据题意求出BE 和BD 的值，运用三角形面积公式即可得解.【详解】解：（1）由已知得OD 1=，OB 2DO 2==，∴B 20（，）. 将点A 、点B 坐标代入1y k x b =+，得1102k 2k b b =+⎧⎨=+⎩，解得1k 24b =-⎧⎨=⎩， 直线解析式为y 2x 4=-+；将点A 坐标代入2k y x=得2k 2=， ∴反比例函数的解析式为2y x =. （2）∵E 和B 同横轴坐标，∴当x 2=时2y 1x==，即 BE 1= ， ∵B 20（，），A 12（，），D （1，0） ∴BD=1，即为ΔABE 以BE 为底的高， ∴ΔABE 11S BE ?DB 22==. 【点睛】本题考查反比例函数和几何图形的综合问题，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式以及运用数形结合思维分析是解题的关键.24、（1）EF EG =；（2）成立，证明过程见解析；（3）EF b EG a=. 【分析】（1）利用三角形全等的判定定理与性质即可得；（2）如图（见解析），过点E 分别作,EH BC EI CD ⊥⊥，垂足分别为,H I ，证明方法与题（1）相同；（3）如图（见解析），过点E 分别作,EM BC EN CD ⊥⊥，垂足分别为,M N ，先同（2）求出FEN GEM ∠=∠，从而可证FEN GEM ∆~∆，由相似三角形的性质可得EF EN EG EM=，再根据平行线的性质和相似三角形的性质求出EN EM的值，即可得出答案. 【详解】（1）EF EG =，理由如下：由直角三角板和正方形的性质得90ED EB D EBC BED GEF =⎧⎨∠=∠=∠=∠=︒⎩9090FED BEF GEB BEF D EBG ∠+∠=∠+∠=︒⎧∴⎨∠=∠=︒⎩ FED GEB ∴∠=∠在FED ∆和GEB ∆中，90FED GEB ED EB D EBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩()FED GEB ASA ∴∆≅∆EF EG ∴=；（2）成立，证明如下：如图，过点E 分别作,EH BC EI CD ⊥⊥，垂足分别为,H I ，则四边形EHCI 是矩形90HEI ∴∠=︒90,90FEI HEF GEH HEF ∴∠+∠=︒∠+∠=︒FEI GEH ∴∠=∠由正方形对角线的性质得，AC 为BCD ∠的角平分线则EI EH =在FEI ∆和GEH ∆中，90FEI GEH EI EH FIE GHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩()FEI GEH ASA ∴∆≅∆EF EG ∴=；（3）如图，过点E 分别作,EM BC EN CD ⊥⊥，垂足分别为,M N同（2）可知，FEN GEM ∠=∠由长方形性质得：90,90,D ENC ABC EMC AD BC b ∠=∠=︒∠=∠=︒==//,//EN AD EM AB ∴,CEN CAD CEM CAB ∴∆~∆∆~∆,EN CE EM CE AD CA AB CA∴== EN EM AD AB ∴=，即EN AD b EM AB a== 在FEN ∆和GEM ∆中，90FEN GEM FNE GME ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩FEN GEM ∴∆~∆EF EN b EG EM a∴==.【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质，较难的是题（3），通过作辅助线，构造两个相似三角形是解题关键.25、（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3yx .（2）2()1,M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317(--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+， 得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =， ∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-.（注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）. （3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+，①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 13172t +=，23172t =. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或317⎛+- ⎝⎭或317⎛-- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．26、（1）16x ＝-，22x ＝；（2）1212x +＝，2212x -＝ 【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【详解】解：（1）∵x 2+4x ﹣12＝0，∴（x +6）（x ﹣2）＝0，则x +6＝0或x ﹣2＝0，解得16x ＝-，22x ＝；（2）∵a ＝2，b ＝﹣4，c ＝1，∴△＝（﹣4）2﹣4×2×1＝8>0，则x 1=±∴112x +＝，212x -＝ 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟悉一元二次方程的解法．。
2022-2023学年浙江省杭州市西湖区数学九上期末经典试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，半径为3的⊙O 内有一点A ，OA=3，点P 在⊙O 上，当∠OPA 最大时，PA 的长等于（ ）A ．3B ．6C ．3D ．232．如图，一次函数y 1＝x ＋b 与一次函数y 2＝kx ＋4的图象交于点P （1，3），则关于x 的不等式x ＋b ＞kx ＋4的解集是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＞0C ．x ＞1D ．x ＜13．相邻两根电杆都用锅索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P 离地面（ ）A ．2.4米B ．8米C ．3米D ．必须知道两根电线杆的距离才能求出点P 离地面距离4．在ABC ∆中，90C ∠=︒，2sin 5A =，则sinB 的值是（ ）A ．23B ．25C ．215D ．455．如图，在直角坐标系中，⊙A 的半径为2，圆心坐标为（4，0），y 轴上有点B （0，3），点C 是⊙A 上的动点，点P 是BC 的中点，则OP 的范围是（ ）A ．3722OP ≤≤B ．2≤OP≤4C ．52≤OP≤92D ．3≤OP≤46．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．67.5°7．如图，已知点A 是双曲线y ＝2x在第一象限的分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，两垂线交于点C ，随着点A 的运动，点C 的位置也随之变化．设点C 的坐标为(m ，n)，则m ，n 满足的关系式为( )A ．n ＝－2mB ．n ＝－2mC ．n ＝－4mD ．n ＝－4m 8．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：0abc >①；240b ac -<②；42a c b ③+>；22()a c b +>④；()x ax b a b +≤-⑤，其中正确结论的是( )A．①③④B．②③④C．①③⑤D．③④⑤9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )+n mileA．303n mile B．60 n mile C．120 n mile D．(30303)10．下列对于二次根式的计算正确的是( )A．336+=B．233-＝2C．233⨯＝18÷＝2 D．23311．如图所示几何体的左视图是（）A． B．C．D．12．如图，小明想利用太阳光测量楼高，发现对面墙上有这栋楼的影子，小明边移动边观察，发现站在点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重合且高度恰好相同.此时测得墙上影子高B E D在同一条直线上).已知小明身高EF是1.6m，则楼高AB为（）===(点,,CD m DE m BD m1.2,0.6,30A．20m B．21.2m C．31.2m D．31m 二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在反比例函数6(0)y xx=-<的图象上任取一点P，过P点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，那么四边形PMON的面积为_____．14．如图，Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝1．动点P以每秒3个单位的速度从点A开始向点C移动，直线l 从与AC重合的位置开始，以相同的速度沿CB方向平行移动，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P移动到与点C重合时，点P和直线l同时停止运动．在移动过程中，将PEF 绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在直线l上，点F的对应点记为点N，连接BN，当BN∥PE时，t的值为_____．15．某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况.如表：节水量/m30.2 0.25 0.3 0.4 0.5家庭数/个 2 4 6 7 1请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_____m3.16．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，如果AB＝8cm，小圆直径径为6cm，那么大圆半径为_____cm．17．将一副三角板按图所示的方式叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，并能使O 点自由旋转，设AOC α∠=，BOD β∠=，则α与β之间的数量关系是__________．18．Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B 的直线把△ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，F 是ABC ∆中AB 边上的中点，//FM AC 交BC 于点M ，C 是BDF ∆中BD 边上的中点，且AC 与DF 交于点E .（1）求EC AC的值. （2）若,AB m BF CE ==，求AC 的长. （用含m 的代数式表示）20．（8分）如图，在Rt ABC 中，∠A=90°，AB=12cm ，AC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以每秒2cm 的速度移动，点Q 沿CA 边从点C 开始向点A 以每秒1cm 的速度移动，P 、Q 同时出发，用t 表示移动的时间．（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形?（2）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似?21．（8分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC 的坡度i 为1:2，顶端C 离水平地面AB 的高度为10m ，从顶棚的D 处看E 处的仰角1830'α=，竖直的立杆上C 、D 两点间的距离为4m ，E 处到观众区底端A 处的水平距离AF 为3m ．求：（1）观众区的水平宽度AB ；（2）顶棚的E 处离地面的高度EF ．（sin1830'0.32≈，tan1830'0.33≈，结果精确到0.1m ）22．（10分）在数学活动课上，同学们用一根长为1米的细绳围矩形．(1)小明围出了一个面积为600cm 2的矩形，请你算一算，她围成的矩形的长和宽各是多少？(2)小颖想用这根细绳围成一个面积尽可能大的矩形，请你用所学过的知识帮他分析应该怎么围，并求出最大面积.23．（10分）在直角坐标平面内，某二次函数图象的顶点为()0,4A -，且经过点()3,0B ．（1）求该二次函数的解析式；（2）求直线y=-x-1与该二次函数图象的交点坐标．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个项点的坐标分别是()2,2A 、()4,0B 、(4,C -4).（1）在y 轴左侧画DEF ∆，使其与ABC ∆关于点O 位似，点D 、E 、F 分别于A 、B 、C 对应，且相似比为12； （2）DEF ∆的面积为_______.25．（12分）如图，一次函数y ＝kx+b 与反比例函数y ＝m x（x ＜0）的图象相交于点A 、点B ，与X 轴交于点C ，其中点A （﹣1，3）和点B （﹣3，n ）．（1）填空：m ＝ ，n ＝ ．（2）求一次函数的解析式和△AOB 的面积．（3）根据图象回答：当x 为何值时，kx+b≥m x （请直接写出答案） ．26．小涛根据学习函数的经验，对函数2y ax x =-的图像与性质进行了探究，下面是小涛的探究过程，请补充完整： （1）下表是x 与y 的几组对应值x ．．．-2 -1 0 1 2 12+ 3 ．．． y ．．． -8 -30 m n 1 3 ．．． 请直接写出：a =， m=， n=； （2）如图，小涛在平面直角坐标系中，描出了上表中已经给出的部分对应值为坐标的点，再描出剩下的点，并画出该函数的图象；（3）请直接写出函数2y ax x =-的图像性质：；（写出一条即可）（4）请结合画出的函数图象，解决问题：若方程2ax x t -=有三个不同的解，请直接写出t 的取值范围．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】如图所示：∵OA、OP是定值，∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，∴PA⊥OA时，PA取最小值；在直角三角形OPA中,OA=3√，OP=3，∴22=6OP OA-故选B.点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理的应用.解答此题的关键是找出“PA⊥OA时，∠OPA最大”这一隐含条件. 当PA⊥OA时，PA取最小值，∠OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．2、C【解析】试题分析：当x＞1时，x+b＞kx+4，即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．故选C．考点：一次函数与一元一次不等式．3、A【分析】如图，作PE⊥BC于E，由CD//AB可得△APB∽△CPD，可得对应高CE与BE之比，根据CD∥PE可得△BPE∽△BDC，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．【详解】如图，作PE⊥BC于E，∵CD∥AB，∴△APB∽△CPD，∴6342 AB AP BECD PC CE====，∴35 BEBC=，∵CD∥PE，∴△BPE∽△BDC，∴PE BE CD BC=，∴3 45 PE=，解得：PE＝2.1．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的应用，平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；正确作出辅助线构建相似三角形并熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．4、C【分析】作出图形，设BC=2k，AB=5k，利用勾股定理列式求出AC，再根据锐角的正弦等于对边比斜边，列式即可得解．【详解】解：如图，2sin5A=∴设BC=2k，AB=5k，∴由勾股定理得2222542121AC k k k k=-==∴2121 sinAC kBAB===故选C.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用“设k法”表示出三角形的三边求解更加简便．5、A【分析】如图，在y轴上取点B'（0，﹣3），连接B'C，B'A，由勾股定理可求B'A＝5，由三角形中位线定理可求B'C＝2OP ，当点C 在线段B'A 上时，B'C 的长度最小值＝5﹣2＝3，当点C 在线段B'A 的延长线上时，B'C 的长度最大值＝5+2＝7，即可求解．【详解】解：如图，在y 轴上取点B'（0，﹣3），连接B'C ，B'A ，∵点B （0，3），B'（0，﹣3），点A （4，0），∴OB ＝OB'＝3，OA ＝4， ∴22009165B A A B ''=++=，∵点P 是BC 的中点，∴BP ＝PC ，∵OB ＝OB'，BP ＝PC ，∴B'C ＝2OP ，当点C 在线段B'A 上时，B'C 的长度最小值＝5﹣2＝3，当点C 在线段B'A 的延长线上时，B'C 的长度最大值＝5+2＝7， ∴3722OP ≤≤， 故选：A ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平面直角坐标系，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握三角形中位线定理的相关内容，能够得到线段之间的数量关系.6、D【分析】利用圆的切线的性质定理、等腰三角形的性质即可得出．【详解】解：∵PD 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥CD ，在Rt △OCD 中，又CD=OC ，∴∠COD=45°．