课题：利用函数图象求方程和方程组的解
九年级数学下册263第3课时利用两个函数的图象求方程课件
A.x＜-4或x＞2 B.-4≤x≤2 C.x≤-4或x≥2 D.-4＜x＜2
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c为常数）的图象如图所示， 则方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是（ A ） A.m≥-2 B.m≥5 C.m≥0 D.m≥4
想一想：还有没有别的办法求这个方程的近似根？
方法二：
(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-1的图象；
(2) 作直线y=3；
y
(3)观察估计抛物线y=x2+2x-1和
直线y=3的交点的横坐标；
4
由图象可知,它们有两个交点,其
2
-4 -2
24
横坐标一个在-4与-3之间,另一个
0
x
在1与2之间,分别约为-3.2和1.2.
不等式 ax2 bx c＜mx n 的解集是二次函数 y ax2 bx c 的图象在直线 y mx n 下方的点的横坐标所组成的范
做一做
已知函数y1＝x2与函数 y2
1 2
x
3 的图象大致如图，若
y1＜y2，则自变量x的取值范围是( C )
A.
3＜x＜2 2
B. x＜-2 或 x＞ 3 2
合作探究
已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示：
通过观察以下图象，一元二次方程 ax2 bx c 0 的解是
__x_1=__k1_，__x_2_=_k_2___. y 二次函数的图象
y ax2 bx c 与x轴的交点.
y=0
利用一次函数图像解二元一次方程组PPT
x x+2y=2
6
二元一次方程x+2y=2 和2x-y=-6的图象交点 坐标是(-2,2) x+2y=2 2x-y=-6 x= -2
的解为
2x-y=-6 y P（-2，2）
3 2 6 5 4
1
y= 2
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0 1 -1
2 3
4 5
交点坐标就是 方程组的解是 巧合吗？
-2 -3
-4 -5
x x+2y=2
6
-6
利用这样的作图求解二元一次方程组的方法， 叫做二元一次方程组的图象解法。
如何用图象法来求解二元一次方程组呢？
x-y=-1 例1：利用图象法解方程组： 2x+y=1
由例1可知，用图象法解二元一次方程组 时，应先在同一个平面直角坐标内画出每一个 二元一次方程的直线，这两条直线若相交，其 交点的坐标，就是方程组的解。
x
两直线平行， 无交点，故方 程组无解。
课堂小结：
图象法解二元一次方程组时，应先画出每一个二 元一次方程的直线，再找交点，最后确定解。
1、这两条直线若相交，则方程组解的个数有 一组
2、这两条直线若重合，则方程组解的个数有 无数组 3、这两条直线若平行，则方程组 无解
作业：
练习题（1）、（2）、（3）、（4）
安庆十四中
俞友剑
解方程组：
x+2y=2 2x-y=-6 x= -2 y= 2
① ②
所以原方程组的解是：
1、在平面直角坐标系内画出方程 x+2y=2 的图象 2、在平面直角坐标系内画出方程 2x-y=-6 的图象 2x-y=-6 y P（-2，2）
6 5 4
高中数学二次函数图像题解题方法
高中数学二次函数图像题解题方法二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在图像题中经常出现。
解题时，我们需要掌握一些基本的解题方法和技巧。
本文将以具体的题目为例，介绍高中数学二次函数图像题的解题方法和考点，并通过举一反三的方式深入探讨相关知识点。
一、基本形式的二次函数图像题考虑以下题目：已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像经过点$A(1,2)$和$B(2,5)$，且对称轴为$x=3$，求函数$f(x)$的解析式。
