截面惯性矩(材料力学) ppt课件
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材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
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第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交
《材料力学惯性矩》课件
PART 04
惯性矩的应用
REPORTING
弯曲应力计算
总结词
在计算梁的弯曲应力时，惯性矩是一 个重要的参数。
详细描述
通过利用惯性矩的计算公式，可以确 定梁在承受垂直或水平力时的弯曲应 力分布。惯性矩的大小决定了弯曲变 形的程度，进而影响应力分布。
剪切应力计算
总结词
在分析剪切应力时，惯性矩起到关键作用。
建筑结构中的惯性矩问题
高层建筑在风力和地震作用下，需要具备足 够的惯性矩来抵抗侧向和扭转力。建筑设计 时需充分考虑不同方向的惯性矩，以确保结
构安全。
利用惯性矩优化结构设计
优化截面尺寸
根据工程需求，调整结构件的截面尺寸，以改变其惯性矩，从而提高结构的承载能力和 稳定性。
减重与加强
在满足强度要求的前提下，通过优化结构设计，减小不必要的材料使用，降低结构重量 。同时，对关键部位进行加强，提高其惯性矩，确保结构安全。
应力分析是研究物体在受力后内部应力的分布和大小
的过程。
方法
02 通过理论分析、实验测试和数值模拟等方法进行应力
分析。
重要性
03
确保结构在各种工况下的安全性和可靠性，防止因应
力集中、疲劳或过载等原因导致的断裂或失效。
应变分析
定义
应变分析是研究物体在外力作用下产生的变形和位移的过程。
方法
通过测量物体的尺寸变化、观察表面变形和利用有限元等方法进 行应变分析。
在稳定性分析中，惯性矩是评估结构稳定性 的重要参数。
详细描述
结构的稳定性与惯性矩的大小密切相关。通 过分析不同受力情况下惯性矩的变化，可以 预测结构的失稳趋势，并采取相应的措施提 高结构的稳定性。
PART 05
《材料力学惯性矩》课件
3
常见形状的公式
通过一些形状特定的公式和密度计算，如长方形板、圆柱、圆盘等。
4
实例演示
解决一些实际问题，如自行车轮子的惯性矩计算。
惯性矩的特性
主要特性介绍
惯性矩决定物体在特定轴的旋转惯量。
对物体运动的影响
惯性矩越大，物体绕此轴旋转停止运动的关键物理量。
材料力学惯性矩
在物理学和工程学中，惯性矩是描述物体抵抗改变其状态的能力的量。本课 程将介绍惯性矩的概念、应用、计算和特性。
惯性矩的定义
1 定义
惯性矩是描述物体绕某 一轴旋转抵抗改变角动 量的能力的物理量。
2 公式推导
3 单位
惯性矩的公式和系统的 形状、大小、密度相关， 可以通过积分法来计算。
惯性矩的单位通常是千 克·米^2或克·厘米^2。
惯性矩的实际应用
惯性矩在物理学、工程学等 领域中有着广泛的实际应用。
惯性矩的未来发展 趋势
惯性矩的计算方法、应用领 域等方面将继续得到研究和 发展。
问题和思考
1. 惯性矩和质量的区别？ 2. 惯性矩的计算方法有哪些？ 3. 如何利用惯性矩解决工程问题？
参考资料
• 熊华忠. 刚体惯性矩的共性分析及计算[J ]. 研究与进展, 2007. • 罗万波, 黄勋. 材料力学基础[M]. 高等教育出版社, 2015. • R.C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Statics & Dynamics.
惯性矩的应用
刚体动力学
惯性矩作为物体旋转难度的衡量，可以帮助体操 运动员、花样滑冰运动员等提高技术。
材料力学
惯性矩作为材料抵抗变形的能力指标，可以帮助 工程师在桥梁等建筑结构设计中选择合适的材料。
截面模量和惯性矩的关系
截面模量(Section modulus) 和惯性矩(Moment of Inertia) 是材料力学中常用的两个参数，它们主要用于评估材料在受力作用下的挠曲和弯曲性能。
截面模量(S) 是表示材料在受力作用下挠曲性能的参数，它是材料截面的特征尺寸（如厚度、宽度等）与材料的弹性模量(Young's modulus) 的函数，具体来说，截面模量的计算公式为S = I / y, 其中I 是截面惯性矩，y 是截面中心距轴线的距离。
惯性矩(I) 是表示材料在受力作用下弯曲性能的参数，它是材料截面的特征尺寸（如厚度、宽度等）与材料密度的函数。
简单来说截面模量S表示材料在挠曲载荷下的强度，而惯性矩I表示材料在弯曲载荷下的刚度。
因此，截面模量和惯性矩是材料力学中相互关联的两个参数，它们都是用来评估材料在受力作用下的性能。
《材料力学》课程讲解课件附录I平面图形几何性质
解：
y
d
S x
yd A
A
2 yb( y) d y
0
b(y)
C
xc
yc
d
2 y2
R2 y2 d y d3
0
12
x
d
yc
Sx A
d3 12 πd 2 8
2d 3π
b( y) 2 R2 y2
29
yc
Sx A
d3 12 πd 2 8
2d 3π
y
2、求对形心轴 xc 的惯性矩
Ix
πd 4 64 2
3、惯性积是对轴而言。
y
z
dA
4、惯性积的取值为正值、负值、零。
y
5、规律：
o
z
20
5、规律：
Izy
zydA
A
0
y
dA z z dA
y
y
z
o
两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则 图形这一对坐标轴的惯性积为零。
21
对比记忆 静矩、形心；惯矩和惯性半径；它们都是反映截
面面积关于坐标轴分布情况的物理量。 静矩=（面积）（形心坐标） 惯矩=（面积）（惯性半径）2
z
o
dA y
z
全面积对z轴的惯性矩: I z y2dA,
2 z2 y2
全面积对y轴的惯性矩: I y A z2dA
A
15
Iz y2dA, I y z2dA
A
A
y
z
dA
y
o
z
2、量纲：［长度］4；单位：m4、cm4、mm4。 2 z2 y2
