幂级数展式(第五节)PPT资料29页
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精选数学分析函数的幂级数展开讲解讲义
n0
n!
lim ( 1) ( n) xn1 0.
n
n!
又 x 1, 有 1 x 1 , 且0 1 1, 从而有 1 x
第二十页，总共三十四页。
1 1 x
n
1.
再当 | x | 1时, 有0 (1 x)1 (1 | x |)1 21.于
是当 1 时 (1 x)1是与 n 无关的有界量;当
如果 f 能在点x0的某邻域上等于其泰勒级数的和函
数, 则称函数 f 在点 x0 的这一邻域内可以展开成泰
勒级数, 并称等式
第六页，总共三十四页。
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
(4)
的右边为 f 在 x x0 处的泰勒展开式, 或幂级数展
论如下:
当 1 时, 收敛域为 (1, 1);
当 1 0 时, 收敛域为 (1, 1];
当 0 时, 收敛域为[1, 1].
第二十二页，总共三十四页。
当 (7)式中 1时就得到
1 1 x x2 1 x
当 1 时得到
2
(1)n xn
, x (1, 1). (8)
1 1 1 x 13 x2 135 x3 , x (1, 1]. (9)
解 由于 f (n)( x) ex , f (n)(0) 1(n 1, 2, ), 因此 f
的拉格朗日余项为
Rn( x)
e x (n 1)!
x n1 (0
1).
显见
第十一页，总共三十四页。
11-5函数展开成幂级数
an
f ( n) (0) n!
n 2k 0, ( k 0,1, 2, ) k ( 1) , n 2k 1 ( 2k 1)!
k 2k 1
x , 2 sin x ~ ( 1) ( 2k 1)! k 0
收敛半径 R .
3° x ( , ), 余项满足
?
答：不一定.
反例：
1 x2 , f ( x ) e 0,
x0 x0
且 f ( n ) (0) 0 ( n 0,1,2,) 在 x = 0点任意可导,
f ( x )的麦克劳林级数为 0 x
n 0 n
该级数在( ,)内收敛，且其和函数S ( x ) 0.
三、函数展开成幂级数的方法
展开方法
直接展开法 — 用泰勒公式
间接展开法 — 用已有展开式
1. 直接展开法
f ( x ) 展开成x的幂级数的步骤：
1º求 f (n)(x) , f (n)(0) , n = 0, 1, 2, · · ·; 2º 写出幂级数
n
f ( n ) ( 0) n x , 并求收敛半径 R ; n! n 0
例3 将
展开成 x 的幂级数
(m: 任意常数) .
解 1 f (0) 1, f (0) m ,
f (0) m( m 1) ,
f ( n ) (0) m( m 1)( m 2) ( m n 1) ,
2° 麦克劳林级数
m( m 1)( m n 1) n m( m 1) 2 F ( x ) 1 mx x x n! 2! x (1,1) an n1 R lim lim 1 n a n 1 n m n
高等数学第五节 函数幂级数展开-PPT文档资料
即
f ( 0 ) 2 S (x )f( 0 )f ( 0 )x x n 1 2 ! ) f(n ( 0 ) n x. n !
那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为
lim S ( x ) f ( x ) . n 1
n
注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关为泰勒公式 .
如果令 x 0 , 就得到 0
f (0 ) 2 f (n)(0 ) n f (x ) f (0 ) f (0 )x x x 2 ! n ! r ). n(x ②
( n 1 ) f ( x )n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) . n ( n 1 )!
( 0 ) 1 , , ( 0 ) 0 ,f f( 0 )0, f( 0 ) 1 , f
n 1 ) n ( 0 ) ( 1 ) . f(2n)( 0 )0, f(2
于是可以得到幂级数
2 n 1 1 3 15 x n x x x ( 1 ) , 3 ! 5 ! ( 2 n 1 )!
称为泰勒级数 .
二、 直接展开法
利用麦克劳林公式将函数 f(x 展开成幂级数
的方法，称为直接展开法 .
例1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
( n ) x 解 由 f ( x ) e( n 1 , 2 , 3 , ) , 可以
得到
( n ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 1 .
( θ x ) e n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) , n ( n 1 )!