解题思路：1. 根据题目中给出的点$A(1,2)$和$B(2,5)$，我们可以得到两个方程：$2=a+b+c$ (1)$5=4a+2b+c$ (2)2. 根据题目中给出的对称轴$x=3$，我们可以得到一个方程：$3=-\frac{b}{2a}$ (3)3. 将方程(3)代入方程(1)和方程(2)，得到一个关于$a$和$b$的方程组：$2=a-\frac{b}{2a}+c$ (4)$5=4a-2b+\frac{b}{2a}+c$ (5)4. 解方程组(4)和(5)，得到$a$和$b$的值。
将$a$和$b$的值代入方程(1)，求得$c$的值。
通过以上步骤，我们可以得到函数$f(x)$的解析式。
二、顶点坐标已知的二次函数图像题考虑以下题目：已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像的顶点坐标为$V(2,-1)$，且过点$A(1,2)$，求函数$f(x)$的解析式。
解题思路：1. 根据题目中给出的顶点坐标$V(2,-1)$，我们可以得到一个方程：$-1=4a+2b+c$ (6)2. 根据题目中给出的过点$A(1,2)$，我们可以得到一个方程：$2=a+b+c$ (7)3. 将方程(7)代入方程(6)，得到一个关于$a$和$b$的方程：$-1=4a+2b+a+b+2$ (8)4. 解方程(8)，得到$a$和$b$的值。
将$a$和$b$的值代入方程(7)，求得$c$的值。
通过以上步骤，我们可以得到函数$f(x)$的解析式。
中考数学中的函数与方程组解题技巧总结
中考数学中的函数与方程组解题技巧总结中考数学中，函数与方程组是较为重要的考点，掌握相应的解题技巧对于取得好成绩至关重要。
本文将对中考数学中的函数与方程组解题技巧进行总结，希望能够帮助同学们提高解题能力。
一、函数的解题技巧在解题过程中，有时需要对函数的图象进行分析，进而求解一些相关问题。
下面是几个常见的函数解题技巧：1. 确定定义域和值域：对于给定的函数，首先要明确函数的定义域和值域，这是理解和分析函数的关键。
可以通过观察函数的图象、查看函数的表达式或者进行变量的替换等方式来确定。
2. 确定函数的性质：了解函数的基本性质有助于解题。
例如，判断函数的奇偶性、单调性、周期性等，可以通过求导、分析函数的对称性等方法来确定。
3. 利用函数的图象解题：函数的图象可以提供一些有用的信息。
可以根据图象对函数值、函数的最大值最小值、函数的增减区间等进行分析，从而解决与函数相关的问题。
4. 运用函数的性质求解方程：有时可以利用函数的性质将方程转化为易于解决的形式。
比如，利用奇偶性判断方程有几个实数解，或者通过函数之间的关系将方程组化简为一个方程等。
二、方程组的解题技巧方程组的解题过程中，也有一些常见的技巧可以帮助我们解决问题。
下面是几个常见的方程组解题技巧：1. 利用加减消元法：对于含有两个未知数的线性方程组，可以通过加减消元法将其化简为一个方程，从而求解未知数的值。
这需要灵活运用加减法与倍数运算，将方程组转化为更简单的形式。
2. 利用替换法：有时，可以通过将一个未知数用另一个未知数表示，进而化简方程组的求解过程。
这需要适当选择合适的替换关系，并将其代入方程组中，从而得到更简单的方程。
3. 运用两个方程的关系求解：有时，可以利用方程组中两个方程的关系，从而得到一个更简单的方程。
比如，通过两个方程的相减或相加，消去一个未知数，从而求解另一个未知数。
4. 运用方程组的特殊性质求解：有些特殊的方程组可以通过运用其特殊性质来求解。
一次函数的图像与方程的解法
一次函数的图像与方程的解法一次函数是数学中最基础的函数之一，它的图像和方程的解法有着重要的意义。
本文将从图像和方程两个方面来探讨一次函数的特点和解法。
一、图像的特点一次函数的图像是一条直线，具有以下特点：1. 斜率：一次函数的斜率体现了函数的变化速率。
斜率为正数时，函数递增；斜率为负数时，函数递减；斜率为零时，函数为常数函数。
2. 截距：一次函数的截距是函数与坐标轴的交点。
截距分为x轴截距和y轴截距。
当x轴截距为0时，函数经过原点；当y轴截距为0时，函数经过y轴上的点。