3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。
A
材料力学 截面的几何性质
1、矩形截面 h
Iz
y2dA
A
2 h
y 2bdy
h
2
dy y
b y 3 2 1 bh3 3 h 12
2
同理
Iy
z2dA 1
A
12
hb3
b h z
y
26
2、实心圆截面
y
已知
IP
A2dA
D 4 32
D
z
则 I P A2 d A A y 2 d A A z 2 d I A z I y
A
Iz Iy
此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。
z
y
o
A dA
z
y
惯性积
定义
Iyz
yzdA
A
z y
A dA
为图形对y、z轴的惯性积 。
z
o
y
惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长 度]4 ，常用单位为m4和mm4。
定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴 的惯性积必然为零。
4.3 形心主惯性轴和形心主惯性矩
若主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴(principal centroidal axis)。
图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 由于图形对于对称轴的惯性积等于零，而对称轴又过形心，所以，图形 的对称轴就是形心主惯性轴。
形心主惯性轴的特点可归纳为以下几点： ⑴形心主惯性轴是通过形心，由角定向的一对互 相垂直的坐标轴。
32
32
圆环形对y(或z)轴的惯性矩为
IyIz1 2Ip6 D4414
由于y轴为对称轴，故
Iyz 0
z
y
d D
截面惯性矩(材料力学)
B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
F 用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 x Fy 0
FN1 cos 45 FN 2 0 FN1 sin 45 F 0
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
截面上的应力
A 1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
F
FN1 28.3kN FN 2 20kN
20 100 50＝32 10４mm3
§I-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩
1、惯性矩：(惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物 体抵抗扭动，扭转的能力 ）
它是图形面积与它对轴的距离的平方之积表达式为
Ix y2dA
A
I y x2dA
A
注意：
1）同一截面对不同的轴惯性 矩不同；
2）惯性矩永远为正值；
m
合。所以称为轴力。
F FN
FN
3、轴力正负号：拉为正、
F 压为负
Fx 0 FN F 0
FN F
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
轴力和轴力图
例题3-1
A
F1 F1 F1
FN kN
1 B 2 C 3D
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画
1 F2
2
F3
2
2
I Z1
Iy
IZ 2
Iy
IZ 2
cos 2a
I yz sin 2a
2.三个公式:设新坐标系由原坐标系逆转α角而得,且有
I y1
Iy
IZ 2
Iy
IZ 2
c os 2a
截面惯性矩(材料力学)
A 1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
F
图示结构，试求杆件AB、CB的
应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
F 用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 x Fy 0
b2h23 12
20Байду номын сангаас
20
100
3
12
16.67 105
3）求对整个截面形心ZC轴的惯性矩 IzC (Iz1 a12 A1) (Iz2 a22 A2 ) 66.67103 302 200016.67105 302 2000 53.34105 mm4
F
F 作用线也与杆件的轴线重
m
合。所以称为轴力。
F FN
FN
3、轴力正负号：拉为正、
F 压为负
Fx 0 FN F 0
FN F
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
轴力和轴力图
例题3-1
A
F1 F1 F1
FN kN
1 B 2 C 3D
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画
杆件的基本变形： 拉（压）、剪切、扭转、弯曲
拉压变形
剪切变形
扭转变形
弯曲变形
二、杆件的轴向拉压变形分析
一、轴向拉伸和压缩的概念
特点：
作用在杆件上的外力合力的作用线与 杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸 长或缩短。
杆的受力简图为
拉伸
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B)当图形至少有一条轴是图形的对称轴时,则有
I xy abA I xCyC 0
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13
解例：组1）合写截出A面1，惯A性2及矩其的形计心算坐,标求a截1；面a2对ZC轴的y 惯性矩。
a1 20 10 30mm
20
a2 30mm
