电势,电势差,电势梯度
电势电势梯度
静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作 功，这说明静电场具有能量。
一、静电场力的功
d A = F . d l = q E .dl b r rb = q E .dl cosφ dl qq φ φ q = q E .dr = 4 r 2d r π ε ra q E q q rb d r qq 1 1 a A= 2 = r r 4π 4 π ra r b ε a ε
§5-5
等势面 电场强度与电势梯度的关系
注：相邻等势面之间的电势差相等。
一.等势面：在静电场中，电势相等的点所组成的面。
等势面的性质： （2）等势面与电场线处处正交 （3）电场线指向电势降低的方向 （4）等势面和电场线密集 处场强量值大，稀疏处场强 量值小
（1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零
=
q 4πε
o
[
x (x + R )
2 2 3 2
]
V dV
B2
n
B3
dn φ
B1
dV E dn
V
dl
II I
E
dV E dn
负号表示E与n的方向相反，正是E的方向
dV E n gradV dn
电场中各点的场强等于各点的电势 梯度矢量的
负值。
任一方向的电场强度的分量：
V dV
B3 II dn φ
B2
n
1. 点电荷的电势 Vp =
p
E .dl =
8
q 4 πε 0 r
2
8
p
d r cos 0
0
q 1 1 4o r r a
大学物理静电场知识点总结
大学物理静电场知识点总结1. 电荷的根本特征：〔1〕分类：正电荷〔同质子所带电荷〕，负电荷〔同电子所带电荷〕〔2〕量子化特性〔3〕是相对论性不变量〔4〕微观粒子所带电荷总是存在一种对称性2．电荷守恒定律：一个与外界没有电荷交换的孤立系统，无论发生什么变化，整个系统的电荷总量必定保持不变。
3．点电荷：点电荷是一个宏观*围的理想模型，在可忽略带电体自身的线度时才成立。
4．库仑定律：表示了两个电荷之间的静电相互作用，是电磁学的根本定律之一，是表示真空中两个静止的点电荷之间相互作用的规律121212301214q q F r r πε= 5．电场强度：是描述电场状况的最根本的物理量之一，反映了电场的基0F E q =6．电场强度的计算：〔1〕单个点电荷产生的电场强度，可直接利用库仑定律和电场强度的定义来求得〔2〕带电体产生的电场强度，可以根据电场的叠加原理来求解〔3〕具有一定对称性的带电体所产生的电场强度，可以根据高斯定理来求解〔4〕根据电荷的分布求电势，然后通过电势与电场强度的关系求得电场强度7．电场线：是一些虚构线，引入其目的是为了直观形象地表示电场强度的分布〔1〕电场线是这样的线：a ．曲线上每点的切线方向与该点的电场强度方向一致b ．曲线分布的疏密对应着电场强度的强弱，即越密越强，越疏越弱。
〔2〕电场线的性质：a ．起于正电荷〔或无穷远〕，止于负电荷〔或无穷远〕。
b ．不闭合，也不在没电荷的地方中断。
c ．两条电场线在没有电荷的地方不会相交8． 电通量：φ=⋅⎰⎰e s E dS〔1〕电通量是一个抽象的概念，如果把它与电场线联系起来，可以把曲面S 的电通量理解为穿过曲面的电场线的条数。
〔2〕电通量是标量，有正负之分。
9．高斯定理：ε⋅=∑⎰⎰s S 01E dS i （里）q〔1〕定理中的E 是由空间所有的电荷〔包括高斯面内和面外的电荷〕共同产生。
〔2〕任何闭合曲面S 的电通量只决定于该闭合曲面所包围的电荷，而与S 以外的电荷无关10．静电场属于保守力：静电场属于保守力的充分必要条件是，电荷在电场中移动，电场力所做的功只与该电荷的始末位置有关，而与其经历的路径无关。
电磁学讲课电势
4 0 r r
r– r r+
–
–q