∵OC=OA ，∴∠OCA ＝12×45°=22.5°．∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．故选：D ．【点睛】本题考查切线的性质定理,熟练掌握圆的切线的性质定理、等腰三角形的性质是解题的关键．7、B【解析】试题分析：首先根据点C 的坐标为（m ，n ），分别求出点A 为（2n ，n ），点B 的坐标为（-2n ，-n ），根据图像知B 、C 的横坐标相同，可得-2n =m. 故选B点睛：此题主要考查了反比例函数的图像上的点的坐标特点，解答此题的关键是要明确：①图像上的点(x ，y)的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在坐标系的图像上任取一点，过这个点向x 轴、y 轴分别作垂线．与坐标轴围成的矩形的面积是一个定值|k|. 8、C【分析】利用图象信息以及二次函数的性质一一判断即可；【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴x ＝﹣1＝2b a-， ∴b ＜0，∵抛物线交y 轴于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故①正确，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，故②错误，∵x ＝﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2b +c ＞0，∴4a +c ＞2b ，故③正确，∵x ＝﹣1时，y ＞0，x ＝1时，y ＜0，∴a ﹣b +c ＞0，a +b +c ＜0，∴(a ﹣b +c) (a +b +c)＜0∴22()0a c b +-＜，∴22()a c b +＜，故④错误，∵x ＝﹣1时，y 取得最大值a ﹣b +c ，∴ax 2+bx +c ≤a ﹣b +c ，∴x （ax +b ）≤a ﹣b ，故⑤正确．故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9、D【分析】过点C 作CD ⊥AB ，则在Rt △ACD 中易得AD 的长，再在直角△BCD 中求出BD ，相加可得AB 的长．【详解】过C 作CD ⊥AB 于D 点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=1．在Rt △ACD 中，cos ∠ACD=CD AC， ∴CD=AC•cos ∠ACD=1×3303= 在Rt △DCB 中，∵∠BCD=∠B=45°，∴3∴3．答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是（3nmile ．故选D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．10、C【解析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．【详解】A、原式=23，所以A选项错误；B、原式＝3，所以B选项错误；C、原式＝2，所以C选项正确；D、原式＝6，所以D选项错误．故选C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．11、B【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：如图所示，几何体的左视图是：．故选：B．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．12、B∽，从而得出AN，进而【分析】过点C作CN⊥AB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明CFM CAN求得AB的长．【详解】过点C作CN⊥AB，垂足为N，交EF于M点，∴四边形CDEM、BDCN是矩形，∴ 1.2300.6BN ME CD m CN BD m CM DE m =======，，，∴ 1.6 1.20.4MF EF ME m =-=-=，依题意知，EF ∥AB ，∴CFM CAN ∽， ∴CM FM CN AN =，即：0.60.430AN=， ∴AN=20，20 1.221.2AB AN BN =+=+=(米)，答：楼高为21.2米．故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．二、填空题（每题4分，共24分）13、1【分析】设出点P 的坐标，四边形PMON 的面积等于点P 的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可．【详解】设点P 的坐标为（x ，y ），∵点P 的反比例函数的图象上，∴xy ＝﹣1，作PM x ⊥轴于M ，作PN y ⊥轴于N ，∴四边形PMON 为矩形，∴四边形PMON 的面积为|xy |＝1，故答案为1．【点睛】考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．注意面积应为正值．14、4021【分析】作NH ⊥BC 于H ．首先证明∠PEC ＝∠NEB ＝∠NBE ，推出EH ＝BH ，根据cos ∠PEC ＝cos ∠NEB ，推出ECPE ＝EH EN，由此构建方程解决问题即可． 【详解】解：作NH ⊥BC 于H ．∵EF ⊥BC ，∠PEF ＝∠NEF ，∴∠FEC ＝∠FEB ＝90°，∵∠PEC +∠PEF ＝90°，∠NEB +∠FEN ＝90°，∴∠PEC ＝∠NEB ，∵PE ∥BN ，∴∠PEC ＝∠NBE ，∴∠NEB ＝∠NBE ，∴NE ＝NB ，∵HN ⊥BE ，∴EH ＝BH ，∴cos ∠PEC ＝cos ∠NEB ， ∴EC PE ＝EH EN， ∵EF ∥AC ， ∴EF AC ＝BE BC， ∴10EF ＝16316t -， ∴EF ＝EN ＝58(1﹣3t )， 229(103)t t +-＝1(163)25(163)8t t --， 整理得：63t 2﹣960t +100＝0，解得t ＝4021或403(舍弃)， 故答案为：4021． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．15、130【解析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答．【详解】20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：（0.2×2+0.25×4+0.3×6+0.4×7+0.5×1）÷20=0.325（m 3），因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：400×0.325=130（m 3），故答案为130.【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可，关键是求出样本的平均数． 16、1【分析】连接OA ，由切线的性质可知OP ⊥AB ，由垂径定理可知AP ＝PB ，在Rt △OAP 中，利用勾股定理可求得OA 的长．【详解】如图，连接OP ，AO ，∵AB 是小圆的切线，∴OP ⊥AB ，∵OP 过圆心，∴AP ＝BP ＝12AB ＝4cm ， ∵小圆直径为6cm ，∴OP ＝3cm ，在Rt △AOP 中，由勾股定理可得OA 2243+1（cm ），即大圆的半径为1cm ，故答案为：1．【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，在圆中垂径定理通常与勾股定理一起运用求半径、弦、弦心距中的一个量的值. 17、180αβ+=︒【分析】分重叠和不重叠两种情况讨论，由旋转的性质，即可求解．【详解】如图，由题意得：90AOB COD ∠=∠=︒，AOC α=，BOD β∠=，AOC BOD αβ∴+=∠+∠AOC BOC COD =∠+∠+∠9090180AOB COD ︒︒︒=∠+∠=+=9090=︒+︒180=︒．如图，由题意得：90AOB COD ∠=∠=︒，AOC α∠=，BOD β∠=，360AOC COD BOD AOB ︒∠+∠+∠+∠=，AOC BOD αβ∴+=∠+∠360AOB COD -∠+∠︒=3609090=︒-︒-︒180=︒．综上所述，180αβ+=︒，故答案为：180αβ+=︒．【点睛】本题考查了旋转的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．18、3.1或4.32或4.2【解析】在Rt △ABC 中，通过解直角三角形可得出AC=5、S △ABC =1，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．【详解】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4， ∴AB=22AB BC +=5，S △ABC =12AB•BC=1． 沿过点B 的直线把△ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：①当AB=AP=3时，如图1所示，S 等腰△ABP =AP AC •S △ABC =35×1=3.1； ②当AB=BP=3，且P 在AC 上时，如图2所示， 作△ABC 的高BD ，则BD=·34 2.45AB BC AC ⨯==， ∴AD=DP=223 2.4-=1.2，∴AP=2AD=3.1，∴S 等腰△ABP =AP AC •S △ABC =3.65×1=4.32； ③当CB=CP=4时，如图3所示，S 等腰△BCP =CP AC •S △ABC =45×1=4.2； 综上所述：等腰三角形的面积可能为3.1或4.32或4.2，故答案为3.1或4.32或4.2．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）13EC AC =；（2）32m 【分析】（1）通过证明FMD ECD ∆∆，再根据相似三角形对应边成比例即可求出；（2）设AB=m ，由F 是ABC ∆中AB 边上的中点，可得1122FB AB m ==，进而得出12EC m =，根据题意，进而得出332AC EC m == 【详解】解：（1）∵F 为AB 的中点，//FM AC ， ∴M 为BC 的中点，12FM AC =， ∴,CED MFD ECD FMD ∠=∠∠=∠，∴FMDECD ∆∆， ∴23DC EC DM FM ==， ∴22113323EC FM AC AC ==⨯=， ∴13EC AC =. （2）∵AB m =，∴1122FB AB m ==. ∵FB EC =，∴12EC m =. ∵13EC AC =， ∴332AC EC m ==.【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质和三角形的中位线定理，熟练掌握相关性质结合题目条件论证是解题的关键.20、（1）2t s =；（2） 1.2t s =或3t s =．【分析】（1）利用距离=速度×时间可用含t 的式子表示AP 、CQ 、QA 的长，根据QA=AP 列方程求出t 值即可； （2）分△QAP ∽△BAC 和△QAP ∽△CAB 两种情况，根据相似三角形的性质列方程分别求出t 的值即可．【详解】（1）∵点P 的速度是每秒2cm ，点Q 的速度是每秒1cm ，∴2AP t =，CQ t =，6QA t =-，∵QA AP =时，QAP ∆为等腰直角三角形，∴62t t -=，解得：2t =，∴当2t s =时，QAP ∆为等腰直角三角形．（2）根据题意，可分为两种情况，①如图，当QAP ∆∽BAC ∆时，QA AP AB AC =， ∴62126t t -=， 解得：6 1.25t ==，②当QAP ∆∽CAB ∆，QA AP CA AB =， ∴62612t t -=， 解得：3t =，综上所述：当 1.2t s =或3t s =时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与ABC ∆相似．【点睛】本题考查了等腰直角三角形腰长相等的性质，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，正确列出关于t 的方程式是解题的关键．21、（1）20；（2）顶棚的E 处离地面的高度EF 约为21.6m ．【分析】（1）根据坡度的概念计算；（2）作CM EF ⊥于M ，DN EF ⊥于N ，根据正切的定义求出EN ，结合图形计算即可．【详解】（1）∵观众区AC 的坡度i 为1:2，顶端C 离水平地面AB 的高度为10m ，∴()220AB BC m ==，答：观众区的水平宽度AB 为20m ；（2）如图，作CM EF ⊥于M ，DN EF ⊥于N ，则四边形MFBC 、MCDN 为矩形，∴10MF BC ==，4MN CD ==，23DN MC BF ===，在Rt END ∆中，tan EN EDN DN∠=， 则tan 7.59EN DN EDN =⋅∠≈，∴()7.5941021.6EF EN MN MF m =++=++≈，答：顶棚的E 处离地面的高度EF 约为21.6m ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．22、（1）20cm ，30cm ；（2）用这根细绳围成一个边长为25㎝的正方形时，其面积最大，最大面积是6252cm【分析】（1）已知细绳长是1米，则已知围成的矩形的周长是1米，设她围成的矩形的一边长为xcm ，则相邻的边长是50-xcm ．根据矩形的面积公式，即可列出方程，求解；（2）设围成矩形的一边长为xcm ，面积为ycm 2，根据矩形面积公式就可以表示成边长x 的函数，根据函数的性质即可求解．【详解】解：（1）设矩形的长为x ㎝,则宽为10022x -=（50-x)㎝ 根据题意，得x （50-x)=600整理，得x 2－50x ＋600=0解得x 1=20，x 2 =30∴他围成的矩形的长为30㎝，宽为20㎝.（2）设围成的矩形的一边长为m ㎝时，矩形面积为y ㎝2,则有y=m （50-m)=50m-m 2=-(m 2-50m)=-(m 2-50m+252-252)=-(m-25)2＋625∴当m=25㎝时，y 有最大值625㎝．23、（1）2(1)4y x =--；（2）两个函数图象的交点坐标是()2,3-和(1,0)-． 【分析】（1）根据题意可设该二次函数的解析式为2(1)4y a x =--，把点()3,0B 代入函数解析式，求出a 值，进而得出该二次函数的解析式；（2）由题意直线y=-x-1与该二次函数图象有交点得2(1)41x x --=--，进行求解进而分析即可.【详解】解：（1）依题意可设该二次函数的解析式为2(1)4y a x =--，把()3,0代入函数解析式，得2(31)40a --=，解得1a =， 故该二次函数的解析式是2(1)4y x =--.（2）据题意，得2(1)41x x --=--，得12x =，21x =-. 当12x =时，可得1213y x =--=--=-；当21x =-时，可得10y x =--=.故两个函数图象的交点坐标是()2,3-和(1,0)-.【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是设出二次函数的顶点式，求出函数解析式．24、（1）见解析；（2）1.【分析】（1）根据位似的性质得到点()2,2A 、()4,0B 、(4,C -4)的对应点D(-1，-1),E(-2，0),F(-2，2),连线即可得到位似图形；（2）利用底乘高的面积公式计算即可.【详解】（1）如图，（2）由图可知：E(-2，0),F(-2，2)；∴EF=2，∴S△DEF1211 2=⨯⨯=,故答案为：1.【点睛】此题考查位似的性质，位似图形的画法，坐标系中三角形面积的求法，熟练掌握位似图形的关系是解题的关键.25、(1) ﹣3，1；(2) y=x+4，4；（3）﹣3≤x≤﹣1.【分析】（1）已知反比例函数y=mx过点A（﹣1，3），B（﹣3，n）分别代入求得m、n的值即可；（2）用待定系数法求出一次函数的解析式，再求得一次函数与x轴的交点坐标，根据S△AOB=S△AOC﹣S△BOC即可求得△AOB的面积；（3）观察图象，确定一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可.【详解】（1）∵反比例函数y=过点A（﹣1，3），B（﹣3，n）∴m=3×（﹣1）=﹣3，m=﹣3n∴n=1故答案为﹣3，1（2）设一次函数解析式y=kx+b，且过（﹣1，3），B（﹣3，1）∴解得：∴解析式y=x+4∵一次函数图象与x轴交点为C∴0=x+4∴x=﹣4∴C（﹣4，0）∵S△AOB=S△AOC﹣S△BOC∴S△AOB=×4×3﹣×4×1=4（3）∵kx+b≥∴一次函数图象在反比例函数图象上方∴﹣3≤x≤﹣1故答案为﹣3≤x≤﹣1【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、用待定系数法求解析式、用图象法解不等式及用三角形面积的和差求三角形的面积，知识点较为综合但题目难度不大．26、（1）1，1，0 （2）作图见解析 （3）必过点()()0,02,0和．（答案不唯一） （4）01t <<【分析】（1）根据待定系数法求出a 的值，再代入1x =和2x =，即可求出m 、n 的值；（2）根据描点法画出函数的图象即可；（3）根据（2）中函数的图象写出其中一个性质即可；（4）利用图象法，可得函数2y x x =-与y t =有三个不同的交点，根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）将()1,3--代入2y ax x =-中312a -=---33a -=-解得1a =∴2y x x =-当1x =时，121m =-=当2x =时，2220n =⨯-=；（2）如图所示；（3）必过点()()0,02,0和；（4）设直线y t =，由（1）得1a =∵方程2x x t -=有三个不同的解∴函数2y x x =-与y t =有三个不同的交点根据图象即可知，当方程2x x t -=有三个不同的解时，01t <<故01t << ．【点睛】本题考查了函数的图象问题，掌握待定系数法、描点法、图象法、二次函数的性质是解题的关键．。