A1 A2 20100 2000mm2 100
y
I yz yzdA
A
3.说明： h
1）同一图形对不同轴的惯性积不同； A1 A2
z
2）惯性积可正，可负，可为零。
b
b
3）惯性积的单位：m4
4.结论：
当坐标系的两轴中的任一轴为图形的对称轴时，图形 对此轴的惯性积为零，反之，若图形对坐标系的惯性 积为零时，此坐标轴中必p有pt课一件 轴为图形的对称轴。 11
4.构件的强度计算
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1
4.1截面的几何特征
§Ⅰ-2 惯性矩和惯性半径 §Ⅰ-3 惯性积 §Ⅰ-4的平行移轴公式
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2
§Ⅰ-1 静矩和形心 1、静面矩（也叫面积矩简称静矩） y
(与力矩类似)是面积与它到轴的距离之积。
定义 S y =∫A z dA Sz=∫A y dA
z dA y
z
例：矩形截面，面积为A。求： S y 、 Sz、 SzC
6
例1：求图示T形截面的形心及对z轴的静矩 y
1.求形心
100
知A=A1+A2 yC１＝60 yC２＝0
20
n Ai yCi
选坐标轴z1作为参考轴
yC i1 Ai
yC
20100 60 100 20 2
30mm
100
２、求静矩
•
•Ⅰ
•
ⅡyC1
zC
z1
B•
方法1） Sz yC
7
§I-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩
1、惯性矩：(惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭 转的能力 ）
它是图形面积与它对轴的距离的平方之积表达式为
Ix y2dA
A
I y x2dA
A
注意：
1）同一截面对不同的轴惯性 矩不同；
2）惯性矩永远为正值；
y
x dA
y
x
3）惯性矩的单位为m4; ppt课件
§Ⅰ- 4平行移轴公式
1.平行移轴定理：
y
yC
x
dA
a
Cy b
以形心为原点，建立与原坐标轴
平行的坐标轴如图
xaxC yb yC
I x
y 2dA
A
xC
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
x
I xC 2bSxC b2 A
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9
例求圆形截面对形心轴的惯性矩。 y
解： D
IP
A
2dA
2 0
2 2d
D4
32
o
z
IP Iy0 Iz0
I y0
Iz0
IP 2
D4
64
§ I-3 惯性积
1.定义：图形对两个坐标轴的两个坐标之积的积分。
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10
§ I-3 惯性积
2.表达式：
3
2、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)
1）形心公式：
dm tdA
xdm
质心：
xC
m
m
等厚
ydm 均质
y
yC
m
m
xtdA
A
xdA
A
Sy
tA
A
A 等于形心坐标
ytdA
A
A ydA Sx
tA
AA
x dA
xC y yC
xC
A i
z
20
Sz ＝(50+30) 2( 100 20 )＝32 10４mm3
方法2）不求形心
方法3）负面积法
Sz = AiyCi＝20 100 110＋
Sz =(120 100 60)-2 ( 100 40 50 )= 32 10４mm3
20 100 50＝32 10４mmpp3t课件
8
2、惯性半径(单位为m)
表达式为
y
ix
Ix A
iy
Iy A
3、极惯性矩：
x dA
y
它是图形面积对极点的二次矩。
x
IP 2dA
A
2 x2 y2 IP (x2 y2 )dA I y I x
A
IP Ix I y 图形对正交坐标轴的惯性矩之和等于它 对此二轴交点的极惯性矩
I I b A SxC AyCppt课0件
2
x
xC
返 12
§Ⅰ- 4平行移轴公式 y
yC
2.结论： I y I yC a2 A
I
x
I xC
b2A
I xy I xCyC abA
x
dA
a bC y
xC
x
A)在所有的平行轴中,图形对自身形心轴的惯性 矩为最小。
yC
xCi Ai
A (正负面积法公式 ) yCi Ai
A
S xppt课件yC A xC SxC A yC 4
Sy AxC Ai xCi xdA
A
2.形心公式
Sx AyC Ai yCi ydA
A
xC
Ai xi A
yC
Ai yi A
ydA
yC A A
3.结论
xdA
xC A A
当坐标轴过形心时，图形对自身形心轴的面积矩等于
零；反之，若图形对某轴的面矩为零时，此轴必过图形
的形心。
ppt课件
5
3.组合图形的形心和面积矩 1）组合图形
由简单图形（如三角形，圆形，矩形等）组合而成的 图形。
2）组合图形面积矩及形心的计算公式
2)求出A1和A2分别对自身形心 轴的惯性矩
A1 •••
Ⅱ
•
A2
100
Ⅰ
z1
a1 zc
30
a2
z2
z
I z1
b1h13 12
100 203 12
66.67 103
Iz2
y
yC
dz
hz
dy
a
y
0b
解： dA hdz
zC
Sy
b 0
zhdz
hb2 2
A b 2
z
Sz
ah
ybdy
a
b[(a
h)2 2
a2]
11））同同一 一截截面面对对不不同同轴轴的的静静 bh[ h a] A[ h a]
矩矩不不同同；；
2
2
2）静矩可为正，负值或零；ppt课3件）静矩的单位为m33;
等于各简单图形对同一轴的面积矩的代数和。即
SZ SZ1 SZ 2 ... SZn ydA ydA ... ydA Ai yCi
A1
A2Ann源自 yC SzAi yCi i1
Ai
Ai
n
ZC
Sy
Ai ZCi i1
Ai
Ai
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