且 x≤
x θx x x , 所以 e e , 因而有
f ( 0 ) 2 S (x )f( 0 )f ( 0 )x x n 1 2 ! ) f(n ( 0 ) n x. n !
那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为
lim S ( x ) f ( x ) . n 1
n
注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关为泰勒公式 .
如果令 x 0 , 就得到 0
f (0 ) 2 f (n)(0 ) n f (x ) f (0 ) f (0 )x x x 2 ! n ! r ). n(x ②
( n 1 ) f ( x )n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) . n ( n 1 )!
( 0 ) 1 , , ( 0 ) 0 ,f f( 0 )0, f( 0 ) 1 , f
n 1 ) n ( 0 ) ( 1 ) . f(2n)( 0 )0, f(2
于是可以得到幂级数
2 n 1 1 3 15 x n x x x ( 1 ) , 3 ! 5 ! ( 2 n 1 )!
称为泰勒级数 .
二、 直接展开法
利用麦克劳林公式将函数 f(x 展开成幂级数
的方法，称为直接展开法 .
例1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
( n ) x 解 由 f ( x ) e( n 1 , 2 , 3 , ) , 可以
得到
( n ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 1 .
( θ x ) e n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) , n ( n 1 )!
且 x≤
x θx x x , 所以 e e , 因而有
数学物理方法课件解析函数的幂级数展开
幂级数展开求解积分方程
幂级数展开求解积分方程 的步骤
首先将积分方程中的未知函数进行幂级数展 开，然后代入积分方程中求解系数，最后得 到积分方程的解。
举例
求解∫(上限1下限0) (x^2+y^2)^(-3/2) * y dx = 1。将y(x)进行幂级数展开，得到
y(x)=∑(n=0,∞) a_n * x^(n+1)，然后代入 积分方程中求解系数a_n，得到解。
THANKS
感谢观看
幂级数展开的收敛半径
幂级数展开的收敛半径是指函数在一定区间内可以展开成幂 级数的范围。
收敛半径的大小取决于各项系数的变化规律，可以通过比较 相邻项系数的方法来确定收敛半径。
幂级数展开的收敛区间
幂级数展开的收敛区间是指函数可以精确展开成幂级数的区间，通常是一个闭区 间或者半开半闭区间。
在收敛区间内，幂级数展开可以无限逼近原函数，但在收敛区间的外延，误差会 逐渐增大。
数学物理方法课件解析函 数的幂级数展开
• 幂级数展开的概述 • 幂级数展开的原理 • 幂级数展开的应用 • 幂级数展开的实例解析
01
幂级数展开的概述
幂级数展开的定义
幂级数展开是指将一个函数表示为无 穷级数的方式，其中每一项都是该函 数的幂次与系数的乘积。
幂级数展开的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$，其中 $a_0, a_1, ldots, a_n$ 是常数，$x$ 是自变量。
幂级数展开求解微分方程
幂级数展开求解微分方程的步骤
首先将微分方程中的未知函数进行幂级数展开，然后代入微分方程中求解系数，最后得 到微分方程的解。
高数-幂级数的展开-PPT课件
n 1 f n 1 R x x x , 介 x 于 与 x 之 ， 间 n 0 0 n 1 !
——拉格朗日余项
2.级数收敛的必要条件 3.幂级数及其和函数的性质
1
一、泰勒级数 问题：给定函数 f x, 是否能找到一个幂级数，它在某个区间 内收敛，且其和恰好是给定的函数 f x? 若能找到这样的幂级数，则说函数f (x)在该区间内能展开成 幂级数. 泰勒公式： 若函数 f x在 x 0 某邻域内有直到 n1 阶的导数，则 n f x f x 2 n 0 0 (1) f x f x f x x x x x x x R x 0 0 0 0 0 n 2 ! n ! n 1 f n 1 R x x x , 介 x 与 于 x 之 ， 间 n 0 0 n 1 ! ——拉格朗日余项
2 n 0 f x a a x a x a x a 0 f 0 1 2 n 2 n 1 f 0 f x a 2 a x 3 a x na x a 1 1 2 3 n
即
f n 0 n ! a n 1 n n 1 2 a x f x an n n 1 n! n f 0 f 0 2 n f x f 0 f 0 x x x 得证 2 ! n !