学浙江省杭州市西湖区九级(上)期末数学试卷
2016-2017学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．已知线段a=2，b=8，则a，b 的比例中项线段为（）A．16 B．±4 C．4 D．﹣42．将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A．y=﹣（x+2）2B．y=﹣x2+2 C．y=﹣（x﹣2）2D．y=﹣x2﹣23．小明的妈妈让他在无法看到袋子里糖果的情形下从袋子里抽出一颗糖果．袋子里有三种颜色的糖果，它们的大小、形状、质量等都相同，其中所有糖果的数量统计如图所示．小明抽到红色糖果的概率为（）A． B． C． D．4．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD的度数为（）A．36°B．72°C．108° D．144°5．若（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）在抛物线y=﹣2x2﹣8x+m上，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y2＜y1＜y3D．y2＜y3＜y16．如图，AB，CD都垂直于x轴，垂足分别为B，D，若A（6，3），C（2，1），则△OCD与四边形ABDC的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：87．己知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=m，那么AB的长为（）A． B．mcosαC．msinαD．8．下列语句中，正确的是（）①三个点确定一个圆；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．A．①②B．②③C．②④D．④9．如图，A、B、C三点在圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是弧BAC的中点，连结DB，DC，则∠DBC的度数为（）A．70°B．50°C．45°D．30°10．在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且△ADE与△ABC相似，AD=EC，BD=10，AE=4，则AB的长为（）A． B．12 C．2+10 D．12或2+10二、填空题11．己知tanα=，则锐角α是．12．如图，在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是．13．已知A，B，C为⊙O上顺次三点且∠AOC=150°，那么∠ABC的度数是．14．若x=2t﹣5，y=10﹣t，S=xy，则当t=?时，S的最大值为．15．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是弧BC上一点，OA与BC交于点E，若AO=8，BC=12，EO=BE，则线段OD=，BE=．16．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△FEC，其中点E正好落在AB上，EF与AC相交于点D，那么=，=．三、解答题17．求函数y=2（x﹣1）（x+2）图象的对称轴以及图象与x轴的交点坐标．18．一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，求下列时间发生的概率：（1）摸出1个红球，1个白球（2）摸出2个红球（要求用列表或画树状图的方法求概率）19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，点P、D分别在边BC、AC 上，AP2=AD?AB，（1）求证：△ADP∽△APC；（2）求∠APD的正弦值．20．如图，已知线段AB，AC（1）作⊙O使得线段AB，AC为⊙O的两条弦（要求尺规作图，保留作图痕迹）（2）在（1）中的⊙O上找出点D，使得点D到A、B两点的距离相等（3）在（2）中，若AB=8，⊙O的半径为5，求△ABD的面积．21．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长＞50m），中间用一道墙隔开（如图），己知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；（2）若要使两间饲养室占地总面积达到200m2，则各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到210m2吗？22．如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点M，且∠A=∠B（1）求证：AC=BD；（2）若OA=4，∠A=30°，当AC⊥BD时，求：①弧CD的长；②图中阴影部分面积．23．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在x轴正半轴上，OA=8，点E在坐标平面内，且AE=12，∠EAO=60°（1）求点E的坐标以及过点O，A，E三点的抛物线表达式；（2）点F（t，0）在x轴上运动，直线FC与直线AE关于某条垂直于x轴的直线对称，且相交于点G，设△GEF的面积为S，当0≤t≤8时，请写出S关于t的函数表达式并求S的最大值．2016-2017学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知线段a=2，b=8，则a，b 的比例中项线段为（）A．16 B．±4 C．4 D．﹣4【分析】设a，b 的比例中项线段为x，则由=得x2=ab=2×8，解之可得答案．【解答】解：设a，b 的比例中项线段为x，则由=得x2=ab=2×8，解得：x=4或x=﹣4＜0（舍去），故选：C．【点评】本题主要考查比例线段，熟练掌握线段的比例中项的定义是解题的关键．2．将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A．y=﹣（x+2）2B．y=﹣x2+2 C．y=﹣（x﹣2）2D．y=﹣x2﹣2【分析】易得原抛物线的顶点和平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数用顶点式可得所求抛物线．【解答】解：∵原抛物线的顶点为（0，0），∴新抛物线的顶点为（﹣2，0），设新抛物线的解析式为y=﹣（x﹣h）2+k，∴新抛物线解析式为y=﹣（x+2）2，故选A．【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；左右平移只改变顶点的横坐标，左加右减．3．小明的妈妈让他在无法看到袋子里糖果的情形下从袋子里抽出一颗糖果．袋子里有三种颜色的糖果，它们的大小、形状、质量等都相同，其中所有糖果的数量统计如图所示．小明抽到红色糖果的概率为（）A． B． C． D．【分析】先利用条形统计图得到绿色糖果的个数为2，红色糖果的个数为5，紫色糖果的个数为8，然后根据概率公式求解．【解答】解：根据统计图得绿色糖果的个数为2，红色糖果的个数为5，紫色糖果的个数为8，所以小明抽到红色糖果的概率==．故选B．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了条形统计图．4．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD的度数为（）A．36°B．72°C．108° D．144°【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD=CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC=∠C==108°，∵CD=CB，∴∠CBD==36°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=72°，故选B．【点评】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n﹣2）×180°是解题的关键．5．若（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）在抛物线y=﹣2x2﹣8x+m上，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y2＜y1＜y3D．y2＜y3＜y1【分析】根据抛物线y=﹣2x2﹣8x+m上，可以求得该函数的对称轴，从而可以得到该函数的各点对应的函数值的大小，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=﹣2x2﹣8x+m，∴该抛物线的对称轴是直线x=﹣2，∴当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，当x=﹣2时取得最大值，∵（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）在抛物线y=﹣2x2﹣8x+m上，观察图象可知，∴y3＜y1＜y2，故选B．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数的图象，利用二次函数的性质解答．6．如图，AB，CD都垂直于x轴，垂足分别为B，D，若A（6，3），C（2，1），则△OCD与四边形ABDC的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8【分析】先求得线段OA所在直线的解析式，从而可判断点C在直线OA上，根据△OCD∽△OAB得=（）2=，继而可得答案．【解答】解：设OA所在直线为y=kx，将点A（6，3）代入得：3=6k，解得：k=，∴OA所在直线解析式为y=x，当x=2时，y=×2=1，∴点C在线段OA上，∵AB，CD都垂直于x轴，且CD=1、AB=3，∴△OCD∽△OAB，∴=（）2=，则△OCD与四边形ABDC的面积比为1：8，故选：D．【点评】本题主要考查坐标与图形的性质及相似三角形的判定与性质，根据题意判断出点O、C、A三点共线是利用相似三角形的判定与性质得前提和关键．7．己知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=m，那么AB的长为（）A． B．mcosαC．msinαD．【分析】根据三角函数的定义进行选择即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=α，BC=m，∴sinα=，∴AB=，故选A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握三个三角函数的定义是解题的关键．8．下列语句中，正确的是（）①三个点确定一个圆；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．A．①②B．②③C．②④D．④【分析】根据圆的确定对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据垂径定理对③进行判断；根据圆内四边形的性质和矩形的判定方法对④进行判断．【解答】解：①当三点在同一条直线上时，就不能确定一个圆了，故此结论错误；②同弧或等弧所对的圆周角相等，故此结论正确；③当弦为直径时就不一定垂直了，故此结论错误；④根据平行四边形的对角相等和圆内接四边形的对角互补，可得圆的内接四边形的两组对角都是直角，故此结论正确；故选：C．【点评】本题主要考查圆的确定、圆周角定理、垂径定理和圆内接四边形的性质等知识点，理解这些定理和性质是解题的关键．9．如图，A、B、C三点在圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是弧BAC的中点，连结DB，DC，则∠DBC的度数为（）A．70°B．50°C．45°D．30°【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，根据圆周角定理求出∠D，求出∠DBC=∠DCB，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=80°，∴∠D=∠A=80°，∵D是弧BAC的中点，∴=，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBC=（180°﹣∠D）=50°，故选B．【点评】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能根据定理求出∠D=∠A和∠DCB=∠DBC是解此题的关键．10．在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且△ADE与△ABC相似，AD=EC，BD=10，AE=4，则AB的长为（）A． B．12 C．2+10 D．12或2+10【分析】由∠A是公共角，可知：当=时，△ADE∽△ABC，当=时，△ADE∽△ACB，又由AD=EC，BD=10，AE=4，即可求得AB的长．【解答】解：∵∠A=∠A，AD=EC，BD=10，AE=4，∴若=时，△ADE∽△ABC，即=，解得：AD=2，则AB=AD+DB=2+10；若=时，△ADE∽△ACB，即=，解得：AD=2，则AB=AD+DB=2+10=12，∴AB的长为12或2+10．故选D．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意△ADE 与△ABC相似分为：△ADE∽△ABC与△ADE∽△ACB两种情况，小心别漏解．二、填空题11．己知tanα=，则锐角α是60°．【分析】根据特殊角的三角函数可得锐角α的度数．【解答】解：∵tanα=，∴锐角α是60°．故答案为：60°．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．12．如图，在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是．【分析】由取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，∴使△ABC为直角三角形的概率是：．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．已知A，B，C为⊙O上顺次三点且∠AOC=150°，那么∠ABC的度数是75°或105°．【分析】由于点B的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：当A、B、C三点如图1所示时，连接AB、BC，∵∠AOC与∠ABC是同弧所对的圆心角与圆周角，∴∠ABC=∠AOC=×150°=75°；当A、B、C三点如图2所示时，连接AB、BC，作对的圆周角∠ADC，∵∵∠AOC与∠ADC是同弧所对的圆心角与圆周角，∴∠ADC=∠AOC=×150°=75°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=180°﹣75°=105°．故答案为：75°或105°．【点评】本题考查的是圆周角定理，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．14．若x=2t﹣5，y=10﹣t，S=xy，则当t=?时，S的最大值为．【分析】根据题意列出S关于t的函数解析式，并配方成顶点式，结合二次函数的性质即可得出最值．【解答】解：∵S=xy=（2t﹣5）（10﹣t）=﹣2t2+25t﹣50=﹣2（t﹣）2+，∴当t=时，S的最大值为，故答案为：，．【点评】本题主要考查二次函数的最值，根据题意列出函数的解析式，并配方成顶点式是解题的关键．15．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是弧BC上一点，OA与BC交于点E，若AO=8，BC=12，EO=BE，则线段OD=2，BE=4．【分析】连接OB，先根据垂径定理得出OD⊥BC，BD=BC，在Rt△BOD中，根据勾股定理即可得出结论；在Rt△EOD中，设BE=x，则OE=x，ED=6﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）连接OB．∵OD过圆心，且D是弦BC中点，∴OD⊥BC，BD=BC，在Rt△BOD中，OD2+BD2=BO2．∵BO=AO=8，BD=6．∴OD=2；在Rt△EOD中，OD2+ED2=EO2．设BE=x，则OE=x，ED=6﹣x．（2）2+（6﹣x）2=（x）2，解得x1=﹣16（舍），x2=4．∴ED=2，∴BE=BD﹣ED=6﹣2=4．故答案是：2；4．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△FEC，其中点E正好落在AB上，EF与AC相交于点D，那么=，=．【分析】过C作CG⊥AB于G，解直角三角形和根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过C作CG⊥AB于G，∵cosB=，∴CG=，∴BG=，∴EG=，∴BE=，∴AE=，∴=；∵∠A=∠F，∠ADE=∠CDF，∴△ADE∽△FDC，∴==．故答案为：，．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、解直角三角形、相似三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质．三、解答题17．求函数y=2（x﹣1）（x+2）图象的对称轴以及图象与x轴的交点坐标．【分析】令y=0代入函数解析式中即可求出函数与x轴的两个交点坐标，由于抛物线的图象是对称的，所以根据抛物线与x轴的两交点即可求出对称轴．【解答】解：令y=0代入y=2（x﹣1）（x+2），∴x=1或x=﹣2∴y=2（x﹣1）（x+2）与x轴的两个交点为（1，0）和（﹣2，0）∴对称轴方程为x==﹣【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是令y=0代入抛物线的解析式中即可求出抛物线与x轴的两个交点，从而求出对称轴，本题属于基础题型．18．