第五章二维图形变换

5.3 复合变换
5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5 5.3.6 复合平移 复合旋转 复合缩放 绕任意点旋转 对任意点作比例变换 对任意直线作对称变换
5.3.1 复合平移
如果将两个连续的平移向量作用于坐标点P （x，y），从而得到新的坐标点P′（x′， y‘），二者间关系可表示为：
0 S y1 ⋅ S y 2 0
0 S y2 0
0 0 1
0 0 1
S x1 ⋅ S x 2 = 0 0
T = T (S x1 , S y1 ) ⋅ T (S x 2 , S y 2 ) = T (S x1 ⋅ S x 2 , S y1 ⋅ S y 2 )
这表明两个连续的旋转变换也是相加的， 其复合矩阵T可表示为： = T (θ1 ) ⋅ T (θ 2 ) = T (θ1 + θ 2 ) T
5.3.3 复合缩放
如坐标点P（x,y）经过两次连续的比例变 换，变换结果可表示为：
[x ′
y ′ 1] = [x
y 1] ⋅ T (S x1 , S y1 ) ⋅ T (S x 2 , S y 2 )
对于初始点P（x,y）的比例变换是指相对 于坐标原点，其坐标缩放Sx倍，其y坐标缩 放Sy倍，得到变换后的点P′（x′,y′），有：
x′ = x ⋅ S x y′ = y ⋅ S y 变换方程也可以写为矩阵形式：
S x [x′ y′] = [x y] 0 这时的变换矩阵方程T为：
0 Sy
S x T = 0
0 Sy
5.1.4 对称变换
对称变换也称为反射变换，相对于反射轴的对称 变换是通过将物体绕反射轴旋转180º而生成的。 它的基本变换包括对坐标轴、原点和45º线的变 换。 关于x轴的对称变换，是保持x值不变，“翻 动”y坐标位置而得到的。这时的变换矩阵：
1 0 T = 0 − 1
5.3.2 复合旋转
下面考虑P点经过两个连续的旋转变换产生 的复合变换。设两次旋转的角度分别为θ1 和θ2，则有：[x′ y ′ 1] = [x y 1] ⋅ T (θ ) ⋅ T (θ ) 1 2 其中： cosθ sin θ 0
T (θ ) = − sin θ 0
sin θ 1 cos θ 1 0
Sx 0 0 Sy = 0 0 x p (1 − S x ) y p (1 − S y ) 1
5.3.6 对任意直线作对称变换
设任意直线的方程为：Ax+By+C=0 则直线在X轴和Y轴上的截距分别为-C/A和C/B，直线与 X轴的夹角为α，α=arctg（A/B），如图所示。
设任意一点坐标为P（xp,yp），对其作比例变换 可通过以下几个步骤来完成。
（1）将P点平移到坐标原点，变换矩阵为：
1 T1 = 0 − x 0 1
p
− y
p
0 0 1
（2）关于原点作比例变换，变换矩阵为： 0 0 S x T2 = 0 S y 0 0 0 1
1 T = T1 ⋅ T2 ⋅ T3 = 0 − x p 0 1 − yp 0 cos θ 0 − sin θ 1 0 sin θ cos θ 0 0 1 0 0 1 x p 0 1 yp 0 0 1
展开后可得到：
第5章 二维图形变换 章
图形变换是计算机绘图的基本技术之一。 图形变换是计算机绘图的基本技术之一。 图形变换有两种形式： 图形变换有两种形式：
坐标模式变换（非几何变换）：坐标系变动、图形不动 图形模式变换（几何变换）：坐标系不动、图形变动
几何变换：依照一定的规则，将一个几何图形的点都变 几何变换：
因此，两个连续的比例变换是相乘的，其 复合矩阵T可表示为：
5.3.4 绕任意点旋转
平面图形绕任意点P（xp,yp）旋转θ角，可以经 过以下几个步骤实现。 （1）将旋转中心移到原点，变换矩阵为：
1 T1 = 0 − x p
cos θ = − sin θ 0
0 1 − yp
复合变换举例
已知三角形ABC各顶点坐标为A(3,0)，B(4,2)，C(6,0)，使其绕原点 转90度，再向X方向平移2，Y方向平移-1。求出变换后的三角形 A’B’C’的各顶点坐标，并且做出变换前后的图形。
cos 90o T = − sin 90o 变换矩阵为： 2
变换后的A’(2,2)，B’(0,3)，C’(2,5)
0 Sy 0 0 0 1
其中：
S x T (S x , S y ) = 0 0
5.3.3 复合缩放
那么其复合变换矩阵可表示为：
S x1 T (S x1 , S y1 ) ⋅ T (S x 2 , S y 2 ) = 0 0 0 S y1 0 0 S x 2 0 ⋅ 0 1 0
5.2 几何变换的矩阵表示
5.2.1 齐次坐标与平移变换 5.2.2 二维图形齐次坐标变换矩阵
5.2.1 齐次坐标与平移变换
从上一节的内容可以看出，对于除平移变 换之外的几种基本变换都可以通过变换矩 阵T实现：T = a b c d x′ = x + tx 而这种形式却无法实现平移变换：y′ = ty 为了解决这个问题，我们将2×2的变换矩 阵T扩充为3×3的矩阵形式，来把几种二维 几何变换表达为单一的矩阵形式：