问题: （1）x x0 时, 级数(3)是否收敛? （2）若级数(3)收敛, 是否收敛于 f x?
n f x f x 2 n 0 0 x f x 则 f x 设 在 定理 : 在该邻域内能展 f x f x f x x x x x x x 某邻域内有任意阶导数， 0 0 0 0 0 0 2 ! n ! 成泰勒级数(3)的充分必要条件是
第五节函数的幂级数展开式的应用一近似计算-PPT精选
欧拉公式
ex jy ex(cy ojssiy )n
揭示了三角函数和复变量指数函数之间的 一种关系.
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五、小结
１、近似计算,求不可积类函数的定积分， 求数项级数的和，欧拉公式的证明；
２、微分方程的幂级数的解法．(第十二节介绍)
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思考题
利用幂级数展开式, 求极限 lxim 0 xsainr3xcsxi.n
n1 n!
n1 n!
n1(n1)!
x2(
xn)x
xn
x2(ex1)xxe
n1 n!
n0 n!
ex(x1)x,
n1
n2 n!2 n
s(1) 2
1
e2
(1
1)
1
3
2 24
e.
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四、欧拉公式
复数项级数:
( u 1 j 1 ) v ( u 2 j 2 ) v ( u n j n ) v
解 sixn 11x 21x 41x 6 x(, ) x 3 ! 5 ! 7 !
1 sixn 1 1 1
d x 1
0x 第四项
1
3 3 ! 5 5 ! 7 7 ! 1 104,
收敛的交错级数
77! 3000
取前三项作为积分的近似值,得
1sixn d x111 0.9461
0x
33! 55!
第五节 函数的幂级数展开式的应用
▪ 一、近似计算 ▪ 二、计算定积分 ▪ 三、求数项级数的和 ▪ 四、欧拉公式 ▪ 五、小结 思考题
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一、近似计算
A a 1 a 2 a n , A a 1 a 2 a n , 误 r n 差 a n 1 a n 2 .
数学物理方程第三章幂级数展开PPT课件
z
z0
() a 0 a 1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )2
而
1
1
2i z
有界，
利用柯西公式得
2 1 iC ' ( z )d 2 1 iC 'a 0z0 d 2 1 iC 'a 1 ( z z0 )d 2 1 iC 'a 2 ( z z0 )2 d
a 0 a 1 (z z0 ) a 2 (z z0 )2
Np
k (z1) .
N 1
05.12.2020
N(z2)
阜师院数科院
k (z2) k (z1) k (z2)
3.2 幂级数 幂函数的复变项级数
1. 定义 对于各复常数 z0,a1,a2, ,ak, , 级数
a k ( z z 0 ) k a 0 a 1 ( z z 0 ) a 2 ( z z 0 ) 2 a k ( z z 0 ) k (3.2.1)
故当 z z0 R 当 z z0 R
，(3.2.1) 绝对收敛。 ，(3.2.1) 可能发散。
R 叫收敛半径，以 z 0 为圆心，R 为半径的圆叫
幂级数的 收敛圆
最简单的收敛区域。保证幂级数在圆内的点上绝 对收敛，而在圆外可能发散。圆外仍有区域是收 敛的。
根值判别法
lk i m k ak zz0 1, (3.2.2) 收敛，(3.2.1) 绝对收敛。
lk i m k ak zz0 1, (3.2.2) 发散，(3.2.1) 发散。
05.12.2020
阜师院数科院
故 R lim 1
a k k k
例 (1) 1tt2 tk
解： ak 1
收敛半径:
R lim ak 1 a k
z0
() a 0 a 1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )2
而
1
1
2i z
有界，
利用柯西公式得
2 1 iC ' ( z )d 2 1 iC 'a 0z0 d 2 1 iC 'a 1 ( z z0 )d 2 1 iC 'a 2 ( z z0 )2 d
a 0 a 1 (z z0 ) a 2 (z z0 )2
Np
k (z1) .