O
+
l +q
x
对于离电偶极子比较远的点，r >> l，有
rr r2, r r l cos
则
V
q l co s 40r 2
p cos 40r 2
p r co s 4 0 r 3
pr
4 0 r 3
例5 利用书中例 7-11 结果计算均匀带电圆盘 (R, )
轴线上任一点电势。
得
V
px
40 (x2
y2 )3/2
x x2 y2
–
–q
p O
+
+q
x
所以
Ex
V x
p(2x2 y2)
40 (x2 y2 )5/ 2
Ey
V y
3 pxy
40 (x2 y2 )5/ 2
E Exi Ey j
静电场与万有引力场的比较
静电力
F
40r 2
er
电场强度
F
Q
E q 40r2 er
（对比地图上等高线、等温线、等压线等）
特点 (1) 等势面 电场线 证明：取很近的两点 a和 b，
Vab Va Vb E l El cos
Δ l
b
a
E
若在同一等势面 Va = Vb，则 cos = 0 即 = /2，得证。
(2) 等势面越密的地方，电场线越密，场强越大。
证明：作等势面时，按规定任意两
b
dA
q0q
a
40
rb dr r ra 2
q0q
40
1 ra
大学物理第2章 电势能 电势
4
Wa b
q0 q 4 0
b
a
q0 q r dr 3 r 4 0
b
a
1 d(r r ) 2 r3
q0 q 4 0
b
a
q0 q 1 dr 2 3 2 r 4 0
b
a
q0 q 1 2rdr 3 2 r 4 0
b
b
a
dr r2
q0 q 4 0
rR 0 Er Q 4 r 2 r R 0
球面内部任意一点的电势为
V (r )
r
r R
R E dl E dl E dl
r R
沿电场线积分
dr
Q 4 0 R
15
E dl Er dr
求电场的空间分布，并求在点(2,3,3)处的电 场强度。解：根据公式得
E V (2x+3y)i (3x z) j yk
代入x，y，z坐标便得到在处的电场强度为 r r r r E 2 , 3 , 3 13i 6 j 3k SI
27
沿电场线积分
(r Ra17 )
V (r )
Rb
Ra
E dl
Rb
Ra
1 1 Er dr ( ) 4 0 Ra Rb
Q
（2）两球面之间一点b的电势为
V (r )
V (r ) E dl
r Rb
Rb
r
Rb
E dl E dl
21
2.3.2 电势梯度
Va Vb E dl
电势及其梯度
q E= 2 4πε 0 r
1
cosθ dl = dr
q o
r
c
θ
r E
a b rb 1 qq qq0 1 1 0 − ∴W = ∫ dW = ∫ 2 dr = a ra 4πε 4πε 0 ra rb 0 r
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电势和电势差
结论：在点电荷的电场中， 结论：在点电荷的电场中，电场力对试验电荷所 做的功， 做的功 ， 只与试验电荷所带电量以及起点和终点 位置有关，而与所经历的路径无关． 位置有关，而与所经历的路径无关． 问题：任何带电体系产生的电场的结果如何？ 问题：任何带电体系产生的电场的结果如何？ r r r Q E = E1 + E 2 + L r r r r r r r ∴W = ∫ F ⋅ dl = q0 ∫ E ⋅ dl = q0 ∫ ( E1 + E2 + L) ⋅ dl r r r r = q0 ∫ E1 ⋅ dl + q0 ∫ E2 ⋅ dl + L
ρR 2 r Up = − ln < 0 2εo R
P r o o
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定义法求电势
R
r ρ r r r < R E= 2ε o
r≥R
r
.
