待定系数法在初中解题中的应用(新宝中学 2015,3,16)

待定系数法在初中数学解题中的应用
信宜市新宝中学 邓文燕
【摘要】待定系数法是初中数学解题中一种主要的方法，它可以使解题步骤简洁，减少不必要的繁琐，化繁为简，化难为易。

它主要应用于初中内容中的求函数表达式、分解因式、确定方程等方面。

通过待定系数法来解题，有助于对学生数学思维的培养，有利于提高学生解决问题的能力 ，发展学生的逻辑思维，养成良好的数学素养。

【关键词】待定系数法 初中数学 解题
一. 待定系数法的定义
待定系数法，一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

待定系数法的理论依据是多项式的恒等定理：
两个x 的多项式：110n n n n a x a x a --+++……与110n n n n b x b x b --+++……，如果完全相同，也就是对应系数相等，1100,,,n n n n a b a b a b --===……，那么用任何数值代替其中的变量x ，两个多项式的值都相等，即两个多项式恒等。

反过来，如果两个多项式恒等，即用任何数值代替其中的变量x ，两个多项式的值都相等，那么两个多项式的对应系数都相等。

在两个多项式恒等时，对应系数也相等。

如果其中一个多项式有一些系数是待定的，就可以根据所得的等式，求出这些待定系数，这就是待定系数法。

二. 待定系数法的解题步骤
待定系数法，根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

在解题过程中，我们要依据一定的步骤来求解，关键是利用好已知条件，设未知数，进而求解。

使用待定系数法解题的一般步骤是：
从而可以断定原式分解的结果形式是(32)(2)x y a x y b ++-+，于是可以用待定系数法解答。

解：设原式(32)(2)x y a x y b =++-+，把右边展开得：
22226228862(22)(2)x xy y x y x xy y a b x a b y ab +-+--=+-+++-++ 由恒等式的性质，比较两边的系数，得：
222288a b a b ab +=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩
①②③，由①、②解得：42a b =⎧⎨=-⎩ 把42a b =⎧⎨=-⎩
代入③，③也成立。

所以原式(324)(22)x y x y =++--
用待定系数法分解因式时，我们可以先假设由式子的最高次数与系数的特点断定其分解结果的因式形式，把分解因式的多项式写出几个因式的积，再根据恒等式的性质列出方程(组)，进而确定其中的系数，再得到分解的结果。

3. 待定系数法在解方程中的应用
待定系数也是解方程和确定方程的一种重要方法，在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化。

例4．已知一元二次方程的两根为2和3-，求二次项系数为2的一元二次方程。

分析：可设出该二元一次方程2
20x bx c ++=， 然后根据两根列出方程组，解方程组，求出待定系数。

解：设该二元一次方程220x bx c ++= 方程的两根为2和3-
8+201830b c b c +=⎧∴⎨-+=⎩ 218
b c =⎧∴⎨=-⎩ ∴所求的方程为：233180x x +-= 例5.（全国初中赛题，稍有改动）有甲、乙、丙三种货物，若购买甲３件、乙７件、丙一件，共需要315元；若购买甲4件、乙 10件、丙一件，共需要420元；现购买甲、乙、丙各一件，共需要多少元？
分析：本题目如果按照常规的思路来解题：设购买甲一件需要x 元，乙一件需要y 元，丙一件需要z 元，列三元一次方程组，求出三个未知数。

但在本题目中这是不可能的，因为题目只有两个等量关系，只能列出两个方程。

所以，常规的解题思路走不通，而待定系数法恰好可以解决这一类问题。

解：设购买甲一件需要x 元，乙一件需要y 元，丙一件需要z 元，
则现购买甲、乙、丙各一件，共需要()x y z ++元，根据题意可得： 27315410420x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
设()(27)(410)x y z a x y z b x y z ++=+++++ (34)(710)()a b x a b y a b z =+++++
比较两边同类项系数，可得34171011a b a b a b +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
解得32a b =⎧⎨=-⎩ 检验每个方程都合适，故33152420105x y z ++=⨯-⨯=
解：根据题意可得：
325610x x -+
32(1)(1)(1)a x b x c x d =-+-+-+
32(3)(32)()ax b a x a b c x b d a c ≡+-+-+++--
比较对应项系数。

可得：
53632010a b a a b c b d a c =⎧⎪-=-⎪⎨-+=⎪⎪+--=⎩ 解得：5=939
a b c d =⎧⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎩ 325610x x ∴-+325(1)9(1)3(1)9x x x =-+-+-+
待定系数法是解决此类问题的最佳方法，如果采用其他方法推算，先分别求出a b 、的范围，再求a b +的值，过程非常困难。

所以，在解题过程中，要根据不同的问题和条件，选择不同的方法，灵活地运用，才能起到事半功倍的作用。

本文简单的阐述了待定系数法的定义，总结了待定系数法解题的一般步骤，以及待定系数法在初中数学中的几种主要的应用，并分别举例对它在求函数表达式、分解因式、解方程等方面的应用加以剖析。

文中的例题足以证明待定系数法的重要性，以及它对解题的简化，且有助于学生从另一个角度来分析问题、思考问题、解决问题，间接的培养了学生的解题能力与思维能力。

如何利用待定系数法来解初中的更多题目，使求解更加简单快捷，同时也能降低问题的难度，这值得进一步探讨与发现。

参考文献：
[1] 波利亚.怎样解题[M].上海:科技教育出版社，2011.
[2] 王林全,吴有昌.中学数学思想方法[M].科学出版社，2009
[3] 吴维煊 .数学能力与数学方法[M].江苏:江苏大学出版社，2008
[4] 单壿.奥数教程[M].华东师范大学出版社，2013.
[5] 黄福萍.初中数学题中的待定系数法[J].科技风，2014年4月（上）：216。