一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，求下列时间发生的概率：（1）摸出1个红球，1个白球（2）摸出2个红球（要求用列表或画树状图的方法求概率）【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出一个红球，1个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；（2）根据（1）可求得摸出两个红球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，摸出一个红球，1个白球的有6种情况，∴P（摸出1个红球，1个白球）==；（2）根据（1）画出的树状图可得：摸出两个红球的有9种情况，则P（摸出2个红球）=．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，点P、D分别在边BC、AC 上，AP2=AD?AB，（1）求证：△ADP∽△APC；（2）求∠APD的正弦值．【分析】（1）由AP2=AD?AB，AB=AC，可证得△ADP∽△APC；（2）由相似三角形的性质得到∠APD=∠ACB=∠ABC，作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质可求得AE，由三角函数的定义可得结论，【解答】（1）证明：∵AP2=AD?AB，AB=AC，∴AP2=AD?AC，，∵∠PAD=∠CAP，∴△ADP∽△APC，（2）解：∵△ADP∽△APC，∴∠APD=∠ACB，作AE⊥BC于E，如图所示：∵AB=AC，∴CE=×24=12，∴AE==5，∴sin∠APD=sin∠ACB=，【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．20．如图，已知线段AB，AC（1）作⊙O使得线段AB，AC为⊙O的两条弦（要求尺规作图，保留作图痕迹）（2）在（1）中的⊙O上找出点D，使得点D到A、B两点的距离相等（3）在（2）中，若AB=8，⊙O的半径为5，求△ABD的面积．【分析】（1）根据弦的垂直平分线经过圆心，先作出两条弦的中垂线，其交点即为圆心；（2）根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，即可得出点D；（3）根据垂径定理以及勾股定理，即可得出△ABD的AB边长的高，进而得出△ABD的面积．【解答】解：（1）如图所示，⊙O即为所求；（2）如图所示，点D1，D2即为所求；（3）如图所示，连接AO，则AO=5，∵AB⊥D1D2，AB=8，∴AE=4，∴Rt△AOE中，OE=3，∴D1E=5﹣3=2，D2E=5+3=8，∴△ABD1的面积=×8×2=8，△ABD2的面积=×8×8=32，故△ABD的面积为8或32．【点评】本题主要考查了复杂作图，线段垂直平分线的性质以及垂径定理的综合应用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．21．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长＞50m），中间用一道墙隔开（如图），己知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；（2）若要使两间饲养室占地总面积达到200m2，则各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到210m2吗？【分析】（1）根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽计算即可；（2）由（1）可知y是x的二次函数，根据二次函数的性质分析即可．【解答】解：（1）∵围墙的总长为50米，2间饲养室合计长x米，∴饲养室的宽=米，∴总占地面积为y=x?=﹣x2+x，（0＜x＜50）；（2）当两间饲养室占地总面积达到200平方米时，则﹣x2+x=200，解得：x=20或30；答：各道墙长分别为20米、10米或30米、10米；当占地面积达到210平方米时，则﹣x2+x=210，方程的△＜0，所以此方程无解，所以占地面积不可能达到210平方米；【点评】此题主要考查了由实际问题列二次函数故选以及二次函数的最值问题和一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．22．如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点M，且∠A=∠B（1）求证：AC=BD；（2）若OA=4，∠A=30°，当AC⊥BD时，求：①弧CD的长；②图中阴影部分面积．【分析】（1）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，根据圆周角定理得出∠EDB=∠FCA=90°，故可得出△DEB≌△CFA，由此得出结论；（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，CD，OD，OC，求出∠COA的度数，再由三角形外角的性质得出∠EOA的度数，由弧长公式即可得出结论；（3）过O作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，连接OM，根据垂径定理得到AG=AC，BH=BD，推出四边形OGMH是正方形，根据正方形的性质得到GM=HM=OG=OH，得到AM=BM，解直角三角形得到AM=BM=2+2，根据全等三角形的性质得到∠B=∠A=30°，求得∠AOB=150°，于是得到结．【解答】（1）证明：延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，∵BE，AF是⊙O的直径，∴∠EDB=∠FCA=90°．在△DEB与△CFA中，∵，∴△DEB≌△CFA（AAS），∴AC=BD；解：（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，CD，OD，OC，∵∠A=30°，OA=OC，∴∠COA=180°﹣30°﹣30°=120°．∵∠A=∠B=30°，AC⊥BD，∴∠EOA+∠A=60°，∴∠EOA=30°，∴∠DOE=60°，∴∠COD=30°，∴l==π；（3）过O作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，连接OM，则AG=AC，BH=BD，∵AC=BD，∴OG=OH，AG=BH，∴四边形OGMH是正方形，∴GM=HM=OG=OH，∴AM=BM，∵OA=4，∠A=30°，∴AG=2，GM=HM=OG=OH=2，∴AM=BM=2+2，在Rt△AGO与Rt△BHO中，∴Rt△AGO≌Rt△BHO，∴∠B=∠A=30°，∴∠AOG=∠BOH=60°，∴∠AOB=150°，∴S阴影=S扇形+S△AOM+S△BOM=+2×（2+2）×2=+4+4．【点评】本题考查的是垂径定理，扇形面积的计算，全等三角形的判断和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在x轴正半轴上，OA=8，点E在坐标平面内，且AE=12，∠EAO=60°（1）求点E的坐标以及过点O，A，E三点的抛物线表达式；（2）点F（t，0）在x轴上运动，直线FC与直线AE关于某条垂直于x轴的直线对称，且相交于点G，设△GEF的面积为S，当0≤t≤8时，请写出S关于t的函数表达式并求S的最大值．【分析】（1）分为点E在x轴的上方和下方两种情况求得点E的坐标，设出抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、E、O的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（2）当点E在x轴的上方时，可求得AE的解析式为y=﹣x+8．设直线CF的解析式为y=x+b，将点F的坐标代入可求得b的值，得到CF的解析式，然后再求得点G的坐标，依据△FEG的面积=△FFA的面积﹣△GFA的面积可得到△FEG的面积与t的关系式，当点E′在x轴下方时△E′FC的面积=△EFC的面积，故此可得到S与t的关系式，然后利用配方法可求得S的最大值．【解答】解：（1）如图1所示：当点E在x轴上方时，过点E作EB⊥x轴，垂足为B．∵∠OAE=60°，AE=12，∴BA=6，BE=6．∴点E的坐标为（2，6）．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c+c=0，将点A和点E的坐标代入得：，解得：a=﹣，b=4．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x．当点E位于x轴的下方时，点E的坐标与（2，6）关于x轴对称，∴点E的坐标为（2，﹣6）．此时抛物线的解析式为y=x2﹣4x．综上所述点E的坐标为（2，6）或（2，﹣6），抛物线的解析式为y=﹣x2+4x或y=x2﹣4x．（2）当点E在x轴的上方时，如图2所示：设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=﹣，b=8．∴直线AE的解析式为y=﹣x+8．∵直线CF与直线AE关于垂直于x轴的直线对称，∴设直线CF的解析式为y=x+b，将点F的坐标代入得：t+b=0，解得：b=t．∴直线CF的解析式为y=x﹣t．将y=x﹣t与y=﹣x+8联立，解得：x=t+4，y=﹣t+4．∴G（t+4，﹣t+4）．∴△FEG的面积=△FFA的面积﹣△GFA的面积=（8﹣t）×6﹣（8﹣t）×（﹣t+4）=×（8﹣t）（t+2）．整理得：△FEG的面积=﹣t2+t+8．当点E′位于x轴下方时，△E′FC与△EFC关于x轴对称，三角形E′FC的面积=△EFC的面积．∴S=﹣t2+t+8．配方得：S=﹣（t﹣2）2+9．∴t=2时，S有最大值，最大值为9．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，特殊锐角三角函数的应用，轴对称的性质，依据△FEG的面积=△FFA的面积﹣△GFA的面积，列出S与t的函数关系式是解题的关键．。
2022-2023学年浙江省杭州市西湖区数学九上期末考试试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，DEF S ：9BFA S =：25，则DE ：EC =( )A ．2：5B ．3：2C ．2：3D ．5：32．下列事件属于必然事件的是（ ）A ．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中B ．掷一次骰子，向上一面的点数是6C ．任意画一个五边形，其内角和是540°D ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯3．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=12cm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以1cm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以2cm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC 的面积最小．A ．1B ．2C ．3D ．44．ABC ∆与DEF ∆相似，且面积比1:4，则DEF ∆与ABC ∆的相似比为（ ）A ．1:2B ．2:1C ．1:4D ．4:15．为了解某地区九年级男生的身高情况，随取了该区100名九年级男生，他们的身高x （cm ）统计如根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不高于180cm 的概率是（ ） 组别（cm ）x ≤160 160＜x ≤170 170＜x ≤180 x ＞180 人数 15 42 38 5A ．0.05B ．0.38C ．0.57D ．0.95 6．已知抛物线223y x x =--，则下列说法正确的是（ ）A ．抛物线开口向下B ．抛物线的对称轴是直线1x =-C ．当1x =时，y 的最大值为4-D ．抛物线与y 轴的交点为()0,3-7．已知⊙O 半径为3，M 为直线AB 上一点，若MO=3，则直线AB 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相切或相交8．如图，⊙O 中，45ABC ∠=︒，则AOC ∠等于（ ）A ．55︒B ．80︒C ．90︒D ．135︒9．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC 为30m ，在A 点测得D 点的仰角∠EAD 为45°，在B 点测得D 点的仰角∠CBD 为60°，则乙建筑物的高度为（ ）米．A ．3B ．330C ．30D ．210．某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元．已知两次降价的百分率相同．要求每次降价的百分率，若设每次降价的百分率为x ，则得到的方程为（ ）A ．112（1﹣x ）2=63B ．112（1+x ）2=63C ．112（1﹣x ）=63D ．112（1+x ）=6311．设a ，b 是方程x 2+2x ﹣20＝0的两个实数根，则a 2+3a+b 的值为（ ）A ．﹣18B ．21C ．﹣20D ．1812．如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．A ．平移变换B ．相似变换C ．旋转变换D ．对称变换二、填空题（每题4分，共24分）13．平面直角坐标系内的三个点A （1，－3）、B （0，－3）、C （2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）14．在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．如果AC =32，那么正方形ABCD 的面积是__________．15．如图，圆锥的底面半径r 为4，沿着一条母线l 剪开后所得扇形的圆心角ɵ=90°，则该圆锥的母线长是_________________.16．若抛物线23y x x m =-+与x 轴没有交点，则m 的取值范围是__________． 17．若关于x 的分式方程3222x m x +=+有增根，则m 的值为__________． 18．计算sin 245°+cos 245°=_______． 三、解答题（共78分）19．（8分）如图，△ABC 中，AB=AC ，BE ⊥AC 于E ，D 是BC 中点，连接AD 与BE 交于点F ，求证：△AFE ∽△BCE ．20．（8分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？21．（8分）某服装柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件，现商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种服装盈利l200元，同时又要使顾客得到较多的实惠，那么每件服装应降价多少元？22．（10分）如图，ABC ∆的三个顶点在平面直角坐标系中正方形的格点上．（1）求tan A 的值；（2）点()1,3B 在反比例函数k y x=的图象上，求k 的值，画出反比例函数在第一象限内的图象． 23．（10分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？24．（10分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果．经市场调研发现：若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱；价格每提高1元，则平均每天少销售3箱．设每箱的销售价为x 元（x ＞50），平均每天的销售量为y 箱，该批发商平均每天的销售利润w 元．（1）y 与x 之间的函数解析式为__________；（2）求w 与x 之间的函数解析式；（3）当x 为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？25．（12分）如图，一位同学想利用树影测量树高AB ，他在某一时刻测得高为0.8m 的竹竿影长为1m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高 1.2CD m =，又测得地面部分的影长 4.5BD m =，则他测得的树高应为多少米?26．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （1，1），C （3，1）．（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2；（3）在（2）的条件下，求线段BC 扫过的面积（结果保留π）．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据平行四边形的性质得到DC//AB ，DC=AB ，得到△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】四边形ABCD 是平行四边形，//DC AB ∴，DC AB =，DFE ∴∽BFA ，DEF S ∴：2()BFA DE S AB =， 35DE AB ∴=， DE ∴：3EC =：2，故选B ．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 2、C【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．【详解】解：A 、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件．B 、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件．C 、任意画一个五边形，其内角和是540°，是必然事件．D 、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件．