p
ρR 2 r Up = − ln 2εo R < 0
R
r ρR 2 ˆ = λ r E= r ˆ 2πεor 2εor
r<R
r= 0处， U= Umax= ρ R 2 处 2εo ε
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电势梯度概念 等势面 定义:电势相等的曲面 定义:
U1
+q
大物电磁学 第三章 电势
方向沿径向向外 方向沿径向向外
18
AQ
(r R1) E3 40r2
方向沿径向向外
（3）球内、外各点的电势
注意： 求各点电势（电势分布）时，要分 区域讨论，分区方式与场强相同。
电势零点位置选择：如无特殊说明，对球状
带电体产生的电场，选
取无穷远处为电势零点。
即：令 0
19
R oP1
二、公式 静电场力的功 = 电势能差 电势差 公式 电势公式
三、解题方法 求场强时的填补法，叠加法； 求电势的方法，电势差的方法
28
作业：P87 3.2 3.3 3.7 3.9
29
课后思考题： 如图，两个同心的半球面相对放置，半径分别 为 R 1 和 R 2 （ R1 R2 ），都均匀带电，电荷面 密度分别为 1 和 2 .试求大的半球底面圆直 径AOB上得电势. B
总
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n i 1
1
4 0
qi ri
r i : 第 i个点电荷到场点的距离
0
qi
.P
3、连续带电体的电场中的电势 令
d 1 dq 40 r
r : 所取的任意位置的电荷元
到场点的距离
0
dq
+q
r
.P
32
总电势
dq
4 电荷分布范围 0r
( 0)
注意：电势是标量，上式可直接积分，电势 迭加比电场迭加要简便。
P20( x2R2x)
( 0)
39
3-5 电荷在外电场中的静电势能
八、电势能差、电场力的功及电势、电 场四者之间的关系
Wa Wb Aab
b
b
q 0a E d l q 0a E c o sd l
第二节 电势、电势差6
（2）如果一带电体上的电荷是连续分布
4. 等势面
dq U = ∫ dU = 4πε0 ∫ r
1
在静电场中,各点的电势都有确定的值， 在静电场中,各点的电势都有确定的值，由电势相等的 点组成的曲面,叫做等势面。 点组成的曲面,叫做等势面。
等势面与电场线的关系 ------ 电场线与等势面处处正交，等 电场线与等势面处处正交， 势面越密的区域，从而了解各处电场线越密，场强也越大。 势面越密的区域，从而了解各处电场线越密，场强也越大。
----- 电场中某点电势，在数值上等于单位正电荷在该点所具 电场中某点电势， 有的电势能， 有的电势能，或等于把单位正电荷从该点沿任意路径移至无 穷远处电场力所做的功。叫做该点的电势。 穷远处电场力所做的功。叫做该点的电势。
∞
[例题6-7] 计算点电荷的电场中任一点的电势。
解：电势 U a = ∫ E • dl = ∫ E • dl = ∫
在电场中某点的电场强度等于该点电势梯 度矢量的负值。 度矢量的负值。
例题6 例题6-8 真空中有一均匀带电圆环，半径为R，带电量为q 真空中有一均匀带电圆环，半径为R 带电量为q （设q>0），求圆环轴线上一点a的电势，点a到圆环中心O点 q>0），求圆环轴线上一点 的电势， 到圆环中心O ），求圆环轴线上一点a 的距离为x 的距离为x。
解：
λdl dU = = 4πε0r 4πε0r
dq
λ ⇒U = ∫ dU = ∫ dl 4πε0r 0
= q 4πε0r = q 4πε0 x + R
2 2
2πR
[例题6-9] 若已知距圆环O点为x处的P点的电势，试用 例题6 若已知距圆环O点为x处的P 场强与电势的微分关系求P 场强与电势的微分关系求P点的场强。
静电场的特性、电势能与梯度的关系
静电场的特性、电势能与梯度的关系1. 静电场的特性1.1 定义静电场是由静止电荷产生的电场。
在静电场中，任何带电粒子都会受到电场力的作用。
静电场的特点是电场强度与电荷量成正比，与距离的平方成反比。
1.2 静电场的性质（1）叠加原理：静电场中，任意一点的电场强度是由场源电荷单独产生的电场强度矢量和。