3. 图像的倾斜方向：斜率为正数时，图像向上倾斜；斜率为负数时，图像向下倾斜；斜率为零时，图像平行于x轴。
二、方程的解法一次函数的方程通常为y = ax + b的形式，其中a和b是常数。
解一次函数的方程可以通过以下方法：1. 图像法：通过绘制函数的图像，可以直观地找到函数与坐标轴的交点。
交点的坐标即为方程的解。
2. 代入法：将给定的x值代入方程，计算出对应的y值。
如果求解的是y值，则将给定的y值代入方程，计算出对应的x值。
代入法适用于已知一个变量的值，求解另一个变量的情况。
3. 消元法：当两个一次函数相交时，可以通过消元法求解它们的交点。
将两个方程联立，通过消去其中一个变量，得到另一个变量的值，再代入其中一个方程，求解出另一个变量的值。
4. 斜率法：已知一次函数的斜率和一个点，可以通过斜率公式y - y1 = k(x - x1)来求解方程。
其中k为斜率，(x1, y1)为已知点的坐标。
5. 矩阵法：将一次函数的方程转化为矩阵形式，通过矩阵运算求解方程。
这种方法适用于多个一次函数联立的情况。
三、应用举例一次函数的图像和方程的解法在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 财务规划：一次函数可以用来描述收入和支出之间的关系。
通过分析一次函数的斜率和截距，可以帮助人们做出合理的财务规划，实现财务自由。
2. 市场分析：一次函数可以用来描述市场需求和价格之间的关系。
求函数解析式的方法和例题
求函数解析式的方法和例题在数学学习中，求函数解析式是一个非常重要的问题。
函数解析式是描述函数规律的数学式子，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点，进而解决各种与函数相关的问题。
那么，我们该如何求函数的解析式呢？下面，我将介绍几种常见的方法和通过例题来帮助大家更好地理解。
一、根据函数图像求解析式。
我们知道，函数的图像可以直观地反映函数的性质和规律。
因此，当给定函数的图像时，我们可以通过观察图像的特点来求解析式。
以一元一次函数为例，当我们给定了函数图像上的两个点坐标时，我们可以通过这两个点的坐标来求解析式。
具体的求解步骤是，首先计算出斜率，然后利用其中一个点的坐标和斜率来写出函数解析式。
例如，给定一元一次函数的图像上的两个点坐标分别为（1，3）和（2，5），我们可以先计算出斜率为2，然后利用其中一个点的坐标（比如（1，3））和斜率来写出函数解析式，y=2x+1。
二、根据函数的性质求解析式。
有些函数具有一些特殊的性质，我们可以通过这些性质来求解析式。
比如，对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，我们知道它的图像是一个抛物线，而抛物线的开口方向取决于a的正负。
因此，当我们给定了抛物线的开口方向和顶点坐标时，我们可以通过这些性质来求解析式。
例如，给定一元二次函数的抛物线开口向上，顶点坐标为（1，2），我们可以利用这些信息来求解析式。
首先，根据顶点坐标可以得到c=2，然后根据抛物线开口向上可以得到a>0，进而写出函数解析式，y=ax^2+bx+2。
三、根据函数的定义求解析式。
有些函数是根据一定的规则或定义而得到的，我们可以通过这些规则或定义来求解析式。
比如，对于阶梯函数，我们知道它在不同的区间有不同的取值，因此可以根据这些规则来写出函数解析式。
例如，给定一个阶梯函数在区间[0,2)上的取值为1，在区间[2,4)上的取值为3，我们可以根据这些规则来写出函数解析式，f(x)=1, 0≤x<2；f(x)=3, 2≤x<4。
初中数学教研课：利用函数图象解方程组
【教研课】 利用函数图象解方程组——18.5 实践与探索（一）一、教学内容：利用函数图象求某些方程组的解。
二、教学目标：理解两直线的交点坐标即为对应的二元一次方程组的解； 能在直角坐标系中利用图象解简单的方程组； 理解具体问题中函数图象交点的实际意义； 在探索过程中进一步体会数形结合思想. 三、教学重点：由两直线的交点坐标确定二元一次方程组的解. 教学难点：理解由图象求得方程组解的合理性.四、教学分析：本节内容是在学生初步理解掌握一次函数的图象及性质的基础 上，通过具体例题中从函数图象获取变量关系信息的讨论，进一 步认识函数图象上点与坐标的对应关系，进而将函数图象与二元 一次方程（组）联系起来，体会数形结合思想.教学中，要强调 学生的动手操作，在实践中体会方程和函数的联系，尽量促使每 一个学生都从本节教学中获得提高。