N 1
05.12.2020
N(z2)
阜师院数科院
k (z2) k (z1) k (z2)
3.2 幂级数 幂函数的复变项级数
1. 定义 对于各复常数 z0,a1,a2, ,ak, , 级数
a k ( z z 0 ) k a 0 a 1 ( z z 0 ) a 2 ( z z 0 ) 2 a k ( z z 0 ) k (3.2.1)
故当 z z0 R 当 z z0 R
，(3.2.1) 绝对收敛。 ，(3.2.1) 可能发散。
R 叫收敛半径，以 z 0 为圆心，R 为半径的圆叫
幂级数的 收敛圆
最简单的收敛区域。保证幂级数在圆内的点上绝 对收敛，而在圆外可能发散。圆外仍有区域是收 敛的。
根值判别法
lk i m k ak zz0 1, (3.2.2) 收敛，(3.2.1) 绝对收敛。
lk i m k ak zz0 1, (3.2.2) 发散，(3.2.1) 发散。
05.12.2020
阜师院数科院
故 R lim 1
a k k k
例 (1) 1tt2 tk
解： ak 1
收敛半径:
R lim ak 1 a k
微积分第5节幂级数展开式
f ( x) n f (k)( x0 )
k0 k !
x x0
k
f (n1) ( ) n1 !
x x0 k ,
介于x, x0之间 .
f x任意可导 f ( x)
f (n)( x0 )
n0 n!
x x0
n.
2
函数展开方法之一：直接法
ex n ex e x xn
n0 n !
(1)n
x 2n
1 x2 x4 ,
x (,)
n0
(2n) !
2! 4!
9
解法2 (cos 2 x) sin2x (1)n (2x)2n1 ,
n0
(2n 1) !
两边从 0 到 x 积分,得
x (,)
cos2 x 1 1 (1)n (2x)2n2
2 n0
(2n 2) !
0 n0
n0
2n 1
故 f (x)
x
(1)n
x 2n1 dx
(1)n
x 2n 2
0 n0
2n 1
n0
(2n 1)(2n 2)
(1)n1
x2n
, (1 x 1)
n1
2n(2n 1)
13
例10. 将 f ( x) 1 展开成x 1的幂级数. 4+x
解
4
1
x
5
1 x
1
1 5
n0
n0
k n1
f
n
(
x)
n1
ak
x x0
k
n
an
x x0
n
n
ak
x x0
k n
k0
kn1
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2 !
n !
求出收敛半径R
(4) 在(-R,R)内,如果 ln im Rn(x)0 则 f(x)
例 将函数展开成 x 的幂级数
(1).f(x)ex
f(n)(x)ex,(n1,2,...)f(0)f(n)(0)1,(n1,2,...)
1xx2 xn
2!
n!
收敛半径 R
|
Rn(x)|
e xn1 (n1)!
(7)
将
3
1
x
分别展开成 x 的及 x－1 的幂级数
①
1 3 x
1 3
1 1
x
1 ( x)n 3 n0 3
3
n0
3xnn1,(3x3)
②
31x2(1x1)1211x1
1 2
n0
(
x1)n 2
函数展开成幂级数
前面研究的是幂级数的收敛域及和函数,现在反过 来,某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示
一. 泰勒级数第三章研究过泰勒式:f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2(!x0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0)nRn(x)
余项
其中f(x) 在x 0 的某邻域内具有n+1阶导数.
7/24
二. 函数展开成幂级数
x0 0麦克劳林级数
主要研究函数如何展开成 x 的幂级数.
1. 直接展开法
如果某阶导数不存 在,说明不能展开
(1) 求出 f(x)f,(x),,f(n)(x),
(2) 求出 f(0 )f,(0 )f,(0 ),,f(n )(0 ),
(3) f(0 ) f(0 )xf(0 )x 2 f(n )(0 )x n
2
f(n)(0)0,1 ,0, 1 ,.n . .(0,1 ,2,..(.循)环)
xx3x5(1)n 1 x2n 1 收敛半径
3! 5!
(2n1)!
R
sin( n1)
| Rn(x)|
2
xn1
(n1)!
| x|n1 , (0x)
(n1)!
0
所以 ln im Rn(x)0
(3).1(x)1x(1)x2(1) (2)x3
f(x)
n0
f(nn)(!x0)(xx0)n
泰勒展开式
则称 f(x)在 x 0 可以展开成泰勒级数
(2) 如果函数可以展开成幂级数,则展开式唯一.