故选：C ．【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3、C【分析】根据等量关系“四边形APQC 的面积=三角形ABC 的面积-三角形PBQ 的面积”列出函数关系求最小值．【详解】解：设P 、Q 同时出发后经过的时间为ts ，四边形APQC 的面积为Scm 2，则有：S=S △ABC -S △PBQ =12 ×12×6-12（6-t ）×2t =t 2-6t+36=（t-3）2+1．∴当t=3s 时，S 取得最小值．故选C ．【点睛】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．4、B【分析】根据面积比为相似比的平方即可得出答案． 【详解】ABC ∆与DEF ∆相似，且面积比1:4∴ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2∴DEF ∆与ABC ∆的相似比为2:1故答案为：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，比较简单，熟练掌握性质定理是解题的关键．5、D【分析】先计算出样本中身高不高于180cm 的频率，然后根据利用频率估计概率求解．【详解】解：样本中身高不高于180cm 的频率＝1005100-＝0.1， 所以估计他的身高不高于180cm 的概率是0.1．故选：D ．【点睛】本题考查了概率，灵活的利用频率估计概率是解题的关键.6、D【分析】根据二次函数的性质对A 、B 进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对C 进行判断；利用抛物线与轴交点坐标对D 进行判断．【详解】A 、a=1＞0，则抛物线223y x x =--的开口向上，所以A 选项错误；B 、抛物线的对称轴为直线x=1，所以B 选项错误；C 、当x=1时，y 有最小值为4-，所以C 选项错误；D 、当x=0时，y=-3，故抛物线与y 轴的交点为()0,3-，所以D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与y 轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键．7、D【解析】试题解析“因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于1．此时和半径1的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能．故选D ．点睛：直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d ＜r ，则直线与圆相交；若d=r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离．8、C【分析】直接根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵∠ABC 与∠AOC 是一条弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC=45°，∴∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°．故选：C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9、B【分析】在Rt△BCD中,解直角三角形，可求得CD的长，即求得甲的高度，过A作AF⊥CD于点F，在Rt△ADF中解直角三角形可求得DF，则可求得CF的长，即可求得乙的高度．【详解】解：如图，过A作AF⊥CD于点F，在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，∵tan∠DBC=CD BC，∴CD=BC•tan60°=30 3，∴甲建筑物的高度为30 3；在Rt△AFD中，∠DAF=45°，∴DF=AF=BC=30m，∴AB=CF=CD-DF=（30 3）m，∴乙建筑物的高度为（30 3）m．故选B．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的长是解题的关键．10、A【解析】根据题意可得等量关系：原零售价×（1-百分比）（1-百分比）=降价后的售价，然后根据等量关系列出方程即可．【详解】设每次降价的百分率为x，由题意得：112(1−x)2=63，故答案选：A.【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握由实际问题抽象出一元二次方程. 11、D【分析】根据根与系数的关系看得a+b＝﹣2，由a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根看得a2+2a＝20，进而可以得解．【详解】解：∵a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根，∴a2+2a＝20，a+b＝﹣2，∴a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝20﹣2＝1则a2+3a+b的值为1．故选：D．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系式解此题的关键.12、B【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选B．【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．二、填空题（每题4分，共24分）13、不能【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．【详解】解：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，而点A（1，-3）与C、B共线，∴点A、B、C共线，∴三个点A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆．故答案为：不能．【点睛】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．14、1【分析】由正方形的面积公式可求解．【详解】解：∵∴正方形ABCD 的面积××12=1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练运用正方形的性质是解题的关键．15、1【分析】由题意首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得扇形的半径，即圆锥的母线l ．【详解】解：扇形的弧长=4×2π=8π， 可得90180l π=8π 解得：l=1．故答案为：1．【点睛】本题考查圆锥的计算及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．16、94m >； 【分析】利用根的判别式△＜0列不等式求解即可．【详解】解：∵抛物线23y x x m =-+与x 轴没有交点， ∴2=40b ac ∆-<，即2410m -⨯⨯<（-3）， 解得：94m >； 故答案为：94m >. 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键．17、3【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，并求出x 的值，然后再令x+2=0，即可求得m 的值. 【详解】解：由3222x m x +=+得：x=4-2m 令x+2=0，得4-2m+2=0，解得m=3故答案为3.【点睛】本题考查了分式方程的增根，解分式方程和把增根代入整式方程求得相关字母的值是解答本题的关键.18、1【分析】根据特殊角的三角函数值先进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．【详解】原式=(2)2+(2)2=12+12=1． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，需要熟记，比较简单．三、解答题（共78分）19、证明详见解析．【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质，由AB=AC ，D 是BC 中点得到AD ⊥BC ，易得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠FAD=∠CBE ，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．试题解析：证明：∵AB=AC ，D 是BC 中点，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，∴∠FAE+∠AFE=90°，∵BE ⊥AC ，∴∠BEC=90°，∴∠CBE+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD ，∴∠FAD=∠CBE ，∴△AFE ∽△BCE ．考点：相似三角形的判定．20、（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.1元．【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 110 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ．40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 110 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.1，2y ＝2.1，∵有利于减少库存，∴y ＝2.1．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 110 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.1 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．21、每件童装应降价20元．【分析】设每件服装应降价x 元，根据题意列出方程，即每件服装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的舍去．【详解】设每件服装应降价x 元，由题意，得(9050)(202)1200x x --+=，解得110x =，220x =，为使顾客得到较多的实惠，应取x=1．故每件服装应降价1元．22、（1）1tan 2∠=A ；（2）3k =，图见解析 【分析】（1）过点B 作BD ⊥AC 于点D,然后在Rt △ABD 中可以求出tan A ；（2）将点B 代入k y x=，可得出k 的值，从而得出反比例函数解析式，进而用描点法画出函数图象即可. 【详解】解：（1）过点B 作BD ⊥AC 于点D,由图可得，BD=2，AD=4， ∴21tan 42BD A AD ∠===.（2）将点B(1,3)代入kyx=,得k=3,∴反比例函数解析式为3 yx =.函数在第一象限内取点，描点得，x(x＞0) 121322 3 6y 6 3 2 32212连线得函数图象如图：【点睛】本题主要考查正切值的求法，反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象的画法，掌握基本概念和作图步骤是解题的关键.23、（1）y=﹣20x+1600；（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；（3）超市每天至少销售粽子440盒．【解析】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．试题解析：（1）由题意得，y =70020(45)x --=201600x -+；（2）P=(40)(201600)x x --+=220240064000x x -+-=220(60)8000x --+，∵x≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P 最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；（3）由题意，得220(60)8000x --+=6000，解得150x =，270x =，∵抛物线P=220(60)8000x --+的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，又∵x≤58，∴50≤x≤58，∵在201600y x =-+中，20k =-＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x=58时，y 最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒． 考点：二次函数的应用．24、（1）3240y x =-+;（2）w=233609600x x -+-；（3）当x 为60元时，可以获得最大利润，最大利润是1元【分析】（1）设每箱的销售价为x 元（x ＞50），则价格提高了(50)x -元，平均每天少销售3(50)x -箱，所以平均每天的销售量为903(50)x --，化简即可；（2）平均每天的销售利润=每箱的销售利润⨯平均每天的销售量，由此可得关系式；（3）当2b x a=-时（2）中的关于二次函数有最大值，将x 的值代入解析式求出最大值即可. 【详解】（1）903(50)3240y x x =--=-+．（2）(40)(3240)w x x =--+=233609600x x -+-．w=233609600x x -+-30-< ∴当360602(3)x =-=⨯-时，w 最大值=1． ∴当x 为60元时，可以获得最大利润，最大利润是1元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，根据题中等量关系列出函数关系式是解题的关键.25、树高为4.8米．【分析】延长AC 交BD 延长线于点E ，根据同一时刻，物体与影长成正比可得0.81AB BE =，根据AB//CD 可得△AEB ∽△CED ，可得CD AB DE BE =，即可得出0.81CD DE =，可求出DE 的长，由BE=BD+DE 可求出BE 的长，根据0.81AB BE =求出AB 的长即可．【详解】延长AC 和BD 相交于点E ，则DE 就是树影长的一部分，∵某一时刻测得高为0.8m 的竹竿影长为1m ， ∴0.81AB BE =， ∵AB//CD ，∴△AEB ∽△CED ，∴CD AB DE BE=， ∴0.81CD DE =， ∴ 1.2 1.50.80.8CD DE ===， ∴ 4.5 1.56BE BD DE =+=+=，∴0.80.86 4.8AB BE =⨯=⨯=，∴即树高为4.8米．【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握同一时刻，物体与影长成正比及相似三角形判定定理是解题关键．26、（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）2π. 【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可；（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；（3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形，由此计算即可；【详解】（1）△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示；（2）△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2如图所示；（3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形=()()22222290139011360360ππ++-=2π．【点睛】本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．。
浙江杭州西湖区2025届九年级数学第一学期期末监测模拟试题含解析