五、课前准备：作图工具、带有平面直角坐标系的练习卷. 六、教学过程：（一）课前热身：解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-152y x y x .<共同完成.答案：⎩⎨⎧-==12y x >这节课我们一起探讨解二元一次方程组的另一种方法.（二）引导探索：二元一次方程52=-y x 的解有无数个.如⎩⎨⎧-=-=71y x ，⎩⎨⎧-==50y x ，⎩⎨⎧-==31y x ，⎩⎨⎧-==12y x ，…这些数对都能使方程成立.将该方程变形为函数形式52-=x y ，上述数对即为直线52-=x y 在平面直角坐标系中部分点的坐标.（学生在坐标系1中作出图象）；同样的，二元一次方程1=+y x 的解也有无数个.如⎩⎨⎧=-=21y x ，⎩⎨⎧==10y x ，⎩⎨⎧==01y x ，…将该方程变形为函数形式1+-=x y ，上述数对即为直线1+-=x y 在平面直角坐标系中部分点的坐标.（学生在同一坐标系中作出图象）观察发现，两条直线相交于点（2，-1），也就是说数对⎩⎨⎧-==12y x 是方程组⎩⎨⎧+-=-=152x y x y 的解.这就给大家提供了解方程组的一种新的方法，即借助函数图象求二元一次方程组的解（板书）. （三）对应练习：1、P55练习.利用图象解下列方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=--=42112x y x y ； （2）⎩⎨⎧-=+=-522y x y x . <抽学生板演（1），提示：可用两点法作直线><教师示范>（2）解：由方程组得⎩⎨⎧--=-=522x y x y .在直角坐标系中画出两条直线，如图. 两条直线的交点坐标是（-1，-4），所以方程组的解为⎩⎨⎧-=-=41y x .2、P 55练习.如右图，已知小明乘车前往北京的函数关系为t s 95570-=，另有小李同时从北京乘车回A 地，其函数关系为t s 105=.这里t 表示 汽车行驶的时间（时），s 表示汽车距北京的路程 （千米）.在同一直角坐标系中画出这两个函数的 图象，说明交点的实际意义。
用图像法解二元一次方程组
上述例子的第(3)个问题中，小亮追上小明的时 间是所绘直角坐标系中两条射线 y= 2.5 t + 5 与 y = 4 t 的交点P的横坐标，而交点P的坐标是下述二元 一次方程组的解：
y 2.5t 5
y
4t
上述例子就是通过在同一个直角坐标系中，分别画 出y= 2.5 t + 5 与 y = 4 t 的图象，求出交点坐标，从而得 出二元一次方程组的近似值.
1.会把二元一次方程转化为一次函 数的形式；
2.掌握一次函数图像上的点与二元 一次方程的解之间的关系；
3.会用图像法求二元一次方程方程 组的近似解。
y 3x8 55
（1）方程3x+5y =8如何用含x的代数式表示y?
（2）y可以看作x的函数吗？ 可以
y 3x8 55
（3）方程3x+5y =8有多少组解呢？ 无数组
（4）在一次函数
y
3 5
x
8 5
上任取一点（x，y），
则 x , y 对应的值一定是方程 3x+5y=8的解吗？
由此你想到什么？
是的
二元一次方程的 解 对应的一次函数上 点的坐标
（1）观察在同一直角坐标系中的y=2x-1与 y 3 x 8 的图像两条直线的交点坐标是(1＿,1＿） 55
（2）方程组
5
4
因此，原方程组的解为
y 2x 4.4
3
2
1
x2
y
0.4
0 1 2 3x
例2. 直线 y 0.75x 1.9 与 y 2x 4.4 的 交点坐标为（ 2 ， 0.4 ）.
例3.某一天，小明和小亮同时从家里出发去县城，速 度分别为2.5千米/时，4千米/时.小亮家离县城25千米， 小明家在小亮家去县城的路上，离小亮家5千米.