定理 2 f ( x)在点 x0的泰勒级数在U ( x0 )内收敛于
f
(
x)
在U
( x0
)
内lim n
Rn
(
x)
0.
证 必要性 设 f ( x) 能展开为泰勒级数。
f(x )i n 0f(i)i(!x 0)(xx 0)iR n (x )
R n (x )f(x ) sn 1 (x ) ln i s m n 1(x)f(x) ln i m Rn(x)0 .
充分性 f(x ) sn 1 (x )R n (x )0
sn1(x)f(x), f(x)的泰勒级数收f敛 (x)于 .
coxs(sixn)(xx3x5( 1 )n 1 x2n 1 )
3 ! 5 !
(2n1 )!
1 x 2 x 4 ( 1 )nx 2 n ,( x )
2 ! 4 !
2 n !
(2)f.(x)ln 1(x)
1
(1)nxn,(1x1)
1x n0
ln1(x)
x1
dx [
01x n0
x(1)nxndx]
cos(x- )=1- 1 (x- )2 1 (x- )4 L
4 2! 4 4! 4
所以
s i n x 2 [ 1 ( x ) - 1 ( x ) 2 1 ( x ) 3 1 ( x ) 4 1 ( x ) 5 L ]( - x ) 2 42 !43 !44 !45 !4
泰勒系数
x0 0
f (x) ~
f (n)(0) xn
n0 n!
麦克劳林级数
2. 泰勒定理: 若f(x) 在x 0 的某邻域内具有各阶导数, 则f(x)在 x 0 的泰勒级数在该邻域内收敛于f(x)
ln i m Rn(x)0 (由泰勒公式很容易得出结论,证明见下页)
注: (1)
若f(x)在 x 0 的泰勒级数收敛于f(x),即
e|x| |x|n1 , (n1)!
(0x)
有限 所以 ln im Rn(x)0
趋于零,因为
| x |n1
收敛
n0 (n 1)!
ex1xx2xn,( x) 2 ! n !
(2).f(x)sin x (1)n1
x2n1
,( x )
n0
(2n1)!
fn(x)sin x(n)(,n1,2,...)
0
n1
(1)n1
xn n
(1x1)
(3).f (x)ex2
作变量替换 t x2
e x 2 et 1tt2tn
2! n!
1 x 2 x 4 x 6 ( 1 )nx 2 n ,( x )
2 ! 3 !
n !
(4).f (x) 1xx2
x
1x2
1 x1x2
x
(1)n x2n
n0
(1)nx2n1,(1x1) n0
此时, f(x)可以用前n+1项近似表示,误差为 | Rn(x) | 由此引入泰勒级数:
1. 定义 若f(x)在 x 0 的某邻域内具有各阶导数,则
f (x0)f(x0)(xx0) f2(!x0)(xx0)2
f (nn)(!x0)(xx0)n
f(x)在 x 0 的泰勒级数
f(x)~
n0
f(nn)(!x0)(xx0)n
2 n=0
(2n)!
（6） 将sinx展成x- 的幂级数。
解
sinx=sin[
4
+
x-
4
]4=sin
4
cos (x-
4
)
cos
4
sin
(x-
4
)
= 2 [sin(x- )+cos(x- )]
2
4
4
而 sin(x- )=(x- )- 1 (x- )3 1 (x- )5 L
4 4 3! 4 5! 4
（5） 将 xcos 2 x 展成x的幂级数。
解 因 co sx 1 -x2x4x6 L (-1 )nx2 n L(- x )
2 ! 4 ! 6 !
(2 n )!
而 xcos2xx1cos2x=xxcos2x=xx(-1)n(2x)2n
2 22
2 2n=0 (2n)!
=x(-1)n22n-1x2n1 (-x)
2!
3!
(1) (2)(n1)xn,(1x1)
n!
注: α>－1时,展式在 x =1成立; 牛顿二项式级数
α>0时,展式在 x = －1成立.
2.间接展开法 利用已知的基本展开式和幂级数的性质
(1).逐项积分,逐项求导法 (2)变量替换法 (3)四则运算法
例 将函数展开成 x 的幂级数
(1).f(x)coxs