浙江杭州西湖区2025届九年级数学第一学期期末监测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在∆ABC 中，点D 为BC 边上的一点，且AD ＝AB ＝5， AD⊥AB 于点A ，过点D 作DE⊥AD，DE 交AC 于点E ，若DE ＝2，则∆ADC 的面积为（ ）A ．42B ．4C ．1256D ．2532．对于二次函数2610y x x =-+，下列说法不正确的是（ ） A ．其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线. B ．其最小值为1.C ．其图象与x 轴没有交点.D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大. 3．下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．y ＝2x +1 B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2 C ．y ＝1﹣x 2D ．y ＝4．如图，在正方形ABCD 中，点E 为AB 边的中点，点F 在DE 上，CF CD =，过点F 作FG FC ⊥交AD 于点G ．下列结论：①GF GD =；②AG AE >；③AF DE ⊥；④4DF EF =．正确的是（ ）．A ．①②B ．①③C ．①③④D ．③④5．一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有个（ ） A ．45B ．48C ．50D ．556．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为12，则C 点坐标为（ ）A ．（6，4）B ．（6，2）C ．（4，4）D ．（8，4）7．⊙O 的半径为8，圆心O 到直线l 的距离为4，则直线l 与⊙O 的位置关系是 A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定8．方程x （x ﹣1）＝0的根是（ ） A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x 1＝0，x 2＝1D ．x 1＝0，x 2＝﹣19．如图，点A ，B ，C 均在坐标轴上，1AO BO CO ===，过A ，O ，C 作D ，E 是D 上任意一点，连结CE ，BE ，则22CE BE +的最大值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．42+10．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝2（x ﹣1）2+1先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式是（ ） A ．y ＝2（x+1）2+4 B ．y ＝2（x ﹣1）2+4 C ．y ＝2（x+2）2+4 D ．y ＝2（x ﹣3）2+411．已知，则等于（ ）A ．B ．C ．2D ．312．下列事件中，是必然事件的是（ ） A ．掷一次骰子，向上一面的点数是6B ．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月C ．射击运动员射击一次，命中靶心D ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 二、填空题（每题4分，共24分）13．定义：在平面直角坐标系中，我们将函数22y x =+的图象绕原点O 逆时针旋转60后得到的新曲线L 称为“逆旋抛物线”.（1）如图①，己知点(1,)A a -，(,6)B b 在函数22y x =+的图象上，抛物线的顶点为C ，若L 上三点'A 、'B 、'C 是A 、B 、C 旋转后的对应点，连结''A B ，''A C 、''B C ，则'''A B C S ∆=__________； （2）如图②，逆旋抛物线L 与直线32y =相交于点M 、N ，则OMN S ∆=__________．14．方程220x x -=的解是 ．15．已知二次函数24y x x c =++的图象与x 轴的一个交点为1,0，则它与x 轴的另一个交点的坐标是__________．16．计算：sin30°＋tan45°＝_____．17．已知一组数据：4，4，m ，6，6的平均数是5，则这组数据的方差是______. 18．已知△ABC 中，AB ＝5，sinB ＝35，AC ＝4，则BC ＝_____． 三、解答题（共78分）19．（8分）已知，如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 是AB 外一点，过点D 分别作边AB 、BC 的垂线，垂足分别为点E 、F ，DF 与AB 交于点H ，延长DE 交BC 于点G ．求证：△DFG ∽△BCA20．（8分）问题背景：如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AE =，6BE =，四边形CDEF 是正方形，求图中阴影部分的面积．（1）发现：如图2，小芳发现，只要将ADE ∆绕点E 逆时针旋转一定的角度到达A D E ∆'''，就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解答.根据小芳的发现，可求出图1中阴影部分的面积为______；（直接写出答案）（2）应用：如图3，在四边形ABCD 中，AD CD =，90ADC ABC ∠=∠=︒，90ADC ABC ∠=∠=︒于点E ，若四边形ABCD 的面积为16，试求出DE 的长；（3）拓展：如图4，在四边形ABDC 中，180B C ∠+∠=︒，DB DC =，120BDC ∠=︒，以D 为顶点作EDF ∠为60︒角，角的两边分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，请直接写出线段BE ，CF ，EF 之间的数量关系．21．（8分）如图，在菱形ABCD 中， 点E 是边AD 上一点，延长AB 至点F ,使BF AE =， 连接BE CF 、求证:BE CF =．22．（10分）为实现“先富带动后富，从而达到共同富裕”，某县为做好“精准扶贫”，2017年投入资金1000万元用于教育扶贫，以后投入资金逐年增加，2019年投入资金达到1440万元． （1）从2017年到2019年，该县投入用于教育扶贫资金的年平均增长率是多少？（2）假设保持这个年平均增长率不变，请预测一下2020年该县将投入多少资金用于教育扶贫？ 23．（10分）九（3）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表： 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙10879810109109（1）计算乙队的平均成绩和方差；（2）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是哪个队？ 24．（10分）如图,在锐角三角形ABC 中,AB=4,BC=33,∠B=60°,求△ABC 的面积25．（12分）已知在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，直线y=x+4经过A ，C 两点，（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P ，Q 在抛物线上（P 点在对称轴左边），且PQ ∥AO ，PQ=2AO ，求P ，Q 的坐标； （3）动点M 在直线y=x+4上，且△ABC 与△COM 相似，求点M 的坐标．26．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽（AB ）为4m 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ．当水面下降1m时，求水面的宽度增加了多少？参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】根据题意得出AB∥DE，得△CED∽△CAB，利用对应边成比例求CD长度，再根据等腰直角三角形求出底边上的高，利用面积公式计算即可.【详解】解：如图，过A作AF⊥BC，垂足为F，∵AD⊥AB,∴∠BAD =90°在Rt△ABD中，由勾股定理得，22225552AB AD,∵AF⊥BD,∴52 2∵AD⊥AB，DE⊥AD,∴∠BAD=∠ADE=90°,∴AB∥DE，∴∠CDE=∠B, ∠CED=∠CAB, ∴△CDE∽△CBA,∴DE CD AB CB,∴2552CDCD,∴CD=1023, ∴S △ADC =11102522522323CD AF . 故选：D【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例求线段长是解答此题的关键. 2、D【分析】先将二次函数变形为顶点式，然后可根据二次函数的性质判断A 、B 、D 三项，再根据抛物线的顶点和开口即可判断C 项，进而可得答案.【详解】解：()2261031y x x x =-+=-+，所以抛物线的对称轴是直线：x =3，顶点坐标是（3，1）； A 、其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线，说法正确，本选项不符合题意； B 、其最小值为1，说法正确，本选项不符合题意；C 、因为抛物线的顶点是（3，1），开口向上，所以其图象与x 轴没有交点，说法正确，本选项不符合题意；D 、当3x <时，y 随x 的增大而增大，说法错误，所以本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键. 3、C【解析】根据二次函数的定义进行判断．【详解】解：A 、该函数是由反比例函数平移得到的，不是二次函数，故本选项错误； B 、由已知函数解析式得到：y ＝－2x ＋1，属于一次函数，故本选项错误； C 、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确； D 、该函数不是二次函数，故本选项错误；故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的定义．熟知一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键． 4、C【分析】连接CG ．根据“HL”可证Rt CFG ∆≌Rt CDG ∆，利用全等三角形的对应边相等，可得GF GD =，据此判断①；根据“ASA ”可证ADE ∆≌DCG ∆，可得AE DG =，从而可得AG AE =，据此判断②；由（2）知GF GD GA ==，可证90AFD ∠=，据此判断③；根据两角分别相等的两个三角形相似，可证AEF ∆∽DAF ∆∽DEA ∆，可得12EF AF EA AF DF DA ===， 从而可得24DF AF EF ==，据此判断④. 【详解】解：（1）连接CG ． 如图所示： ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ADC=90°， ∵FG ⊥FC ， ∴∠GFC=90°，在Rt △CFG 与Rt △CDG 中，{CG CGCF CD＝＝∴Rt CFG ∆≌()Rt CDG HL ∆． ∴GF GD =．．．①正确．（2）由（1），CG 垂直平分DF ．∴∠EDC+∠2=90°， ∵∠1+∠EDC=90°， ∴12∠=∠．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC=AB ，∠DAE=∠CDG=90°， ∴ADE ∆≌()DCG ASA ∆ ． ∴AE DG =． ∵E 为AB 边的中点，∴G 为AD 边的中点． ∴AG AE =．∴②错误．（3）由（2），得GF GD GA ==． ∴90AFD ∠=．③正确． （4）由（3），可得AEF ∆∽DAF ∆∽DEA ∆． ∴ 12EF AF EA AF DF DA === ∴24DF AF EF ==． ∴④正确． 故答案为：C. 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 5、A【分析】小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1：9，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1：9；即可计算出红球数． 【详解】∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球， ∴白球与红球的数量之比为1：9， ∵白球有5个， ∴红球有9×5=45（个）， 故选A ． 6、A【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD 的长，进而得出△OAD ∽△OBG ，进而得出AO 的长，即可得出答案．【详解】∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13， ∴13AD BG =， ∵BG ＝12， ∴AD ＝BC ＝4， ∵AD ∥BG ， ∴△OAD ∽△OBG ，∴13OA OB = ∴0A 14OA 3=+ 解得：OA ＝2，∴OB ＝6，∴C 点坐标为：（6，4）， 故选A ． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO 的长是解题关键． 7、B【分析】根据圆O 的半径和圆心O 到直线L 的距离的大小，相交：d ＜r ；相切：d=r ；相离：d ＞r ；即可选出答案． 【详解】∵⊙O 的半径为8，圆心O 到直线L 的距离为4， ∵8＞4，即：d ＜r ，∴直线L 与⊙O 的位置关系是相交． 故选B ． 8、C【分析】由题意推出x ＝0，或（x ﹣1）＝0，解方程即可求出x 的值． 【详解】解：∵x （x ﹣1）＝0， ∴x 1＝0，x 2＝1， 故选C ． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的解法,掌握用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键. 9、C【分析】连接AC ，DE ，如图，利用圆周角定理可判定点D 在AC 上，易得(0,1)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，2AC =，11,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，设(,)E m n ，则22222()2EB EC m n +=++，由于22m n +表示E 点到原点的距离，则当OE 为直径时，E 点到原点的距离最大，由于OD 为平分AOC ∠，则m n =，利用点E 在圆上得到222112()()()222m n -+-=，则可计算出1m n ==，从而得到22EB EC +的最大值． 【详解】解：连接AC ，DE ，如图，90AOC ∠=︒，AC ∴为D 的直径，∴点D 在AC 上，1AO BO CO ===，(0,1)A ∴，(1,0)B -，(1,0)C ，AC =11,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设(,)E m n ， 222222(1)(1)EB EC m n m n +=-++++222()2m n =++，而22m n +表示E 点到原点的距离，∴当OE 为直径时，E 点到原点的距离最大， OD 为平分AOC ∠，m n =∴，122DE AC ==，22211()()22m n ∴-+-=， 即22m n m n +=+1m n ∴==，∴此时22222()22(11)26EB EC m n +=++=++=，即22CE BE +的最大值是1．故选：C ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等，作出辅助线，得到22222()2EB EC m n +=++是解题的关键． 10、A【分析】只需确定原抛物线解析式的顶点坐标平移后的对应点坐标即可．【详解】解：原抛物线y ＝2（x ﹣1）2+1的顶点为（1，1），先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，新顶点为（﹣1，4）．即所得抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）．所以，平移后抛物线的表达式是y ＝2（x+1）2+4，故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，抛物线的解析式为顶点式时，求出顶点平移后的对应点坐标，可得平移后抛物线的解析式，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键.11、A【解析】由题干可得y ＝2x ，代入计算即可求解． 【详解】∵， ∴y ＝2x ， ∴， 故选A ．【点睛】 本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若，则ad ＝bc ，比较简单． 12、B【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，即发生的概率是1的事件．【详解】解：A ．掷一次骰子，向上一面的点数是6，属于随机事件；B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，属于必然事件；C ．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件；D ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件；故选B ．【点睛】此题主要考查事件发生的概率，解题的关键是熟知必然事件的定义.二、填空题（每题4分，共24分）13、3； 372【分析】（1）求出点A 、B 的坐标，再根据割补法求△ABC 的面积即可得到'''A B C S ∆；（2）将旋转后的MN 和抛物线旋转到之前的状态，求出直线解析式及交点坐标，利用割补法求面积即可．【详解】解：（1）在22y x =+上，令x=0，解得y=2，所以C （0，2），OC=2，将(1,)A a -，(,6)B b 代入22y x =+，解得a=3，b=2，∴(1,3)A -，(2,6)B ，设(1,3)A -，(2,6)B 的直线解析式为y kx b =+，则362k b k b =-+⎧⎨=+⎩， 解得14k b =⎧⎨=⎩， 直线AB 解析式为4y x =+，令x=0，解得，y=4，即OD=4，∴422CD =-=，11[2(1)]23322ABC S CD ∆=•--=⨯⨯= ∴'''3A B C S ∆= （2）如图，由旋转知，3'2OE OE ==，'60OGF EOE ∠=∠=，30OFG ∠= ∴'OE FG ⊥，3OF =，3OG =直线:33FG y =-+，令2332y x y x ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，得2310x x +-= ∴23(3)41(1)37212x -±-⨯⨯--±==⨯ ∴7M N x x -=∴137722OMN S OF ∆=•=【点睛】此题考查了二次函数与几何问题相结合的问题，将三角形的面积转化为解题关键．14、122,0x x ==【解析】解：，122,0x x ==． 15、3,0【分析】确定函数的对称轴2b x a=- =-2，即可求出. 