（2）高斯定律：静电场中，通过任何闭合曲面的电通量与该闭合曲面所包围的净电荷量成正比。
（3）库仑定律：静电场中，两个点电荷之间的作用力与它们的电荷量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
（4）电场线：用来表示静电场强度和方向的线条，电场线的疏密表示电场强度的大小，电场线从正电荷指向负电荷。
2. 电势能2.1 定义电势能是指带电粒子在电场中由于位置的改变而具有的能量。
电势能的变化等于电场力做的功。
2.2 电势能的计算电势能的计算公式为：[ U = qV ]其中，( U ) 表示电势能，( q ) 表示带电粒子的电荷量，( V ) 表示电势差。
2.3 电势差电势差是指两个点在电场中的电势差异。
电势差的计算公式为：[ V = ]其中，( V ) 表示电势差，( W ) 表示电场力做的功，( q ) 表示带电粒子的电荷量。
3. 电势梯度3.1 定义电势梯度是指电势在空间中的变化率。
它是电场强度的负值。
3.2 电势梯度的计算电势梯度的计算公式为：[ V = - ]其中，( V ) 表示电势梯度，( ) 表示电势对位置的导数。
3.3 电势梯度与电场强度的关系电势梯度与电场强度具有负相关关系。
当电势梯度较大时，电场强度较小；当电势梯度较小时，电场强度较大。
这表明电场力对带电粒子的加速作用与电势梯度成反比。
4.1 静电场的特性与电势能的关系在静电场中，电势能的变化等于电场力做的功。
根据库仑定律，静电场中两个点电荷之间的作用力与它们的电荷量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
因此，电势能在静电场中的变化与电荷量、距离等因素有关。
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电势、电势差、电势梯度
1、三个相同的点电荷q ，分别放在边长为L 的等边三角形的三个顶点处，则三角形中心的电势 )4/(330L q U πε=，电场强度大小0=E ，将单位正电荷从中心移到无限远时，电场力作功)4/(330L q A πε= 。
2、半径为R 的均匀带电细圆环，电荷线密度为λ，则环心处的电势02/ελ=U ，场强大小0=E 。
3、静电场中某点的电势，其数值等于单位正电荷在该处的电势能，或把单位正电荷从该点移到无限远处电场力作的功。
4、下列各种说法中正确的是( B )
(A)电场强度相等的地方电势一定相等。
(B)电势梯度较大的地方场强较大。
(C)带正电的导体电势一定为正。
(D)电势为零的导体一定不带电。
5、在静电场中下面叙述正确的是( B )
(A)电场强度沿电场线方向逐点减弱。
(B)电势沿电场线方向逐点降低。
(C)电荷在电场力作用下一定沿电场线运动。
(D)电势能一定沿电场线方向逐点降低。
6、真空中产生电场的电荷分布确定以后，则( C )
(A)电场中各点的电势具有确定值
(B)电荷在电场中各点的电势能具有确定值
(C)电场中任意两点的电势差具有确定值。
7、如图，在一带负电的物体A 附近有两点M 和N ，电势分别为u M 和u N ，另一带负电的点电荷处在该两点时所具有的电势能分别为W M 和W N ，则：（ C ）
19
(A)u M ＞u N ，W M ＞W N ；
(B)u M ＞u N ，W M ＜W N ；
(C) u M ＜u N ，W M ＞W N ；
(D)u M ＜u N ，W M ＜W N ； 8、球壳的内半径为R 1，外半径为R 2，壳体内均匀带电，电荷体密度为ρ，A 、B 两点分别与球心0相距r 1和r 2，(r 1＞R 2，r 2＜R 1)，求A 、B 两点的电势。
解：利用均匀带电球壳产生电势的结果和电势叠加原理计算 作一半径为r ，厚度为dr 的球壳，其电量为dr r dq ρπ24=
（1）r >R 2时，
)4/(101r dq dU πε=
()103132113/21r R R dU U R R ερ-==⎰
（2）r <R 1时，
)4/(02r dq dU πε=
()
02122222/21ερR R dU U R R -==⎰
M N
· ·。