a b 0 T = c d 0 l m 1
5.2.2 二维图形齐次坐标变换矩阵
以上我们介绍了五种基本变换，另外还有透视变 换和全比例变换两种，它们都可以包含在二维图 形变换矩阵T中： a b p
T = c d q l m s
这个3×3的矩阵中各元素功能一共可以分为四块， 其中： 这个2×2的矩阵可以实现图形的比例、对称、错 切、旋转等基本变换； 可以实现图形的平移变换。 可以实现图形有透视变换。 可以实现图形的全比例变换。
5.4.2 二维观察流程
下面来看一下窗口（Window）与视区（Viewport）的概 念。 当我们从窗口向外看时，只能看到窗口范围内的景物。在 计算机图形学中，有时不需要显示图形的全貌，而只需要 显示其中的某一部分，这时就要用到开窗口的方法。通常 我们把世界坐标系中要显示的区域称为窗口，窗口包含了 我们要显示的内容，它们将在设备坐标系下进行显示。 窗口映射到显示设备上的坐标区域称为视区。窗口定义了 显示什么，而视区则决定显示的位置。标准的窗口和视区 一般都采用矩形，其各边分别与坐标平行。其他形式的窗 口和视区（如圆形等）有时也会采用，只是在处理上更加 复杂。
5.1 基本几何变换
5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 平移变换 旋转变换 比例变换 对称变换 错切变换
5.1.1 平移变换
平移是指将物体沿直线路径从坐标位置移 到另一个坐标位置的重定位过程。如图所 示，即通过给定原始坐标位置P（x,y）加 上平移距离tx和ty来平移二维点以实现将其 定位于新位置P′（x′,y′）。
sin θ cos θ 0
0 0 1
0 0 1
（2）将图形绕原点旋转θ角，变换矩阵为：
T2
（3）将旋转中心平移回原来的位置，变换矩阵 为： 1 0 0
T
3
= 0 x p
1 y p
0 1
5.3.4 绕任意点旋转
于是绕任意点P旋转的变换矩阵为：
（3）将原点移回至P点，变换矩阵为：
1 T3 = 0 xp 0 1 yp 0 0 1
5.3.5 对任意点作比例变换
对任意点作比例变换的变换矩阵为： 对任意点作比例变换的变换矩阵为：
1 T = T1T2T3 = 0 − x p 0 1 − yp 0 S x 0 0 0 1 0 Sy 0 0 1 0 0 1 x p 0 1 yp 0 0 1
为另一个几何图形的确定的点。
基本几何变换有5种形式： 基本几何变换有 种形式： 种形式
平移、旋转、比例（缩放、变比）、对称、错切
第5章 二维图形变换 章
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 基本几何变换 几何变换的矩阵表示 复合变换 二维观察 二维图形裁剪 OpenGL中的二维图形变换 中的二维图形变换
sin 90o cos 90o −1
0 0 1
思考：上面是先旋转后平移，如果改为先平移再旋转，结果 又如何？
5.4 二维观察
5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 二维图形坐标系统 二维观察流程 观察参考坐标系 窗口到视区的变换
5.4.1 二维图形坐标系统
几何物体具有很多重要的性质，如大小、形状、位置、方 向以及相互之间的空间关系等等。为了描述、分析、度量 这些特性，就需要一个称为坐标系统的参考框架，坐标系 统从本质上来说，它自身也是一个几何物体。 在图形学中，采用了很多各具特色的坐标系统。以其维度 上看，可分为一维坐标系统、二维坐标系统、三维坐标系 统，以其坐标轴之间的空间关系来看，可分为直角坐标系 统、圆柱坐标系统、球坐标系统等等。另外，在计算机图 形学中，为了通过显示设备来考察几何物体的特性，引入 了一系列用于显示输出的坐标系统，其中包括世界坐标系、 设备坐标系及规格化的设备坐标系等。
则变换方程可表示为： [x ′
y ′] = [ x
1 y] 0 -
0 = [x − y ] 1
5.1.5 错切变换
错切（shear）变换也称为错位或错移变换。 经过错切的物体好像是由已经相互滑动的 内部夹层组成。当变换矩阵时，变换结果 将使图形产生错切。 1. 沿x方向的错切 方向的错切 2. 沿y方向的错切 方向的错切
5.4.3 观察参考坐标系
有时，由于窗口不一定为矩形，或者矩形而其矩 形边与坐标轴不平行，这时的观察变换就要更复 杂一些。这时的方法就是先引入观察参考坐标系。 通过观察参考坐标系，可以任意设置矩形窗口的 方向。 所谓观察参考坐标系就是依据窗口的形状和方位 在世界坐标系中定义的坐标系。一但建立了观察 参考坐标系，就可以把世界坐标系中的图形先变 换到观察坐标系中，再通过观察坐标系，将图形 变换到设备坐标系中进行显示。