【详解】解：函数的对称轴 2b x a =- =-2，则与x 轴的另一个交点的坐标为（-3,0） 故答案为（-3,0）【点睛】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点和函数图像上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点、二次函数的对称轴是解题的关键.16、32【详解】解：sin30°＋tan45°＝13+1=22 【点睛】此题主要考察学生对特殊角的三角函数值的记忆30°、45°、60°角的各个三角函数值,必须正确、熟练地进行记忆． 17、0.8【分析】根据平均数是5，求m 值，再根据方差公式计算，方差公式为：2222121n S x x x x x x n（x 表示样本的平均数，n 表示样本数据的个数，S 2表示方差.）【详解】解：∵4，4，m ，6，6的平均数是5，∴4+4+m+6+6=5×5,∴m=5,∴这组数据为4，4，m ，6，6，∴22222214545556565=0.85S ， 即这组数据的方差是0.8.故答案为：0.8.【点睛】本题考查样本的平均数和方差的定义，掌握定义是解答此题的关键.18、或4【分析】根据题意画出两个图形，过A 作AD ⊥BC 于D ，求出AD 长，根据勾股定理求出BD 、CD ，即可求出BC ．【详解】有两种情况：如图1：过A 作AD ⊥BC 于D ，∵AB＝5，sinB＝35＝ADAB，∴AD＝3，由勾股定理得：BD＝4，CD＝227AC AD-=，∴BC＝BD+CD＝4+7；如图2：同理可得BD＝4，CD＝227AC AD-=，∴BC＝BD﹣CD＝4﹣7．综上所述，BC的长是7或47．故答案为：7或47【点睛】本题考查了解直角三角形的问题，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是解题的关键．三、解答题（共78分）19、见解析【分析】通过角度转化，先求出∠D=∠B，然后根据∠C=∠DFG=90°，可证相似．【详解】∵ DF⊥BC于F，∠C=90°∴∠DFG＝∠C＝90°又DE⊥AB于点E∴∠DGB＋∠B＝90°又∠DGB＋∠D＝90°∴∠B=∠D∴△DFG ∽△BCA ．【点睛】本题考查证相似，解题关键是通过角度转化，得出∠D=∠B．20、（1）30；（2）4DE =；（3）EF BE CF =+．【分析】（1）由题意根据全等三角形的性质以及运用等量代换得出'90A EB ︒∠=，进而得出'A EB 的面积即阴影部分的面积；（2）由题意把ADE ∆绕点D 旋转到DCF ∆处，使AD 与DC 重合，利用全等三角形的性质进行等量代换得出ABCD DEBF S S =四边形四边形，进而进行分析即可；（3）根据题意延长AC 到G ，使CG=BE ，并构造全等三角形，运用全等三角形的判定和性质进行分析即可 ．【详解】解：（1）∵ADE ∆绕点E 逆时针旋转一定的角度到达A D E ∆'''，∴',''AE AE AED A ED =∠=∠，∵四边形CDEF 是正方形，90C ∠=︒，∴等量代换可知'90A EB ︒∠=，∵10AE =，6BE =，∴阴影部分的面积即'A EB 的面积为：1106302⨯⨯=. （2）如图，把ADE ∆绕点D 旋转到DCF ∆处，使AD 与DC 重合，可得DC .90ADC ABC ︒∠=∠=，180A DCB ∴∠+∠=︒，即180DCF DCB ∠+∠=︒，F 、C 、B 三点共线.又DE DF =，四个角都为90︒，∴四边形DEBF 是正方形，易得ABCD DEBF S S =四边形四边形.216DE ∴=，即4DE =.（3）线段BE 、CF 、EF 之间的数量关系为：EF=BE+CF.理由：如图，延长AC 到G ，使CG=BE ，∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCG=180°，∴∠B=∠DCG ，在△DBE 和△DCG 中，BE GC B DCG BD CD ⎧⎪⎨⎪∠⎩∠＝＝＝，∴△DBE ≌△DCG （SAS ），∴DE=DG ，∠BDE=∠CDG ，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠CDG+∠CDF=60°，∴∠EDF=∠GDF ，在△EDF 和△GDF 中，DE DG EDF GDF DF DF ⎧⎪⎨⎪⎩∠∠＝＝＝，∴△EDF ≌△GDF （SAS ），∴EF=GF ，∵GF=CG+CF ，∴GF=BE+CF ，∴EF=BE+CF ．【点睛】本题考查四边形的综合问题，根据题意熟练掌握全等三角形的判定与性质以及四边形的性质，综合运用数形结合思维分析是解题的关键.21、见解析．【分析】根据菱形的性质得出∠A=∠CBF ，进而判断出△ABE ≌△BCF ，即可得出答案.【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形∴,//AB BC AD BC =∴A CBF ∠=∠在ABE ∆和BCF ∆中AE BF A CBF AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABE BCF SAS ∆≅∆∴BE=CF【点睛】本题考查的是菱形和全等三角形，比较简单，需要熟练掌握相关基础知识.22、（1）20%；（2）1728万元．【分析】（1）设年平均增长率为x ，根据：2017年投入资金×（1+增长率）2＝2019年投入资金，列出方程求解可得； （2）根据求得的增长率代入求得2020年的投入即可．【详解】解：（1）设该地投入教育扶贫资金的年平均增长率为x ，根据题意，得：1000（1+x ）2＝1440，解得：x ＝0.2或x ＝﹣2.2（舍），答：从2017年到2019年，该地投入教育扶贫资金的年平均增长率为20%；（2）2020年投入的教育扶贫资金为1440×（1+20%）＝1728万元．【点睛】本题考查的知识点是用一元二次方程求增长率问题，根据题目找出等量关系式是解此题的关键.23、（1）9，1；（2）乙【分析】(1)根据平均数与方差的定义即可求解;(2)根据方差的性质即可判断乙队整齐.【详解】(1)乙队的平均成绩是：1(10482793)10⨯⨯+⨯++⨯=9 方差是：222214(109)2(89)(79)3(99)110⎡⎤⨯⨯-+⨯-+-+⨯-=⎣⎦ (2)∵乙队的方差＜甲队的方差∴成绩较为整齐的是乙队.【点睛】此题主要考查平均数与方差,解题的关键是熟知平均数与方差的求解公式及方差的性质.24、9【分析】过点A 作AD ⊥BC 于D ，根据锐角三角函数求出AD ，然后根据三角形的面积公式计算面积即可.【详解】解：过点A 作AD ⊥BC 于 D在Rt △ABD 中，AB=4, ∠B=60°∴AD=AB ·sin B=23∴S △ABC =12BC ·AD =133232⨯=9【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键.25、（1）2142y x x =-+（2）P 点坐标（﹣5，﹣72），Q 点坐标（3，﹣72）（3）M 点的坐标为（﹣83，43），（﹣3，1）【解析】试题分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A 、C 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据平行于x 轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得P 、Q 关于直线x=﹣1对称，根据PQ 的长，可得P 点的横坐标，Q 点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得CM 的长，根据等腰直角三角形的性质，可得MH 的长，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．试题解析：（1）当x=0时，y=4，即C （0，4），当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，即A （﹣4，0），将A 、C 点坐标代入函数解析式，得 ()214440{24b c ⨯--+==，解得1{4b c =-=，抛物线的表达式为2142y x x =-+； （2）PQ=2AO=8， 又PQ ∥AO ，即P 、Q 关于对称轴x=﹣1对称，PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，当x=﹣5时，y=12×（﹣5）2﹣（﹣5）+4=﹣，即P （﹣5，﹣72）； ﹣1+4=3，即Q （3，﹣72）； P 点坐标（﹣5，﹣72），Q 点坐标（3，﹣72）； （3）∠MCO=∠CAB=45°，①当△MCO ∽△CAB 时，OC CM BA AM=，即4642CM =， CM=823． 如图1，过M 作MH ⊥y 轴于H ，MH=CH=22CM=83， 当x=﹣83时，y=﹣83+4=43， ∴M （﹣83，43）； 当△OCM ∽△CAB 时，OC CM CA AB =642CM =，解得2， 如图2，过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=22CM=3，当x=﹣3时，y=﹣3+4=1，∴M（﹣3，1），综上所述：M点的坐标为（﹣83，43），（﹣3，1）．考点：二次函数综合题26、水面宽度增加了（6﹣4）米【分析】根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±6，所以水面宽度增加了（6﹣4）米．【点睛】此题考查的是二次函数的应用，建立适当的坐标系，利用待定系数法求二次函数的解析式是解决此题的关键．。
浙江省杭州市西湖区19-20学年九年级(上)期末数学试卷 (含答案解析)
浙江省杭州市西湖区19-20学年九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若二次函数y=ax2的图象经过点P(−2,4)，则该图象必经过点()A. (4,−2)B. (−4,2)C. (−2,−4)D. (2,4)2.已知线段a=4，b=8，则线段a，b的比例中项为()A. ±32B. 32C. ±4√2D. 4√23.从−1，0，13，π，√3中随机任取一数，取到无理数的概率是()A. 15B. 25C. 35D. 454.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值为()A. √105B. √2 C. 12D. 25.如图，在半径为√13的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1，则CD的长是()A. 2√6B. 2√10C. 2√11D. 4√36.将二次函数y=2x2−4x−1的图象向右平移3个单位，则平移后的二次函数的顶点是()A. (−2,−3)B. (4,3)C. (4,−3)D. (1,0)7.如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是()A. 2√2B. 2√3C. √5D. 3√58.二次函数y=x2−4x+3，当2≤x≤5时，y的取值范围为()A. 3≤y≤8B. 0≤y≤8C. 1≤y≤3D. −1≤y≤89.如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE：S△COB等于()A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 2：310.已知函数y=kx2−2x−3的图象和x轴有交点，则k的取值范围是()A. k>−13B. k>−13且k≠0C. k≥−13D. k≥−13且k≠0二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.从−2，−1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是______．12.已知线段AB=2，点C为AB的黄金分割点，且AC<BC，那么BC=____．13.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD=4，CD=1，则DE的长是______．14.已知二次函数y=x2−2ℎx+ℎ，当自变量x的取值在−1≤x≤1的范围中时，函数有最小值n，则n的最大值是______．15.如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的一点，且BE=4EC，CD与AE相交于点F，若△CEF的面积为1，则△ABC的面积为___________．16.已知二次函数y=12(x−1)2+4，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3.随机摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．(1)请用列表或画树形图的方法(只选其中一样)，表示两次摸出小球上的标号的所有结果；(2)规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率．四、解答题（本大题共6小题，共48.0分）18.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(−2,3).(1)求a的值和图象的顶点坐标．(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上.①当m=2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E.若DE=2，BC=3，AC=6，求AE的长．20.如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，AD=2，DE=1，S△ABC=2，求tan C的值．21.如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．(1)若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；(2)若OC=3，BC=3√3，求弧ÂB的长．(k≠0)过A(3,4)，点B与点A关于直线y=2对称，抛物线y=−x2+bx+c过22.反比例函数y=kx点B和C(0,3)．(1)求反比例函数的表达式；(2)求抛物线的表达式；(3)若抛物线y=−x2+bx+m在−2≤x<2的部分与y=k无公共点，求m的取值范围．x23.如图，在△ABC中，AC=BC，△BDC和△ACE分别为等边三角形，AE和BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G．(1)求证：∠FAB=∠FBA；(2)求证：G为AB的中点．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，∴若图象经过点P(−2,4)，则该图象必经过点(2,4)．故选：D．先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．2.答案：D解析：设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．本题主要考查比例线段，掌握比例中项的性质是解题的关键．解：设线段a、b的比例中项为x，则x2=ab，即x2=4×8，解得x=4√2或x=−4√2<0(舍去)，故选：D．3.答案：B解析：解：∵共有5种等可能的结果，无理数有：π，√3共2种情况，∴取到无理数的概率是：2．5故选B．由题意可得共有5种等可能的结果，其中无理数有π，√3共2种情况，则可利用概率公式求解．此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4.答案：C解析：本题考查的是勾股定理及解直角三角形，解题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用锐角三角函数解答问题，解答此题作CD⊥AB的延长线于点D，利用三角形BCE的面积关系可求出CD、BD 的长，从而可以求出tan∠ABC的值．解：如图，将C向上沿格点平移两个单位与BA的延长线交于点E，作CD⊥AB的延长线于点D，∵BE=√32+32=3√2，BC=√32+12=√10，∵S△BCE=12×2×3=12×3√2×CD，∴CD=√2，则BD=√BC2−CD2=√10−2=2√2，∴tan∠ABC=CDBD =√22√2=12．故选C．5.答案：C解析：本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD，由垂径定理得出DF=CF，AG=BG=12AB= 3，得出EG=AG−AE=2，由勾股定理得出OG=√OB2−BG2=2，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG=45°，OE=√2OG=2√2，求出∠OEF=30°，由直角三角形的性质得出OF=12OE=√2，由勾股定理得出DF═√11，即可得出答案．解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OE、OB、OD，如图所示：AB=3，则DF=CF，AG=BG=12∴EG=AG−AE=2，在Rt△BOG中，OG=√OB2−BG2=2，∴EG=OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG=45°，OE=√2OG=2√2，∵∠DEB=75°，∴∠OEF=30°，OE=√2，∴OF=12在Rt△ODF中，DF=2−OF2=√11，∴CD=2DF=2√11．故选C．6.答案：C解析：此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．还考查了知道抛物线的顶点坐标式，写出抛物线的顶点坐标．用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式，再利用平移规律求平移后的顶点坐标．解：∵y=2x2−4x−1=2(x2−2x)−1=2(x−1)2−3；∴图象向右平移3个单位长度后，得出：y=2(x−1−3)2−3，即y=2(x−4)2−3得到顶点坐标为(4,−3)．故选C．7.答案：B解析：此题主要考查了垂径定理、过O作弦AB的垂线，通过构建直角三角形求出弦AB的长．解：过O作OC⊥AB于C．在Rt△OAC中，OA=2，∠AOC=12∠AOB=60°，∠OAC=30°，则OC=1，AC=√4−1=√3，因此AB=2AC=2√3．故选B．8.答案：D解析：本题考查了二次函数的性质.对称轴是x=2，求出当x=2，x=5时点的纵坐标，则y的取值范围即可确定．解：y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴二次函数的对称轴为直线x=2，当x=5时，y=25−20+3=8，当x=2时，y=−1，则当2≤x≤5时，y的范围是−1≤y≤8．故选D．9.答案：C解析：解：∵BE和CD是△ABC的中线，∴DE=12BC，DE//BC，∴DEBC =12，△DOE∽△COB，∴S△DOES△COB =(DEBC)2=(12)2=14，故选：C．根据三角形的中位线得出DE//BC，DE=12BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．10.答案：C解析：解：∵函数y=kx2−2x−3的图象和x轴有交点，∴(−2)2−4×k×(−3)≥0或k=0，，解得，k≥−13故选：C．根据函数y=kx2−2x−3的图象和x轴有交点，可知，当k=0时，该函数为一次函数与x轴一定有交点，当k≠0时，该函数如果与x轴有交点，则(−2)2−4×k×(−3)≥0，从而可以求得k的取值范围．本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出k的取值范围，注意该函数没有说明是二次函数，就要分类讨论进行解答．11.答案：13解析：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解：列表如下：由表可知，共有6种等可能结果，其中积为正数的有2种结果，，所以积为正数的概率为13．故答案为：1312.答案：√5−1 解析： 本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值√5−12是解题的关键．根据黄金分割点的定义和黄金比值为√5−12计算即可． 解：∵点C 是AB 的黄金分割点，AC <BC ，∴BC =√5−12AB ==√5−12×2 =√5−1，故答案为√5−1． 13.答案：√41−52解析：解：连结OB ，OC ，OA ，过O 点作OF ⊥BC 于F ，作OG ⊥AE 于G ，∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC =45°，∴∠BOC =90°，∵BD =4，CD =1，∴BC =4+1=5，∴OB =OC =5√22， ∴OA =5√22，OF =BF =52， ∴DF =BD −BF =32，∴OG =32，GD =52， 在Rt △AGO 中，AG =√OA 2−OG 2=√412， ∴AD =AG +GD =√41+52， ∴AD ×DE =BD ×CD ，DE =4×1√41+52=√41−52．故答案为：√41−52．连结OB ，OC ，OA ，过O 点作OF ⊥BC 于F ，作OG ⊥AE 于G ，根据圆周角定理可得∠BOC =90°，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得DG，AG，可求AD，再根据相交弦定理可求DE．考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解题的难点是求出AD的长．14.答案：14解析：解：二次函数y=x2−2ℎx+ℎ图象的对称轴为直线x=ℎ．当ℎ≤−1时，x=−1时y取最小值，此时n=1+2ℎ+ℎ=1+3ℎ≤−2；当−1<ℎ<1时，x=ℎ时y取最小值，此时n=ℎ2−2ℎ2+ℎ=−ℎ2+ℎ=−(ℎ−12)2+14≤14；当ℎ≥1时，x=1时y取最小值，此时n=1−2ℎ+ℎ=1−ℎ≤0．综上所述：n的最大值为14．故答案为：14．根据二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，分ℎ≤−1、−1<ℎ<1及ℎ≥1三种情况考虑，利用二次函数的性质结合h的取值范围即可找出n的取值范围，取其最大值即可得出结论．本题考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，分ℎ≤−1、−1<ℎ<1及ℎ≥1三种情况考虑是解题的关键．15.答案：30解析：本题考查了三角形相似的判定和性质，同高不等底的三角形面积关系，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键.作DG//AE，交BC于G，得出△CEF∽△CGD，根据题意求得S△CGD=9，进而结合同高不等底的三角形面积关系求出S△BDG=6，即可求得S△BCD=15，得到△ABC的面积为30．解：作DG//AE，交BC于G，∵AD=BD，∴BG=EG，∵BE=4EC，∴GE=2EC，∴ECGC =13，∵DG//AE，∴△CEF∽△CGD，∴S△CEFS△CGD =19，∵△CEF的面积为1，∴S△CGD=9，∵BG：CG=2：3，∴S△BDG=6，∴S△BCD=9+6=15，∴S△ABC=2S△BCD=30．故答案为30．16.答案：x>1解析：由解析式可求得抛物线的对称轴，再利用增减性可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．解：∵y=12(x−1)2+4，∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x>1时，y随x的增大而增大，故答案为：x>1．17.答案：解：(1)列表得：所有等可能的情况数有9种；(2)可能出现的结果共9种，它们出现的可能性相同，两次摸出小球标号相同的情况共3种，分别为(1,1)；(2,2)；(3,3)，则P=39=13．解析：(1)列表得出所有等可能的情况数即可；(2)找出两次摸出小球标号相同的情况数，即可求出中奖的概率．此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18.答案：解：(1)把点P(−2,3)代入y=x2+ax+3中，∴a=2，∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2，∴顶点坐标为(−1,2)；(2)①当m=2时，n=22+2×2+3=11；②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|<2，∴−2<m<2，∴2≤n<11.解析：本题主要考查了二次函数的图象及性质的知识，熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．(1)把点P(−2,3)代入y=x2+ax+3中，即可求出a；(2)①把m=2代入解析式即可求n的值；②由点Q到y轴的距离小于2，可得−2<m<2，在此范围内求n即可．19.答案：解：∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠AED=∠C=90°，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴EACA =EDCB，又∵DE=2，BC=3，AC=6，∴EA6=23，∴AE=4．解析：根据相似三角形的判定得出两三角形相似，得出比例式，代入求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能推出△AED∽△ACB是解此题的关键．20.答案：解：在Rt△AED中，∵sin∠EAD=DEAD =12，∴∠EAD=30°，∴∠B=60°，在Rt△BED中，∵sinB=DEBD =√32，∴BD=DEsin60∘=23√3，∵S═ABC=12BC⋅AD=2，即12BC×2=2，∴BC=2，∴在Rt△ADC中，tanC=ADDC =ADBC−BD=2−23√3=3+√32．解析：本题考查了解三角函数的定义和性质，以及特殊角的三角函数值，先在Rt△AED中，利用三角函数的定义求出∠B=60°，再在Rt△BED中，求出BD的长，然后由面积法求解即可．21.答案：解：(1)∵OD⊥AB，∴ÂD=B̂D，∴∠DEB=12∠AOD=26°，即∠DEB的度数为26°；(2)连接OB，∵OD⊥AB，BC=3√3，∴AC=BC=3√3，∴OA=√OC2+AC2=√32+(3√3)2=6，∴∠OAC=30°，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，∴ÂB=120π×6180=4π．解析：(1)运用垂径定理证明ÂD=B̂D，借助圆周角定理的推论即可解决问题；(2)连接OB，根据勾股定理求出OA的长，再由直角三角形中30°角的性质求出∠AOC的度数，根据弧长公式即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．22.答案：解：(1)∵反比例函数y=kx过A(3,4)，∴k=12，∴y=12 x(2)∵点B与点A关于直线y=2对称，∴B(3,0)．∵抛物线y=−x2+bx+c过点B和C(0,3)∴{−9+3b+c=0c=3∴{b=2c=3∴y=−x2+2x+3(3)反比例函数的解析式：y=12x，令x=−2时，y=−6，即(−2,−6)，令x=2时，y=6，即(2,6)，当y=−x2+2x+m过点(−2,−6)时，m=2，当y=−x2+2x+m过点(2,6)时，m=6，∴y=−x2+2x+m在−2≤x<2的部分与y=12x无公共点时，此时m的范围：2<m≤6，解析：(1)将点(3,4)代入反比例函数的解析式即可求出k的值．(2)求出点B的坐标，然后将B与C的坐标代入即可求出抛物线的解析式即可求出b与c的值．(3)令x=2和−2代入反比例函数中求出相应的点坐标，然后将两点的坐标代入y=−x2+2x+m中求出m的值本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是求出相关点的坐标，然后利用待定系数法求出系数的值，本题属于中等题型．23.答案：证明：(1)∵CA=CB∴∠CAB=∠CBA∵△AEC和△BCD为等边三角形∴∠CAE=∠CBD=60°，∴∠FAB=∠FBA，(2)∵∠FAB=∠FBA，∴AF=BF在△ACF和△BCF中，∴△AFC≌△BFC(SSS)∴∠ACF=∠BCF∴AG=BG(三线合一)∴G为AB的中点．解析：本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了全等三角形对应角相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质．(1)根据∠CAB=∠CBA，∠CAE=∠CBD即可证明；(2)判断出△AFC≌△BFC，得出∠ACF=∠BCF，根据等腰三角形底边三线合一即可解题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
为 y1．
（1）写出 y1 的顶点坐标与函数表达式；
（2）当﹣1≤x≤0 时，比较 y 与 y1 的大小．
18．（10 分）如图，ABCD 与 ACED 都是平行四边形，点 R 在 DE 上，BR 分别
交 AC，CD 于点 P、Q．
（1）请直接写出图中全部的相似三角形（相似比为 1 除外，不另加辅助线或字
C．△ABC 外接圆的半径等于 5
D．OC＝12
10．（3 分）已知一次函数 y＝ax+b 过一，二，四象限，且过（6，0），则关于二
次函数 y＝ax2+bx+1 的以下说法：
①图象与 x 轴有两个交点；②a＜0，b＞0；③当 x＝3 时函数有最小值；④若
存在一个实数 m，当 x≤m 时，y 随 x 的增大而增大，则 m≤3．
浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题．（本大题 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）若 3x＝2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）正五边形需要旋转（ ）后才能与自身重合．
A．36°
B．45°
C．60°
D．72°
3．（3 分）已知圆 O 的面积为 25π，若 PO＝5.5，则点 P 在（ ）
（1）点 D 是否在直线 y2＝kx﹣2k 上？请说明理由；
第4页（共6页）
（2）过 x 轴上一点 M（t，0）（0≤t≤2）作 x 轴上的垂线，分别交为 y1、y2 于点 P、点 Q．小明同学借助图象性质探究，当 k 满足什么条件时，存在实数 t 使 得 PQ＝3，他发现以下结论：
①当 k＞0 时，存在满足条件的 t； ②当﹣2＜k＜﹣0.5 时，不存在满足条件的 t． 你认为小明的判断是否正确？请说明理由．
第5页（共6页）
浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷
参考答案
一、选择题．（本大题 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．D； 2．D； 3．A； 4．A； 5．D； 6．B； 7．C； 8．A； 9．D； 10．C； 二、填空题．（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．＜； 12． ； 13．15π 平方厘米； 14．4； 15．1；3 ； 16． ＜a＜
．
14．（4 分）一个不透明的布袋里装有 2 个红球，4 个白球和 a 个黄球，这些球除
第2页（共6页）
颜色外其余都相同，若从该布袋里任意摸出 1 个球是黄球的概率为 0.4，则 a
＝
．
15．（4 分）如图，已知扇形 OAB 的半径为 6，C 是弧 AB 上的任一点（不与 A，
B 重合），CM⊥OA，垂足为 M，CN⊥OB，垂足为 N，连接 MN，若∠AOB＝
第3页（共6页）
（1）求出该顾客可能落得购物券的最高金额和最低金额； （2）请用列表法或画树状图法求出该顾客获购物金额不低于 50 元的概率． 20．（8 分）已知：如图，在菱形 ABCD 中 AE⊥BC，垂足为 E，对角线 BD＝8，
tan∠CBD＝ ，求 （1）边 AB 的长； （2）cos∠BAE 的值．
母）；
（2）若点 R 是 DE 的中点，求 的值．
19．（10 分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在四等分的转盘上依 次标有“°0 元”，“10 元”，“30 元”，“50 元”字样，购物每满 300 元可以转 动转盘 2 次，转盘停下后，顾客可以获得指针所指区域相应金额的购物券（指 针落在分界线上不计次数，可重新转动一次），一个顾客刚好消费 300 元，并 参加促销活动，转了 2 次转盘．
45°，则 tan∠AOB＝
，MN＝
．
16．（4 分）已知关于 x 的二次函数 y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a 的图象与 x 轴的一个
交点的坐标为（m，0），若 3＜m＜4，则 a 的取值范围是
．
三、解答题（本大题 7 个小题，共 66 分）
17．（8 分）将 y＝x2 图象向上平移 1 个单位，再向左平移 1 个单位所得的函数记
A．AB2＝AP•PB
B．AP2＝BP•AB
C．BP2＝AP•AB
D．AP•AB＝PB•AP
7．（3 分）如图，A，B，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中，∠ABC＝70°，∠
ACB＝30°，D 是 的中点，连接 DB，DC，则∠DBC 的度数为（ ）
第1页（共6页）
A．30°
B．45°
C．50°
（1）当 AB＝6，AC＝8，PA＝2 ，PC＝2 时，试说明 PB 为 AC 边上的“平 方比线”；
（2）当 AB＝6，AC＝8，CM＝4，PM＝4 时， ①若∠A＝25°，求∠CPM 的度数； ②求证：PB 为 AC 边上的“平方比线”．
23．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y1＝x2﹣4x+4 的顶点 D，直 线 y2＝kx﹣2k（k≠0）；
A．圆 O 外
B．圆 O 上
C．圆 O 内
D．圆 O 上或圆 O 内
4．（3 分）如图，在边长为 1 的格点图形中，与△ABC 相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3 分）从 2 种不同款式的衬衣和 2 种不同款式的裙子中分别取一件衬衣和一
条裙子搭配，有（ ）种可能．
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（3 分）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞PB，则有（ ）
21．（8 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，E 是弧 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D， 已知 BC＝8cm，DE＝2cm，求 OD 与 AD 的长．
22．（10 分）如图，已知点 A、B、C、M 在一条直线上，P 为直线 AB 外一点， 连结 PA、PB、PC、PM，若 PA2：PC2＝AB：BC，则称 PB 为 AC 边上的“平 方比线”．
其中正确的是（ ）
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．②③④
二、填空题．（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）
11．（4 分）比较 sin30°、sin45°的大小，并用“＜”连接为
．
12．（4 分）已知： ＝ ＝ ，则
＝
．
13．（4 分）已知扇形的半径为 5cm，弧长为 6πcm，那么扇形的面积为
D．70°
8．（3 分）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 sinA＝ ，AB＝2，则 AC 长是（ ）
A．
B．
C．
D．2
9．（3正半轴上一点，且满足∠ ACB＝45°，则（ ）
A．△ABC 外接圆的圆心在 OC 上
B．∠BAC＝60°